VEKTOR. maka a c a c b d b d. , maka panjang (besar/nilai) vector u ditentukan dengan rumus. maka panjang vector

167

VEKTOR

a. Penjumlahan dan Pengurangan Vektor. OAa ; OBb maka OA ABOB ABOB OA  AB b a  a u b        dan c v d        maka a c a c u v b d b d         _{    }  _        Contoh :

Tentukan nilai x dan y dari 2 𝑥_{𝑦 + 4} 3_𝑦 = −3 8 −1 Jawab : → 2𝑥 + 12_{8 + 4𝑦} = −24 3 2𝑥 + 12 = −24 → 𝑥 = −18 8 + 4𝑦 = 3 → 𝑦 = −11 2 Jadi nilai x = - 18 dan y = - 1 ½

b. Panjang Vektor Misal u a b     

  , maka panjang (besar/nilai) vector u ditentukan dengan rumus 2 2

u  a b

Untuk A x y( ,_{1 1}) dan B x y( ,_{2 2}) maka panjang vector

2 2

2 1 2 1

: ( ) ( )

AB AB  x x  y y

 

Misal vector u = li + mj + nk atau 𝑢 = 𝑙 𝑚

𝑛

Panjang vector satuan dari u adalah 1. Vektor satuan biasa disebut dengan e ditentukan dengan 𝑒 = 𝑢 𝑢 = 1 𝑙2_{+ 𝑚}2_{+ 𝑛}2 𝑙 𝑚 𝑛

Bab 20

168 Contoh : Diketahui 𝑣 = 6 −3 0

Tentukan Vektor satuan v Jawab :

𝑣 = 62_{+ −3} 2_{+ 0}2 _{= 3 5} Vektor satuan v adalah 𝑒 = 𝑣

𝑣 𝑒 = 1 3 5 6 −3 0 = 2 5 5 −1 5 5 0 → 𝑒 = 2₅ 5 𝑖 − 1 5 5 𝑗

c. Perkalian vector dengan scalar. a. Secara geometris.

Jika k R dan u suatu vector , maka perkalian vector u dengan bilangan real k ditulis sebagai cku. Panjang vector c dama dengan k kali panjang vector u

- Jika k > 0 , maka vector c searah dengan vector u

- Jika k < 0 , maka vector c berlawanan arah dengan vector u b. Secara Non Geometris

Jika k R dan u a b        maka a ka ku k b kb      _{   }     Contoh : Jika 3 , 1 dan c= -5 2 0 4 a_ _ b _{ }  _{ }        , Tentukan panjang u = a + b - c Jawab : u = a + b – c = 3 1 - -5 9 2 0 4 6           _      _          2 2 9 ( 6) 117 3 13 u     

d. Besar Suatu Vektor Hasil Penjumlahan Dan Pengurangan i) Jika u a b        dan c v d        , maka 2 2 ( ) ( ) a c u v u v a c b d b d     _{ }         ii) Jika u a b        dan c v d        , maka 2 2 ( ) ( ) a c u v u v a c b d b d     _{ }         iii) v uv uv  u

169 2 2 2 cos u v u  v  u v  2 2 2 cos u v  u  v  u v  iv)

e. Arah Suatu Vektor Hasil Penjumlahan dan Pengurangan

Arah suatu vector hasil penjumlahan.

sin sin( ) sin

u v u v

   



 

 Arah suatu vector hasil pengurangan

sin sin( ) sin

u v u v         Contoh :

Diketahui 𝑎 = 6 , 𝑎 − 𝑏 . 𝑎 + 𝑏 = 0 𝑑𝑎𝑛 𝑎. 𝑎 − 𝑏 = 3, maka besar sudut antara vector a dan b adalah …. 𝑎 − 𝑏 . 𝑎 + 𝑏 = 0 𝑎 2_{− 𝑏} 2 _{= 0 → 𝑏 = 6} 𝑎. 𝑎 − 𝑏 = 3 𝑎. 𝑎 − 𝑎. 𝑏 = 3 6 − 𝑎 𝑏 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 3 −6 𝑐𝑜𝑠𝜃 = −3 cos 𝜃 = 1 2 → 𝜃 = 𝜋 3

f. Rumus Pembagian Ruas Garis

 Jika O adalah sutu titik yang diketahui dan P adalah titik pada ruas garis AB sehingga AP : PB = m : n, maka : nOA mOB na mb OP p m n m n       

