i
MODEL VERHULST DETERMINISTIK DAN STOKASTIK
Skripsi
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains
Program Studi Matematika
Oleh : Happy Christanti
NIM: 123114001
PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA
ii
DETERMINISTIC AND STOCHASTIC VERHULST MODEL
Thesis
Presented as a Partial Fulfillment of the Requirement to Obtain the Sarjana Sains Degree
in Mathematics
By :
Happy Christanti Student Number: 123114001
MATHEMATICS STUDY PROGRAM DEPARTMENT OF MATHEMATICS FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY
SANATA DHARMA UNIVERSITY YOGYAKARTA
v
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA
Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini tidak memuat karya atau bagian orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam kutipan atau daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.
Yogyakarta, 31 Maret 2016 Penulis,
vi
HALAMAN PERSEMBAHAN
“Bersukacitalah dalam pengharapan, sabarlah
dalam kesesakan, dan bertekunlah dalam doa!”
(Roma 12:12)
vii ABSTRAK
viii ABSTRACT
ix
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yesus Kristus yang selalu menyertai dan membimbing penulis sehingga penulis mampu menyelesaikan skripsi ini dengan baik. Skripsi ini dibuat sebagai salah satu syarat dalam menye-lesaikan studi Strata satu (S1) dan memperoleh gelar Sarjana Sains (S.Si.) pada Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.
Penulis menyadari bahwa proses penulisan skripsi ini melibatkan banyak pihak yang membantu penulis dalam menghadapi berbagai macam kesulitan dan hambatan selama proses penulisan skripsi. Oleh karena itu pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada:
1. Bapak Hartono, Ph.D selaku Kaprodi Matematika dan Dosen Pembimbing Akademik.
2. Bapak Dr. rer. nat. Herry P. Suryawan, S.Si., M.Si. selaku Dosen Pembimbing Skripsi.
3. Romo Prof. Dr. Frans Susilo, SJ., Ibu M. V. Any Herawati, S.Si., M.Si., Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc., Bapak Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D., dan Ibu Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si. selaku dosen-dosen prodi matematika yang telah memberikan banyak pengetahuan kepada penulis selama proses perkuliahan.
x
5. Teman-teman Matematika 2012: Boby, Ajeng, Tika, Oxi, Putri, Juli, Ferni, Risma, Ega, Rian, Budi, Lia, Anggun, Sila, Noni, Arum, Dewi, Ilga, Amanda, terimakasih untuk kebersamaan, keceriaan, semangat dan bantu-an selama proses perkuliahbantu-an. Bbantu-anyak suka dbantu-an duka, namun tidak ada kata menyerah.
6. Kakak-kakak dan adik-adik tingkat: Kak Indra, Kak Ensi, Kak Ochi, Kak Jojo, Kak Ayu, Kak Tika, Kak Pandu, Kak Ratri, Kak Astri, Ambar, Bintang, Inge, Dion, Rey, Agung, Bella, Monik dan yang lainnya, terima-kasih untuk semangat dan dukungannya.
7. Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu per satu dalam proses penulisan skripsi ini.
Semoga segala perhatian, dukungan, bantuan dan cinta yang telah diberikan mendapatkan balasan dari Tuhan Yesus Kristus. Penulis menyadari bahwa masih banyak kekurangan dalam penulisan skripsi ini. Oleh karena itu, penulis mengha-rapkan kritik dan saran demi penyempurnaan skripsi ini. Harapan penulis, semoga skripsi ini bermanfaat bagi pembaca dan menjadi referensi belajar yang baik.
Yogyakarta, 31 Maret 2016 Penulis,
xi
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN
PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS
Yang bertanda tangan di bawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma:
Nama : Happy Christanti Nomor Mahasiswa : 123114001
Demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma karya ilmiah saya yang berjudul:
MODEL VERHULST DETERMINISTIK DAN STOKASTIK
beserta perangkat yang diperlukan (bila ada). Dengan demikian saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma hak untuk menyimpan, mengalihkan dalam bentuk media lain, mengelolanya dalam bentuk pangkalan data, mendistribusikan secara terbatas, dan mempublikasikannya di Internet atau media lain untuk kepentingan akademis tanpa perlu meminta izin dari saya maupun memberikan royalti kepada saya selama tetap mencatumkan nama saya sebagai penulis.Demikian pernyataan ini yang saya buat dengan sebenarnya.
Dibuat di Yogyakarta
Pada tanggal: 31 Maret 2016
Yang menyatakan
xii
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ...i
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ...iii
HALAMAN PENGESAHAN ...iv
HALAMAN KEASLIAN KARYA ...v
HALAMAN PERSEMBAHAN ...vi
ABSTRAK ...vii
ABSTRACT ...viii
KATA PENGANTAR ...ix
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI...xi
DAFTAR ISI ...xii
DAFTAR GAMBAR ...xv
BAB I PENDAHULUAN ...1
A. Latar Belakang ...1
B. Rumusan Masalah ...7
C. Batasan Masalah ...7
D. Tujuan Penulisan ...8
E. Manfaat Penulisan ...8
F. Metode Penulisan ...8
xiii
BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL ...11
A. Persamaan Diferensial Biasa ...11
1. Persamaan Diferensial ...11
2. Persamaan Diferensial Linier ...12
3. Persamaan Diferensial Variabel Terpisah ...14
B. Persamaan Diferensial Stokastik ...16
1. Teori Peluang...17
2. Integral Ito ...32
3. Persamaan Diferensial Stokastik ...54
BAB III MODEL VERHULST DETERMINISTIK...58
A. Model Pertumbuhan Populasi Verhulst ...64
1. Penyelesaian Model Verhulst ...65
2. Analisa Kualitatif Model Verhulst ...69
B. Beberapa Pengembangan Model Pertumbuhan Populasi Verhulst ....74
1. Model Verhulst dengan Batas Bawah (Threshold) ...74
2. Model Pemanenan Schaefer ...88
3. Model Penyebaran Teknologi...96
4. Model Verhulst dengan Laju Pertumbuhan tidak Konstan ...101
BAB IV MODEL VERHULST STOKASTIK ...113
A. Model Pertumbuhan Stokastik yang Memuat Derau yang Berasal dari Gerak Brown ...113
xiv
BAB V PENUTUP ...125
A. Kesimpulan ...125
B. Saran ...127
DAFTAR PUSTAKA ...129
xv
DAFTAR GAMBAR
Gambar 2.1 Ilustrasi Grafik Fungsi Densitas Peluang ...23
Gambar 2.2 Contoh Lintasan Sampel Gerak Brown dengan ...31
