ANALISA KESTABILAN MODEL SIRS0I0V0 PADA PENYEBARAN VIRUS FLU BURUNG (AVIAN INFLUENZA) DARI UNGGAS KE
MANUSIA DENGAN PENGARUH VAKSINASI PADA UNGGAS
SKRIPSI
Diajukan kepada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta
untuk Memenuhi Sebagian Persyaratan guna Memperoleh Gelar Sarjana Sains
Oleh
Moza Gandhi Prakoso NIM. 13305141023
PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA
v MOTTO
“Barangsiapa menempuh jalan untuk menuntut ilmu, niscaya Allah memudahkan
baginya jalan menuju surga”. (HR. Muslim).
“Sampaikanlah dariku meski hanya satu ayat, dan boleh saja kalian
menceritakan dari kaum Bani Israil. Dan barangsiapa mendustakan aku dengan
sengaja, sebaiknya ia siapkan tempat duduknya di neraka”. (HR. Bukhari).
“Kalau kalian benar-benar bertawakal kepada Allah niscaya Dia akan memberi
kalian rezeki sebagaimana Ia memberi rezeki kepada seekor burung yang ketika
pergi pada pagi hari dengan perut kosong dan pulang pada sore hari dengan
perut kenyang”.(HR. Tirmidzi).
“Wahai orang-orang beriman, jika kamu menolong (Agama) Allah, niscaya Dia
akan menolongmu dan meneguhkan kedudukanmu”. (QS. Muhammad:07).
“Hendaklah kamu berpegang kepada kebenaran, karena sesungguhnya
kebenaran itu memimpin kepada kebaktian, dan kebaktian itu membawa ke surga
(kebahagiaan); dan hendaklah tetap seseorang itu bersifat benar dan memilih
kebenaran hingga dia tertulis di sisi Allah sebagai orang yang sangat benar; dan
hendaklah kamu jauhi kedustaan, karena sesungguhnya kedustaan itu memimpin
pada kedurhakaan, dan kedurhakaan membawa ke neraka (kehancuran); dan
janganlah seseorang tetap berdusta dan memilih kedustaan hingga tertulis di sisi
vi
HALAMAN PERSEMBAHAN
...Alhamdulillahirabbil’alamin
Tulisan skripsi ini saya persembahkan untuk
Kedua orang tua saya, Bapak Hasto Nuryatno dan Ibu Mulyani,
Yang senantiasa memotivasi dan memberikan ridlo nya serta kasih sayang yang
tak terkira dan naungan doa yang mengalir kepada anaknya,
Untuk adikku tercinta, Sukma Ayu Firanty Khasanah yang selalu manja,
“nyebelin”, dan “ngangenin”, yang selalu setia berusaha menggapai mimpi
bersama untuk bahagiakan kedua orang tua,
Teruntuk sahabat ku yang istimewa, Susi Septiana yang selalu memotivasi dan
memberikan dukungan hingga terselesaikannya skripsi ini,
Keluarga ku di MATEMATIKA B 2013 yang selalu memberikan semangatnya dan
pembelajarannya dari semester 1 sampai semester 8,
Keluarga KESRAVO HIMATIKA 2014 yang baik hati, selalu memberikan
dukungan kepada saya dalam hal apapun,
Serta kepada teladan saya di kampus biru, Ibu Dwi Lestari, Ibu Husna ‘Arifah,
Bapak Agus Maman Abadi, dan seluruh civitas akademika FMIPA UNY yang
vii
ANALISA KESTABILAN MODEL SIRS0I0V0 PADA PENYEBARAN VIRUS FLU BURUNG (AVIAN INFLUENZA) DARI UNGGAS KE
MANUSIA DENGAN PENGARUH VAKSINASI PADA UNGGAS
Oleh
Moza Gandhi Prakoso NIM. 13305141023
ABSTRAK
Flu burung (Avian Influenza) merupakan penyakit yang disebabkan oleh virus influenza tipe A. Proses penularan virus flu burung dapat terjadi melalui kontak langsung maupun kontak tidak langsung antara unggas dengan manusia. Penelitian ini bertujuan (1) untuk membentuk model SIRS0I0V0(Susceptible pada manusia – Infected pada manusia – Recovered pada manusia – Susceptible pada unggas – Infected pada unggas – Vaccination pada unggas), (2) menganalisa kestabilan titik ekuilibrium, dan (3) menjelaskan simulasi model penyebaran virus flu burung (Avian Influenza) dari unggas ke manusia dengan pengaruh vaksinasi pada unggas.
Tahapan untuk menganalisis model SIRS0I0V0 pada penyebaran virus flu burung (Avian Influenza) adalah membentuk model SIRS0I0V0, mentransformasikan model, menentukan titik ekuilibrium, menentukan bilangan reproduksi dasar, menganalisis kestabilan tititk ekuilibrium dan melakukan simulasi dengan menggunakan software Maple 17.
Hasil yang diperoleh yaitu dapat dibentuk model SIRS0I0V0 dengan 6 kelas populasi yaitu kelas Susceptible pada manusia, kelas Infected pada manusia, kelas Recovered pada manusia, kelas Susceptiblen pada unggas, kelas Infected pada unggas, dan kelas Vaccination pada unggas. Model yang diperoleh berupa sistem persamaan differensial non linear. Model penyebaran virus flu burung disederhanakan menjadi siri0v0dengan pemberian vaksin hanya untuk unggas. Kestabilan titik ekuilibrium bebas penyakit akan stabil asimtotik lokal saat bilangan reproduksi kurang dari satu dan tidak stabil saat bilangan reproduksi lebih dari satu. Selain itu untuk kestabilan titik ekuilibrium endemik stabil asimtotik lokal saat bilangan reproduksi lebih dari satu. Laju kontak antara unggas sehat dan unggas sakit sangat berpengaruh dalam menentukan kestabilan titik ekuilibrium bebas penyakit maupun endemik, semakin tinggi laju kontak maka penyakit akan menyebar. Berdasarkan simulasi model, semakin tinggi tingkat pemberian vaksinasi maka kelas Infected pada manusia dan kelas Infected pada unggas akan menurun menuju nol. Jadi program vaksinasi dapat digunakan untuk mengendalikan penyebaran virus flu burung.
viii
STABILITY ANALYSIS OF SIRS0I0V0 MODEL ON DISTRIBUTION OF BIRD FLU VIRUS FROM POLICY TO HUMAN WITH EFFECT OF
VACCINATION IN PASS By
Moza Gandhi Prakoso NIM. 13305141023
ABSTRACT
Avian influenza is a disease caused by influenza type A virus. The process of avian influenza virus transmission occur through direct or indirect contact between birds with humans. The purpose of this study are (1) to establish a model of SIRS0I0V0(Susceptible in humans - Infected in humans - Recovered in humans - Susceptible in poultry - Infected in poultry - Vaccination in poultry), (2) analyzes stability of equilibrium point, (3) and explains the simulation model of avian influenza from birds to humans with the effect of vaccination on poultry.
The stages for analyzing the SIRS0I0V0 model on avian influenza virus are forming the SIRS0I0V0 model, transforming the model, determining equilibrium point, determining the basic reproduction number, analyzing stability of equilibrium tititk and performing simulation using Maple 17 software.
The results of this study obtained are SIRS0I0V0 model with 6 classes of population which are, class Susceptible in humans, Infected class in humans, Recovered class in humans, Susceptible class in poultry, Infected class in poultry,
and Vaccination class on poultry. The model obtained is a system of non linear
differential equations. The model of the transmission of the Avian influenza virus is simplified into siri0v0 by administering the vaccine only to poultry. The stability of the disease-free equilibrium point will stable asymptotically local when the reproduction number is less than one and unstable when the reproduction number is more than one. In addition to the stability of the local asymptotic stable endemic equilibrium point when the reproduction number is more than one. The contact rate between healthy birds and sick poultry is very influential in determining the stability of the disease-free or endemic equilibrium point, the higher the contact rate the disease will spread. Based on the model simulation, the higher the level of vaccination then the Infected class on humans and Infected class in poultry will decrease to zero. So the vaccination program can be used to control the transmission of Avian influenza virus.