 Jika P adalah titik tengah dari ruas garis AB maka :

-

v

u

u-v

 v uv uv  u  B m A P n

170

1 1

( ) ( )

2 2

OP OA OB  p a b

 Jika A x y( ,_{1 1}), ( ,B x y_{2 2}), (P x_p,y_p) terletak pada ruas garis AB , sehingga AP : PB = m : n, maka : 1 2

_dan

1 2 p p

nx

mx

ny

my

x

y

m n

m n













 Jika P titik tengah ruas garis AB, maka :

1 2 1 2

1

1

(

) dan

(

2

2

p p

x



x



x

y



y



y

 Sebuah titik P disebut membagi AB didalam dengan perbandingan m : n, Jika AP : PB = m : n dengan m > 0 dan n > 0

 Sebuah titik P disebut membagi AB diluar dengan perbandingan m : n, Jika AP : PB = m : - n dengan m > 0 dan n > 0 g. Perkalian vector .  .cos a b a b cos  a b. , ( , )a b a b = a b₁.₁a b₂. ₂a b₃. ₃ Jika 90 a0( b)a b. 0 lancip maka .   a b0 tumpul maka .  a b0 h. Proyeksi Vektor  a b c A P - n m B

171 Vektor c hasil proyeksi a pada b

Proyeksi scalar c a b. b  Proyeksi vector c a b.₂ .b b         

Hubungan antar Vektor :

a. Jika vector u dan v kolinear ( segaris ) maka u = m v

Titik A , B dan C dikatakan segaris Kolinear jika AB = m BC dengan m scalar / bilangan real

b. Vektor u , v dan w bukan vector nol, tidak kolinear dikatakan coplanar ( sebidang ) dengan vector w , jika dan hanya jika terdapat bidang real m dan n , sedemikian sehingga w = mu + nv

SOAL LATIHAN :

1. Diketahui segitiga PQR dengan P(0, 1, 4), Q(2, –3, 2), dan R(–1, 0, 2). Besar sudut PRQ = …. a. 1200 _{b. 90}0 _{c. 60}0 _d.450 _e.300

2. Diketahui a  2, b  9, ab  5. Besar sudut antara vector a dan vector b adalah …. a. 450 _b.600 _c.1200 _d.13500 _e.1500

3. Besar sudut antara

           4 2 3 a dan             3 3 2 b adalah …. a. 180° b.90° c.60° d.30° e.0°

4. Jika a 2, b 3, dan sudut ( a,b) = 120°, maka 3a2b ....

a. 5 b.6 c.10 d.12 e.13

5. Diketahui a  3, b 1, ab 1. Panjang vector a + b = ….

a. 3 b. 5 c. 7 d.2 2 e.3

6. Diketahui a  6, (a– b)(a + b) = 0, dan a (a– b)=3. Besar sudut antara vector adan b adalah ….

172 a. 6  _b. 4  _c. 3  _d. 2  _e. 3 2

7. Garis g melalui A(2, 4, 2 ) dan B(4, 1, 1 ) , sedang garis h melalui C(7, 0, 2) dan D(8, 2, -1). Besar sudut antara g dan h adalah …

a. 00 b. 300 c. 450 d. 600 e. 900 8. Segitiga ABC dengan koordinat A(2,1,4) ,B(-1, 2, 3) dan c(1, -1 , 2) . Nilai sin CAB = …

a. 1 109 10 b. 10 11 c. 1 110 11 d. 1 109 11 e. 1 110 10 9. Jika a b 2 7 dan a.b = 4 maka a b ...

a. 2 7 b. 2 6 c. 2 3 d. 2 5 e. 2 2 10.Bila  sudut antara a 2i 4j4 dan k q i 3j5k maka cos=…

a. 3 7 b. 5 21 c. 8 21 d. 5 23 e. 38 48 11. Besar sudut antara vector 𝑎 = 2𝑖 − 𝑗 + 3𝑘 𝑑𝑎𝑛 𝑏 = 𝑖 + 3𝑗 − 2𝑘 adalah ……

a. 6  _b. 4  _c. 3  _d. 2  _e. 3 2

12. Diketahui segitiga ABC, dengan A(0, 0, 0), B(2, 2, 0) dan C(0, 2, 2). Proyeksi orthogonal ____AB pada ____ AC adalah …. a. jk b.ik c.i j d.i j k 2 1   e. i j 2 1

