ANALISIS DINAMIKA PENYEBARAN VIRUS DEMAM BERDARAH DENGUE DENGAN DUA SEROTIPE AHMAD SUYUTI LATIF

(1)

ANALISIS DINAMIKA PENYEBARAN VIRUS

DEMAM BERDARAH DENGUE DENGAN DUA SEROTIPE

AHMAD SUYUTI LATIF

SEKOLAH PASCASARJANA

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2009

(2)

PERNYATAAN MENGENAI TESIS

DAN SUMBER INFORMASI

Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis dengan judul Analisis Dinamika

Penyebaran Virus Demam Berdarah Dengue dengan Dua Serotipe adalah karya saya

sendiri dan belum diajukan dalam bentuk apapun kepada perguruan tinggi manapun.

Sumber informasi dari karya yang diterbitkan maupun yang tidak diterbitkan dari

penulis lain disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian

akhir tesis ini.

Bogor,

Agustus

2009

Ahmad Suyuti Latif

(3)

ABSTRACT

AHMAD SUYUTI LATIF. Analyzing Dynamics of Dengue Fever Viruses with Two Serotypes. Supervised by ENDAR HASAFAH NUGRAHANI and ALI KUSNANTO.

Dengue fever is an endemic disease in the tropical regions of the world, and temporal or sporadic in the subtropical and temperate regions. The virus is transmitted to humans by the bites of Aedes mosquitoes and Aedes albopictus. An epidemic model is formulated as a nonlinear system of differential equations that models the dynamics of dengue fever. The model uses basic reproduction number

( )

ℜ to determine endemic criteria. This model considers the relation ₀ between two serotypes and determines the factors that cause the invasion of different serotypes in the human population. Analysis of the model reveals the existence of four equilibrium points in each of its solution region. Futhermore, the conditions for the asymptotic stability of equilibria are obtained by analytical as well as numerical methods. The results of simulation show that there exists a transcritical bifurcation. It is shown that one of the equilibrium points corresponds to the disease–free state, while the other three equilibria correspond to the states, where just one of each serotype presents, and where both serotypes coexist, respectively.

Keywords: epidemic model, dengue fever, basic reproduction number.

(4)

RINGKASAN

AHMAD SUYUTI LATIF. Analisis Dinamika Penyebaran Virus Demam Berdarah

Dengue dengan Dua Serotipe. Dibimbing oleh ENDAR HASAFAH NUGRAHANI

dan ALI KUSNANTO.

Demam berdarah (dengue fever) adalah penyakit endemik di daerah tropis dan

sewaktu-waktu berjangkit di daerah subtropis dan daerah yang bersuhu tinggi.

Demam berdarah secara umum ditemukan menyerang anak-anak dan remaja

dengan gejala demam secara tiba-tiba, sakit kepala, mimisan, muntah, dan gejala

lainnya (Esteva & Vargas 2002).

Demam berdarah yang banyak berjangkit di daerah Asia Tenggara adalah

Dengue Haemorrhagic Fever (DHF) dan Dengue Shock Syndrome (DSS). DHF

adalah salah satu bentuk infeksi ganas dari penyakit demam berdarah dengue dengan

risiko kematian yang lebih tinggi dari pada demam dengue lainnya. Sedangkan DSS

adalah kondisi kelanjutan dari DHF (Chakraborty 2008).

Demam berdarah dan DHF disebabkan oleh salah satu dari 4 serotipe virus

yang berbeda antigen. Virus ini adalah kelompok Flavivirus dan serotipenya adalah

DEN-1, DEN-2, DEN-3, DEN-4. Infeksi oleh salah satu jenis serotipe ini akan

memberikan kekebalan seumur hidup tetapi tidak menimbulkan kekebalan terhadap

serotipe yang lain. Sehingga seseorang yang hidup di daerah endemis DHF dapat

mengalami infeksi sebanyak 4 kali seumur hidupnya (Esteva & Vargas 2002).

Untuk menentukan terjadinya endemik suatu penyakit pada suatu daerah

digunakan kriteria bilangan reproduksi dasar

( )

ℜ . Bila

₀

ℜ <

0

1,

berarti tidak terjadi

endemik dan bila

ℜ > berarti terjadi endemik (Brauer 2008).

₀

1,

Dari analisis model penyebaran virus demam berdarah dengue dengan dua

serotipe diperoleh empat macam titik kesetimbangan sebut

E , E

0 1

,

E

2

dan E

3.

Untuk menentukan titik kesetimbangan endemik dengan cara memisalkan virus

serotipe I yang menginfeksi populasi, sehingga diperoleh titik kesetimbangan

E dan

₁

bila virus serotipe II yang menginfeksi populasi diperoleh titik kesetimbangan

E

2

.