xi
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ... i
PERSETUJUAN ... ii
SURAT PERNYATAAN ... iii
PENGESAHAN ... iv
MOTTO ... v
HALAMAN PERSEMBAHAN ... vi
ABSTRAK ... vii
KATA PENGANTAR ... ix
DAFTAR ISI ... xi
DAFTAR TABEL ... xiii
DAFTAR GAMBAR ... xiv
DAFTAR LAMPIRAN ... xv
DAFTAR SIMBOL ... xvi
BAB I PENDAHULUAN ... 1
A. Latar Belakang ... 1
B. Identifikasi Masalah ... 5
C. Rumusan Masalah ... 5
D. Tujuan Penulisan ... 6
E. Manfaat Penulisan ... 6
BAB II LANDASAN TEORI ... 8
A. Pemodelan Matematika ... 8
B. Persamaan Diferensial ... 11
1. Persamaan Diferensial Biasa (PDB) ... 12
2. Persamaan Diferensial Parsial (PDP) ... 12
C. Solusi Persamaan Diferensial ... 13
D. Sistem persamaan Diferensial ... 14
xii
2. Sistem Persamaan Diferensial Non-Linear ... 17
E. Nilai Eigen dan Vektor Eigen ... 19
F. Titik ekuilibrium ... 21
G. Linearisasi ... 22
H. Analisis Kestabilan ... 30
I. Bilangan Reproduksi Dasar (Basic Reproduction Number) ... 37
J. Kriteria Routh Hurwitz ... 41
BAB III PEMBAHASAN ... 44
A. Permasalahan Nyata Flu Burung (Avian Influenza) ... 44
B. Asumsi-asumsi Model Matematika SIRS0I0V0 pada Penyebaran Flu Burung (Avian Influenza) dari Unggas ke Manusia dengan Pengaruh Vaksinasi pada Unggas ... 45
C. Formulasi Model Matematika SIRS0I0V0 pada Penyebaran Flu Burung (Avian Influenza) dari Unggas ke Manusia dengan Pengaruh Vaksinasi pada Unggas ... 47
D. Transformasi Model ... 56
E. Titik Ekuilibrium Matematika SIRS0I0V0 pada Penyebaran Flu Burung (Avian Influenza) dari Unggas ke Manusia dengan Pengaruh Vaksinasi pada Unggas ... 62
F. Bilangan Reproduksi Dasar ... 72
G. Analisis Kestabilan Titik Ekuilibrium ... 74
1. Kestabilan Titik Ekuilibrium Bebas Penyakit ... 74
2. Kestabilan Titik Ekuilibrium Endemik ... 78
H. Simulasi Model ... 93
BAB IV PENUTUP ... 103
A. KESIMPULAN ... 103
B. SARAN ... 105
xiii
DAFTAR TABEL
xiv
DAFTAR GAMBAR
Gambar 2. 1 Proses Pemodelan Matematika... 9
Gambar 2. 2 Ilustrasi Kestabilan ... 31
Gambar 3.3 Diagram Transfer Penyebaran Penyakit Flu Burung (Avian Influenza) dengan Pengaruh Vaksinasi pada Unggas ... 49
Gambar 3.2 Simulasi model dengan �= 0 dan β0 = 0.035 ... 96
Gambar 3.3 Simulasi model dengan �=0 dan β0 =0.050T ... 97
Gambar 3.4 Simulasi model dengan �=0.1 dan β0 = 0.050T ... 98
Gambar 3.5 Simulasi model dengan �=0.1 dan β0 = 0.160T ... 100
xv
DAFTAR LAMPIRAN
Lampiran 1. Program Maple untuk ρ=0 saat �0 < 1 dengan β0 = 0.035...109
Lampiran 2. Program Maple untuk ρ= 0 saat �0 > 1 dengan β0 = 0.05...111
Lampiran 3. Program Maple untuk ρ= 0.1 saat �0 < 1 dengan β0 = 0.05...113
Lampiran 4. Program Maple untuk ρ= 0.1 saat �0 > 1 dengan β0 = 0.16...115
xvi
DAFTAR SIMBOL
Simbol Makna
�(�) Banyaknya populasi manusia pada waktu t
�(�) Banyaknya populasi manusia yang retan terinfeksi penyakit pada waktu t
�(�) Banyaknya populasi manusia yang terinfeksi penyakit pada waktu t
�(�) Banyaknya populasi manusia yang sembuh dari penyakit pada waktu t
�0(�) Banyaknya populasi unggas pada waktu t
�0(�) Banyaknya populasi unggas yang retan terinfeksi penyakit pada
waktu t
�0(�) Banyaknya populasi unggas yang terinfeksi penyakit pada waktu
t
�0(�) Banyaknya populasi unggas yang tervaksinasi pada waktu t � Laju konstan kelahiran dan imigrasi
� Laju kontak antara unggas sakit dengan manusia sehat
�0 Laju kontak antara unggas sehat dengan unggas sakit
�0 Laju kematian dan kelahiran alami dalam populasi unggas tanpa
pengaruh flu burung
� Laju kematian individu dalam populasi manusia tanpa pengaruh flu burung
xvii
� Laju kesembuhan populasi manusia yang terinfeksi
� Laju konstan hilangnya kekebalan pada manusia
� Rasio populasi unggas yang memperoleh vaksinasi
�0 Nilai awal atau kondisi awal �̇ Turunan � terhadap �
� Himpunan terbuka
�′� Himpunan semua fungsi yang mempunyai turunan pertama yang
kontinu di �
ℝ� Himpunan bilangan real dimensi � �̅ Titik ekuilibrium
��(�0) Turunan � di �0 ��(�̅) Matriks Jacobian di �̅
� Nilai eigen
� Matriks berukuran berukuran ���
� Matriks Identitas
ℜ�(��) Bilangan real pada nilai eigen ke �
�0 Bilangan reproduksi dasar �0 Titik ekuilibrium bebas penyakit �1 Titik ekuilibrium endemik
�� Matriks laju perkembangan penyakit, kematian dan kesembuhan
yang mengurangi kelas terinfeksi
1 BAB I
PENDAHULUAN A. Latar Belakang
Masalah lingkungan adalah masalah dasar dalam kehidupan manusia dan menjadi tanggung jawab bersama. Banyak permasalahan lingkungan yang bermunculan terkait lingkungan yang tidak bersih dan sehat seperti mewabahnya penyakit menular. Salah satu contohnya adalah virus flu burung (Avian Influenza), virus yang disebabkan oleh virus influenza tipe A ini termasuk dalam famili
Orthomyxoviridae dan mempunyai diameter 90-120 nanometer. Dalam hal ini virus
influenza yang lain yaitu B dan C dapat diisolasi dari manusia dan sifatnya kurang patogen dibandingkan dengan virus A (Asmara, 2007). Penularan virus Avian Influenza secara umum dapat terjadi melalui inhalasi, kontak langsung, ataupun
kontak tidak langsung (Radji: 2006). Sebagian besar kasus HPAIV (High Pathogenic Avian Influenza Virus) pada manusia disebabkan penularan virus dari unggas ke
manusia (Radji: 2006).
Dari tahun 2003 sampai tahun 2006, tercatat bahwa jumlah kasus Avian
Influenza di dunia mencapai 172 kasus dengan 93 kasus atau 55% di antaranya
2 Thailand dengan 22 kasus (12,72%) dan 63,6% kematian (Budiman: 6). Perlu adanya upaya penanganan virus flu burung secara berkelanjutan karena akan mempengaruhi segi kesehatan, sosial, serta tantangan di bidang ekonomi dan secara tidak langsung akan menimbulkan kekhawatiran di seluruh dunia. Salah satu upaya guna menangani virus Avian Influenza adalah vaksinasi terhadap unggas. Vaksinasi dalam industri unggas menjadi salah satu pilihan yang efektif guna menangani wabah virus tersebut. Vaksinasi dilakukan dengan menggunakan vaksin in aktif yang mengandung suspensi virus dengan homologi yang tinggi dengan virus penyebab wabah. Vaksin influenza in aktif hanya dapat melindungi sekitar 60-80% terhadap galur yang homolog (keturunan yang sejenis). Dalam hal ini vaksinasi dengan strain virus homolog telah terbukti menurunkan angka kematian pada unggas (Asmara: 2007).
Perkembangan ilmu pengetahuan dibidang matematika memiliki peranan penting dalam mengatasi masalah di kehidupan nyata. Menurut Widowati dan Sutimin, (2007) mengungkapkan bahwa representasi matematika yang dihasilkan dari proses pengubahan masalah dunia nyata ke permasalahan matematika disebut dengan model matematika. Oleh karena itu, maka diperoleh pemahaman dari permasalahan dunia nyata menjadi lebih tepat (Widowati dan Sutimin, 2007:1). Model matematika yang digunakan untuk melihat tingkat penyebaran suatu penyakit menular disebut dengan model epidemi.
3 kelompok yaitu populasi yang rentan terhadap penyakit Susceptible (S), populasi yang terinfeksi yaitu Infected (I) dan populasi yang telah sembuh dari penyakit Recovered (R) yang masing-masing diberikan dalam waktu t (Iswanto, 2012: 152).
Penelitian mengenai model penyakit menular telah banyak dilakukan. Adapun penelitian yang berkaitan dengan penyakit menular adalah pemodelan penyebaran virus flu burung yaitu penelitian yang dilakukan oleh Mohamed Derouich dan Abdesslam Boutayeb pada tahun 2008 terkait pembentukan model matematika
SIRS0I0 untuk penyebaran virus flu burung, model kemudian disederhanakan menjadi
model siri0. Pada tahun 2013 penelitian tersebut kemudian diterjemahkan kembali oleh Siswanto dengan menyimpulkan bahwa jika semakin kecil penyebaran flu burung dari unggas sakit ke unggas rentan maka bilangan reproduksi dasar (R0) kurang dari 1 atau tidak terjadi epidemi. Begitu pula sebaliknya jika R0 > 1 maka penyebaran flu burung semakin besar dari unggas sakit ke unggas rentan sehingga menimbulkan terjadinya epidemi.