Gambar 2.3 Ilustrasi geometri integral Riemann ...33
Gambar 2.4 Ilustrasi Jumlahan Riemann-Stieltjes ...39
Gambar 2.5 Ilustrasi Jumlahan Riemann-Stieltjes ...40
Gambar 3.1 Grafik Penyelesaian Model Malthus saat ...59
Gambar 3.2 Grafik Penyelesaian Model Gompertz dengan dan ...62
Gambar 3.3 Grafik Penyelesaian Model Gompertz dengan dan ...63
Gambar 3.4 Grafik Penyelesaian Model Gompertz dengan dan ...63
Gambar 3.5 Grafik Penyelesaian Model Verhulst dengan ...73
Gambar 3.6 Grafik Penyelesaian Model Verhulst dengan Batas Bawah dengan , , dan ...87
Gambar 3.7 Grafik Penyelesaian Model Schaefer saat dan ...93
Gambar 3.8 Grafik Penyelesaian Model Schaefer saat , , dan ...94
xvi
Gambar 3.10 Grafik Penyelesaian Model Penyebaran Teknologi saat ,
, dan ...100 Gambar 3.11 Grafik Penyelesaian Model Verhulst Laju tak Konstan dengan
...110 Gambar 3.12 Grafik Penyelesaian Model Verhulst Laju tak Konstan dengan
...111 Gambar 3.13 Grafik Penyelesaian Model Verhulst Laju tak Konstan dengan
...112
Gambar 4.1 Contoh Lintasan Sampel Penyelesaian Model Verhulst Stokastik saat
, , , dan . ...123 Gambar 4.2 Contoh Lintasan Sampel Penyelesaian Model Verhulst Stokastik saat
, , , dan . ...123
Gambar 4.3 Contoh Lintasan Sampel Penyelesaian Model Verhulst Stokastik saat
1 BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Banyak matematikawan yang sudah mengembangkan model matematika untuk pertumbuhan populasi. Thomas Robert Malthus (1798), seorang ahli ekonomi asal Inggris, menjadi salah satu tokoh yang berpengaruh dalam pe-ngembangan model pertumbuhan populasi. Model Malthus atau disebut juga model eksponensial, yaitu:
dengan t adalah variabel waktu, r adalah konstanta laju pertumbuhan intrinsik
yang besarnya adalah , dan ada-lah banyaknya individu di dalam populasi pada waktu t. Dengan metode pe-misahan variabel masalah nilai awal tersebut mempunyai penyelesaian:
Hal ini berarti bahwa pertumbuhan populasi bertumbuh secara eksponensial dan besarnya bergantung pada kondisi awal , konstanta laju pertumbuhan r
dan waktu t. Hal tersebut tidak realistis untuk , sebab tidak mungkin suatu populasi bertumbuh secara eksponensial tanpa batas. Sebagai ilustrasi, jika diambil t menuju tak hingga, maka diperoleh juga menuju tak
Model Gompertz merupakan salah satu pengembangan model Malthus yang cukup terkenal. Biasanya model Gompertz digunakan untuk memodel-kan pertumbuhan tumor maupun dinamika populasi. Dalam skripsi ini amemodel-kan dibahas model Gompertz yaitu: pertumbuhan populasi, dan adalah konstanta positif yang menunjukkan seberapa cepat penyelesaian model Gompertz menuju ke kestabilan asimtotik. Kita juga dapat menyatakan sebagai laju perubahan besarnya populasi. Dengan menggunakan metode pemisahan variabel masalah nilai awal tersebut memiliki penyelesaian
(
Jika diambil nilai limitnya, maka kita memperoleh:
(
Hal tersebut menunjukkan bahwa dalam jangka waktu yang lama penyelesai-annya bergerak menuju ke suatu nilai yang bergantung pada dan .
Belgia bernama Pierre-François Verhulst, memperbaiki model Malthus yang dianggap tidak realistis. Model Verhulst tersebut kemudian berkembang dan menjadi salah satu model sederhana terbaik untuk memodelkan pertumbuhan populasi. Model Verhulst juga disebut sebagai model logistik, yaitu:
dengan t adalah variabel waktu, r adalah konstanta laju pertumbuhan,
adalah banyaknya individu dalam populasi pada waktu t, dan K adalah kapa-sitas ambang atau kemampuan maksimum alam untuk menghidupi populasi. Dengan metode pemisahan variabel masalah nilai awal tersebut tersebut mempunyai penyelesaian:
Model ini lebih realistis, sebab jika diambil nilai t menuju tak hingga, maka diperoleh:
Hal ini berarti populasi akan bertumbuh secara asimtotik ke K untuk t menuju
tak hingga.
Konstanta laju pertumbuhan r menandakan bahwa laju pertumbuhan
konstan terhadap waktu. Pada skripsi ini model Verhulst akan dikembangkan lagi menjadi model Verhulst dengan laju pertumbuhan tidak konstan atau laju pertumbuhannya merupakan fungsi dari waktu, yaitu:
dengan suatu fungsi terhadap t yang menyatakan bahwa laju pertumbu-han populasi besarnya bergantung pada waktu. Populasi yang berbeda mem-punyai laju pertumbuhan yang berbeda-beda pula terhadap waktu. Beberapa populasi memiliki periode reproduksi yang berbeda-beda, bergantung pada waktu. Misalnya pada beberapa mamalia memiliki waktu reproduksi yang berbeda. Mamalia seperti anjing, serigala, dan beruang hanya bereproduksi sekali dalam setahun, sedangkan mamalia seperti kuda dan domba memiliki siklus reproduksi yang pendek, sehingga dalam setahun bisa bereproduksi lebih dari satu kali.
Selain model Verhulst dengan laju pertumbuhan tidak konstan, model Verhulst juga dapat dikembangkan lagi menjadi model Verhulst dengan batas bawah dan model Schaefer (model pemanenan). Model Verhulst dengan batas bawah pada dasarnya menyatakan bahwa terdapat konstanta T yang merepre-sentasikan batas bawah banyaknya individu dalam suatu populasi yang menyebabkan populasi tersebut tidak punah. Dengan kata lain, jika banyak-nya individu dalam populasi kurang dari T, maka populasi tersebut menuju
adalah banyaknya individu dalam populasi pada waktu t, K adalah kapasitas
ambang atau kemampuan maksimum alam untuk menghidupi populasi, dan T
adalah batas bawah banyaknya individu agar populasi tidak punah. Model Schaefer atau model pemanenan berbentuk:
dengan t adalah variabel waktu, r adalah konstanta laju pertumbuhan populasi
normal, adalah banyaknya individu dalam populasi pada waktu t, K
adalah kapasitas ambang atau kemampuan maksimum alam untuk menghidu-pi populasi, dan E adalah konstanta positif yang menyatakan laju pemanenan.
Selain untuk memodelkan dinamika populasi, model Verhulst juga dapat dimodifikasi untuk memodelkan penyebaran teknologi. Model penyebaran teknologi serupa dengan model pertumbuhan populasi Verhulst, yaitu:
(
Kita dapat menginterpretasikan sebagai laju penurunan minat pengguna teknologi yang berkaitan.