13. Diketaui vector a 3i4j4k , b 2i j3k, dan c4i 3j5k . Panjang proyeksi vector c

b

a )pada

(  adalah ….

a. 3 2 b.4 2 c.5 2 d.6 2 e.7 2

14.Diketahui u(2, 1,1), v ( 1,1, 1) Vektor w yang panjangnya 1, tegak lurus pada u dan tegak lurus pada v adalah …

a. (0, 0, 1) b. (0, 2, 2) 2 2 c. 2 2 (0, , ) 2 2  d. ( 2 1 2, , ) 3 3 3  e. ( , ,2 1 2) 3 3 3 

15. Jika wadalah vector proyeksi orthogonal dari vector

           4 3 -2 v terhadap vector            1 -2 1 -u , maka w =…. a.           3 1 -1 b.           2 -1 -0 c.           2 1 0 d.           2 4 -2 e.           2 -4 2

-173 16. Diketahui vector            2 x 1 a ,            1 -1 2

b , dan proyeksi a pada b adalah 6 2

. Sudut antara a dan b adalah α, maka cos α = ….

a. 6 3 2 b. 3 1 c. 3 2 d. 6 2 e. 3 6

17.Rasio sustu deret geometri tak hingga adalah = lim𝑥→2 𝑥−2

2𝑥2_−6𝑥+4 , suku pertama deret itu merupakan hasil kali scalar vector 𝑎 = 𝑖 + 2𝑗 + 2𝑘 dan 𝑏 = 2𝑖 + 𝑗 − 𝑘 . Jumlah deret geometri tak berhingga tersebut = …

a. 1 4 b. 1 3 c. 1 1 3 d. 2 e. 4

18. Panjang proyeksi orthogonal vector a  3i  pjk , pada vector b  3i 2j pk adalah 3 2 . Nilai p = …. a. 3 b.2 c. 3 1 d.– 2 e.– 3

19.Diketahui koordinat titik A (3, 5, 2) , B(-1, 0, 3) dan C ( 4, -2 , -5) . Jika Z merupakan titik berat segitiga ABC , maka koordinat titik Z sdalah ….

a. ( 2 , -1 , 0) b. ( 2 , 1 , 0) c. ( 2 , 1 , 1) d. ( 1 , 2 , 1) e. ( 1 , 0 , 2) 20. Diketahui A(1, 2, 3), B(3, 3, 1) dan C (7, 5, 3). Jika A, B, dan C segaris ( koliner ) perbandingan AB :

BC = ….

a. 1 : 2 b.2 : 1 c.2 : 5 d.5 : 7 e.7 : 5

21. Diketahui titik A(4, 9, –8) dan B(–4, –3, 2). Titik P membagi AB di dalam dengan perbandingan 1 : 3. Panjang ____PB = ….

a. 15 b. 81 c. 90 d. 121 e. 153

22. Dalam Δ ABC, diketahui P titik berat Δ ABC dan Q titik tengah AC. Jika CA u   dan CBv   , maka   PQ= …. a. v-u 3 1 _b. u 3 1 -v c. u 6 1 -v 3 1 _d. v 3 1 -u 6 1 _e. v 3 1 u 6 1 _

23. Titik A ( 3,2,–1 ), B ( 1, –2, 1 ), dan C ( 7,p – 1, –5 ) segaris untuk nilai p = ….

a. 13 b.11 c.5 d.– 11 e.– 13

24. Diketahui vector u 2i 4j6k dan v 2i 2j4k . Proyeksi vector orthogonal u pada v adalah

a. 4i 8j12k b.4i 4j8k c.2i 2j4k b. d.i 2j3k e.i  j2k

25.Jika A(-1, 5, 4) , B(2, -1, -2) , C(3, p, q) terletak pada satu garis lurus , maka nilai p dan q berturut-turut adalah …