FS Setiani Sya’baningtyas (2013) melakukan sebuah penelitian yang
memodelkan penyebaran virus flu burung (Avian Influenza) dengan model SIV (Susceptible – Infected – Vactination). Analisis dari model SIV menunjukkan bahwa jika semakin tinggi tingkat vaksinasi pada populasi unggas maka bilangan reproduksi dasar (R0) akan semakin menurun dan semakin besar tingkat vaksinasi pada populasi unggas maka semakin cepat penyakit menghilang dari populasi.
5 B. Identifikasi Masalah
Berdasarkan latar belakang yang telah diungkapkan sebelumnya, maka dapat diidentifikasi masalah dalam skripsi ini adalah:
1. Virus flu burung (Avian Influenza) disebabkan oleh virus influenza tipe A.
2. Penularan virus dapat terjadi melalui inhalasi, kontak langsung maupun kontak tidak langsung.
3. Wabah virus flu burung (Avian Influenza) menjangkit beberapa daerah dengan cepat.
4. Perlu adanya tindakan vaksinasi baik pada populasi unggas maupun manusia.
C. Batasan Masalah
Skripsi ini hanya membahas tentang penyebaran virus flu burung (Avian Influenza) dari unggas ke manusia, dengan pertimbangan bahwa yang diberi vaksin
hanya unggas.
D. Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang yang telah diungkapkan sebelumnya, maka rumusan masalah yang akan dibahas dalam skripsi ini adalah:
6 2. Bagaimana analisis kestabilan titik ekuilibrium model penyebaran virus flu burung (Avian Influenza) dari unggas ke manusia dengan pengaruh pemberian vaksinasi terhadap unggas?
3. Bagaimana simulasi model penyebaran virus flu burung (Avian Influenza) dari unggas ke manusia dengan pengaruh pemberian vaksinasi terhadap unggas?
E. Tujuan Penulisan
Tujuan penulisan skripsi ini adalah:
1. Menjelaskan model matematika SIRS0I0V0 pada penyebaran virus flu burung (Avian Influenza) dari unggas ke manusia dengan pengaruh pemberian vaksinasi terhadap unggas.
2. Menjelaskan analisis kestabilan titik ekuilibrium model penyebaran virus flu burung (Avian Influenza) dari unggas ke manusia dengan pengaruh pemberian vaksinasi terhadap unggas.
3. Menjelaskan simulasi model penyebaran virus flu burung (Avian Influenza) dari unggas ke manusia dengan pengaruh pemberian vaksinasi terhadap unggas.
F. Manfaat Penulisan
7 a. Dapat memformulasikan model matematika SIRS0I0V0 pada penyebaran virus flu burung (Avian Influenza) dari unggas ke manusia dengan pengaruh pemberian vaksinasi terhadap unggas.
b. Dapat menganalisis kestabilan di sekitar titik ekuilibrium.
c. Menginterpretasikan perilaku model pada kasus penyebaran virus flu burung. d. Memperdalam pengetahuan tentang model matematika penyebaran virus
dengan pengaruh vaksinasi khususnya untuk virus flu burung (Avian Influenza). 2. Bagi Instansi
a. Menambah bahan pustaka bagi Universitas Negeri Yogyakarta pada umumnya dan FMIPA pada khususnya.
b. Menambah bahan acuan bagi mahasiswa yang ingin melakukan penelitian tentang model penyebaran virus khususnya virus flu burung.
c. Diharapkan dapat memberikan tambahan informasi bagi instansi kesehatan mengenai hasil penelitian ini sehingga dapat menjadi bahan pertimbangan dalam pengambilan kebijakan untuk mengatasi ataupun menanggulangi penyebaran virus flu burung.
3. Bagi Pembaca
a. Memberi pengetahuan mengenai model matematika SIRS0I0V0 pada penyebaran virus flu burung dari unggas ke manusia dengan pengaruh vaksinasi.
b. Sebagai referensi pengembangan model matematika untuk kasus lain.
8
BAB II
LANDASAN TEORI
Pada bab ini akan di bahas tentang landasan teori yang digunakan pada bab selanjutnya sebagai bahan acuan yang mendukung tujuan penulisan. Materi-materi yang diuraikan berupa definisi-definisi dan teorema. Adapun Materi-materi – materi yang dibahas yaitu pemodelan matematika, persamaan diferensial, solusi persamaan diferensial, nilai eigen dan vektor eigen, titik ekuilibrium, linearisasi, analisis kestabilan, bilangan reproduksi dasar (Basic Reproduction Number), Kriteria Routh Hurwitz.
A. Pemodelan Matematika
Peran matematika pada permasalahan kehidupan sehari-hari maupun pada bidang studi yang berbeda dapat disajikan dalam pemodelan matematika. Menurut Widowati dan Sutimin, (2007:1) menyatakan bahwa pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk mempresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau problem pada dunia nyata dalam pernyataan matematik, sehingga diperoleh pemahaman dari problem dunia nyata ini menjadi lebih tepat.
9
problem jaringan komputer. Menurut Widowati dan Sutimin, (2007:3) proses pemodelan matematika dapat dinyatakan dalam alur diagram yang disajikan pada Gambar 2.1 berikut ini:
Gambar 2. 1 Proses Pemodelan Matematika
Berdasarkan Gambar 2.1 diperoleh langkah-langkah pemodelan matematika sebagai berikut:
1. Menyatakan masalah dunia nyata kedalam pengertian matematika
10
dan dibentuk beberapa hubungan antara variabel-variabel yang dihasilkan dari masalah tersebut.
2. Membuat asumsi-asumsi model
Langkah selanjutnya adalah membuat asumsi-asumsi yang sesuai dengan masalah dunia nyata. Pada dasarnya, asumsi tersebut mencerminkan bagaimana proses berfikir sehingga model dapat berjalan. Asumsi-asumsi ini dibuat agar model yang dihasilkan dapat menggambarkan dengan tepat masalah dalam dunia nyata.
3. Memformulasikan persamaan atau pertidaksamaan
Berdasarkan variabel-variabel yang ditentukan, hubungan antar variabel dan asumsi-asumsi yang telah dibuat dapat dibentuk persamaan ataupun pertidaksamaan yang menggambarkan permasalahan dalam dunia nyata. Langkah ini merupakan langkah yang paling penting dan sulit. Terkadang langkah tersebut diperlukan kembali guna menguji kembali asumsi-asumsi agar memformulasikan persamaan yang sesuai, sehingga dapat diselesaikan dan realistik.
4. Menyelesaikan persamaan atau pertidaksamaan
11
solusi atau bahkan mempunyai lebih dari satu solusi. Oleh karena itu, pada langkah ini dapat dilakukan analisis sifat atau perilaku dari solusi model matematika tersebut.
5. Interpretasi hasil atau solusi
Interpretasi hasil atau solusi adalah salah satu langkah terakhir yang menghubungkan formulasi matematika kembali ke masalah dunia nyata. Interpretasi dapat dikerjakan dengan berbagai cara, salah satunya dengan bentuk grafik yang digambarkan berdasarkan solusi yang diperoleh kemudian diinterpretasikan sebagai solusi dunia nyata. Selanjutnya solusi yang didapatkan dengan membandingkan data yang diketahui dan dihubungkan untuk merevikasi bahwa solusi merupakan representasi masalah dunia nyata. Apabila solusi yang didapatkan belum sesuai dengan masalah dunia nyata maka dapat ditinjau ulang asumsi-asumsi yang telah dibuat sebelumnya.
B. Persaman Diferensial Definisi 2.1 (Ross, 2010: 3)
Persamaan diferensial adalah suatu bentuk persamaan yang memuat turunan
dari satu atau lebih variabel tak bebas terhadap satu atau lebih variabel bebas.
Contoh 2.1
Berikut beberapa contoh persamaan diferensial:
+ ( ) = .
12
�
+ �= � .
� � +
� � +
�
� = .
Persamaan diferensial (PD) dibagi menjadi 2 yaitu Persamaan Diferensial Biasa (PDB) dan Persamaan Diferensial Parsial (PDP).
1. Persamaan Diferensial Biasa (PDB) Definisi 2.2 (Ross, 2010: 4)
Persamaan Diferensial Biasa (PDB) adalah persamaan diferensial yang
memuat turunan dari satu atau lebih variabel tak bebas terhadap satu atau
variabel bebas.