Pada kenyataannya, sering kali pertumbuhan populasi “diganggu” oleh hal-hal yang tidak direncanakan (tidak terduga), misalnya: bencana alam, penyakit, predator alami, perburuan dan lain sebagainya. Hal tersebut menye-babkan model deterministik menjadi tidak relevan lagi untuk digunakan. Oleh karena itu kita perlu memperbaiki model deterministik menjadi model stokastik. Model stokastik memuat unsur acak atau ketidakpastian. Model Verhulst stokastik dirumuskan seperti model Verhulst deterministik dengan menambahkan faktor derau pada fungsi laju pertumbuhan, yakni
. Model Verhulst deterministik sekarang menjadi:
Derau di dalam kalkulus stokastik dipandang sebagai derau putih Gaussian, yaitu turunan terhadap waktu dari gerak Brown. Jadi model Verhulst stokastik diberikan oleh:
adalah proses Wiener atau gerak Brown. Namun dalam skripsi ini akan dicari penyelesaian model Verhulst stokastik yang lebih sederhana, yaitu
dengan berturut-turut adalah konstanta laju pertumbuhan populasi ber-kaitan dengan suku deterministik dan stokastik.
Dalam skripsi ini juga akan disajikan grafik penyelesaian model Ver-hulst deterministik dan stokastik dengan menggunakan Matlab atau Maple. B. Rumusan Masalah
Perumusan masalah yang akan dibicarakan pada skripsi ini adalah:
1. Bagaimana model Verhulst deterministik untuk pertumbuhan populasi dan beberapa pengembangannya dirumuskan, diselesaikan, dan dianalisa? 2. Bagaimana model Verhulst stokastik untuk pertumbuhan populasi
dirumuskan dan diselesaikan? C. Batasan Masalah
Skripsi ini dibatasi pada masalah-masalah sebagai berikut.
1. Model deterministik yang dibahas ialah model Verhulst serta beberapa pe-ngembangannya, seperti model Verhulst dengan batas bawah, model Verhulst dengan laju pertumbuhan tidak konstan, model Schaefer (model pemanenan), dan model penyebaran teknologi.
2. Model stokastik yang dibahas ialah model Verhulst yang memuat derau yang berasal dari gerak Brown.
4. Model yang dibicarakan ialah model kontinu, yaitu menggunakan persamaan diferensial biasa tingkat satu.
5. Populasi pada model yang dibicarakan hanya menempati satu daerah yang tetap.
D. Tujuan Penulisan
Tujuan dari penulisan tugas akhir ini adalah untuk menyelesaikan dan menganalisa model pertumbuhan populasi Verhulst, baik yang bersifat deter-ministik maupun stokastik.
E. Manfaat penulisan
Manfaat yang dapat diperoleh dari penulisan skripsi ini adalah kita dapat memahami dan menganalisa pertumbuhan populasi satu spesies dengan model matematika, khususnya dengan model Verhulst deterministik dan stokastik. Selain itu juga kita dapat memperkirakan besarnya populasi satu spesies di masa yang akan datang.
F. Metode Penulisan
G. Sistematika Penulisan BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang B. Rumusan Masalah C. Batasan Masalah D. Tujuan Penulisan E. Manfaat Penulisan F. Metode Penulisan G. Sistematika Penulisan
BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL A. Persamaan Diferensial Biasa
1. Persamaan Diferensial 2. Persamaan Diferensial Linier
3. Persamaan Diferensial Variabel Terpisah B. Persamaan Diferensial Stokastik
1. Teori Peluang 2. Integral Ito
3. Persamaan Diferensial Stokastik BAB III MODEL VERHULST DETERMINISTIK
B. Beberapa Pengembangan Model Pertumbuhan Populasi Verhulst 1. Model Verhulst dengan Batas Bawah (Threshold) (Efek Allee) 2. Model Pemanenan Schaefer
3. Model Penyebaran Teknologi
4. Model Verhulst dengan Laju Pertumbuhan tidak Konstan BAB IV MODEL VERHULST STOKASTIK
A. Model Pertumbuhan Stokastik yang Memuat Derau yang Berasal dari Gerak Brown
B. Penyelesaian Model Verhulst Stokastik BAB V PENUTUP
A. Kesimpulan B. Saran
11 BAB II
PERSAMAAN DIFERENSIAL
A. Persamaan Diferensial Biasa 1. Persamaan Diferensial
Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat
variabel-variabel tak bebas dan turunan-turunannya terhadap variabel-variabel bebas.
Secara umum, persamaan diferensial dikategorikan dalam dua ke-las yaitu biasa dan parsial. Persamaan diferensial biasa adalah persamaan diferensial yang hanya melibatkan satu variabel bebas. Misal adalah fungsi satu variabel, dengan adalah variabel bebas dan adalah variabel tak bebas, maka suatu persamaan diferensial biasa dapat dinyatakan dalam bentuk:
(
Jika maka persamaan diferensial di atas dinamakan persamaan diferensial homogen.
Sementara itu, persamaan diferensial parsial adalah suatu persamaan
diferensial yang melibatkan dua atau lebih variabel bebas. Definisi 2.1 Tingkat Persamaan Diferensial
Contoh 2.1 1.
merupakan persamaan diferensial biasa tingkat satu.
2. merupakan persamaan diferensial biasa tingkat dua. 3.
merupakan persamaan diferensial parsial tingkat satu.
4.
merupakan persamaan diferensial parsial
tingkat dua.
2. Persamaan Diferensial Linier
Persamaan diferensial dikatakan linier jika:
a) tidak ada perkalian antara variabel-variabel tak bebas dengan dirinya sendiri atau dengan turunan-turunannya,
b) tidak ada fungsi transendental (trigonometri, logaritma, eksponensial, siklometri, hiperbolik) yang terlibat dari fungsi dalam variabel-variabel tak bebas.
merupakan persamaan diferensial yang tak
linier karena terdapat perkalian antara variabel-variabel tak bebasnya, yaitu .
Secara umum, persamaan diferensial linier tingkat satu dapat ditulis sebagai berikut:
(2.1)
dengan adalah fungsi yang kontinu,
merupakan interval untuk dan merupakan interval untuk .
Definisi 2.2 Penyelesaian Persamaan Diferensial
Fungsi terdiferensial dikatakan penyelesaian persamaan diferensial (2.1) pada sebuah interval dengan syarat
untuk , apabila adalah fungsi yang terdiferensial kontinu pada , dan , untuk .
Definisi 2.3 Masalah Nilai Awal (Intial Value Problem)
Masalah nilai awal adalah persamaan diferensial yang dilengkapi dengan data pada satu titik awal domain.
Definisi 2.4 Penyelesaian Masalah Nilai Awal
Misal dan diasumsikan kontinu pada
. Kita katakan fungsi adalah penyelesaian masalah nilai awal:
pada interval dengan syarat , apabila adalah penyele-saian dari persamaan (2.1) pada , dan .
