Model matematika solusi umum persamaan Klein-Gordon nonlinear untuk partikel bebas

1

Model matematika solusi umum persamaan Klein-Gordon nonlinear untuk partikel bebas

T. B. Prayitnoa,* a

Kelompok Fisika Teoretik, Jurusan Fisika, Universitas Negeri Jakarta Jl. Pemuda Rawamangun No. 10 Jakarta Timur

*

Email

Abstrak

Pada makalah ini telah dibahas mengenai model matematika solusi umum persamaan Klein-Gordon nonlinear untuk kasus partikel bebas. Persamaan ini didapat melalui dua persamaan dari hukum kekekalan fisika klasik, yaitu persamaan Hamilton-Jacobi untuk gerak relativistik dan persamaan kontinuitas. Di dalam hal ini, persamaan Hamilton-Jacobi menggambarkan bagian partikel sedangkan persamaan kontinuitas menggambarkan sisi gelombang. Penurunan persamaan ini didasarkan atas analogi penurunan persamaan nonlinear master Schrödinger yang tidak menggunakan dua postulat di dalam mekanika kuantum linear, yaitu postulat Einstein dan de Broglie mengenai kuantisasi energi dan momentum. Menurut teori ini, sisi partikel mempunyai hampir sebagian besar energi partikel kuantum yang terkumpul dalam suatu titik sedangkan bagian gelombang mempunyai sebagian kecil dari energi partikel kuantum yang mengelilingi bagian partikel. Selain itu, di dalam makalah ini telah ditunjukkan pula bentuk fungsi matematik yang merepresentasikan bagian partikel dan gelombang di atas untuk solusi umum partikel bebas. Bentuk ini didapat melalui penyelesaian persamaan differensial untuk suku amplitudo.

Kata kunci :Klein-Gordon nonlinear, model matematika, partikel bebas.

1. Pendahuluan

Mekanika kuantum merupakan teori yang menggambarkan persamaan gerak partikel mikroskopik yang sebagian besar dikaji melalui persamaan Schrödinger. Persamaan Schrödinger itu sendiri dibangun melalui dua postulat fundamental, yaitu postulat Einstein dan de Broglie, mengenai kuantisasi energi dan momentum. Hampir semua eksperimen dewasa ini dapat dijelaskan melalui konsep persamaan di atas. Melalui konsep postulat yang sama pula, dua interaksi fundamental di alam (kecuali interaksi elektromagnetik dan gravitasi), yaitu interaksi kuat dan lemah, dapat dibuktikan keberadaannya. Akan tetapi, hanya tiga interaksi di alam yang dapat dipadukan (interaksi lemah, elektromagnetik, dan kuat) sedangkan interaksi gravitasi belum dapat dipadukan sampai sekarang. Hal ini mendorong para fisikawan untuk menemukan bentuk matematis atau persamaan fundamental yang dapat menggabungkan ke empat interaksi di atas. Meskipun Einstein dan de Broglie dapat menjelaskan hampir semua eksperimen yang berhubungan dengan mekanika kuantum melalui kedua postulatnya, mereka beranggapan bahwa mekanika kuantum yang fundamental haruslah berbentuk nonlinear. Konsep mekanika kuantum nonlinear ini diduga mampu memadukan ke empat interaksi tersebut.

Upaya untuk menemukan mekanika kuantum fundamental menghadapi banyak kesulitan. Salah satu kesulitan yang terbesar adalah tidak terpenuhinya prinsip superposisi linear secara umum. Namun demikian, beberapa fisikawan dari Italia, yaitu Guerra, Pusterla, and Smolin, telah mengajukan sebuah konsep baru yang

berkaitan dengan mekanika kuantum nonlinear. Mereka mengajukan persamaan Schrödinger nonlinear1