Contoh 2.2
Persamaan (2.1) dan Persamaan (2.2) merupakan persamaan diferensial biasa. Variabel pada Persamaan (2.1) merupakan variabel bebas tunggal dan merupakan variabel tak bebas. Pada Persamaan (2.2) variabel bebasnya adalah dimana merupakan variabel tak bebas.
2. Persamaan Diferensial Parsial (PDP) Definisi 2.3 (Ross, 2010:4)
Persamaan Diferensial Parsial (PDP) adalah persamaan diferensial yang
memuat turunan dari satu atau lebih variabel tak bebas terhadap lebih dari
satu atau lebih variabel bebas.
Contoh 2.3
13
v merupakan variabel tak bebas. Pada Persamaan (2.4) terdapat tiga (3)
variabel x, y, dan z yang merupakan variabel bebas sedangkan u merupakan variabel tak bebas.
C. Solusi Persamaan Diferensial Definisi 2.4 (Ross, 2010:8)
Diberikan suatu persamaan diferensial orde-n berikut:
[ , , , … , ] = .
dengan F adalah fungsi real.
1. Misalkan f adalah fungsi bilangan real yang terdefinisi untuk semua x
dalam interval I dan mempunyai turunan ke-n untuk semua . Fungsi f
disebut solusi eksplisit dari Persamaan (2.5) dalam interval I jika fungsi f
memenuhi syarat berikut:
a. [ , , ′ , … . , ], terdefinisi ∀
b. [ , , ′ , … . , ] = ∀
Hal ini berarti bahwa substitusi f(x) dan variasi turunan y dan turunannya
yang berkorespondensi ke Persamaan (2.5) akan membuat Persamaan
(2.5) menjadi suatu identitas di interval I.
2. Suatu relasi g (x,y) = 0 disebut solusi implisit dari Persamaan (2.5) jika
relasi ini mendefinisikan sedikitnya satu fungsi bilangan real f dengan
variabel x di interval I.
14
Contoh 2.4
Akan ditentukan solusi dari persamaan diferensial berikut, =
dengan =
Penyelesaian:
=
=
∫ = ∫
ln| | + = +
ln| | = +
=
karena = maka
=
=
=
Jadi solusi persamaan diferensial = adalah = . D. Sistem Persamaan Diferensial
Sistem persamaan diferensial adalah kumpulan dari beberapa persamaan diferensial. Diberikan vektor , ⊆ dengan =
15
adalah himpunan semua fungsi yang mempunyai turunan pertama yang kontinu di E. Jika ̇ = menyatakan turunan pertama x terhadap t, maka sistem persamaan diferensial dapat dituliskan menjadi,
̇ = , , , … . ,
̇ = , , , … . ,
̇ = , , , … . , .
̇ = , , , … . ,
Sistem (2.6) dapat dituliskan menjadi,
̇ = .
Berdasarkan kelinearannya sistem persamaan diferensial dibedakan menjadi dua yaitu sistem persamaan diferensial linear dan sistem persamaan diferensial non-linear.
1. Sistem Persamaan Diferensial Linear
Secara umum sistem persamaan diferensial linear orde satu dengan variabel tak bebas , , , … . , serta variabel bebas t dapat dinyatakan sebagai berikut,
= + + + … + +
= + + + … + +
= + + + … + + .
16
= + + + … + +
diasumsikan bahwa untuk semua fungsi didefinisikan oleh , = , , , … , , = , , , … , dan = , , , … . , , kontinu di interval
. Jika = , dengan = , , , … , untuk setiap t maka Sistem (2.8) disebut sistem persamaan diferensial linear homogen. Sedangkan jika ≠ maka Sistem (2.8) disebut sistem persamaan diferensial linear nonhomogen (Ross, 2010: 505-506).
Selanjutnya Sistem (2.8) dapat dinyatakan menjadi,
̇ = � + (2.9) dengan merupakan variabel tak bebas dan A adalah matriks ukuran
n x n. Matriks A dengan , = , , , … , , = , , , … , dan
adalah matriks n x 1 dalam fungsi t. Sehingga dapat dinyatakan,
̇ = [
… … ⋱ …
] [ ] + [ ]
Jika pada Sistem (2.9) didefinisikan = dan ̇ = dimana vektor
, = , , , … . , � dan , , , … . , maka
diperoleh sistem persamaan diferensial linear homogen,
̇ = � .
17
Contoh 2.5
Diberikan sistem persamaan diferensial linear sebagai berikut,
= − +
= − + − .
= − + −
Sistem Persamaan diferensial (2.11) merupakan persamaan diferensial linear homogen.
2. Sistem Persamaan Diferensial Non-Linear Definisi 2.5 (Ross, 2010:5)
Persamaan diferensial non linear adalah persamaan diferensial biasa
yang tidak linear.
Suatu persamaan diferensial dikatakan nonlinear jika memenuhi salah satu syarat sebagai berikut (Ross, 2010:5).
1. Memuat variabel tak bebas dan/atau turunannya yang berpangkat selain satu
2. Terdapat perkalian dari variabel tak bebas dan/atau turunan-turunannya.
18
Contoh 2.6
Beberapa contoh persamaan diferensial non linear sebagai berikut, + ( ) + = .
+ + = .
+ + = .
Persamaan (2.12) merupakan persamaan diferensial non linear, karena terdapat variabel tak bebas yang berpangkat dua dan turunannya
variabel bebas berpangkat dua . Kemudian Persamaan (2.13) merupakan persamaan diferensial non linear, karena terdapat perkalian variabel tak bebas dan turunannya . Selanjutnya untuk Persamaan (2.14) merupakan persamaan diferensial non linear, karena terdapat perkalian variabel tak bebas dan turunannya . Suatu sistem persamaan diferensial dikatakan non linear jika persamaan diferensial yang membentuknya merupakan persamaan diferensial non linear.
Contoh 2.7
Diberikan sistem persamaan diferensial non linear sebagai berikut, = − .
19
Sistem (2.15a) dan (2.15b) merupakan sistem persamaan diferensial non linear dengan variabel tak bebas dan sedangkan variabel bebasnya . Sistem (2.15a) dan (2.15b) dikatakan sistem persamaan diferensial non linear karena pada Persamaan (2.15a) dan (2.15b) memuat perkalian antara variabel tak bebas .
E. Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Nilai Eigen adalah suatu nilai yang digunakan untuk mengetahui kestabilan dari suatu sistem. Nilai Eigen didefinisikan sebagai berikut:
Definisi 2.6 (Anton, 2010: 277)
Jika A adalah matriks n x n, maka vektor taknol x didalam disebut vektor
eigen dari A, jika Ax adalah kelipatan skalar dari x , yaitu:
� = .
Untuk suatu skalar . Skalar disebut nilai eigen (eigenvalue) dari A dan x
dinamakan vektor eigen yang bersesuaian dengan .
Untuk mencari nilai eigen matriks A yang berukuran n x n, maka dituliskan kembali Persamaan (2.16) sebagai berikut:
� = .
atau secara ekuivalen
− � = .
dengan I adalah matriks identitas.
20
| − �| = .
Persamaan (2.19) merupakan persamaan karakteristik dari matriks A dan skalar yang memenuhi Persamaan (2.19) adalah nilai eigen dari A.
| − �| = + − + − + … . +
Sehingga persamaan karakteristik dari A menjadi
+ − + − + … . + =
dengan ∈ , = , , , … . , . Contoh 2.8
Diberikan matriks � = [− ]. Akan ditentukan nilai eigen dan vektor eigen dari A.
Penyelesaian:
Akan dicari nilai eigen dari A
| − �| =
|[ ] − [− ]| =
| − −− | =
− + =
− − = .
Jadi, diperoleh nilai eigen dari matriks A adalah = dan = . Kemudian akan dicari vektor eigen dari A yang bersesuaian dengan nilai eigen dari A.
Untuk =
21
[ −− ] [ ] =
{ −− ==
− =
=
Sehingga, misal = maka = , dimana ∈ maka vektor eigen dari A yang bersesuaian dengan = adalah [ ] =[ ] = [ ].
Untuk =
− � =
[ −− ] [ ] =
{ −− ==
− =
=
Misal = maka = , dimana ∈ maka vektor eigen dari A yang bersesuaian dengan = adalah [ ] =[ ] = [ ].
Jadi diperoleh vektor eigen dari matriks A yang bersesuaian dengan nilai eigen dari matriks A yaitu [ ] [ ].
F. Titik Ekuilibrium
Berikut ini disajikan definisi dari titik ekuilibrium, Definisi 2.7 (Perko, 2000: 102)
22
Contoh 2.9
Akan dicari titik ekulibrium dari sistem berikut ini:
̇ = − .
̇ = − .
Penyelesaian:
Misalkan ̅ = ̅ , ̅ � adalah titik ekulibrium dari Sistem (2.20a) dan (2.20b), maka:
= ̅ − ̅ ̅ = ̅ − ̅
Dari Persamaan (2.20a) diperoleh
= ̅ − ̅ ̅
= ̅ − ̅
̅ = atau ̅ = .