174 26.Jika sudut antara a dan b adalah 600 dan a 2 dan b 5 maka nilai a.(a+b) = …

a. 5 b. 7 c. 8 d. 9 e. 10 27.Jika 1 1 0 1 , 2 , 4 1 1 a b c x              _{ }  _{ }  _{ }  _          

dan a.(b+c)=a.a. Nilai x adalah …

a. –11 b. –10 c. 8 d. 10 e. 11

28.Diketahui Balok OABC.DEFG dengan OA=a , OD = d dan OC = c , K perpotongan antara DF dan GE dan L perpotongan antara BE dan AF, maka vector KL = …

a. 1( ) 2 ad b. 1 ( ) 2 ad c. 1 ( ) 2 cd d. 1 ( ) 2 c d e. 1 ( ) 2 ac 29.Jika a 4,b 6 dan sudut antara a dan b adalah 600, maka nilai a b 

a. 1 13

2 b. 13 c. 1

1 13

2 d. 2 19 e. 3 13

30.Jika diketahui p 3i 2jk dan q i 3j5k , maka (pq).(pq) adalah ….

a. 13 b. 2 3 c. 2 3 d. –11 e. –21

31.Jika a 2, .a b4 dan sudut antara a dan b sama dengan 1

4, maka b ...

a. 4 2 b. 3 2 c. 2 2 d. 2 e. 1 2

2

32.Ditentukan a 2i 3jxk dan b  i 4j5k. Jika a tegak lurus b, maka nilai x adalah … a. 1 b. 2 c. –1 d. –2 e. 0 33. Diketahui vector 𝑢 = 3 −1 1 dan vector 𝑣 = 2 𝑝 2

, jika proyeksi scalar orthogonal vector u pada arah vector v sama dengan setengah panjang vector v, maka nilai p adalah …

a. -4 atau -2 b. -4 atau 2 c. 4 atau -2 d. 8 atau -1 e. -8 atau 1

Soal – soal vector Ujian Nasional Materi Pokok : Sudut antara dua vektor

1. Diketahui segitiga PQR dengan P(0, 1, 4), Q(2, –3, 2), dan R(–1, 0, 2). Besar sudut PRQ = …. a.1200

175 c.600

d.450

e.300

2. Diketahui a  2, b  9, ab  5. Besar sudut antara vector a dan vector b adalah …. a.450

b.600

c.1200

d.13500

e.1500

3. Besar sudut antara

           4 2 3 a dan             3 3 2 b adalah …. a.180° b.90° c.60° d.30° e.0°

4. Jika a 2, b 3, dan sudut ( a,b) = 120°, maka 3a2b .... a. 5

b. 6 c. 10 d. 12 e. 13

5. Diketahui a  3, b 1, ab 1. Panjang vector a + b = ….

a. 3

b. 5

c. 7

d. 2 2 e. 3

176 6. Diketahui a  6, (a– b)(a + b) = 0, dan a (a– b)=3. Besar sudut antara vector adan b

adalah …. a. 6  b. 4  c. 3  d. 2  e. 3 2

Materi Pokok : Proyeksi vector

7. Diketahui segitiga ABC, dengan A(0, 0, 0), B(2, 2, 0) dan C(0, 2, 2). Proyeksi orthogonal ____AB pada ____ AC adalah …. a. jk b. i k c. i j d. i j 2k 1   e. 2ij 1

8. Diketahui vector a 3i 4j4k , b 2i j3k , dan c4i 3j5k . Panjang proyeksi vector (a b)pada c adalah ….

a. 3 2

b. 4 2

c. 5 2

d. 6 2

e. 7 2

9. Diketahui vector u 2i 4j6k dan v 2i 2j4k. Proyeksi vector orthogonal upada v adalah ….

177 b. 4i 4j8k

c. 2i 2j4k d. i 2j3k e. i  j2k

10. Jika wadalah vector proyeksi orthogonal dari vector

           4 3 -2 v terhadap vector            1 -2 1 -u , maka w =…. a.           3 1 -1 b.           2 -1 -0 c.           2 1 0 d.           2 4 -2 e.           2 -4 2 -11. Diketahui vector            2 x 1 a ,            1 -1 2

b , dan proyeksi a pada b adalah 6 2

. Sudut antara a dan b

adalah α, maka cos α = …. a. 3 6

2

b. 3 1

178 c. 3 2 d. 6 2 e. 3 6

12. Panjang proyeksi orthogonal vector a  3i  pjk , pada vector b  3i 2j pk adalah

3 2 . Nilai p = …. a. 3 b. 2 c. 3 1 d. 2 e. 3

Materi Pokok : Perbandingan garis

13. Diketahui A(1, 2, 3), B(3, 3, 1) dan C (7, 5, 3). Jika A, B, dan C segaris ( koliner ) perbandingan AB : BC = …. a. 1 : 2 b. 2 : 1 c. 2 : 5 d. 5 : 7 e. 7 : 5

