BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1 Peluang
Peluang mempunyai banyak persamaan arti, seperti kemungkinan, kesempatan dan kecenderungan. Peluang menunjukkan kemungkinan terjadinya suatu kejadian yang bersifat acak. Suatu kejadian disebut acak jika terjadinya kejadian tersebut tidak diketahui sebelumnya. Oleh karena itu, peluang dapat digunakan sebagai alat ukur terjadinya kejadian di masa yang akan datang.
Nilai peluang yang paling kecil adalah 0 yang berarti bahwa kejadian tersebut pasti tidak akan terjadi. Sedangkan nilai peluang yang terbesar adalah 1 yang berarti bahwa kejadian tersebut pasti akan terjadi. Secara lengkap, nilai peluang suatu kejadian A adalah :
2.1.1 Definisi Peluang
Definisi mengenai peluang dapat dilihat dari tiga jenis pendekatan. Yaitu pendekatan klasik, pendekatan frekuensi relatif dan pendekatan subjektif (Aswin, hal: 1-3).
I. Pendekatan Klasik
Menurut pendekatan klasik, peluang didefinisikan sebagai hasil bagi banyaknya kejadian yang dimaksud dengan seluruh kejadian yang mungkin.
Dirumuskan:
dengan:
Peluang terjadinya kejadian A = Jumlah kejadian A
= Jumlah kejadian yang mungkin.
II. Pendekatan Frekuensi Relatif
Menurut pendekatan frekuensi relatif, peluang dapat didefinisikan sebagai berikut:
1. Proporsi waktu terjadinya suatu kejadian dalam jangka panjang, jika kondisi stabil.
2. Frekuensi relatif dari seluruh kejadian dalam sejumlah besar percobaan.
Peluang berdasarkan pendekatan ini sering disebut sebagai peluang Empiris. Nilai peluang ditentukan melalui percobaan, sehingga nilai peluang itu merupakan limit dari frekuensi relatif kejadian tersebut.
III. Pendekatan Subjektif
Menurut pendekatan subjektif, peluang didefinisikan sebagai tingkat kepercayaan individu atau kelompok yang didasarkan pada fakta- fakta atau kejadian masa lalu atau berupa terkaan saja. Misalnya, seorang direktur akan memilih seorang karyawan dari 3 orang calon yang telah lulus ujian saringan. Ketiga calon tersebut sama pintar, sama lincah dan semuanya penuh kepercayaan. Peluang tertinggi ( kemungkinan diterima ) menjadi karyawan ditentukan secara subjektif oleh sang direktur.
2.1.2 Peluang Beberapa Kejadian
I. Kejadian Saling Bebas ( Independent )
Dua kejadian atau lebih dikatakan saling bebas apabila terjadinya kejadian yang satu tidak mempengaruhi atau dipengaruhi terjadinya kejadian yang lain.
Untuk dua kejadian A dan kejadian B yang saling bebas, peluang terjadinya kejadian tersebut adalah :
Sedangkan untuk tiga kejadian A, B dan C yang saling bebas peluang terjadinya kejadian tersebut adalah :
II. Kejadian Tidak Saling Bebas (Dependent)
Dua kejadian atau lebih dikatakan kejadian tidak saling bebas apabila terjadinya kejadian yang satu mempengaruhi atau dipengaruhi terjadinya kejadian yang lain.
Untuk dua kejadian A dan B yang tidak saling bebas, peluang terjadinya kejadian tersebut adalah :
Sedangkan untuk tiga kejadian A, B dan C yang saling bebas, peluang terjadinya kejadian tersebut adalah :
(2.6)
2.2 Peubah Acak
Statistikawan pada umumnya berhubungan dengan penyajian atau penafsiran yang bersifat kemungkinan (hasil belum dapat ditentukan sebelumnya) yang muncul dalam penelitian sebelumnya. Oleh karenanya, perlu dilakukan pengamatan atau percobaan agar diketahui hasilnya. Hasil dari setiap percobaan yang dilakukan bernilai numerik atau riel. Kumpulan atau himpunan dari setiap hasil percobaan tersebut disebut ruang
sampel S, dan hasil setiap percobaan yang merupakan anggota atau unsur dalam ruang sampel S disebut titik sampel . Untuk menghubungkan setiap anggota dalam ruang sampel S dengan nilai riel digunakan peubah acak .
Jadi, peubah acak X adalah suatu fungsi yang mengaitkan / menghubungkan setiap anggota dalam ruang sampel S dengan suatu bilangan riel, yakni dengan dan x adalah bilangan riel.