Titik koeksistensi kesetimbangan endemik terjadi karena dua jenis virus yaitu

serotipe I dan II menyerang secara bersama pada populasi didapat titik kesetimbangan

koeksistensi endemik

E₃.

Dengan menganalisis model didapat syarat-syarat

kestabilan dan beberapa teorema untuk kestabilan titik-titik kesetimbangan.

Dari simulasi model didapat solusi model secara numerik, titik

kese-timbangan dan kestabilannya, dan parameter-parameter penting yang mempengaruhi

perilaku model. Pada saat titik bebas penyakit, diperoleh nilai-nilai variabelnya tidak

semua bernilai nol, sehingga selalu terdapat populasi sehat. Dengan simulasi juga

dapat dilihat daerah titik-titik kesetimbangan untuk nonendemik, endemik dan

koeksistensi dari dua jenis virus DBD. Simulasi juga menunjukkan bahwa kestabilan

titik-titik kesetimbangan dipengaruhi oleh besar kecilnya bilangan dasar reproduksi

(Â

0

) yang diperoleh, dan juga ditemukannya titik percabangan trayektori atau

(5)

Dengan melakukan perubahan nilai-nilai parameter pada simulasi, didapat

perubahan perilaku model, antara lain; bertambahnya penularan virus dari manusia

ke nyamuk dan dari nyamuk kemanusia mempengaruhi secara langsung terhadap

naiknya infeksi virus DBD dua serotipe pada populasi, sesuai dengan jenis infeksi

virus yang menginfeksi populasi pada masing-masing kompartemen. Bertambahnya

nilai peluang seorang terkena sakit demam berdarah oleh dua serotipe, menyebabkan

bertambahnya populasi koeksistensi, begitu pula sebaliknya.

(6)

© Hak Cipta milik Institut Pertanian Bogor, tahun 2009

Hak Cipta dilindungi undang-undang

1. Dilarang mengutip sebagian atau seluruh hasil karya tulis ini tanpa

mencantumkan atau menyebutkan sumber.

a. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan

karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau tinjauan suatu

masalah

b. Pengutipan tidak merugikan kepentingan yang wajar Institut Pertanian

Bogor.

2. Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis

dalam bentuk apapun tanpa izin Institut Pertanian Bogor.

(7)

ANALISIS DINAMIKA PENYEBARAN VIRUS

DEMAM BERDARAH DENGUE DENGAN DUA SEROTIPE

AHMAD SUYUTI LATIF

Tesis

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada

Departemen Matematika

SEKOLAH PASCASARJANA

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2009

(8)

(9)

Judul Tesis

: Analisis Dinamika Penyebaran Virus Demam Berdarah Dengue

dengan Dua Serotipe

Nama

: Ahmad Suyuti Latif

NRP

: G551070161

Disetujui,

Komisi Pembimbing

Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S. Drs. Ali Kusnanto, M.Si.

Ketua Anggota

Diketahui

Ketua Program Studi Dekan Sekolah Pascasarjana IPB

Matematika Terapan

Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S. Prof. Dr. Ir. Khairil A. Notodiputro, M.S.

(10)

PRAKATA

Puji dan syukur kepada Allah SWT yang telah memberikan karuniaNya sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis ini. Judul penelitian yang dipilih penulis adalah: Analisis Dinamika Penyebaran Virus Demam Berdarah Dengue dengan Dua Serotipe dengan waktu penelitian dimulai sejak bulan Desember 2008.

Pada kesempatan ini penulis menyampaikan terima kasih kepada Ibu Dr. Ir. Endar Hasafah Nugrahani, M.S dan Bapak Drs. Ali Kusnanto, M.Si selaku pembimbing yang telah banyak membimbing dan mengarahkan penulisan tesis ini, serta Bapak Dr. Toni Bakhtiar, M.Sc selaku penguji yang telah banyak memberikan saran. Penulis mengucapkan terima kasih kepada Ibu Dr. Nuning Nuraini, M.S atas izinnya, sehingga penulis dapat menggunakan tulisan beliau sebagai bahan rujukan dalam tesis ini. Ungkapan terima kasih juga penulis sampaikan kepada Departemen Agama Republik Indonesia yang memberikan beasiswa dan kepada rekan-rekan mahasiswa yang telah memberikan motivasi dan sarannya. Semoga Allah memberikan balasan yang lebih baik bagi kita semua.

Terakhir kepada orang tua serta istri dan anak-anak tercinta yang telah memberikan dorongan moral, doa dan kesabarannya bagi penulis untuk menuntut ilmu pengetahuan.

Semoga karya ilmiah ini bermanfaat .

