MODEL STOKASTIK SUSCEPTIBLE INFECTED RECOVERED (SIR).

MODEL STOKASTIK _{SUSCEPTIBLE INFECTED RECOVERED} (SIR)

oleh

FELIN YUNITA

M0109028

SKRIPSI

ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar

Sarjana Sains Matematika

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SEBELAS MARET

SURAKARTA 2013

i

ii

ABSTRAK

Felin Yunita. 2013. MODEL STOKASTIK SUSCEPTIBLE INFECTED

RECOVERED (SIR). Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.

Uni-versitas Sebelas Maret.

Modelsusceptible infected recovered (SIR) menjelaskan penyebaran penya-kit dari individu susceptible menjadi infected, kemudian individu infected akan sembuh (recovered) dan tidak terinfeksi kembali karena memiliki kekebalan. Pe-nyebaran penyakit dapat dipandang sebagai kejadian random yang bergantung pada variabel waktu sehingga disebut proses stokastik. Perubahan banyaknya individu susceptible, infected, dan recovered merupakan proses stokastik dalam selang waktu dan variabel random kontinu sehingga dapat dijelaskan dengan mo-del stokastik SIR.

Tujuan penulisan ini adalah menurunkan model stokastik SIR. Penyelesa-ian model stokastik SIR diperoleh dengan formula Ito dan fungsi probabilitas variabel random dari model stokastikSIR harus memenuhi persamaan diferensial Kolmogorov maju.

Model stokastik SIR disimulasikan dengan mengambil laju kontak β, laju kesembuhan γ, dan individu awal yang terinfeksiI(0) yang berbeda. Hasil simu-lasi menunjukkan bahwa jika semakin besar nilaiβmaka puncak epidemi semakin tinggi dan semakin besar nilai I(0) maka puncak epidemi juga semakin tinggi. Akan tetapi jika semakin besar nilai γ maka puncak epidemi semakin rendah. Kata kunci : formula Ito, model SIR, model stokastik, persamaan diferensial

Kolmogorov

iii

ABSTRACT

Felin Yunita, 2013. SUSCEPTIBLE INFECTED RECOVERED (SIR) STOCHASTIC MODEL. Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Sebelas Maret University.

The susceptible infected recovered (SIR) model explains the spread of a disease from the susceptible individuals become infected individuals, then the infected individuals will be recovered and will be not re-infected because they have immunity. The spread of disease is considered as random events which depend on the time variable so it is called a stochastic process. The changes of the number of susceptible, infected, and recovered individuals are a stochastic process with continuous time interval and random variable that can be explained by a SIR stochastic model

The purpose of this research is to construct the SIR stochastic model. The solution of the SIR stochastic model is obtained by the Ito formula and the probability function of random variables from the SIR stochastic model must satisfy the Kolmogorov forward differential equations.

The SIR stochastic model is simulated by taking the various values of the contact rate β, the recovery rate γ, and the initial value of infected I(0). The results of simulation show the more value of β, the higher of outbreak, and the more value of I(0), the higher of outbreak. On the other hand the more value of γ, the lower of outbreak.

Key words : Ito formula, Kolmogorov differential equations, SIR model, sto-chastic model

iv

PERSEMBAHAN

Karya ini kupersembahkan untuk

Bapak dan Ibu atas doa, cinta dan pengorbanan yang diberikan

v

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa, yang telah

melimpahkan kasih dan karunia-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan

skrip-si ini. Penyusunan skripskrip-si ini tidak lepas dari bantuan beberapa pihak, oleh

karena itu penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang

telah membantu dalam penulisan skripsi ini, khususnya kepada

1. Dra. Purnami Widyaningsih, M.App.Sc sebagai Pembimbing 1 yang telah

memberikan bimbingan dan arahan baik penulisan skripsi maupun materi

dalam hal penurunan model stokastik SIR dan simulasi numerik,

2. Dra. Respatiwulan, M.Si sebagai Pembimbing II yang telah memberikan

bimbingan dan arahan baik penulisan skripsi maupun materi dalam hal

penurunan model stokastik SIR dan penyelesaian model,

3. Sri Kuntari, M.Si yang telah memberikan masukan dan saran dalam hal

penyelesaian model, dan

4. Silvia Kristanti, Dyah Wardiyani, dan Maftuhah Qurrotul Aini atas

kerja-sama dan masukan dalam hal penurunan model.

Semoga skripsi ini dapat bermanfaat.

Surakarta, Juli 2013

Penulis

vi

IV PEMBAHASAN 12 4.1 Model Stokastik SIR . . . 12

4.2 Penyelesaian Model . . . 19

4.3 Penerapan dan Simulasi . . . 20

V PENUTUP 26

5.1 Kesimpulan . . . 26

5.2 Saran . . . 27

DAFTAR PUSTAKA 28

viii

Daftar Gambar

2.1 Skema Model SIR . . . 5

4.1 Banyaknya individu infected pada selang waktu 0≤t≤40 . . . . 22

4.2 Banyaknya individu infected dengan I(0) = 2, γ = 0.3, dan β =

0.55 (biru), 0.65 (merah), dan 0.75 (hijau) pada selang waktu 0 ≤

t≤40 . . . 23

4.3 Banyaknya individu infected dengan I(0) = 2, γ = 0.2(biru),

0.3(merah), 0.4(hijau) dan β = 0.65 pada selang waktu 0≤t≤40 24

4.4 Banyaknya individu infected denganI(0) = 2 (biru), 5 (merah), 8

(hijau), γ = 0.3, dan β = 0.65 pada selang waktu 0≤t ≤40 . . . 25

ix