KE-25
Babak Penyisihan
Tingkat SMA
Minggu, 9 November 2014
HIMPUNAN MAHASISWA MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS GADJAH MADA
PERATURAN BABAK PENYISIHAN LOMBA MATEMATIKA UGM KE-25
1. Peserta wajib mengenakan seragam sekolah dan bersepatu.
2. Membawa Kartu Pelajar atau Surat Keterangan Siswa Sekolah yang dilampiri pasfoto beruku-ran 3×4.
3. Setiap peserta diwajibkan membawa Kartu Tanda Peserta LMNas 25 yang dapat diunduh dari web.
4. Peserta tidak boleh diwakilkan atau digantikan.
5. Peserta yang datang terlambat diperbolehkan masuk dan mengerjakan soal dengan waktu yang tersisa (tidak ada tambahan waktu).
6. Tulislah semua identitas diri Anda pada lembar jawaban pilihan ganda dan lembar jawaban isian singkat.
7. Sebelum mengerjakan soal, periksalah kelengkapan naskah soal.
8. Bacalah dan kerjakan soal dengan cermat. Untuk soal pilihan ganda, pilih salah satu jawaban yang Anda anggap benar dengan menghitamkan bulatan huruf jawaban tersebut. Untuk soal isian singkat, cukup tuliskan jawaban akhir pada kotak yang tersedia.
9. Untuk soal pilihan ganda, jawaban benar bernilai +4, salah bernilai -1, kosong bernilai 0
10. Untuk soal isian singkat, jawaban benar bernilai +8, sedangkan salah atau kosong bernilai 0.
11. Apabila terdapat nilai yang sama maka yang diperhatikan pertama kali adalah jumlah benar pada isian singkat, kemudian jumlah benar pada pilihan ganda.
12. Tidak diperkenankan menggunakan kalkulator, HP, tabel matematika atau alat bantu hitung lainnya selama pengerjaan soal.
13. Selama waktu pengerjaan soal HP, tablet, PDA atau alat elektronik lainnya harus dinonak-tifkan.
14. Dilarang pinjam-meminjam alat tulis, bekerja sama, memberikan jawaban, atau melihat jawa-ban peserta lain selama lomba berlangsung.
15. Peserta tidak diperkenankan meninggalkan ruang lomba selama pengerjaan soal tanpa seizin pengawas ruang.
16. Jika peserta melakukan pelanggaran, maka pengawas ruang akan memberi peringatan. Jika pelanggaran dilakukan lebih dari 2 (dua) kali, maka peserta akan didiskualifikasi.
17. Waktu pengerjaan soal adalah 120 menit. Untuk soal yang tidak ada ralat selama lomba berlangsung, maka soal harus dikerjakan apa adanya.
18. Sertifikat peserta hanya diberikan kepada peserta yang datang dan mengikuti babak penyisi-han LMNAS 25
19. Keputusan dewan juri tidak dapat diganggu gugat.
1
Pilihan Ganda
1. Tentukan nilai n yang memenuhi persamaan
(1 + tan 1◦)(1 + tan 2◦). . .(1 + tan 45◦) = 2n
A. 21 B. 22 C. 23 D. 24 E. 25
2. Tentukan banyaknya solusi bulat sistem persamaan
x+y+z = 6
x2+y2+z2 = 12
x3+y3+z3 = 24
A. 0 B. 1 C. 2 D. 5 E. 25
3. Diberikan dua barisan aritmatika 1,4,7, . . . dan 2,7,12, . . .. Jika S merupakan himpunan yang terdiri dari gabungan 2014 suku pertama kedua barisan tersebut, tentukan banyaknya anggota himpunan S.
A. 3625 B. 3875 C. 4014 D. 4015 E. 4028
4. Titik M terletak di kuadran II pada garis x+y = 0. Titik N terletak pada garis 3x−y = 0 sehingga garis M N tegak lurus garis 3x−y+ 2014 = 0. Jika panjang M N adalah 6√10, maka tentukan hasil dari penjumlahan absis titik M dengan ordinat titik N.