14. Diketahui titik A(4, 9, –8) dan B(–4, –3, 2). Titik P membagi AB di dalam dengan perbandingan 1 : 3. Panjang ____PB = …. a. 15 b. 81 c. 90 d. 121 e. 153

179 15. Dalam Δ ABC, diketahui P titik berat Δ ABC dan Q titik tengah AC. Jika CA u

  dan CB v   , maka   PQ= …. a. 3v-u 1 b. 3u 1 -v c. 6u 1 -v 3 1 d. 3v 1 -u 6 1 e. 3v 1 u 6 1 _

16. Titik A ( 3,2,–1 ), B ( 1, –2, 1 ), dan C ( 7,p – 1, –5 ) segaris untuk nilai p = …. a. 13 b.11 c.5 d.11 e.13

1. Diketahui segitiga PQR dengan P(0, 1, 4), Q (2, -3, 2), dan R(-1, 0, 2). Besar sudut PRQ=……… a. 120º b. 90º c. 60º d. 45º e. 30º Jawab : 𝑅𝑄 = Q - R = (3, -3, 0) 𝑅𝑃 = P – R = (1, 1, 2) 𝑅𝑄 . 𝑅𝑃 = 𝑅𝑄 𝑅𝑃 cos 𝜃 3 – 3 +3 = 𝑅𝑄 𝑅𝑃 cos 𝜃 0 = cos 𝜃 90º = 𝜃

2. Diketahui 𝑎 = 2, 𝑏 = 9, 𝑎 + 𝑏 = 5. Besar sudut antara vektor 𝑎 dan vector 𝑏 adalah ……

a. 45º b. 60º c. 120º d. 135º e. 150º Jawab : (𝑎 + 𝑏) (𝑎 + 𝑏) = 𝑎 + 𝑏 2 𝑎 + 𝑎 + 2.𝑎. 𝑏 + 𝑏. 𝑏 = 5 2 + (2|𝑎| 𝑏 cos ∝ = -6 cos ∝ = − 1 2 . 2 2 = − 1 2 2 = 135º

3. Besar sudut antara 𝑎 = 32

4 dan 𝑏 = 2 3 −3 adalah…… a. 180º b. 90º c. 60º d. 30º e. 0º Jawab: Cos 𝜃 = 𝑥1𝑥2+𝑦1𝑦2+𝑧1𝑧1 𝑥₁2_+𝑦 12+𝑧12 𝑥22+𝑦22+𝑧22 GOD IS MY SAFIOR

180 = 3×2 + 2×3 +(4× −3 ) 32₊₂2₊₄2 ₂2₊₃2₊₍₋₃₎2 = 6+6−12 29× 22 = 0 29× 22 Cos 𝜃 = 0 𝜃 = 900

4. Jika 𝑎 =2, 𝑏 =3, dan sudut (𝑎 , 𝑏 )= 1200, maka 3𝑎 + 2𝑏 = . . . .

a. 5 b. 6 c. 10 d. 12 e. 13 (3𝑎 + 2𝑏). (3𝑎 + 2𝑏) = 3𝑎 + 2𝑏 2 9 𝑎 2+ 12𝑎 . 𝑏 + 4 𝑏 2= 𝑎 . 𝑏 . cos 1200 36 + 12.2.3. −1 2 + 36 = 3𝑎 + 2𝑏 2 3𝑎 + 2𝑏 = 6

5. Diketahui 𝑎 = 3, 𝑏 = 1, 𝑎 − 𝑏 = 1. panjang vector 𝑎 + 𝑏 = …

a. 3 b. 5 c. 𝟕 d. 2 2 e. 3 Jawab: 𝑎 − 𝑏 = 𝑎 2 _𝑏 2_{− 2 𝑎 𝑏 cos 𝜃} 12 = 3 2+ 1 2 - 2 3 1 cos 𝜃 1 = 3 + 1 - 2 3 cos 𝜃 −3 −2 3 = cos 𝜃 −3 −2 3 3 3 = cos 𝜃 −3 3 −2.3 = cos 𝜃 1 2 3 = cos 𝜃 𝑎 + 𝑏 = 𝑎 2 𝑏 2+ 2 𝑎 𝑏 cos 𝜃 = ( 3)2_{+ 1}2_{+ 2 3 .1.}1 2 3 = 7