Subtitusikan ̅ = ke Persamaan (2.20b) sehingga diperoleh ̅ = . Jika ̅ = disubtitusikan ke Persamaan (2.20b) sehingga diperoleh:
= ̅ − ̅
= − ̅
̅ = ± .
Jadi Sistem (2.21a) dan (2.21b) memiliki titik ekulibrium yaitu , �, , � dan − , �.
G. Linearisasi
23
dengan linearisasi di sekitar titik ekulibrium. Dalam hal ini proses linearisasi perlu dilakukan pada model matematika penyebaran flu burung karena persamaan yang diperoleh dari model tersebut adalah persamaan nonlinear. Analisis dari sistem persamaan diferensial non linear ini akan lebih mudah dilakukan jika sistem persamaan diferensial non linear diubah ke dalam bentuk sistem persamaan diferensial linear. Namun sebelum membahas proses linearisasi tersebut akan dibahas terlebih dahulu mengenai Matriks Jacobian yang akan dijelaskan pada Teorema 2.1 berikut:
Teorema 2.1 (Perko, 2000:67)
Jika : ⟶ terdeferensial di maka turunan parsial �
� , , =
, , , … . , di ada untuk semua ∈ dan
24
= .
Matriks disebut Matriks Jacobian dari fungsi : ⟶ yang terdeferensial di ∈ , dapat dinotasikan . Selanjutnya akan ditunjukan proses linearisasi dari sistem persamaan diferensial non linear ke dalam sistem persamaan diferensial linear.
Diberikan sistem persamaan diferensial non linear sebagai berikut, ̇ = .
dengan ∈ ⊆ , : ⟶ , f merupakan fungsi non linear dan kontinu. Misalkan ̅ = ̅ , ̅ , ̅ , … . , ̅ � adalah titik ekulibrium Sistem (2.21), maka pendekatan linear disekitar titik ekulibrium diperoleh dengan menggunakan deret Taylor dari fungsi f disekitar titik ekulibrium ̅ =
̅ , ̅ , ̅ , … . , ̅ � yaitu:
, , , … , � =
̅ , ̅ , ̅ , … . , ̅ �+�
� ̅ , ̅ , ̅ , … . , ̅ � − ̅ +
�
� ̅ , ̅ , ̅ , … . , ̅ � − ̅ + … + �
� � ̅ , ̅ , ̅ , … . , ̅
� −
̅ +
, , , … , �=
̅ , ̅ , ̅ , … . , ̅ �+ �
� ̅ , ̅ , ̅ , … . , ̅ � − ̅ +
�
� ̅ , ̅ , ̅ , … . , ̅ � − ̅ + … + �
� � ̅ , ̅ , ̅ , … . , ̅
� −
25 , , , … , � = ̅ , ̅ , ̅ , … . , ̅ �+� � � ̅ , ̅ , ̅ , … . , ̅ � − ̅ + � � � ̅ , ̅ , ̅ , … . , ̅ � − ̅ + … + �� � � ̅ , ̅ , ̅ , … . , ̅ � − ̅ + .
Karena nilai , , , … , mendekati 0, maka , , , … , dapat diabaikan. Oleh karena itu, pendekatan linear Sistem (2.21) adalah
26
Sistem (2.22) dapat ditulis ke dalam bentuk matriks sebagai berikut:
[ ̇ ̇ ̇ ] = [ � � ̅ , ̅ , ̅ , … . , ̅ � � � ̅ , ̅ , ̅ , … . , ̅ � … � � � ̅ , ̅ , ̅ , … . , ̅ � � � ̅ , ̅ , ̅ , … . , ̅ � � � ̅ , ̅ , ̅ , … . , ̅ � … � � � ̅ , ̅ , ̅ , … . , ̅ � �� � ̅ , ̅ , ̅ , … . , ̅ � �� � ̅ , ̅ , ̅ , … . , ̅ � ⋱ … ���� ̅ , ̅ , ̅ , … . , ̅ �] [ − ̅ − ̅ − ̅ ]
Misalkan = − ̅ , = − ̅ , … . , = − ̅ , sehingga
diperoleh: [ ̇ ̇ ̇ ] = [ � � ̅ , ̅ , ̅ , … . , ̅ � � � ̅ , ̅ , ̅ , … . , ̅ � … � � � ̅ , ̅ , ̅ , … . , ̅ � � � ̅ , ̅ , ̅ , … . , ̅ � � � ̅ , ̅ , ̅ , … . , ̅ � … � � � ̅ , ̅ , ̅ , … . , ̅ � �� � ̅ , ̅ , ̅ , … . , ̅ � �� � ̅ , ̅ , ̅ , … . , ̅ � ⋱ … ���� ̅ , ̅ , ̅ , … . , ̅ �] [ ] .
27
Jika Matriks Jacobian memiliki nilai eigen yang tidak nol pada bagian realnya, maka sifat kestabilan sistem dapat dilihat dari
̇ = ( .
Persamaan (2.24) disebut hasil linearisasi dari Sistem (2.21). Selanjutya akan diberikan definisi mengenai linearisasi pada sistem persamaan diferensial non linear sebagai berikut:
Definisi 2.8 (Perko, 2000: 102)
Diberikan matriks Jacobian ( ̅ . Sistem linear ̇ = ( ̅ disebut
linearisasi dari sistem ̇ = di ̅.
Setelah dilakukannya linearisasi, maka dapat dilihat perilaku kestabilan dari sistem persamaan diferensial nonlinear disekitar titik ekuilibrium. Kestabilan Sistem (2.21) disekitar titik ekulibrium ̅ dapat dilihat dari kestabilan hasil linearisasinya jika ̅ hiperbolik. Diberikan definisi untuk titik ekulibrium hiperbolik yang dijelaskan pada Definisi (2.9) berikut ini:
Definisi 2.9 (Perko, 2000: 102)
Titik ekulibrium ̅ ∈ disebut titik ekulibrium hiperbolik dari Sistem
(2.21) jika tidak ada bagian real nilai eigen yang bernilai nol. Jika titik
ekuilibrium dari sistem mempunyai bagian real nol, maka disebut titik
28
Contoh 2.10
Diberikan sistem persamaan diferensial nonlinear
̇ = − + −
̇ = − .
Sistem (2.25) memiliki titik ekulibrium ̅ = − , − � dan ̅ = , �. Akan dicari Matriks Jacobian di ̅ = − , − � dan ̅ = , � serta akan dilakukan identifikasi untuk masing-masing titik ekulibrium.
Matriks Jacobian dari Sistem (2.25) adalah
( ̅ =
[
− + − − + −
− −
]
= [− − + ]
Untuk ̅ = − , − �, didapatkan Matriks Jacobian sebagai berikut:
− , − � = [ − +
− ]
= [− −− ]
Nilai eigen untuk − , − � ,
29
|− − − − | =−
− − − − − − =
+ + + =
+ + =
= − + √ atau = − − √ .
Bagian real dari nilai eigen tidak nol sehingga titik ekulibrium ̅ = − , − � merupakan titik ekuilibrium hiperbolik.
Untuk ̅ = , �, didapatkan Matriks Jacobian sebagai berikut:
, � = [ − +
− ]
= [− ]
Nilai eigen untuk , � ,
det , � − =
| −− − | =
− − − − =
− + + =
30
= atau = .
Bagian real dari nilai eigen tidak nol sehingga titik ekulibrium ̅ = , � merupakan titik ekuilibrium hiperbolik.
H. Analisis Kestabilan
Kestabilan di titik ekuilibrium secara umum dibagi menjadi tiga jenis yaitu stabil, stabil asimtotik dan tidak stabil. Kestabilan titik ekuilibrium dari suatu sistem persamaan diferensial baik linear maupun nonlinear akan dijelaskan pada Definisi 2.10 dan Teorema 2.2.
Definisi 2.10 (Olsder, 2004:57)
Diberikan persamaan diferensial orde pertama ̇ = ̅ dan , adalah
solusi persamaan ̇ = ̅ pada saat t dengan kondisi awal =
1. Vektor ̅ ∈ memenuhi ̅ = disebut sebagai titik ekuilibrium.
2. Titik ekuilibrium ̅ dikatakan stabil jika untuk setiap > terdapat
> sedemikian sehingga jika ‖ − ̅‖ < , maka ‖ , − ̅‖ <
untuk setiap .
3. Titik ekuilibrium ̅ dikatakan stabil asimtotik jika titik ekuilibrium ̅
∈ stabil dan terdapat > , sedemikian sehingga jika ‖ − ̅‖ <
berlaku ⟶∞‖ , − ̅‖ = .
4. Titik ekuilibrium ̅ dikatakan tidak stabil jika titik ekuilibrium ̅ ∈
tidak memenuhi (2).