Titik dinamakan titik awal untuk masalah nilai awal (2.2) dan dikatakan nilai awal untuk masalah nilai awal (2.2).
3. Persamaan Diferensial Variabel Terpisah
Untuk mengidentifikasi persamaan diferensial variabel terpisah, pertama kita tulis persamaan diferensial tingkat satu (2.1) dalam bentuk:
(2.3)
dengan dan merupakan fungsi yang bergantung pada dan . Jika kita ambil adalah suatu fungsi yang hanya bergantung dan adalah sebuah fungsi yang hanya bergantung , maka persamaan (2.3) menjadi:
(2.4)
Persamaan (2.4) disebut persamaan diferensial variabel terpisah.
Metode yang dipakai untuk menyelesaikan persamaan diferensial variabel terpisah dinamakan metode pemisahan variabel. Penyelesaian
persamaan diferensial (2.4) dapat dicari dengan terlebih dahulu menulis-kan dalam bentuk diferensial
Selanjutnya, integralkan masing-masing sukunya
∫ ∫
untuk suatu . Contoh 2.2
Temukan solusi persamaan diferensial :
Jawab:
Persamaan diferensial tersebut merupakan persamaan diferensial variabel terpisah. Misalkan dan
.
Langkah 1: bagi kedua ruas dengan , diperoleh:
Langkah 2: Integralkan masing-masing suku, diperoleh:
∫ ∫ ∫
∫ ∫
Definisi 2.5 Titik Ekuilibrium dari Persamaan Diferensial Diberikan persamaan diferensial sebagai berikut
Titik dimana disebut titik ekuilibrium jika untuk seti-ap . Dengan kata lain titik ekuilibrium terjadi saat
Contoh 2.3
Diberikan persamaan diferensial sebagai berikut
Syarat ekuilibrium yaitu
Sehingga, titik ekuilibrium persamaan diferensial di atas yaitu dan . B. Persamaan Diferensial Stokastik
Alasan munculnya kalkulus stokastik yaitu karena seringkali kita menjumpai situasi yang tidak dapat diprediksi sebelumnya atau disebut unsur acak, sehingga metode-metode pada kalkulus deterministik tidak mampu menyelesaikan masalah tersebut. Persamaan diferensial stokastik adalah persamaan diferensial yang memuat unsur acak yang biasa disebut derau (noise), yaitu:
berasal dari gerak Brown, yaitu unsur acak atau gangguan yang memiliki variansi yang tak terbatas.
1. Teori Peluang
Untuk menyelesaikan persamaan diferensial stokastik kita perlu mem-pelajari kalkulus Itô. Pertama, kita harus mengingat konsep dasar teori peluang.
Definisi 2.6 Percobaan Acak (Random Experiment)
Sebuah percobaan dikatakan acak apabila hasil dari percobaan tidak dapat diprediksi sebelumnya.
Definisi 2.7 Ruang Sampel (Sample Space) dan Titik Sampel (Sample Point)
Himpunan , yaitu semua kemungkinan hasil dari percobaan acak dinamakan ruang sampel. Suatu anggota dinamakan titik sampel.
Contoh 2.4
Pada sebuah percobaan pelemparan koin, kemungkinan hasil yang muncul adalah “angka” dan “gambar" . Jadi . dan disebut titik
sampel.
Definisi 2.8 Kejadian (Event)
Sebuah kejadian adalah suatu koleksi dari hasil percobaan yang merupakan himpunan bagian dari ruang sampel.
Definisi 2.9
Jika dan adalah kejadian dari ruang sampel , maka i. Gabungan dari dua kejadian dapat ditulis sebagai berikut
ii. Irisan dari dua kejadian dapat ditulis sebagai berikut
iii.Komplemen suatu kejadian dapat ditulis sebagai berikut
iv. Selisih suatu kejadian dapat ditulis sebagai berikut
Definisi 2.10 Kejadian Saling Asing (Disjoint)
Sepasang kejadian dan dikatakan saling asing jika
Definisi 2.11 Peluang (Probability)
Misal adalah kejadian pada ruang sampel berhingga, notasi peluang
menyatakan peluang kejadian akan terjadi dan diberikan oleh:
Definisi 2.12 Aljabar- ( -Algebra)
Misal himpunan tak kosong. Aljabar- pada adalah koleksi himpunan bagian dari yang memenuhi:
i.
ii. jika , maka
iii.jika , maka ⋃ . Contoh 2.5
2. untuk suatu dan 3.
merupakan aljabar- terkecil pada , dan (himpunan kuasa dari ) merupakan aljabar- terbesar yang memuat semua himpunan bagian yang mungkin dari .
Sedangkan untuk suatu dan bukan merupakan aljabar- , karena .
Definisi 2.13 Ukuran Peluang (Probability Measure)
M aljabar- pada himpunan tak kosong . Fungsi
disebut ukuran peluang jika memenuhi: i. Untuk sebarang kejadian , . ii. .
iii.Jika , maka
(⋃
∑
Kesamaan berlaku jika adalah barisan himpunan yang saling asing.
Definisi 2.14
Misal adalah aljabar- pada himpunan tak kosong dan ukuran peluang pada .
i. disebut ruang terukur (measurable space)
Teorema 2.1
Jika dan adalah kejadian dan adalah ruang sampel, maka
i. .
ii. .
iii.Jika , maka .
iv. .
Lebih lanjut, jika dan saling asing maka
Bukti: i. Karena
maka . ii. Karena
maka . iii.Karena
dan , maka
dan karena , maka diperoleh . iv.Kita punya
Dari 52 kartu remi diambil sebuah kartu secara acak. Berapa peluang teram-bilnya sebuah kartu berbentuk hati atau As.
Jawab:
Misal adalah ruang sampel dengan , adalah kejadian terambil-nya kartu hati dengan , dan adalah kejadian terambilnya kartu As dengan . Kejadian menyatakan kejadian kartu As berben-tuk hati. Karena hanya ada satu kartu As yang berbenberben-tuk hati, maka
Definisi 2.15 Kejadian Saling Bebas (Independent) Dua kejadian dan dikatakan saling bebas jika
Definisi 2.16 Variabel Acak (Random Variable)
Misal adalah ruang sampel, fungsi disebut variabel acak. Sebuah variabel acak dikatakan diskrit apabila atau terhitung (artinya terdapat fungsi bijektif ). Sedangkan jika tidak terhitung maka variabel acak dikatakan kontinu.
Contoh 2.7
Pada sebuah percobaan pelemparan koin, kita tulis “1” untuk “angka” dan
“0” untuk “gambar". Jadi kita peroleh variabel acak untuk . Dengan kata lain adalah sebuah variabel acak diskrit.