Hsil dari suatu percobaan yang bernilai numerik dapat bersifat diskrit atau kontinu. Berdasarkan sifat ini, peubah acak dapat dikelompokkan menjadi peubah acak diskrit dan peubah acak kontinu (Supranto, 2001).
2.2.1 Peubah Acak Diskrit
2.2.1.1 Definisi Peubah Acak Diskrit
Jika suatu ruang sampel mengandung titik yang berhingga atau banyaknya dapat dinyatakan dengan bilangan bulat, maka ruang sampel ini dikatakan diskrit. Peubah acak yang didefinisikan pada ruang sampel tersebut adalah peubah acak diskrit.
Umumya, peubah acak diskrit diperoleh dari hasil perhitungan (menghitung), seperti percobaan pelemparan mata dadu dan koin.
2.2.1.2 Distribusi Peluang Peubah Acak Diskrit
Setiap nilai peubah acak memiliki peluang. Jadi, distribusi peluang peubah acak diskrit X yang dinotasikan dengan berfungsi untuk menyatakan peluang setiap peubah acak X.
Fungsi dikatakan fungsi peluang atau distribusi peluang peubah acak diskrit , bila memenuhi persamaan:
2.2.1.3 Distribusi Kumulatif Peubah Acak Diskrit
Distribusi peluang kumulatif merupakan fungsi peluang yang digunakan untuk menyatakan jumlah dari seluruh nilai distribusi peluang yang lebih kecil atau sama dengan suatu nilai yang telah ditetapkan.
Secara matematis, distribusi kumulatif peubah acak diskrit dinyatakan sebagai berikut:
dengan:
menyatakan fungsi peluang kumulatif pada titik yang merupakan jumlah dari seluruh nilai fungsi peluang untuk nilai X sama atau lebih kecil dari .
2.2.1.4 Distribusi Gabungan Peubah Acak Diskrit
Bila X dan Y adalah dua peubah acak diskrit, maka distribusi peluang terjadinya secara serentak atau bersamaan dinyatakan dengan fungsi f(x.y) dan disebut sebagai distribusi peluang gabungan X dan Y.
Fungsi dikatakan fungsi peluang atau distribusi peluang gabungan peubah acak diskrit , bila memenuhi:
untuk semua
2.2.2 Peubah Acak Kontinu
2.2.2.1 Definisi Peubah Acak Kontinu
Jika ruang sampel mengandung titik sampel yang tak berhingga banyaknya (uncountable), maka ruang sampel ini disebut ruang sampel kontinu. Peubah acak yang didefinisikan pada ruang sampel tersebut adalah peubah acak kontinu.
Umumya, peubah acak kontinu diperoleh dari hasil pengukuran (mengukur), seperti mengukur tinggi badan, suhu dan jarak.
2.2.2.2 Distribusi Peluang Peubah Acak Kontinu
Distribusi peluang peubah acak kontinu X dinotasikan dengan dan sering disebut sebagai fungsi kepadatan (dencity function).
Fungsi dikatakan fungsi peluang atau distribusi peluang peubah acak kontinu , bila memenuhi persamaan:
untuk semua
∞
∞
2.2.2.3 Distribusi Kumulatif Peubah Acak Kontinu
Distibusi peluang kumulatif peubah acak kontinu X dihitung dengan mengintegralkan nilai distribusi peluangnya.
Secara matematis, distribusi kumulatif peubah acak kontinu atau fungsi padat f(x) dinyatakan sebagai berikut:
∞
2.2.2.4 Distribusi Gabungan Peubah Acak Diskrit
Bila X dan Y adalah dua peubah acak kontinu, maka distribusi peluang terjadinya secara bersama-sama dinyatakan dengan fungsi f(x.y) dan disebut sebagai distribusi peluang gabungan X dan Y.
Fungsi dikatakan fungsi peluang atau distribusi peluang gabungan peubah acak kontinu , bila memenuhi:
untuk semua
∞ ∞
∞ ∞
2.3 Matriks
2.3.1 Definisi Matriks
Matriks ialah suatu kumpulan angka-angka atau sering disebut elemen-elemen yang disusun berdasarkan baris dan kolom sehingga berbentuk empat persegi panjang yang dibatasi dengan tanda kurung siku ataupun kurung biasa (Yakub: hal 6).
Suatu matriks M yang berukuran :
Dapat disingkat dengan :
Setiap disebut elemen (unsur) dari matriks sedang indeks i dan j berturut – turut menyatakan baris dan kolom. Jadi elemen menyatakan elemen pada baris ke-i dan kolom ke-j.