Berdasarkan perumusan persamaan nonlinear Schrödinger tersebut, mereka berhasil mendefinisikan pengertian partikel kuantum.Menurut mereka, partikel kuantum terdiri dari dua bagian, yaitu bagian gelombang (extended part) dan bagian partikel (singularity part).Bagian partikel diwakili oleh persamaan Jacobi sedangkan bagian gelombang direpresentasikan melalui persamaan kontinuitas. Dengan adanya pengertian baru tersebut, mereka juga berpendapat bahwa sebagian besar energi partikel kuantum terpusat pada suatu inti tertentu (bagian partikel) dan inti tersebut dikelilingi oleh suatu “awan” partikel(bagian gelombang) yang mempunyai energi yang jauh lebih sedikit dibandingkan dengan bagian partikel. Di samping itu, di dalam kaitannya dengan menambahkan suku potensial kuantum. Pembentukan persamaan ini tidak melalui postulat fundamental di dalam mekanika kuantum linear. Mereka membuat postulat baru bahwa persamaan Hamilton-Jacobi dan kontinuitas tetap berlaku di dalam sistem mikroskopik. Kedua persamaan ini pada dasarnya merupakan dua persamaan hukum kekekalan energi di dalam mekanika klasik, persamaan Hamilton-Jacobi menerangkan persamaan gerak partikel sedangkan persamaan kontinuitas menerangkan persamaan gerak fluida (dalam hal ini termasuk gelombang). Di samping itu, mereka juga memperluas solusi dari fungsi gelombang dengan memperkenalkan bentuk amplitudo yang juga merupakan fungsi ruang dan waktu.

1

Persamaan ini dikenal sebagai persamaan nonlinear master Schrödinger

2 dengan dualisme partikel- gelombang di dalam mekanika kuantum, mereka juga mengambil kesimpulan bahwa bagian partikel adalah bagian yang bertanggung jawab terhadap terdeteksinya suatu partikel sedangkan bagian gelombang bertanggung jawab atas terjadinya pola-pola interferensi-difraksi.Pembahasan mengenai persamaan nonlinear master Schrödinger dapat dilihat pada referensi [1-5].

Namun demikian, persamaan tersebut mempunyai beberapa kelemahan di dalam penyelesaian solusi untuk beberapa kasus dan pemasukan unsur spin partikel. Berdasarkan referensi [6-7], persamaan nonlinear master Schrödinger tersebut tidak dapat dinormalisasi untuk kasus gaya konstan dan potensial osilator harmonik sehingga kita tidak dapat menentukan probabilitas menemukan suatu partikel di dalam suatu interval tertentu. Di samping itu, pada referensi [8], telah ditunjukkan pula kegagalan pemasukan unsur spin ½ bulat yang dimiliki oleh elektron.Kegagalan tersebut terjadi karena adanya pelanggaran bentuk matematis atau sifat fisis dari suatu persamaan gelombang.

Pada referensi [9] telah ditunjukkan bahwa melalui konsep yang sama dapat dibentuk persamaan Klein-Gordon nonlinear, yaitu persamaan yang mendeskripsikan gerak partikel relativistik. Persamaan ini didapat melalui perluasan persamaan Hamilton-Jacobi klasik untuk gerak partikel relativistik. Tujuan akhir dari makalah ini adalah untuk mengkaji solusi partikel bebas dari persamaan Klein-Gordon dengan menuliskannya di dalam bentuk matematis yang menggambarkan bagian partikel dan gelombang. Kajian ini mengambil analogi yang sama dengan referensi [10] yang berhasil merepresentasikan solusi partikel bebas untuk persamaan nonlinear master Schrödinger dengan menyatakan ke dalam fungsi matematis bagian partikel dan gelombang.