Definisi 2.17 Variabel Acak Saling Bebas (Independent) Dua variabel acak dan dikatakan saling bebas jika
Definisi 2.18 Fungsi Densitas Peluang (Probability Density Function)
Fungsi disebut fungsi densitas peluang dari variabel acak pada ruang peluang jika
i. , ;
ii. ∫ untuk sebarang sedemikian sehingga
; iii.∫ .
Berikut adalah ilustrasi grafik dari fungsi densitas peluang . (i) ditunjukkan dengan kurva yang selalu berada di atas sumbu horizontal, (ii) dtunjukkan oleh daerah yang diarsir dan (iii) merupakan luas total area di bawah kurva.
Gambar 2.1 Ilustrasi Grafik Fungsi Densitas Peluang. Definisi 2.19 Nilai Harapan (Expectation/ Mean/ Expectation Value)
Nilai harapan dari sebuah variabel acak kontinu diberikan oleh:
∫
Nilai harapan dapat diintepretasikan sebagai rata-rata berbobot (weighted average) dari nilai pada ruang sampelnya.
Teorema 2.2 Nilai Harapan Perkalian Dua Variabel Acak yang Saling Bebas
Misal adalah dua variabel acak yang saling bebas, maka
Definisi 2.20 Variansi (Variance)
Misalkan adalah variabel acak kontinu, variansi dinotasikan dengan atau menyatakan ukuran dari variasi atau penyebaran distribusi peluang dari variabel acak dan didefinisikan oleh
(
∫
Akar dari variansi disebut standar deviasi dari , yaitu
Definisi 2.21 Fungsi Distribusi (Distribution Function)
Didefinisikan fungsi distribusi sebagai peluang variabel acak berni-lai kurang dari atau sama dengan , yaitu
∫
Persamaan di atas mengakibatkan saat dan
∫
Definisi 2.22 Momen
ke-Momen ke- suatu variabel acak yaitu .
Definisi 2.23 Fungsi Pembangkit Momen (Moment-Generating Function)
Fungsi pembangkit momen untuk suatu variabel acak didefinisikan sebagai berikut
Fungsi pembangkit momen dikatakan ada jika terdapat konstanta positif sedemikian sehingga hingga untuk .
Teorema 2.3
Jika ada, maka untuk sebarang bilangan bulat positif
|
Bukti Teorema 2.2 dapat dilihat pada buku “Mathematical Statistics with
Definisi 2.24 Distribusi Normal (Normal Distribution)
Suatu variabel acak dikatakan berdistribusi normal dengan rata-rata dan variansi (notasi: ) jika memiliki fungsi densitas peluang
Misal adalah variabel acak berdistribusi normal, maka
√ ∫
Sehingga kita peroleh fungsi pembangkit momen distribusi normal yaitu
Dengan menggunakan teorema 2.3, kita memperoleh
|
|
dan
|
|
Selanjutnya akan ditunjukkan .
(
(
■
Catatan:
Jika suatu variabel acak berdistribusi normal memiliki rata-rata dan variansi maka variabel acak dikatakan berdistribusi normal standar dan dinotasikan oleh .
Definisi 2.25 Proses Stokastik (Stochastic Process)
Definisi 2.26 Lintasan Sampel (Sample Path)
Untuk suatu , koleksi dinamakan lintasan sampel dari pada .
Definisi 2.27 Aljabar- yang dibangkitkan oleh proses stokastik
Untuk sebuah proses stokastik , aljabar- adalah aljabar- terkecil yang memuat semua himpunan yang berbentuk
untuk setiap himpunan yang mungkin dari fungsi pada . Maka disebut aljabar- yang dibangkitkan oleh .
Definisi 2.28
Proses stokastik dan pada ruang peluang
dikatakan ekuivalen jika:
untuk setiap . Kita katakan adalah versi dari , dan sebaliknya. Definisi 2.29 Filtrasi (Filtration)
Filtrasi pada ruang terukur adalah koleksi aljabar- pada yang memenuhi:
untuk setiap . Definisi 2.30
Proses stokastik dikatakan teradaptasi terhadap filtrasi (adapted to the filtration) jika:
untuk setiap . Fungsi disebut -terukur.
Proses stokastik selalu teradaptasi terhadap filtrasi natural yang dibangkit-kan oleh :
Definisi 2.31 Gerak Brown (Brownian Motion)
Proses stokastik dinamakan gerak Brown atau proses Wiener jika memenuhi kondisi-kondisi berikut:
i. .
ii. berdistribusi normal dengan rata-rata dan variansi untuk
, artinya untuk setiap , dengan berlaku
√ ∫
iii. adalah variabel acak-variabel acak yang saling bebas untuk . Dengan kata lain, mempu-nyai kenaikan yang saling bebas (independent increments) atau
( ( (
untuk setiap , dengan .
iv.Mempunyai lintasan sampel yang kontinu, yakni untuk setiap fungsi adalah fungsi kontinu.
Gambar 2.2 Contoh Lintasan Sampel Gerak Brown dengan . Sifat lintasan sampel gerak Brown:
i. Kontinu dimana-mana tapi tidak terdiferensial dimana-mana,
ii. Memiliki variasi fungsi yang tidak terbatas pada setiap interval kompak. Artinya untuk setiap interval tertutup dan terbatas berlaku
∑| |
dengan supremumnya diambil dari semua partisi yang mungkin
pada .
iii.Gerak Brown selalu teradaptasi terhadap filtrasi naturalnya.
Bukti dapat dilihat pada buku “Elementary Stochastic Calculus with Finance
in View” karangan Thomas Mikosch tahun 1998 halaman 36.
Derau putih (white noise) didefinisikan sebagai turunan distribusi dari gerak
Pengertian derau putih sebagai turunan distribusi ini akan kita gunakan secara informal. Dari sini diperoleh bahwa derau putih adalah sebuah proses Gauss (berdistri-busi normal) dengan rata-rata dan variansi . Derau putih sering digunakan sebagai model matematika untuk gangguan acak yang bersifat sa-ling bebas untuk tiap waktu yang berbeda dan memiliki fluktuasi yang besar. 2. Integral Itô
Kita telah mengetahui bahwa lintasan sampel gerak Brown tidak terdiferensial dimana-mana dan memiliki variasi yang tak terbatas pada suatu interval kompak. Pada bagian ini akan ditunjukkan bahwa integral yang telah kita kenal yaitu integral Riemann ataupun integral Riemann-Stietjes tidak dapat digunakan untuk mengintegralkan fungsi dengan inte-gratornya merupakan lintasan gerak Brown. Selanjutnya akan didefinisi-kan integral stokastik Itô sebagai alat untuk mengintegraldidefinisi-kan fungsi yang memuat lintasan sampel gerak Brown.
a. Integral Riemann
Integral Riemann tentunya sudah tidak asing lagi bagi kita, karena sudah pernah kita pelajari pada kalkulus dasar. Pada bagian ini akan dijelaskan integral Riemann secara sederhana.