31
Gambar 2. 2 Ilustrasi Kestabilan
Menganalisis kestabilan sistem persamaan diferensial disekitar titik ekuilibrium dengan menggunakan Definisi 2.10 tidak mudah untuk ditemukan. Oleh karena itu, diberikan teorema mengenai sifat kestabilan suatu sistem yang ditinjau dari niali eigen untuk mempermudah dalam menganalisis kestabilan sistem disekitar titik ekuilibrium. Teorema tersebut dijelaskan dalam Teorema 2.2 berikut ini:
Teorema 2.2 (Olsder, 2004: 58)
Diberikan persamaan diferensial ̇ = � , dengan A adalah matriks
berukuran n x n, mempunyai k nilai eigen yang berbeda yaitu , , , … ,
dengan .
1. Titik ekulibrium ̅ = adalah stabil asimtotik jika dan hanya jika
< untuk semua = , , , … . , .
2. Titik ekuilibrium ̅ = adalah stabil jika dan hanya jika ,
untuk semua = , , , … . , dan untuk setiap nilai eigen pada sumbu
imajiner dengan = yang multiplisitas aljabar dan multiplisitas
32
3. Titik ekulibrium ̅ = adalah tidak stabil jika dan hanya jika >
untuk beberapa = , , , … . , atau terdapat nilai eigen pada sumbu
imajiner dengan = yang multiplisitas aljabar lebih besar
daripada multiplisitas geometri untuk nilai eigen.
Bukti:
1. Akan dibuktikan bahwa titik ekulibrium ̅ = adalah stabil asimtotik jika dan hanya jika < untuk semua = , , , … . , .
Jika titik ekulibrium ̅ = adalah stabil asimtotik maka < untuk semua = , , , … . , .
Menurut Definisi 2.10, titik ekulibrium ̅ = dikatakan stabil asimtotik jika ⟶∞‖ , − ̅‖ = . Sehingga untuk → ∞, , ) menuju ̅ = . , ) merupakan solusi dari sistem persamaan ̇ = � , maka , ) selalu memuat � . Artinya agar � menuju ̅ = maka < untuk semua =
, , , … . , .
Jika < untuk semua = , , , … . , , maka titik ekuilibrium ̅ = stabil asimtotik.
33
2. Akan dibuktikan bahwa titik ekuilibrium ̅ = adalah stabil jika dan hanya jika , untuk semua = , , , … . , dan untuk setiap nilai eigen pada sumbu imajiner dengan = yang multiplisitas aljabar dan multiplisitas geometri untuk nilai eigen harus sama.
Jika titik ekuilibrium ̅ = stabil maka untuk semua = , , , … . , .
Andai > , maka solusi persamaan diferensial , ) yang selalu memuat � akan menuju ∞ (menjauh dari titik ekuilibrium ̅ = . Untuk → ∞, sehingga sistem tidak stabil. Hal ini terjadi kontraposisi dengan pernyataan jika titik ekuilibrium ̅ = stabil, maka untuk semua = , , , … . , . Jadi terbukti bahwa jika titik ekuilibrium ̅ = stabil, maka untuk semua
= , , , … . , .
Jika , untuk semua = , , , … . , dan untuk setiap nilai eigen pada sumbu imajiner dengan = yang multiplisitas aljabar dan multiplisitas geometri untuk nilai eigen harus sama.
34
kompleks murni. Menurut Luenberger (1979: 85), multiplisitas aljabar berhubungan dengan nilai eigen dan multiplisitas geometri berhubungan dengan vektor eigen. Oleh karena itu, akan dibuktikan bahwa banyak nilai eigen dan vektor eigen adalah sama. Ambil sebarang sistem di yang mempunyai nilai eigen bilangan kompleks murni. Diambil sistem sebagai berikut:
[ ̇̇] = [ − ][ ] dengan > , > . .
Akan dicari nilai eigen dari Sistem (2.26)
|[ − ] − [ ]| =
⇔|[ − ] − [ ]| =
⇔|− −− | =
⇔ + = . Akar-akar dari Persamaan (2.27) adalah
., = ±√−
., = ± √ = ±√
Sehingga .= √ dan . = −√ .
Vektor eigen yang bersesuaian dengan . = √ ,
[−√ −
−√ ] [ ] = [ ]
35
−√ −
−√ | →
−√
−√ − |
−√
−√ −
| ) + √
−√ |
Selanjutnya diperoleh
[ −√ ] [ ] = [ ]
−√ =
Misal = maka =√ sehingga,
� = [ ] = [√ ] .
Diambil = maka didapatkan vektor eigen yang bersesuaian
dengan .= √ adalah � = [√ ].
36
[√ −
√ ] [ ] = [ ]
Maka,
√ −
√ | →
√
√ − |
√
√ −
| ) − √
√ |
Selanjutnya diperoleh,
[ √ ] [ ] = [ ]
+√ =
Misal = maka = −√ sehingga
� = [ ] = [−√ ]
Diambil = maka didapatkan vektor eigen yang bersesuaian
dengan . = √ adalah � = [− √
37
Jadi terbukti banyaknya nilai eigen sama dengan banyaknya vektor eigen.
3. Akan dibuktikan bahwa titik ekuilibrium ̅ = adalah tidak stabil jika dan hanya jika > untuk beberapa = , , , … , atau terdapat nilai eigen . pada sumbu imajiner dengan = yang multiplisitas aljabar lebih besar daripada multiplisitas geometri untuk nilai eigen.
Bukti:
Jika titik ekuilibrium ̅ = tidak stabil maka > , ∀ = , , , … , . Titik ekuilibrium tidak stabil apabila ⟶ ∞, , menuju ∞. Hal tersebut terjadi apabila > .
Jika > , ∀ = , , , … , maka titik ekuilibrium ̅ = tidak stabil. Apabila > , , yang selalu memuat � akan selalu menuju ∞. Oleh karena itu, titik ekuilibrium ̅ = tidak stabil.
Disimpulkan bahwa untuk melihat kestabilan Sistem (2.22) digunakan linearisasi agar Sistem (2.22) menjadi sistem linear ̇ = � dimana � = ̅ adalah Matriks Jacobian. Kestabilan yang dimaksud adalah kestabilan lokal. Titik ekuilibrium ̅ dikatakan stabil asimtotik lokal jika semua nilai eigen matriks Jacobian mempunyai bilangan real negatif.
38
Bilangan reproduksi dasar merupakan bilangan yang menunjukan jumlah individu rentan yang dapat menderita penyakit yang disebabkan oleh satu individu terinfeksi. Menurut Driessche dan Watmough (2001) bilangan reproduksi dasar adalah bilangan yang menyatakan rata-rata banyaknya individu yang dapat terinfeksi akibat tertular individu terinfeksi yang berlangsung dalam populasi Susceptible. Bilangan reproduksi dasar dinotasikan dengan . Jika < maka penyakit tidak menyerang populasi, sedangkan jika > maka penyakit akan menyebar.
Model kompartemen untuk penularan penyakit, suatu kompartemen (kelas) disebut kompartemen penyakit jika individu-individu didalamnya terinfeksi penyakit. Misalkan terdapat n kelas terinfeksi dan m kelas tidak terinfeksi. Dimisalkan menyatakan subpopulasi kelas terinfeksi dan menyatakan subpopulasi kelas tidak terinfeksi dengan dan untuk , ℕ. Model kompartemen (kelas) dapat dituliskan dalam bentuk berikut,
̇ = � , − � , , = , , , … ,
̇ = � , , = , , , … , .
dengan � merupakan matriks dari laju individu baru terinfeksi penyakit yang menambah kelas terinfeksi dan � merupakan matriks laju perkembangan penyakit, kematian dan kesembuhan yang mengurangi kelas terinfeksi.
39
kelas terinfeksi yang telah dilinearisasi pada titik ekuilibrium bebas penyakit adalah sebagai berikut,
̇ = − �
dengan dan � matriks berukuran n x n,
=��� , dan � =��
� ,
dengan , merupakan titik ekuilibrium bebas penyakit.
Selanjutnya didefinisikan matriks sebagai berikut:
= �− .
disebut sebagai Next Generation Matriks. Bilangan reproduksi dasar ( dari model kompartemen adalah = � �− yaitu nilai eigen terbesar dari matriks (Driessche dan Watmough, 2001).
Contoh 2.11
Diberikan Sistem persamaan diferensial sebagai berikut:
= − � −
= � − − .
= −
40
populasi individu sembuh pada saat t, Sistem (2.30) mempunyai titik ekuilibrium bebas penyakit = , , .
Pada Sistem (2.30) kelas terinfeksi adalah I. Next Generation Matriks dapat diperoleh dari kelas I sehingga kelas I dapat dituliskan sebagai berikut:
= � , , − � , ,
dengan � = � dan � = + . Hasil linearisasi dari � dan � masing-masing adalah
= �= � = �
� = �= + = + .
Sehingga diperoleh Next Generation Matriks berikut:
= �−
= [� ] [ + ]. .
Selanjuntya, substitusikan titik ekuilibrium bebas penyakit = , , ke Persamaan (2.32) maka diperoleh
= �+ .