2. Persamaan differensial amplitudo partikel bebas persamaan Klein-Gordon nonlinear

Sebelum membahas model matematika untuk solusi umum partikel bebas pada persamaan Klein-Gordon nonlinear, kita akan menurunkan ulang persamaan differensial untuk suku amplitudo pada kasus partikel bebas persamaan Klein-Gordon nonlinear. Solusi dari amplitudo inilah yang akan digunakan untuk menentukan solusi khusus dan umum persamaan Klein-Gordon untuk partikel bebas. Berdasarkan referensi [9], persamaan Klein-Gordon nonlinear mempunyai bentuk2

ψ

ψ

ψ

2 2 2 2 2 2 2

1



c

m

t

c

∂

−

∇

+

∂

,

0

1

2 2 2 2

=

∇

+

∂

∂

−

ψ

ψ

a

a

t

a

a

c

(1)

2

_m

merupakanmassa diam dari partikel.

dengan fungsi gelombang

ψ

mempunyai solusi umum berbentuk

( ) ( )

r



,

t

=

a

r



,

t

ψ

i ( )rt

e

,  ϕ _{. (2)}

Pada persamaan (2),

a

dan

ϕ

berturut-turut adalah amplitudo dan fasa yang keduanya bersifat real3

( )

0

1

2 2 2 2 2



−

∇

−

=











∂

∂

c

m

t

c

ϕ

ϕ

.

Apabila solusi pada persamaan (2), disubstitusikan pada persamaan (1), kita mendapatkan dua persamaan gerak klasik untuk partikel relativistik, yaitu persamaan Hamilton-Jacobi:

, (3)

dan persamaan kontinuitas:

(

2

)

1

₂ 2



.











∂

∂

∂

∂

=

∇

⋅

∇

t

a

t

c

a

ϕ

ϕ

(4)

Untuk mencari solusi ini digunakan metode yang sama seperti yang telah dikerjakan pada referensi [6, 7, 9]. Kita mencari solusi fasa terlebih dahulu dengan menyelesaikan persamaan Hamilton-Jacobi untuk partikel relativistik yang dituliskan pada persamaan (3). Kita menerapkan terlebih dahulu solusi ansatz untuk

) , (r t

ϕ yang merupakan pemisahan variabel dalam bentuk penjumlahan:

).

(

)

(

)

(

)

(

)

,

(

r

t

ϕ

₁

t

ϕ

₂

x

ϕ

₃

y

ϕ

₄

z

ϕ



=

+

+

+

(5)

Dengan mensubstitusikan persamaan (5) ke persamaan (3), maka akan di dapat solusi:

r

p

Et

t

r



,

)

=

−

+



⋅



(

ϕ

, (6)

denganE dan

p



masing-masing adalah energi total relativistik dan momentum linear relativistik untuk partikel bebas.

Langkah terakhir adalah mencari solusi amplitudo dengan meninjau persamaan kontinuitas yang ditunjukkan pada persamaan (4). Setelah mensubstitusikan persamaan solusi fasa pada persamaan (6) ke persamaan (4), kita mendapatkan bentuk persamaan kontinuitas yang telah tereduksi, yaitu

( )

∇

⋅

=

0

.

+

∂

∂

m

p

a

t

a



(7)

3

fasa

ϕ

merupakan fungsi aksi klasik di dalam mekanika klasik.

3 Persamaan (7) merupakan persamaan differensial linear yang solusi umumnya memenuhi prinsip superposisi linear. Solusi khusus dari suku amplitudo ini adalah sebuah solusi yang paling sederhana, yaitu dengan mengambil solusi berupa konstanta, a

( )

r,t =A. Menurut referensi [9], solusi gelombang untuk kasus ini merupakan sebuah gelombang bidang monokromatik yang bentuknya mirip dengan gelombang bidang dalam teori gelombang:

( )

( )

,

pr Et i

Ae

t

r

=

⋅ −   



ψ

. (8)

3. Model matematika solusi umum partikel bebas persamaan Klein-Gordonnonlinear

Persamaan differensial linear pada persamaan (7) mempunyai bentuk solusi umum amplitudo dengan fungsi:

( )

r

t

a

[

( )

mc

p

r

(

E

m

c

)

t

]

a



,

=

2



⋅



−

2

−

2 4 . (9) Dengan demikian, solusi umum persamaan Klein-Gordon nonlinear untuk partikel bebas mempunyai bentuk:

( )

[

( )

(

)

]

i(pr Et)

e

t

c

m

E

r

p

mc

a

t

r

=

⋅

−

−

⋅ −   







2 2 2 4

,

ψ

. (10)