Gambar 2.3 Ilustrasi geometri integral Riemann.
Secara matematis, integral Riemann didefinisikan sebagai berikut.
Misal adalah fungsi bernilai real yang terdefinisi pada interval dan misal dimana
adalah partisi pada , kita katakan terintegral
Riemann pada interval jika limit berikut ada:
∫
‖ ‖ ∑
dengan ‖ ‖ dan disebut titik evaluasi (tag).
Jumlahan
∑
Catatan:
1. Untuk menentukan jumlah partisi pada interval menjadi subinterval yang sama panjang, gunakan rumus
2. Jika terbatas pada atau berarti
dan kontinu di sana kecuali pada sejumlah titik yang berhingga, maka terintegral Riemann pada . Lebih lanjut, jika kontinu pada seluruh interval , maka terintegral Riemann pada .
Contoh 2.8
Hitung ∫ ! Jawab:
Bagi dalam buah subinterval yang sama panjang, yaitu ma-sing-masing intervalnya memiliki panjang
Kita peroleh
Berdasarkan kelinieran notasi sigma, kita peroleh
∑
Berdasarkan rumus jumlah khusus (lihat lampiran 2), kita peroleh
∑
(
Karena merupakan suatu partisi yang tetap, maka ‖ ‖ setara dengan . Sehingga dapat disimpulkan bahwa
∫
‖ ‖ ∑ ( (
[ ( ]
Ada dua teorema penting penting dalam teori integral Riemann. Teorema 2.5 Teorema Dasar Kalkulus I
Jika kontinu pada interval tertutup dan misal adalah sebuah titik pada , maka
∫
Teorema 2.6 Teorema Dasar Kalkulus II
Jika kontinu (dan terintegral Riemann) pada interval dan misal sebarang antiturunan pada pada , maka
∫
Bukti teorema dasar kalkulus pertama dan kedua dapat dilihat pada buku “Calculus (9th Edition)” karangan Dale Varberg, dkk tahun
Contoh 2.9
Gunakan teorema dasar kalkulus kedua untuk menghitung integral yang diberikan pada contoh sebelumnya!
Dengan teorema dasar kalkulus kedua, kita peroleh
∫
Integral Remann-Stieltjes merupakan integral Riemann yang diperumum. Integral ini melibatkan dua fungsi dan yang terdefinisi pada interval , dinotasikan ∫ . Jika kita
ambil , maka kita peroleh integral Riemann ∫ . Definisi integral Riemann-Stieltjes dari terhadap serupa dengan integral Riemann.
Misal adalah fungsi kontinu bernilai real yang terdefinisi pada inter-val dan adalah fungsi naik monoton yang terdefinisi pada in-terval . Misal dimana
dikata-kan terintegral Rieman-Stieltjes pada terhadap fungsi jika limit berikut ada
∫
‖ ‖ ∑
dengan ‖ ‖ dan disebut titik evaluasi (tag).
Contoh 2.10
Bagaimana jika kontinu dan naik monoton dengan kontinu,
apa-kah ∫ ada? Jawab:
Dengan menggunakan integral parsial, kita misalkan
dan
Kita peroleh:
∫ | ∫
Karena kontinu dan kontinu dan naik monoton, maka
∫
terintegral Riemann-Stieltjes. Contoh 2.11
Jawab:
Belum tentu. Untuk menunjukkan hal ini, kita selidiki kasus , yakni apakah ∫ ada?
Misalkan adalah partisi pada . Didefinisikan
∑
(2.5)
yaitu jumlah Riemann-Stieltjes dengan titik evaluasi (batas kiri). Lihat ilustrasi berikut.
Gambar 2.4 Ilustrasi Jumlahan Riemann-Stieltjes . Selanjutnya kita definisikan
∑
(2.6)
Gambar 2.5 Ilustrasi Jumlahan Riemann-Stieltjes . Misal , cek apakah ‖ ‖ ‖ ‖ ? Dari (2.5) dan (2.6) kita peroleh
∑
(2.8)
Dari persamaan (2.7) dan (2.8), kita memperoleh
∑
[ ∑ ] (2.9)
dan
∑
[ ∑ ] (2.10)
Perhatikan persamaan (2.7). Nilai
‖ ‖ ∑
disebut variasi kuadratik fungsi pada . Jadi jelas bahwa
‖ ‖ ‖ ‖
Bagaimana jika yaitu gerak Brown , apakah inte-gral Riemann-Stieltjes memungkinkan untuk mencari ∫ ? Berikut adalah sifat-sifat dasar dari gerak Brown.
1. Kontinu dimana-mana tetapi tidak terdiferensial dimana-mana. 2. Untuk sebarang , berdistribusi normal dengan rata-rata
dan variansi . Untuk sebarang , . Bukti:
Asumsikan , karena berdistribusi normal dan memiliki kenaikan yang saling bebas, maka
Sifat distributif
( Kelinieran nilai harapan
Definisi gerak Brown
Definisi gerak Brown
yang berarti sama dengan .
3. Untuk yang tetap, proses stokastik ̃ juga merupakan gerak Brown.
4. Untuk sebarang bilangan real , proses stokastik ̃
√ juga merupakan gerak Brown.
∑(
Sehingga kita dapatkan variasi kuadratik dari gerak Brown yaitu
‖ ‖ [ ] [ ]
Jadi integral Riemann-Stieltjes tidak bisa dipakai untuk
sifat-sifat tertentu dan diberikan gerak Brown , kita ingin mendefinisikan integral stokastik
∫
dengan . Integral tersebut selanjutnya dikenal de-ngan nama integral Itô.
c. Integral Itô
Persamaan diferensial yang memuat derau:
dengan merupakan suatu fungsi dan diinte-pretasikan sebagai turunan dari gerak Brown yaitu . Persamaan tersebut dapat kita tulis
atau jika ditulis dalam bentuk diferensial kita peroleh persamaan dife-rensial stokastik:
Persamaan di atas dapat ditulis dalam bentuk persamaan integral sebagai berikut:
∫ ∫ ∫
∫ ∫
Disini
∫
merupakan bentuk integral Riemann, sedangkan
∫
merupakan bentuk integral Itô yang didefinisikan sebagai integral se-buah fungsi dari proses stokastik terhadap gerak Brown. Selanjutnya, akan dikonstruksikan integral Itô.
Definisi 2.32
Misal merupakan aljabar- yang dibangkitkan oleh variabel acak . Untuk
, didefinisikan kelas dari fungsi yang memenuhi
i. teradaptasi- . ii. ∫ .
Misal menotasikan semua himpunan dari fungsi tangga di , yaitu fungsi yang berbentuk
dengan , untuk partisi . Didefinisikan integral Itô untuk fungsi tangga sebagai berikut
∫ ∑
Lemma 2.1 Sifat-Sifat Integral Itô
Untuk sebarang dan , integral Itô memenuhi i. bersifat terukur- ,
ii.
iii. ∫ , iv. .