Bilangan reproduksi dasar diperoleh dari nilai eigen terbesar dari matriks K. Jadi, nilai bilangan reproduksi dasar dari Sistem (2.32) adalah
= �
41
J. Kriteria Routh Hurwitz
Kestabilan titik ekuilibrium dari Sistem (2.21) dapat dilihat berdasarkan nilai eigen dari matriks Jacobiannya. Permasalahan yang sering terjadi dalam menentukan tipe kestabilan sistem menggunakan nilai eigen adalah ketika mencari akar-akar persamaan yang berorde tinggi. Oleh karena itu, diperlukan suatu kriteria yang dapat menjamin akar-akar persamaan bernilai negatif atau ada akar persamaan yang bernilai positif. Tanda negatif ataupun positif digunakan untuk menentukan kestabilan dari suatu titik ekuilibrium. Analisis kestabilan titik ekuilibrium dapat menggunakan kriteria Routh-Hurwitz sebagai alternatif menentukan tanda bagian real dari nilai-nilai eigen.
Diberikan suatu persamaan karakteristik dari matriks � ,
� = + − + +
− + , . dengan ≠ , = , , , … , .
42
Tabel 2. 1 Tabel Routh-Hurwitz …
…
…
…
dimana koefisien , , , didefinisikan sebagai
= −
= −
= −
= −
perhitungan pada tabel Routh-Hurwitz terus dilakukan sampai kolom pertama menghasilkan perhitungan sama dengan nol. Matriks � dikatakan stabil jika semua bagian real dari nilai eigen bernilai negatif. Dalam kriteria Routh-Hurwitz hal ini ditunjukkan dengan tidak adanya perubahan tanda pada kolom
43
44
BAB III PEMBAHASAN
A. Permasalahan Nyata Flu Burung (Avian Influenza)
Avian Influenza atau yang lebih dikenal dengan flu burung adalah suatu
penyakit menular yang disebabkan oleh virus influenza tipe A. Gejala pada manusia ditandai dengan demam, sakit kepala, nyeri otot dan sendi, sakit tenggorokan, batuk, dan kesulitan bernafas. Pada kasus Avian Influenza, gejala dari penyakit akan muncul setelah masa inkubasi pada manusia berkisar antara 2-4 hari. Masa inkubasi yaitu masa dimana virus sudah masuk ke dalam tubuh sampai saat timbulnya gejala untuk yang pertama kali. Penyakit ini masih menjadi salah satu penyakit yang banyak memakan korban. Mengingat belum ditemukannya vaksin pada manusia untuk penyakit ini, maka dibutuhkan suatu tindakan untuk menurunkan laju penyebaran virus flu burung (Avian Influenza). Salah satu cara untuk menurunkan laju penyebaran virus flu burung adalah dengan mengetahui pola penyebaran virus flu burung. Oleh karena itu, ilmu matematika dapat dimanfaatkan untuk mengetahui pola penyebaran virus flu burung yaitu dengan menggunakan model SIRS0I0V0.
45
homologi yang tinggi dengan virus penyebab wabah. Vaksin influenza in aktif hanya dapat melindungi sekitar 60-80% terhadap galur yang homolog. Dalam hal ini vaksinasi dengan strain virus homolog telah terbukti menurunkan angka kematian pada unggas. Adanya vaksinasi pada unggas ini menjadi alasan pembentukan model epidemi SIRS0I0V0. Model epidemi SIRS0I0V0 dalam penyebaran flu burung pada waktu t memiliki 6 kelas yaitu Susceptible (S) menyatakan populasi manusia rentan terhadap penyakit flu burung, Infected (I) menyatakan populasi manusia yang terinfeksi penyakit flu burung, Recovered (R) menyatakan populasi manusia yang sembuh dari penyakit flu burung, Susceptible (S0) menyatakan populasi unggas rentan terhadap penyakit flu burung, Infected (I0) menyatakan populasi unggas terinfeksi dan Vactinated (V0) menyatakan populasi unggas yang tervaksinasi.
B. Asumsi-Asumsi Model Matematika SIRS0I0V0 pada Penyebaran Flu Burung (Avian Influenza) dari Unggas ke Manusia dengan Pengaruh Vaksinasi pada Unggas
Pembahasan pada skripsi ini menerapkan beberapa asumsi. Asumsi digunakan untuk mempermudah dalam perhitungan dan pemodelan. Adapun asumsi-asumsi yang digunakan dalam pemodelan penyebaran flu burung (Avian Influenza) dari unggas ke manusia dengan pengaruh vaksinasi pada unggas
sebagai berikut:
1. Setiap manusia yang lahir diasumsikan masuk dalam populasi rentan.
46
3. Populasi manusia (N) terbagi atas populasi rentan (S), populasi terinfeksi (I) dan populasi sembuh (R).
4. Populasi unggas (N0) terbagi atas populasi rentan (S0), populasi terinfeksi (I0), dan populasi yang tervaksinasi (V0).
5. Laju kematian alami pada manusia diasumsikan sama pada setiap kelas. 6. Laju kematian dan kelahiran alami pada unggas diasumsikan sama pada
setiap kelas.
7. Setiap unggas yang menetas masuk ke kelas S0.
8. Virus flu burung menular melalui kontak langsung antara unggas rentan dengan unggas yang sakit flu burung dan kontak antara manusia sehat dengan unggas yang terinfeksi flu burung.
9. Terjadi kematian karena infeksi flu burung pada populasi manusia terinfeksi.
10.Tidak terjadi kematian karena infeksi flu burung pada populasi unggas. 11.Unggas yang terinfeksi flu burung tidak akan pernah sembuh mengingat
umurnya yang pendek.
47
C. Formulasi Model Matematika SIRS0I0V0 pada Penyebaran Flu Burung (Avian Influenza) dari Unggas ke Manusia dengan Pengaruh Vaksinasi pada Unggas
Didefinisikan variabel dan parameter yang digunakan dalam pemodelan penyebaran flu burung (Avian Influenza) dengan pengaruh Vaksinasi pada unggas yakni ditunjukan pada Tabel 3.1.
Tabel 3.1 Variabel dan Parameter dalam Model
Simbol Definisi Syarat
Banyaknya populasi manusia pada waktu t
Banyaknya populasi manusia yang retan terinfeksi penyakit pada waktu t
Banyaknya populasi manusia yang terinfeksi penyakit pada waktu t
Banyaknya populasi manusia yang sembuh dari penyakit pada waktu t
Banyaknya populasi unggas pada waktu t
Banyaknya populasi unggas yang retan terinfeksi penyakit pada waktu t
Banyaknya populasi unggas yang terinfeksi penyakit pada waktu t
� Banyaknya populasi unggas yang tervaksinasi pada waktu t
�
48
Laju kontak antara unggas sakit dengan manusia sehat
>
Laju kontak antara unggas sehat dengan unggas sakit
>
Laju kematian dan kelahiran alami dalam populasi unggas tanpa pengaruh flu burung
>
Laju kematian individu dalam populasi manusia tanpa pengaruh flu burung
>
Laju konstan kematian manusia akibat terinfeksi flu burung
> � Laju kesembuhan populasi manusia yang
terinfeksi
� >
Laju konstan hilangnya kekebalan pada manusia >
� Rasio populasi unggas yang memperoleh vaksinasi
< � <
49
Gambar 3. 1 Diagram Transfer Penyebaran Penyakit Flu Burung (Avian Influenza) dengan Pengaruh Vaksinasi pada Unggas
Selanjutnya berdasarkan Gambar 3.1 akan diformulasikan model matematika
SIRS0I0V0 pada penyebaran flu burung (Avian Influenza) dari unggas ke manusia
dengan pengaruh vaksinasi pada unggas untuk masing-masing kelas.
1. Perubahan banyaknya individu rentan (Susceptible) terhadap waktu (t).
Misalkan menyatakan banyaknya populasi manusia rentan pada saat maka pada selang waktu Δ akan terjadi perubahan banyak populasi manusia rentan yang dipengaruhi oleh:
a. Jika banyaknya pertambahan individu rentan sebesar maka akan bertambah sebesar Δ .
b. Jika laju perpindahan penyakit antara individu rentan dan terinfeksi sebesar , maka akan berkurang sebesar � Δ .
50
d. Jika banyaknya pertambahan individu yang kehilangan kekebalan menjadi individu rentan per satuan waktu sebesar , maka maka akan bertambah sebesar Δ .
Model matematis dari perubahan banyaknya individu rentan terhadap waktu (t) adalah sebagai berikut:
+ ∆ = + Δ − Δ − Δ + Δ + ∆ − = Δ − Δ − Δ + Δ + ∆ − = ( − − + ) Δ + ∆ −
Δ = − − + lim
Δ →
+ ∆ −
Δ = limΔ → − − +
= − − +
= − ( + ) + . .