2.3.2 Teorema Matriks
Berikut beberapa teorema dari matriks :
I. Jika dan , berukuran sama maka
II. Jika merupakan matriks berukuran dan k adalah skalar, maka
III. Jika matriks berukuran dan matriks berukuran maka perkalian matriks berlaku apabila jumlah kolom matriks A sama dengan jumlah baris matriks B.
IV. Jika dan keduanya merupakan matriks berukuran maka :
jika untuk semua i dan j jika untuk semua i dan j jika untuk semua i dan j jika untuk semua i dan j jika untuk semua i dan j.
V. Matriks bujur sangkar adalah matriks yang banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom.
dengan
VI. Matriks identitas adalah matriks bujur sangkar dengan elemen di sepanjang diagonal utama ( diagonal kiri atas menuju kanan bawah ) bernilai 1, sedangkan elemen yang lainnya bernilai nol.
Untuk n = 3, matriks identitasnya adalah :
VII. Matriks transpos adalah matriks berukuran yang diperoleh dari suatu matriks berukuran yang baris dan kolomnya dipertukarkan (baris pertama dengan kolom pertama dan seterusnya).
Jika matris adalah :
Maka transpose dari matiks dinotasikan dengan adalah:
2.4 Rantai Markov
Proses stokastik merupakan suatu cara untuk mempelajari hubungan yang dinamis dari suatu runtunan kejadian atau proses yang kejadiannya bersifat tidak pasti. Dalam memodelkan perubahan dari suatu sistem yang mengandung ketidakpastian seperti pergerakan harga saham, banyaknya klaim yang datang ke suatu perusahaan asuransi, keadaan cuaca, dan lain sebagainya, proses stokastik banyak digunakan di dalam kehidupan sehari-hari. Rantai Markov sebenarnya merupakan bentuk khusus dari model probabilitas yang lebih umum dan dikenal sebagai proses stokastik.
2.4.1 Definisi Rantai Markov
Rantai Markov merupakan proses stokastik dari peubah acak yang membentuk suatu deret yang memenuhi sifat Markov.
2.4.2 Sifat Markov
Dalam sifat Markov, jika diberikan peristiwa yang telah berlalu dan peristiwa yang sedang berlangsung , maka peristiwa yang akan datang bersifat bebas (independent) dari peristiwa yang telah berlalu. Dengan kata lain, peristiwa yang akan datang hanya bergantung pada peristiwa yang sedang berlangsung .
Untuk suatu pengamatan yang prosesnya sampai waktu ke , maka distribusi nilai proses dari waktu ke hanya bergantung pada nilai dari proses pada waktu . Secara umum dapat dituliskan:
2.4.3 Keadan Awal Rantai Markov
Keadaan pada rantai Markov ditulis dalam bentuk vektor yang dinamakan vektor keadaan. Vektor keadaan untuk suatu pengamatan rantai Markov dengan n peristiwa adalah vektor kolom X dengan n baris yang komponennya adalah peluang sistem berada pada keadaan ke- n . Untuk keadaan awal, vektor pada rantai Markov adalah keadaan ataupun peluang yang terjadi pada waktu yang sedang berlangsung dan dinotasikan dengan yang komponennya adalah .
Secara umum dapat dituliskan sebagai berikut:
2.4.4 Keadaan Transisi dan Probabilitas Rantai Markov
Keadaan transisi adalah perubahan dari suatu keadaan (status) ke keadaan lain pada periode berikutnya. Keadaan transisi ini merupakan suatu proses acak dan dinyatakan dalam bentuk peluang yang dinotasikan dengan . Peluang dari keadaan ini dikenal sebagai peluang transisi. Peluang ini dapat digunakan untuk menentukan peluang keadaan periode berikutnya. Keadaan transisi didapatkan setelah keadaan awal diberikan perubahan melalui suatu matriks yang disebut matriks peluang transisi.
Secara umum dapat dituliskan sebagai berikut:
Matriks peluang transisi suatu rantai Markov adalah suatu matriks berderajat n dengan n bergantung pada banyak peristiwa atau state pada rantai Markov tersebut.