Lemma 2.2
Ruang padat di .
Artinya yaitu
untuk setiap terdapat barisan di dalam sehingga
.
Bukti Lemma 2.1 dan 2.2 dapat dilihat di Lecture Notes “Stochastic
Diffe-rential Equations” karangan Thomas Önskog tahun 2009 pada halaman 21 (Lemma 3.4) dan 22 (Lemma 3.5) berturut-urut.
Definisi 2.33
Itô integral dari didefinisikan oleh
∫ ∫
dengan limitnya berada di dan adalah barisan dari fung-si di sedemikian sehingga
∫
Contoh 2.12
Hitung integral ∫ . Jawab:
Misal adalah partisi dari interval . Pilih ∑ dengan . Maka
∫ ∑ ∫ (
∑ ∫ [ ]
∑ ∫ (
∑ [ |
∑ [( ( ]
∑ (
∑ (
Sehingga kita tahu bahwa
∫ ∫
∑
∑
dengan . Sekarang perhatikan
( ( (
Dari persamaan di atas, kita memperoleh
∑ ∑ (
∑( ∑( ∑
Menurut teorema 2.7 ∑ ( , sehingga
∑
∑
∑
Sehingga kita peroleh
Teorema 2.8 Rumus Itô
Misal adalah proses Itô yang diberikan oleh:
dan yaitu fungsi yang terdiferensial kontinu dua kali pada . Maka,
juga merupakan proses Itô, dan berlaku
dengan dihitung berdasarkan aturan:
Bukti teorema Rumus Itô dapat dilihat pada buku “Stochastic Differential Equations. An Introduction with Applications” karangan Bernt Øksendal
tahun 2003 halaman 44 (Teorema 4.1.2). Bentuk Integral dari Rumus Itô
Dengan mengintegralkan rumus Itô terhadap variabel waktu dari sampai kita memperoleh
∫ ∫
Contoh 2.13 Hitung:
b. ∫ Jawab:
a. Pilih , maka dan dari rumus Itô kita memperoleh
∫ ∫
∫ ∫ (
∫ ∫
Sehingga diperoleh
∫ ∫
∫ ∫
b. Pilih , maka dan dari rumus Itô diperoleh
∫ ∫
∫ ∫ (
∫ ∫
Sehingga kita memperoleh
Teorema 2.9 Teorema Fundamental Kalkulus Itô
Misal adalah antiderivatif atau integral tak tentu dalam variabel dari fungsi kontinu dengan dan kontinu, maka berlaku:
∫ | ∫ [ ]
Khususnya, jika tidak bergantung waktu, yakni , maka
∫ | ∫
Teorema di atas merupakan bentuk lain dari Rumus Itô jika mempunyai antiturunan .
Contoh 2.14
Hitung ∫ ! Jawab:
Jika maka dan
∫ ∫
Dengan menggunakan metode integral parsial, kita misalkan
dan
maka
untuk .
Jadi menurut Teorema Fundamental Kalkulus Itô kita memperoleh
∫ | ∫
∫ | ∫
∫
∫ ∫
Berdasarkan contoh 2.12 (b), kita memperoleh
∫ ∫
∫
∫
Sehingga diperoleh
∫ ∫
( ∫
3. Persamaan Diferensial Stokastik
(2.14)
dengan adalah variabel acak yang merupakan penyelesaian dari persamaan tersebut, adalah gerak Brown, adalah koefisien bagian deterministik dan adalah koefisien bagian stokastik. Fungsi-fungsi dan selalu diasumsikan memenuhi sifat-sifat terbatas dan kontinu agar teorema eksistensi dan ketunggalan penyelesai-an berlaku. (Lihat buku “Stochastic Differential Equations An
Introduc-tion with ApplicaIntroduc-tions” karangan Bernt Øksendal halaman 66 (Teorema
5.2.1)).
Proposisi 2.1 Persamaan Diferensial Stokastik Linier
Persamaan diferensial stokastik linier:
( ( (2.15)
dengan nilai awal mempunyai penyelesaian umum:
∫ ( ∫
dengan
∫ ( ( ∫
Lihat Lecture Notes “Stochastic Differential Equations” karangan Thomas
Kita juga bisa meyelesaikan persamaan diferensial stokastik tak linier:
(2.16) dengan mengambil transformasi , dimana adalah fungsi yang memiliki invers (paling tidak pada interval tertutup ) dan linier. Sekarang, kita evaluasi nilai dengan menggunakan rumus Itô:
karena dan , maka
(
(
(2.17)
(
(2.18)
dan
58 BAB III
MODEL VERHULST DETERMINISTIK
Model populasi untuk satu spesies dikemukakan pertama kali oleh Malthus. Modelnya diberikan oleh masalah nilai awal:
individu di dalam populasi pada waktu t. Dengan metode pemisahan variabel
model pertumbuhan populasi (3.1) dapat diselesaikan sebagai berikut:
(3.4)
Substitusikan persamaan (3.4) ke (3.3), diperoleh:
yang menandakan bahwa pertumbuhan populasi bertumbuh secara eksponen-sial dan besarnya bergantung pada kondisi awal , konstanta laju pertumbu-han r dan waktu t. Oleh karena itu model Malthus disebut juga model
eksponensial. Model eksponensial tidak realistis, sebab untuk , tidak mungkin suatu populasi bertumbuh secara eksponensial tanpa batas. Sebagai ilustrasi, jika diambil t menuju tak hingga, maka diperoleh juga menuju
tak hingga.
Grafik model Malthus ditunjukan oleh Gambar 3.1, sebagai berikut:
Terdapat pengembangan model Malthus yang cukup terkenal, yaitu model Gompertz yang biasanya digunakan untuk memodelkan pertumbuhan tanaman, penyebaran penyakit tumor, dan lain sebagainya. Berikut akan dibahas penyelesaian dan analisa kestabilan titik ekuilibrium model Gom-pertz. Model Gompertz berbentuk masalah nilai awal sebagai berikut:
(3.5)
dengan t adalah variabel waktu, adalah konstanta laju pertumbuhan, adalah banyaknya individu di dalam populasi pada waktu t, dan adalah
konstanta positif yang menunjukkan seberapa cepat penyelesaian model Gompertz menuju ke kestabilan asimtotik. Kita juga dapat menyatakan sebagai laju perubahan besarnya populasi.
a. Penyelesaian
Dengan metode pemisahan variabel model Gompertz (3.5) dapat ditulis:
(3.6)
Integralkan kedua ruas persamaan (3.6):
∫ ∫
(
untuk suatu . Jadi,
Misal , maka:
(3.7)
Subtitusikan nilai awal ke persamaan (3.7) untuk mendapatkan nilai yang memenuhi:
(3.8)
Substitusikan persamaan (3.8) ke (3.7), diperoleh:
(
b. Analisa Kualitatif
1) Analisa Penyelesaian Model Gompertz
Penyelesaian model Gompertz (3.43) diberikan oleh:
( (3.9)
Perilaku jangka panjang dari penyelesaian model Gompertz diberi-kan oleh:
(
Dengan kata lain penyelesaian model Gompertz akan menuju suatu nilai yang bergantung pada nilai awal , konstanta , dan kons-tanta .
