Probabilitas Puncak Epidemi Model Rantai Markov Dengan Waktu Diskrit Susceptible Infected Susceptible (Sis)

commit to user

PROBABILITAS PUNCAK EPIDEMI

MODEL RANTAI MARKOV DENGAN WAKTU DISKRIT

SUSCEPTIBLE INFECTED SUSCEPTIBLE (SIS)

oleh

IQROK HENING WICAKSANI

M0109038

SKRIPSI

ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar

Sarjana Sains Matematika

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SEBELAS MARET

SURAKARTA

PROBABILITAS PUNCAK EPIDEMI

MODEL RANTAI MARKOV DENGAN WAKTU DISKRIT

SUSCEPTIBLE INFECTED SUSCEPTIBLE (SIS)

yang disiapkan dan disusun oleh

IQROK HENING WICAKSANI

M0109038

dibimbing oleh

Pembimbing I Pembimbing II

Dra. Purnami Widyaningsih, M.App.Sc. Sri Kuntari, M.Si.

NIP. 19620815 198703 2 003 NIP. 19730225 199903 2 001

telah dipertahankan di depan Dewan Penguji

pada hari Kamis, 20 Maret 2014

dan dinyatakan telah memenuhi syarat.

Anggota Tim Penguji Tanda Tangan

1. Drs. Isnandar Slamet, M.Sc. Ph.D. 1. ...

NIP. 19660328 199203 1 001

2. Putranto Hadi Utomo, S.Si., M.Si. 2. ...

NIP. 19860907 201212 1 002

Surakarta, Mei 2014

Disahkan oleh

commit to user

ABSTRAK

Iqrok Hening Wicaksani. 2014. PROBABILITAS PUNCAK EPIDEMI MODEL RANTAI MARKOV DENGAN WAKTU DISKRIT SUSCEPTIBLE

INFECTED SUSCEPTIBLE (SIS ). Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahu-

an Alam. Universitas Sebelas Maret.

Masalah penyebaran penyakit dapat dijelaskan dengan menggunakan mo- del matematika. Model matematika yang menggambarkan penyebaran penyakit dengan karakteristik setiap individu yang telah sehat, rentan terinfeksi kembali adalah model epidemi susceptible infected susceptible (SIS). Penyebaran penyakit dapat dipandang sebagai kejadian random yang bergantung pada variabel waktu, sehingga merupakan proses stokastik. Penyebaran penyakit dengan karakteristik

SIS ditinjau dalam selang waktu diskrit dapat disajikan menggunakan model

rantai Markov dengan waktu diskrit SIS.

Tujuan penelitian ini adalah menurunkan ulang probabilitas puncak epide- mi. Metode yang digunakan adalah kajian pustaka. Probabilitas puncak epidemi secara matematis diperoleh dari komplemen probabilitas berhentinya epidemi. Hasil penelitian menunjukkan bahwa probabilitas puncak epidemi dipengaruhi oleh laju penularan β, laju kesembuhan γ, laju kelahiran b, dan individu awal yang terinfeksi I (0). Terlihat bahwa jika laju penularan lebih besar dari jum- lahan laju kelahiran dan laju kesembuhan maka puncak epidemi dimungkinkan terjadi, namun jika laju penularannya kurang dari atau sama dengan jumlahan laju kelahiran dan laju kesembuhan maka puncak epidemi tidak dimungkinkan terjadi. Selanjutnya dilakukan penerapan terhadap model rantai Markov dengan waktu diskrit SIS pada penyakit pertusis, untuk memberikan gambaran yang lebih jelas mengenai perilaku parameter yang berpengaruh terhadap probabili- tas puncak epidemi. Simulasi memperjelas bahwa semakin besar laju penularan dan individu awal yang terinfeksi probabilitas puncak epidemi semakin tinggi. Semakin besar laju kesembuhan dan laju kelahiran probabilitas puncak epidemi semakin rendah.

Kata kunci _{: probabilitas puncak epidemi, proses percabangan, model rantai}

ABSTRACT

Iqrok Hening Wicaksani. 2014. PROBABILITY OF AN OUTBREAK DISCRETE TIME MARKOV CHAIN SUSCEPTIBLE INFECTED SUSCEPTIBLE (SIS) MODEL. Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Sebelas Maret Uni- versity.

Disease outbreak problems can be approached through mathematical mo- dels. When each individual can be reinfected then susceptible infected susceptible (SIS) epidemic model is the suitable model. Since spreading of disease can be considered as random event, therefore this process called stochastic process. The changes of the number of infected individual is a stochastic process in discrete time interval. Furthermore, the epidemic model can be explained as discrete time Markov chain SIS epidemic model.

commit to user

KATA PENGANTAR

Segala puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT yang telah

melimpahkan rahmat dan hidayah-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan

skripsi ini. Penulis menyadari bahwa dalam penulisan skripsi ini tidak lepas dari

bantuan, dorongan, serta bimbingan berbagai pihak. Oleh karena itu penulis

ingin mengucapkan terima kasih kepada

1. Dra. Purnami Widyaningsih, M.App.Sc. sebagai Pembimbing I yang telah

memberikan bimbingan dan arahan baik penulisan skripsi maupun dalam

hal penurunan model rantai Markov dengan waktu diskrit SIS dan simulasi,

2. Sri Kuntari, M.Si. sebagai Pembimbing II yang telah memberikan bim-

bingan dan arahan baik penulisan skripsi maupun materi maupun dalam

hal penurunan model rantai Markov dengan waktu diskrit SIS,

3. Dra. Respatiwulan, M.Si. yang telah memberikan masukan dan saran

dalam diskusi skripsi, dan

4. Ina Lailatur Wulanjari, Eski Shintawati, dan Luk Luk Alfiana atas kerjasa-

ma dan masukan yang diberikan dalam pengerjaan skripsi.

Semoga skripsi ini dapat bermanfaat.

Surakarta, Maret 2014

PERSEMBAHAN

Sebuah karya sederhana ini kupersembahkan untuk

IV PEMBAHASAN 11

4.1 Probabilitas Berhentinya Epidemi . . . 11

4.2 Probabilitas Puncak Epidemi . . . 17

4.3 Penerapan dan Simulasi . . . 17

V PENUTUP 24

5.1 Kesimpulan . . . 24

5.2 Saran . . . 24

commit to user

DAFTAR GAMBAR

4.1 Banyaknya individu terinfeksi dengan β = 0.4, γ = 0.04, b = 0.1,

dan I (0) = 1, pada selang waktu 0 ≤ t ≤ 120 . . . . 19

4.2 Banyaknya individu terinfeksi dengan γ = 0.04, b = 0.1, I (0) = 1,

dan β = 0.35, 0.4, 0.45, pada selang waktu 0 ≤ t ≤ 120 20

4.3 Banyaknya individu terinfeksi dengan β = 0.4,b = 0.1, I (0) = 1,

dan γ = 0.01, 0.04, 0.07, pada selang waktu 0 ≤ t ≤

120 . . . 21

4.4 Banyaknya individu terinfeksi dengan β = 0.4, γ = 0.04, I (0) = 1,

dan b = 0.05, 0.1, 0.15 pada selang waktu 0 ≤ t ≤ 120 22

4.5 Banyaknya individu terinfeksi dengan β = 0.4, γ = 0.04, b = 0.1,