2. Perubahan banyaknya individu terinfeksi (Infected) terhadap waktu (t).
Misalkan menyatakan banyaknya populasi manusia terinfeksi pada saat maka pada selang waktu Δ akan terjadi perubahan banyak populasi manusia terinfeksi yang dipengaruhi oleh:
51
b. Jika laju kematian alami individu terinfeksi per satuan waktu sebesar , maka akan berkurang sebesar Δ .
c. Jika laju kematian individu karena terinfeksi flu burung per satuan waktu sebesar , maka akan berkurang sebesar Δ .
d. Jika proses penyembuhan dari individu terinfeksi ke individu sembuh per satuan waktu sebesar �, maka akan berkurang sebesar � Δ .
Model matematis dari perubahan banyaknya individu terinfeksi terhadap waktu (t) adalah sebagai berikut:
+ ∆ = + � Δ − Δ − Δ − � Δ
+ ∆ − = � Δ − Δ − Δ − � Δ
+ ∆ − = ( − − − � ) Δ + ∆ −
Δ = − + + � lim
Δ →
+ ∆ −
Δ = limΔ → ( − + + � )
= − + + � . .
3. Perubahan banyaknya individu sembuh (Recovered) terhadap waktu (t). Misalkan menyatakan banyaknya populasi manusia sembuh pada saat maka pada selang waktu Δ akan terjadi perubahan banyak populasi manusia sembuh yang dipengaruhi oleh:
a. Jika laju kematian alami individu sembuh per satuan waktu sebesar , maka akan berkurang sebesar Δ .
52
c. Jika individu kehilangan kekebalan dari individu sembuh ke individu rentan per satuan waktu sebesar , maka akan berkurang sebesar
Δ .
Model matematis dari perubahan banyaknya individu sembuh terhadap waktu (t) adalah sebagai berikut:
+ ∆ = + � Δ − Δ − Δ
+ ∆ − = � Δ − Δ − Δ + ∆ − = � − − Δ + ∆ −
Δ = � − − lim
Δ →
+ ∆ −
Δ = limΔ → � − −
= � − −
= � − + R. .
4. Perubahan banyaknya individu unggas rentan (Susceptible) terhadap waktu (t).
Misalkan menyatakan banyaknya populasi unggas rentan pada saat maka pada selang waktu Δ akan terjadi perubahan banyak populasi unggas rentan yang dipengaruhi oleh:
a. Jika laju kelahiran individu unggas sebesar maka akan bertambah sebesar Δ .
53
c. Jika laju perpindahan penyakit antara individu unggas rentan dan terinfeksi sebesar , maka akan berkurang sebesar − � � Δ .
d. Jika laju individu rentan yang tervaksinasi per satuan waktu sebesar � , maka akan berkurang sebesar � Δ .
Model matematis dari perubahan banyaknya individu unggas rentan terhadap waktu (t) adalah sebagai berikut:
+ Δ = + Δ − Δ − − � Δ − � Δ + Δ − = ( − − − � − � ) Δ + Δ −
Δ = − − − � − � lim
Δ →
+ Δ −
Δ = limΔ → − − − � − �
= − − − � − �
= − ( + − � ) − � . .
5. Perubahan banyaknya individu unggas terinfeksi (Infected) terhadap waktu (t).
Misalkan menyatakan banyaknya populasi unggas terinfeksi pada saat maka pada selang waktu Δ akan terjadi perubahan banyak populasi unggas terinfeksi yang dipengaruhi oleh:
54
b. Jika laju perpindahan penyakit antara individu unggas rentan dan terinfeksi sebesar , maka akan bertambah sebesar − � � Δ .
Model matematis dari perubahan banyaknya individu unggas terinfeksi terhadap waktu (t) adalah sebagai berikut:
+ Δ = − Δ + − � Δ + Δ − = ( − � − ) Δ + Δ −
Δ = − � − lim
Δ →
+ Δ −
Δ = limΔ → − � −
= − � − . .
6. Perubahan banyaknya individu unggas tervaksinasi (Vactinated) terhadap waktu (t).
Misalkan � menyatakan banyaknya populasi unggas tervaksinasi pada saat maka pada selang waktu Δ akan terjadi perubahan banyak populasi unggas tervaksinasi yang dipengaruhi oleh:
a. Jika laju kematian alami individu unggas terinfeksi sebesar maka � akan berkurang sebesar � Δ .
b. Jika laju individu rentan yang tervaksinasi per satuan waktu sebesar � , maka akan bertambah sebesar � Δ .
55
� + Δ = � − � Δ + � Δ � + Δ − � = � − � Δ � + Δ − �
Δ = � − � lim
Δ →
� + Δ − �
Δ = limΔ → � − �
�
= � − � . .
Dari Persamaan (3.1), (3.2), (3.3), (3.4), (3.5) dan (3.6) didapatkan model matematika untuk penyebaran flu burung dengan memperhatikan pengaruh vaksinasi unggas sebagai berikut:
= − ( + ) + , = ( ) − + + � ,
= � − + , . = − ( + − � ) − � ,
= ( − � ) − , �
= � − � .
56
D. Transformasi Model
Transformasi model digunakan untuk mempermudah dalam mencari titik ekuilibrium dan analisis yang akan dilakukan, maka sistem Persamaan (3.7) perlu dilakukan penyederhanaan dengan cara penskalaan yaitu dengan mengubah sistem Persamaan (3.7) menjadi bentuk proporsi antara banyaknya individu dalam suatu subpopulasi dengan banyaknya populasi total. Didefinisikan variabel baru yaitu proporsi banyaknya individu pada masing-masing kelas sebagai berikut:
dari Sistem 3.7 untuk total populasi manusia diperoleh,
= + +
= ( − ( + ) + ) + (( ) − + + � ) + � − + = − − + + − − − � + � − −
= − − − − = − − − − = − + + −
Karena = + + sehingga diperoleh,
= − − .
�
� < saat � dan �
� > saat � maka diambil batas maksimal yaitu � sehingga diperoleh � , selanjutnya sistem dapat di skala untuk
57
= , � = , = .
Selanjutnya untuk total populasi unggas diperoleh,
= + + �
= − ( + − � ) − � + ( − � ) − + � − �
= − − − � − � + − � − + � − � = − − − �
= − + + �
Karena = + + � sehingga diperoleh,
= − = = .
Dari Sistem (3.7) dan �
� = artinya = � untuk suatu k bilangan real,
sehingga bagian populasi unggas pada sistem dapat di skala dengan mengambil total populasi unggas ( yaitu,
58
Jadi untuk menyederhanakan dan memudahkan proses analisis, sistem dapat dinyatakan sebagai berikut:
= , � = , = , � = , = , � = , � = � . .
Dari Persamaan (3.8), diperoleh
+ � + = + + = + + = = �, + � + = �, � .
dan
+ � + � = + + � = + + � = = , + � + � = ,
= − � + � .
Berdasarkan Persamaan (3.8) dapat dibentuk transformasi dari Sistem (3.7) untuk masing-masing kelas sebagai berikut:
Transformasi untuk kelas Susceptible pada manusia sebagai berikut,
= [ ]
=
59
= ( − ( + ) ( ) + ( )) = − ( + ) +
= − + � + . .
Transformasi untuk kelas Infected pada manusia sebagai berikut,
� =
[ ] =
= (( ) − + + � )
= (( ) ( ) − + + � � ( )) = � ( ) − + + � � ( )
= � − + + � � . .
Transformasi untuk kelas Recovered pada manusia sebagai berikut,
= [ ]
60
= � − +
= �� ( ) − + ( )
= �� − + . .
Transformasi untuk kelas Susceptible pada unggas sebagai berikut,
= [ ]= ( )
= ( ) ( − ( + − � ) − � )
= ( ) ( − ( + − � � ) − � )
= − + − � � − � . .
Transformasi untuk kelas Infected pada unggas sebagai berikut,
�
= [ ]= ( )
= ( ) ( − � ) − = ( ) ( − � � ) − � = ( − � � ) − �
61
Transformasi sitem untuk kelas Vactinated sebagai berikut,
�
= [� ]= ( ) � = ( ) � − � = ( ) � − �
= � − � . .
Dari Persamaan (3.9a), (3.9b), (3.9c), (3.9d), (3.9e) dan (3.9f) sehingga didapatkan hasil transformasi dari Sistem (3.7) adalah sebagai berikut:
= − + � + , �
= � − + + � � , . = �� − + ,
= − + − � � − � , �
= − � � ( − � + � ) − � , �
= � − � .
62
E. Titik Ekuilibrium Model Matematika SIRS0I0V0 pada Penyebaran Flu Burung (Avian Influenza) dengan Pengaruh Vaksinasi pada Unggas
Titik , �, , � , � menjadi titik ekulibrium dari sistem jika memenuhi persamaan �
� = �� � = � � = �� � = ��
� = . Titik ekuilibrium dari sistem dapat
ditunjuukan dalam Teorema 3.1 berikut ini: Teor