Elemen pada matriks peluang transisi adalah peluang perubahan keadaan pada peristiwa j yang pada peristiwa sebelumnya berada pada keadaan i. Tetapi pada saat rantai Markov mencapai situasi stasioner maka peluang tersebut tidak lagi bergantung pada t, sehingga dituliskan besaran peluang sebagai . Dengan demikian, peluang proses berpindah dari status i ke status j homogen dalam waktu. Jadi dapat didefinisikan seluruh peluang proses dalam bentuk matriks P yang disebut sebagai
matriks peluang transisi (disingkat matriks transisi) dari rantai Markov, dituliskan dalam bentuk matriks berikut:
Untuk banyak peristiwa (state) adalah n berhingga, maka matriks transisi berukuran n baris x n kolom. Setiap elemen matriks adalah positif , untuk setiap Total peluang dalam setiap baris adalah 1 ∞ untuk setiap baris
2.5 Rantai Markov Kontinu
Rantai Markov kontinu merupakan perluasan dari rantai markov yang sudah dipaparkan pada pembahasan rantai Markov sebelumnya. Perbedaannya adalah pada peubah acak karena proses berlangsung pada waktu kontinu. Jadi, rantai Markov kontinu adalah proses stokastik dari peubah acak yang terjadi pada interval waktu tertentu ( ∞ ) dengan nilai-nilai di ruang state S yang terbilang (countable) dan ruang state S adalah bilangan bulat. Sehingga dapat ditulis menjadi yang membentuk suatu deret yang memenuhi sifat Markov pada persamaan (2.20), yaitu:
Dalam Rantai markov kontinu tidak ada matriks transisi n langkah sebagaimana pada rantai Markov diskrit karena tidak ada kepastian waktu transisi dari suatu state ke state lainnya. Sebagai penggantinya digunakan matriks generator.
Pada rantai Markov, matriks transisi yang elemen-elemennya adalah dapat ditulis dalam:
untuk
Rantai Markov dikatakan homogen bila
untuk setiap Selanjutnya matriks peluang berukuran dengan elemen-elemen akan dinotasikan dengan .
Himpunan { } adalah semigrup stokastik, bila memenuhi sifat-sifat sebagai berikut:
1. , matriks identitas.
2. adalah matriks stokastik, yakni mempunyai elemen-elemen yang non negatif dan jumlah elemen pada setiap baris adalah 1.
3. Matriks memenuhi persamaan Chapman-Kolmogorov, yakni untuk .
Untuk selanjutnya peluang transisi rantai markov selalu dianggap kontinu pada setiap dan .
Semigrup dikatakan standar jika untuk , yaitu dan
0 untuk .
Andaikan adalah rantai Markov di pada waktu . Berbagai hal yang mungkin pada interval untuk yang kecil adalah:
a. Tidak akan terjadi transisi dengan peluang dengan menyatakan peluang proses berpindah dari dan kemudian kembali lagi ke untuk yang kecil.
b. Rantai Markov dapat menuju baru dengan peluang .
Dalam hal ini diasumsikan bahwa peluang dari dua atau lebih transisi pada interval adalah untuk yang kecil dan dianggap sebagai fungsi linier dari (Grimmett dan Stirzaker, 1992). Dengan demikian, ada sedemikian hingga
Oleh karenanya, untuk dan untuk setiap . Matriks ( ) disebut generator dari rantai Markov kontinu dan mengambil alih peran dari matriks transisi P untuk rantai Markov diskrit.
Dengan asumsi, maka kemungkinan pada a dan b menjadi:
1. Tidak terjadi transisi di dengan peluang . 2. Rantai Markov berpindah ke dengan peluang .
Karena maka yang mengakibatkan untuk setiap atau
Dengan 1 adalah vektor baris yang semua elemennya 1 dan 0 adalah vektor baris yang semua elemennya 0.
2.6 Persamaan Chapman- Kolmogorov
Persamaan Chapman Kolmogorov merupakan satu metode untuk menghubungkan peluang peralihan t langkah yang berurutan.
Untuk dapat menghitung peluang peralihan t langkah digunakanlah persamaan di bawah ini (Sheldon, 1969) :
= Peluang peralihan dari ke setelah langkah dan diketahui sebelumnya telah berada dalam .
= Peluang peralihan dari ke setelah langkah dan diketahui sebelumnya telah berada dalam .
= Peluang peralihan dari akan berpindah ke setelah langkah.
Jika dan , maka persamaan (2.32) menjadi:
Untuk dan merupakan elemen dari matriks elemen dari matriks , serta elemen matriks maka persamaan (2.33) dapat ditulis menjadi:
Jika , dengan menggunakan deret Maclaurin maka diperoleh:
Untuk peubah acak X adalah rantai Markov kontinu yang memiliki generator dan . Maka vektor adalah distribusi stasioner dari rantai Markov kontinu, jika
dan untuk setiap dengan