Di samping itu, karena persamaan (7) berlaku prinsip superposisi linear, maka kita dapat membuat interpretasi bahwa solusi gelombang umum pada persamaan (10) dapat dituliskan sebagai superposisi linear:

( ) ( ) ( )

r



,

t

ξ

r



,

t

θ

r



,

t

ψ

=

+

, (11)

dengan

ξ

( )

r



,

t

dan

θ

( )

r



,

t

berturut-turut adalahfungsi yang menggambarkan bagian partikel dan bagian gelombang.

Langkah selanjutnya adalah menentukan fungsi matematik yang tepat dengan catatan bahwa bagian partikel mempunyai sebagian besar energi partikel kuantum sedangkan bagian gelombang hanya mempunyai sebagian kecil energi partikel kuantum. Untuk kasus ini, kita menggunakan fungsi Gaussian untuk kedua fungsi di atas:

( )

[

( )

(

)

]

_















_⋅

₋

₋

−

=

₂ 2 4 2 2 2

2

exp

,









ξ

σ

ξ

r

t

A

mc

p

r

E

m

c

t

(pr Et) i

e

⋅ −    _{, (12)}

( )

(

)

[

]

















_⋅

₋

₋

−

=

₂ 2 4 2 2 2

2

exp

)

,

(







θ

σ

θ

x

t

B

mc

p

r

E

m

c

t

(pr Et) i

e

⋅−    _{, (13)}

denganσ_ξ dan σ_θ berturut-turut adalah simbol matematis yang menggambarkan lebar fungsi Gaussian bagian partikel dan gelombang.

Untuk menggambarkan besar kecilnya energi yang dimiliki oleh masing-masing bagian, kita menerapkan dua postulat dalam mekanika kuantum linear, yaitu postulat Einstein dan de Broglie.Kita meninjau dahulu postulat Einstein mengenai kuantisasi energi:

,

ω



=

E

(14)

dan de Broglie mengenai kuantisasi momentum:

,

k

p



=





(15)

lalu kita substitusikan ke persamaan (12) dan (13) yang masing-masing akan mempunyai bentuk:

( )

( )

                          − − ⋅ − = ξ

σ

ω

ξ

2 exp , 2 4 2 2 2 _{k r} m c _t mc A t r     

(

kr t

)

i

e

⋅−ω  , (16)

( )

( )

                          − − ⋅ − = θ σ ω θ 2 exp , 2 4 2 2 2 t c m r k mc B t r     

(

kr t

)

i

e

⋅−ω  , (17)

Langkah terakhir adalah menentukan hubungan masing-masing amplitudo

A

dan

B

dengan menerapkan syarat bahwa bagian pertikel mempunyai hampir seluruh energi partikel kuantum yang dinyatakan melalui postulat Einstein pada persamaan (14):

.

3 2 3 2

x

d

x

d

∫

∫

∞ ∞ − ∞ ∞ −

≅

=

ψ

ξ

ω



(18)

4 Namun demikian, aturan persamaan pada persamaan (15) tidak dapat terpenuhi mengingat integral di ruas kanan untuk kasus tiga dimensi bersifat divergen:

( )

. exp 3 2 4 2 2 2 ∞ =                           ₋ − ⋅ −

∫

∞ ∞ − x d t c m r k mc ξ σ ω     (19)

Bentuk model matematika di atas hanya dapat terpenuhi pada kasus satu dimensi. Misalkan dalam kasus ini kita hanya mengambil variabel

x

dan mengabaikan variabel lainnya (

y

dan

z

) sehingga didapatkan hasil integral:

( )

dx t c m kx mc

∫

∞ ∞ −                           − − − ξ

σ

ω

2 4 2 2 2 exp  

k

mc

2 ξ

πσ

=

,

(20)

melalui definisi integral:

∫

∞ ∞ − −

₌

α

π

α

dx

e

x2 . (21)