6. Diketahui 𝑎 = 6, (𝑎 − 𝑏).(𝑎 + 𝑏) = 0, dan 𝑎 (𝑎 − 𝑏) = 3. Besar sudut antara vector 𝑎 dan 𝑏

adalah . . . a.𝜋 6 b. 𝜋 4 c. 𝝅 𝟑 d. 𝜋 2 e. 2𝜋 3 Jawab: 6 – (6 . cos 𝜃) = 3 - 6 . cosθ = -3 cosθ = 1 2 θ = 𝜋 3

7. Diketahui segitiga ABC, dengan A(0, 0, 0), B(2, 2, 0), dan C(0, 2, 2).Proyeksi Orthogonal 𝐴𝐵 pada 𝐴𝐶 adalah. . .

a. 𝒋 + 𝒌 b. 𝑖 + 𝑘 c.-𝑖 + 𝑗 d. 𝑖 + 𝑗 −1 2𝑘 e.-1 2𝑖 − 𝑗 Jawab: 𝐴𝐵 = B – A = (2, 2, 0) 𝐴𝐶 = C – A = (0, 2, 2) 𝑃 = 𝐴𝐵 .𝐴𝐶 𝐴𝐶 2 𝐴𝐶

181 = 0+4+0

82 . (0, 2, 2) = (0, 1, 1)

8. Diketahui vector 𝑎 = 3𝑖 − 4𝑗 − 4𝑘 , 𝑏 =2𝑖 − 𝑗 + 3𝑘, 𝑑𝑎𝑛 𝑐 = 4𝑖 − 3𝑗 + 5𝑘.Panjang Proyeksi vector (𝑎 + 𝑏) 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑐 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ … a. 𝟑 𝟐 b. 4 2 c.5 2 d.6 2 e. 7 2 Jawab: (𝑎 + 𝑏) = (5 ,-5, -1) 𝑐 = (4, -3, 5) I𝑃I =(𝑎+𝑏).𝑐 𝑐 =20+15−5 16+9+25 =30 5 2 . 2 2 =6 2 2 = 3 2 9. Diketahui vector 𝑢 = 2𝑖 − 4𝑗 − 6𝑘 𝑑𝑎𝑛 𝑣 = 2𝑖 − 2𝑗 + 4𝑘. 𝑃𝑟𝑜𝑦𝑒𝑘𝑠𝑖 𝑣𝑒𝑘𝑡𝑜𝑟 𝑜𝑟𝑡𝑜𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑢 pada 𝑣 adalah . . . a.−4𝑖 + 8𝑗 + 12𝑘 b. −𝟒𝒊 + 𝟒𝒋 + 𝟖𝒌 c. −2𝑖 + 2𝑗 − 4𝑘 d. −𝑖 + 2𝑗 + 3𝑘 e. −𝑖 + 𝑗 − 2𝑘 Jawab: 𝑝 = 𝑢 .𝑣 𝑉 . 𝑉 =4+8−24 4+4+16 = 12−24 24 . 2 −2 4 =−24 2 6 . 2 −2 4 = 12 6 6 . 2 −2 4 =2 6 . −22 4 = −4 4 8

10.Jika 𝑤 adalah vector proyeksi orthogonal dari vector 𝑣 = terhadap vector 𝑢 = ,maka 𝑤 = … a. −1 1 3 b. 0 −1 −2 c. 0 1 2 d. −𝟒 𝟐 𝟐 e. −2 4 −2 Jawab: 𝑢 = −1, 2, −1 ; 𝑤 = ⋯ 𝑤 = 𝑣.𝑢 𝑢 2 . 𝑢 = (−2,−6,−4) ( 6)2 . (-1, 2, -1) = −12₆ (-1, 2, -1) = (2, -4, 2) 11. diketahui vector 𝑎 = 1𝑥 2 , 𝑏 = 2 1

−1 , dan proyeksi 𝑎 pada 𝑏 adalah

2

6. Sudut antara 𝑎 dan 𝑏 adalah a, maka cos ∝ = ….. a. 𝟐 𝟑 𝟔 b. 1 3 c. 2 3 d. 2 6 e. 6 3 Jawab : 2 6 = 𝑎.𝑏 𝑏

182 2 6 = 2+𝑥−2 6 2 = x * 𝑎. 𝑏 = 𝑎 𝑏 cos ∝ 2 + 2 – 2 = 9 6 cos 𝛼 2 3 6 = cos 𝛼