commit to user
MODEL EPIDEMI STOKASTIK
SUSCEPTIBLE INFECTED SUSCEPTIBLE (SIS)
oleh
SILVIA KRISTANTI
M0109060
SKRIPSI
ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar
Sarjana Sains Matematika
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SEBELAS MARET
SURAKARTA
2013
commit to user
commit to user
ABSTRAK
Silvia Kristanti, 2013. MODEL EPIDEMI STOKASTIKSUSCEPTIBLE INFECTED SUSCEPTIBLE (SIS). Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahu-an Alam, Universitas Sebelas Maret.
Model epidemisusceptible infected susceptible (SIS) merupakan model yang menggambarkan penyebaran penyakit dengan karakteristik setiap individu sem-buh dapat terinfeksi kembali karena tidak memiliki sistem kekebalan tusem-buh per-manen. Penyebaran penyakit dapat dipandang sebagai kejadian random yang bergantung pada variabel waktu sehingga disebut proses stokastik. Perubahan banyaknya individu terinfeksi dipandang sebagai proses stokastik dalam selang waktu kontinu sehingga dapat digambarkan dengan model stokastik SIS.
Tujuan penulisan ini adalah menurunkan model stokastikSIS. Penyelesaian model stokastikSIS diperoleh dengan menggunakan formula Ito dan fungsi proba-bilitas variabel random dari banyaknya individu terinfeksi memenuhi persamaan diferensial Kolmogorov maju. Selanjutnya, model stokastik SIS diterapkan un-tuk penyebaran penyakit pertussis. Model disimulasikan dengan mengambil laju kontak β yang berbeda. Berdasarkan hasil simulasi diperoleh jika nilai
parame-ter β > γ, maka semakin cepat peningkatan penyebaran penyakit dan semakin
banyak juga individu yang terinfeksi. Tetapi jika nilai parameter β < γ, maka semakin cepat penurunan penyebaran penyakit dan individu yang terinfeksi men-capai nol artinya tidak terjadi penularan penyakit lagi.
Kata kunci: formula Ito, model stokastik SIS, persamaan diferensial Kolmogo-rov maju.
commit to user
Silvia Kristanti, 2013. SUSCEPTIBLE INFECTED SUSCEPTIBLE (SIS) STOCHASTIC EPIDEMIC MODEL. Faculty of Mathematics and Natural Sci-ences, Sebelas Maret University.
The susceptible infected susceptible SIS epidemic model is a model that explained the spread of disease which characteristics of each individual can be reinfected because it has no permanent immune system. The spread of disease are considered as a random events which depend on the time variable so it is called stochastic processes. The changes of the number of infected individuals are a stochastic process in continuous time interval that can be explained by SIS stochastic model.
The purpose of this research is to construct the SIS stochastic model. The solution of the SIS stochastic model is obtained by Ito’s formula and probability function of random variables from the number of infected individuals satisfy for-ward Kolmogorov differential equations. The SIS stochastic model is applied to the spread of pertussis disease. Model is simulated by taking a different values of the contacts rate β. The results of simulation show that the if value of β is greater than γ, then the more rapid increase in the spread of disease and the more number of infected individuals. But if the value ofβ is smaller thanγ, then the more rapid decrease in the spread of disease and the infected individuals is zero means no disease transmission occurs again.
Keywords : Forward Kolmogorov differential equations, Ito’s formula, SIS sto-chastic model.
commit to user
PERSEMBAHAN
Karya ini kupersembahkan untuk
Bapak, Ibu, dan Mbak Dina
atas segala doa dan semangat yang telah diberikan
commit to user
KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT, yang telah
melimpah-kan rahmat dan karunia-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaimelimpah-kan skripsi ini.
Penyusunan skripsi ini tidak lepas dari bantuan beberapa pihak, oleh karena itu
penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah
mem-bantu dalam penulisan skripsi ini, khususnya kepada
1. Sri Kuntari, S.Si., M.Si. Pembimbing I yang telah memberikan bimbingan
dan saran baik dalam hal penulisan maupun materi dalam hal penyelesaian
model epidemi stokastik SIS dan simulasi,
2. Dra. Respatiwulan, M.Si. Pembimbing II yang telah memberikan
bimbing-an dbimbing-an sarbimbing-an baik dalam hal penulisbimbing-an maupun materi dalam hal penurunbimbing-an
dan penyelesaian model epidemi stokastikSIS,
3. Dra. Purnami Widyaningsih, M.App.Sc. yang telah memberikan saran
dalam hal simulasi numerik, dan
4. semua pihak yang telah membantu dalam penulisan skripsi ini.
Semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi pembaca.
Surakarta, Juli 2013
Penulis
commit to user
IV PEMBAHASAN 11
4.1 Model Stokastik SIS . . . 11
4.2 Penyelesaian Model Stokastik SIS . . . 15
4.3 Penerapan dan Simulasi . . . 16
V PENUTUP 20
5.1 Kesimpulan . . . 20
5.2 Saran . . . 21
DAFTAR PUSTAKA 22
commit to user
Daftar Gambar
2.1 Skema Model SIS . . . 6
4.1 Banyaknya individu terinfeksi pada selang waktu 0 ≤t≤70 . . . 17
4.2 Banyaknya individu terinfeksi dengan β = 0.25,0.3,0.4,0.55 dan
γ = 0.04 pada selang waktu 0≤t≤100 . . . 18
4.3 Banyaknya individu terinfeksi denganβ = 0.025,0.01,0.0075,0.005
dan γ = 0.04 pada selang waktu 0≤t≤30 . . . 19