Bogor, Agustus 2009 Ahmad Suyuti Latif

(11)

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di desa Grujugan, kecamatan Kemranjen, kabupaten Banyumas Jawa Tengah pada tanggal 11 Desember 1972 dari ayah Ngadiman dan ibu Tarsilah. Penulis merupakan putra kedua dari empat bersaudara.

Tahun 1991 penulis lulus dari SMA Negeri 1 Kroya, Cilacap dan pada tahun yang sama masuk Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Ahmad Dahlan (UAD) Yogyakarta. Penulis memilih program studi Pendidikan Matematika, lulus tahun 1997. Pada tahun yang sama pula penulis diterima menjadi Calon Pegawai Negeri Sipil Departemen Agama Republik Indonesia. Sampai saat ini penulis masih menjadi staf pengajar pelajaran Matematika pada Madrasah Aliyah Negeri ( MAN ) Sumpiuh di Kabupaten Banyumas sejak 1998.

Pada tahun 2007, penulis memperoleh kesempatan untuk melanjutkan program magister pada Institut Pertanian Bogor (IPB) dengan program studi Matematika Terapan yang disponsori Departemen Agama Republik Indonesia.

(12)

DAFTAR ISI

Halaman

DAFTAR GAMBAR ... xii

DAFTAR LAMPIRAN ... xiii

1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang ... 1

1.2 Tujuan Penelitian ... 3

2 TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Model SIR ... 4

2.2 Model Matematika Penyebaran Virus DBD Serotipe I dan II ... 4

2.3 Definisi Sistem Persamaan Diferensial Taklinear... 9

2.4 Definisi Titik Tetap ... 9

2.5 Ekspansi Taylor ... 9

2.6 Pelinearan Sistem Persamaan Taklinear ... 9

2.7 Kestabilan Titik Tetap ... 11

2.8 Bilangan Reproduksi Dasar ... 11

2.9 Matriks Pembangkit ... 11

2.10 Kriteria Routh-Hurwitz ... 12

2.11 Kestabilan Asimtotik Global ... 13

3 METODE PENELITIAN ... 15

4 ANALISIS MODEL 4.1 Model Proporsional ... 16

4.2 Bilangan Reproduksi Dasar... 16

4.3 Titik Kesetimbangan ... 19

4.4 Titik Kesetimbangan Nonendemik ... 19

4.5 Titik Kesetimbangan Endemik ... 20

4.6 Koeksistensi Titik Kesetimbangan Endemik ... 25

4.7 Daerah Titik Kesetimbangan ... 27

4.8 Hasil Simulasi ... 28

4.8.1 Hasil Simulasi 1 ... 29

5 SIMPULAN DAN SARAN 5.1 Simpulan ... 33

5.2 Saran. ... 34

DAFTAR PUSTAKA ... 35

(13)

DAFTAR GAMBAR

Halaman

1 Kejadian luar biasa kasus DBD di Indonesia tahun 2004 ... 2

2 Kejadian DBD di Asia tahun 2006-2008 ... 2

3 Skema dasar model SIR ... 4

4 Diagram penyebaran virus DBD dengan dua serotipe pada manusia ... 6

5 Diagram penyebaran virus DBD dengan dua serotipe pada nyamuk ... 7

6 Daerah titik-titik kesetimbangan penyebaran virus DBD dengan dua serotipe ... 26

7 Dinamika infeksi virus DBD dengan dua serotipe dari simulasi 1 ... 28

8 Dinamika kesembuhan populasi dari infeksi virus DBD dengan dua serotipe dari simulasi 1 ... 28

9 Dinamika infeksi virus DBD dengan dua serotipe dari simulasi 2 ... 30

10 Dinamika kesembuhan populasi dari infeksi virus DBD dengan dua serotipe dari simulasi 2 ... 30

11 Dinamika infeksi virus DBD pada kompartemen S, I1 dan I2 ... 31

12 Dinamika infeksi virus DBD pada kompartemen I1 , I2 dan D ... 31

13 Dinamika kesembuhan populasi dari infeksi virus DBD pada kompartemen Z1, Z2 dan Z ... 32

(14)

DAFTAR LAMPIRAN

Halaman

1 Menentukan model proporsional... 37

2 Menentukan titik nonendemik ... 41

3 Bukti Teorema 1 ... 43

4 Menentukan titik endemik ... 45

5 Menentukan ketaksamaan (4.6) ... 48

6 Menentukan titik koeksistensi endemik E3 ... 50

7 Bukti Teorema 4 ... 52

8 Program Mathematica untuk menentukan daerah titik kesetimbangan model penyebaran virus DBD dengan dua serotipe ... 54

9 Program Mathematica untuk simulasi model penyebaran virus DBD dengan dua serotipe ... 55