A. -14 B. -6 C. -2 D. 4 E. 7
5. Tentukan jumlah kuadrat dari semua bilangan asli k dengan k≥2 sehingga bilangan
√
k2−19k+ 99
merupakan bilangan bulat.
A. 250 B. 252 C. 500 D. 501 E. 505
6. Sebuah tas berisi 50 bola merah, 50 bola kuning, 50 bola hijau, 50 bola biru, dan 50 bola ungu dengan ukuran yang sama. Tentukan berapa minimal bola yang harus diambil agar bola-bola tersebut dapat dibagi ke dalam 5 kelompok sehingga setiap kelompoknya terdiri dari 5 bola yang berwarna sama.
A. 50 B. 48 C. 44 D. 41 E. 40
7. Diketahuif(x) =x4+x3+x2+x+ 1. Tentukan sisa pembagian f(x5) olehf(x).
A. 0 B. 1 C. 4 D. 5 E. x+ 1
8. Diketahui △ABC dengan AB = 9, BC = 10, dan AC = 17. Titik B′ merupakan pencerminan titik B atas sisi AC. Misalkan titik pusat segitiga ABC adalah G dan titik pusat segitiga AB′C
adalah G′. Tentukan panjang GG′. A. 14
15 B.
24
17 C.
48
17 D.
20
17 E.
19 15
9. Jika P(x) adalah polinomial berderajat 2012 sehingga P(k) = 1
k untuk k = 1,2,3, . . . ,2013, maka
carilah nilai P(2014). A. 1
B. 1
C. 1
D. 2
10. Tentukan banyaknya pasangan bilangan bulat tak negatif (a, b, c, d) yang memenuhi
11. Tentukan banyaknya bilangan 5 digit abcde dengan a < b < c < d < e
A. 12125 B. 625 C. 375 D. 265 E. 126
12. Tentukan banyaknya bilangan asli n sehingga
4n3+ 6n2 + 4n+ 1
merupakan bilangan prima.
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 E. tak berhingga
13. Diberikan persegi panjang ABCD dengan AB = 2 dan BC = 1. Titik O merupakan titik perpo-tongan antara garis diagonal BD dengan garis CE, di mana titik E merupakan titik tengah garis
AB. Tentukan panjang garis AO.
A. 1
14. Tentukan nilai dari
arctan(tan 65◦−2 tan 40◦)
16. Tentukan banyaknya pasangan bilangan bulat (m, n) yang memenuhi persamaan
2015−3m3n2 = 3mn−nm2
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 E. 4
17. Diketahuiabcdadalah bilangan 4 digit yang mempunyai sifat bersisa 112 jika dibagi 131 dan bersisa 98 jika dibagi 132. Carilah nilai dari a+b+c+d.
A. 11 B. 20 C. 4 D. 27 E. 16
18. Jika a adalah konstanta pada ekspansi
(2x+ 3
x18) 2014
maka tentukan bilangan bulai terbesar b sehingga 6b habis membagi a.
A. 105 B. 106 C. 107 D. 108 E. 109
√
17 √17 √17 14
√
19. Diketahui barisan bilangan real x1, x2, x3, . . . denganx25 = 2012 dan
nxn+1 =−1−(1−n)xn
untuk setiap bilangan asli n. Tentukan nilai dari x2014.
A. 12 B. 14 C. 20 D. 23 E. 25
20. Diberikan segitigaABC denganAB = 15, BC = 14,danAC = 13. JikaADadalah garis tingginya dan garis bagi sudut B memotong AD di titik E, tentukan panjang DE.
A. 5
21. Carilah bilangan bulat terbesar xsehingga 256+x membagi habis 2014!.
A. 83 B. 80 C. 77 D. 244 E. 250
22. Diberikan segitiga ABC. Titik D dan E masing-masing berada padaAB dan CB sehingga AC =
BC, AD=BD, DE = 1, ∠CED = 90◦, dan ∠ACB = 120◦. Tentukan panjang AE.
24. Tentukan banyaknya pasangan bilangan bulat positif (a, b) sehingga
a4+ 4b4
adalah bilangan prima.