Dengan demikian, apabila hasil dari persamaan (17) disubstitusikan ke persamaan (15) untuk kasus satu dimensi, kita akan mendapatkan hubungan untuk konstanta

A

: ξ

πσ

ω



k

mc

A

2

=

. (22)

Karena bagian gelombang mempunyai energi partikel kuantum yang sangat sedikit, maka kita dapat menghubungkan kedua amplitudo

A

dan

B

dalam fungsi linear berikut:

,

A

B

=

ε

ε

<<

1

. (23)

Dengan demikian bentuk model matematika dari solusi umum partikel bebas persamaan Klein-Gordon nonlinear mempunyai bentuk ξ

πσ

ω

ψ

x

t

mc

k



2

)

,

(

=

e

i(kx−ωt)

( )





































































−

−

−

θ

σ

ω

ε

2

exp

2 4 2 2 2

t

c

m

kx

mc





( )

                                  − − − + ξ σ ω 2 exp 2 4 2 2 2 t c m kx mc   . (24) 4. Kesimpulan

Bentuk matematika untuk solusi umum partikel bebas pada persamaan Klein-Gordon nonlinear telah dirumuskan. Namun demikian, model ini hanya dapat diwujudkan dalam bentuk satu dimensi karena terdapat nilai divergen untuk integral pada kasus tiga dimensi. Fungsi yang digunakan dalam model ini menggunakan fungsi Gaussian mengingat fungsi ini mempunyai nilai konvergen pada selang

−

∞

sampai

∞

. Selain itu, untuk menghubungkan karakteristik dari bagian partikel dan gelombang, telah digunakan juga postulat Einstein dan de Broglie mengenai kuantisasi energi dan momentum.

Persamaan Klein-Gordon nonlinear yang dirumuskan di dalam makalah ini menggunakan kombinasi persamaan Hamilton-Jacobi untuk gerak relativistik dan kontinuitas. Penurunan persamaan ini menggunakan analogi penurunan pada persamaan nonlinear master Schrodinger yang tidak menggunakan postulat Einstein dan de Broglie.

Ucapan terima kasih

Pada kesempatan ini, penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada rekan-rekan dosen di jurusan fisika UNJ atas terwujudnya makalah ini.

Daftar pustaka

[1] F. Guerra and M. Pusterla, Lett. Nuovo Cimento, 34, 1982, 351.

[2] Ph. Gueret and J. P. Vigier, Lett. Nuovo Cimento, 38, 1983, 125.

[3] L. Smolin, Phys. Lett.A 113, 1986, 408. [4] J. P. Vigier, Phys. Lett. A 135, 1989, 99.

[5] J. R. Croca, Towards a Nonlinear Quantum Physics, Singapore : World Scientific, 2003, pp. 65-82.

5 [6] T. B. Prayitno, Solution of Harmonic Oscillator for

Nonlinear Master Schrödinger, dipresentasikan dalam “Conference on Theoretical Physics and Nonlinear Phenomena 2010”.

[7] Sinta Latifah dan T. B. Prayitno, Jurnal Fisika dan Aplikasinya (Spektra UNJ), Vol. IX No. 2 Desember 2010.

[8] T. B. Prayitno, Prosiding Pertemuan Ilmiah XXV HFI Jateng-DIY, 9 April 2011.

[9] T. B. Prayitno, Solusi Persamaan Klein-Gordon Nonlinear untuk Partikel Bebas, diajukan ke Jurnal Fisika dan Aplikasinya (JFA ITS).

[10] L. de Broglie, An Introduction to the Study of Waves Mechanics, translated by L. T. Flint, Paris : Methuen & Co. Ltd, First published in 1930, pp. 79-87.

[11] Walter Greiner, Classical Mechanics (System of Particles and Hamiltonian Dynamics), : Springer-Verlag, 2003, pp. 386-409.

[12] W. Dittrich and M. Reuter, Classical and Quantum Dynamics, Berlin : Springer-Verlag, 1996, pp. 62-73. [13] H. Goldstein, Classical Mechanics, 3rd ed., Addison