A. 0 B. 1 C. 2 D. 5 E. tak berhingga
25. Hitunglah nilai dari
r
26. Tentukan nilai dari
(tan 20◦)2−(sin 20◦)2
27. Diberikan kubus ABCD.EF GH. Titik-titik P, Q, R, S, T berturut-turut adalah titik tengah AB,
BC, EF, F G, CG. JikaAB = 2, tentukan luas segitiga AET yang melalui prisma P QD.RSH
A. 34 B. 23√2 C. 23 D. 12√2 E. 12
28. Diberikan a, b, c, d bilangan bulat positif sehingga logab = 32 dan logcd = 54. Jika a−c = 9, maka
29. Suatu partikel bergerak dari koordinat (0,0,0) menuju (5,4,3). Dalam satu detik, partikel hanya dapat bergerak sejauh 1 satuan searah sumbuX, sumbuY, atau sumbuZ saja. Jika partikel tidak bergerak melewati (2,2,2), maka tentukan banyaknya jalur yang dapat ditempuh partikel tersebut dengan waktu tempuh paling singkat.
A. 22230 B. 22320 C. 23220 D. 32220 E. 22330
30. TitikD, E, F berada pada lingkaran O1 sehingga garis singgung lingkaran O1 untuk titikD
berpo-tongan dengan ruas garisEF di titikP. Diberikan P D= 8, P F = 4, dan∠F P D = 60◦. Tentukan luas lingkaran O1.
A. 14π B. 20π C. 24π D. 25π E. 48π
31. Hitunglah nilai dari
5− 10
32. Lima pasang suami istri dan 5 orang dewasa lainnya duduk pada 15 kursi berderet di suatu bioskop. Jika kelima pasang suami istri tersebut harus duduk bersebelahan dengan pasangannya, maka tentukan banyaknya susunan duduk yang mungkin.
A. 10! B. 15! C. 25.
10! D. 25.
15! E. 24.
15!
33. Tentukan banyaknya solusi pasangan bilangan bulat (c, d) dari persamaan
c2(d
−1) +d2(c
−1) = 1
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 E. 4
34. Tentukan berapa banyak persegi dan persegi panjang yang terdapat pada papan catur berukuran 8×8.
A. 64 B. 204 C. 216 D. 1204 E. 1296
35. Diketahui △ABC siku-siku di A. Sisi miring BC dibagi menjadi tiga bagian oleh titik M dan N
sehingga BM =M N =CN. Jika AM =xdan AN =y, maka tentukan panjang M N.
36. Berapa banyak cara membuat susunan melingkar 7 jenis botol berbeda dan 7 gelas berbeda dengan botol dan gelas berselang-seling ?
A. 6!6! B. 7!7! C. 6!7! D. 14! bersebelahan dengan angka 3 ?
A. 900 B. 1260 C. 360 D. 4680 E. 4320
39. Pada △ABC diketahui ∠BAC = θ dan panjang BC = 10. Jika sinθ = 1
4, tentukan keliling
lingkaran luar △ABC.
40. Diberikan barisan bilangan 1,2,3, . . . ,10. Dari barisan bilangan tersebut akan dibentuk barisan baru dengan cara mengatur ualang posisi angka-angkanya. Tentukan banyaknya barisan baru yang dapat dibuat dengan syarat tidak ada satupun angka dari 1 sampai 5 yang berada pada posisi semula.
41. Diketahuix dan y bilangan-bilangan r yang yang memenuhi persamaan
x2+y2+Ax+By +C= 0
dengan A, B >2014 dan C <−2014. Tentukan nilai minimum dari 7x−24y.
42. Diberikan persamaan
(2 cosx+ sin 2x)(2−2 secx) + 7 = 0
dan cosx 6= 0 untuk suatu bilangan real x. Jika |a| dan |b| adalah dua bilangan asli yang relatif prima dan memenuhi persamaan
a
b = (1 +cosx)(1−sinx)
maka tentukan nilai dari 7a−b.
43. Tentukan bilangan bulat positif terkecil n yang memenuhi persamaan
1 pada himpunan L, maka tentukan berapakah nilai p terbesar yang mungkin.
45. Tentukan semua pasangan bilangan bulat positif (m, n) sehingga
m n
= 1984