Berikut grafik penyelesaian model Gompertz untuk beberapa nilai awal yang berbeda.
Gambar 3.2 Grafik Penyelesaian Model Gompertz dengan
dan .
Gambar 3.3 Grafik Penyelesaian Model Gompertz dengan
dan .
Selanjutnya akan disajikan grafik penyelesaian model Gompertz untuk beberapa nilai konstanta yang berbeda.
Gambar 3.4 Grafik Penyelesaian Model Gompertz dengan
2) Analisa Kestabilan Titik Ekuilibrium Model Gompertz Syarat ekuilibrium yaitu
Sehingga model Gompertz menjadi:
Jelas bahwa titik ekuilibrium tersebut tidak stabil sebab untuk sebarang nilai awal penyelesaiannya bergerak menjauhi nol ketika
.
Selanjutnya, model Malthus dikembangkan lagi oleh seorang matemati-kawan Belgia bernama Pierre-François Verhulst (1838) dan modelnya disebut model Verhulst atau model logistik. Model ini dinamakan logistik sebab pada model Verhulst sudah mempertimbangkan aspek logistik yaitu keterbatasan kapasitas alam untuk menghidupi populasi. Berikut akan dibahas penyelesai-an sekaligus penyelesai-analisa model Verhulst dpenyelesai-an beberapa pengembpenyelesai-angpenyelesai-annya.
A. Model Pertumbuhan Populasi Verhulst
kapasitas ambang atau kemampuan maksimum alam untuk menghidupi populasi.
1. Penyelesaian Model Verhulst
Model Verhulst (3.10) dapat ditulis menjadi:
( (3.11)
Dari persamaan di atas diperoleh:
(3.13)
dan
Karena , maka:
(3.14)
Substitusikan (3.13) dan (3.14) ke (3.12):
( (
(3.15)
Persamaan (3.11) menjadi:
(
( (3.16)
Integralkan kedua ruas persamaan (3.16):
∫ (
( )
∫
∫ ∫
(
untuk suatu .
(
Misal , maka
Kalikan kedua ruas dengan , diperoleh:
(3.17)
Subtitusikan nilai awal ke persamaan (3.17) untuk mendapat-kan nilai yang memenuhi:
(3.18)
Substitusikan persamaan (3.18) ke persamaan (3.17) untuk memperoleh
2. Analisa Kualitatif Model Verhulst
a. Analisa Penyelesaian Model Verhulst
Dari perhitungan di atas kita memperoleh penyelesaian model Verhulst adalah
(3.19)
Penyelesaian tersebut lebih realistis dibandingkan dengan penyelesai-an model Malthus, sebab jika diambil nilai t menuju tak hingga, maka diperoleh:
Hal ini berarti populasi akan bertumbuh secara asimtotik ke K saat t
menuju tak hingga.
Akan dicari titik ekuilibrium dari model Verhulst, yaitu:
Kita memperoleh
atau
ke persamaan (3.19) untuk mencari nilai di mana terja-dinya titik belok, yaitu:
(
(
(
(
( (3.20)
Sekarang akan ditunjukan bahwa pada persamaan (3.20) merupakan suatu bilangan positif. Karena , maka ⁄ . Sehingga cu-kup dibuktikan bahwa:
(
Jelas bahwa:
Sebab . Sehingga, cukup dibuktikan bahwa:
Andaikan:
maka:
Kontradiksi dengan kondisi yang seharusnya kurang dari . Jadi, terbukti pada persamaan (3.20) adalah suatu bilangan potitif. Sehingga, diperoleh titik belok dari grafik penyelesaian model Ver-hulst yaitu:
( ( (
Gambar 3.5 Grafik Penyelesaian Model Verhulst dengan dan
.
b. Analisa Kestabilan Titik Ekuilibrium Model Verhulst Syarat titik ekuilibrium yaitu
Sehingga kita peroleh
atau
Karena untuk setiap berlaku
Berbeda dengan solusi , untuk nilai awal diperoleh populasi akan bergerak menjauhi nol. Jadi, adalah solusi yang tidak stabil.
B. BeberapaPengembangan Model Pertumbuhan Populasi Verhulst 1. Model Verhulst dengan Batas Bawah (Threshold) (Efek Allee)
Model Verhulst dengan batas bawah merupakan salah satu pengembangan model Verhulst. Ide dari munculnya model ini yaitu karena pada dunia nyata, sering kali populasi terancam punah jika banyaknya individu di dalam populasi terlalu sedikit. Kasus seperti predasi atau kompetisi menjadi faktor alam yang dapat menyebabkan penurunan jumlah populasi suatu spesies. Akibatnya, proses repro-duksi menjadi sulit dan kekurangan variasi genetik. Seperti yang terja-di pada populasi burung merpati penumpang (passenger pigeon) di
punah pada tahun 1914. Hal semacam ini juga disebut sebagai efek Allee, karena diperkenalkan oleh seorang ahli ekologi asal Amerika bernama Warder Clyde Allee.
Model Verhulst dengan batas bawah pada dasarnya menyatakan bahwa terdapat T yaitu batas bawah banyaknya individu dalam suatu populasi yang menyebabkan populasi tersebut tidak punah. Dengan kata lain, jika banyaknya individu dalam populasi kurang dari T, maka populasi tersebut perlahan-lahan akan punah.
Dengan mengkonstruksi laju pertumbuhan per kapita menjadi negatif, hal tersebut akan memberikan hasil bahwa suatu populasi akan punah jika banyaknya populasi awal terlalu sedikit (di bawah nilai ). Model Verhulst dengan batas bawah yaitu:
(
(3.21)
dengan t adalah variabel waktu, r adalah konstanta laju pertumbuhan,
a. Penyelesaian
Model Verhulst dengan batas bawah (3.21) dapat ditulis menjadi:
( ( (3.22)
Dengan menggunakan metode pecahan parsial, ruas kiri persamaan (3.22) dapat ditulis:
( (
(3.23)
Akan dicari nilai yang memenuhi (3.23)
( (
( ( ( ( ( (
( ( ( ( (
( ( ( ( (
Dari persamaan di atas diperoleh:
dan
(
(
Karena , maka:
(3.25)
dan
(
Karena dan , maka:
(
Substitusikan persamaan (3.26) ke (3.25), diperoleh:
(
(3.27)
Substitusikan nilai pada persamaan (3.24), (3.26) dan (3.27) ke (3.23), diperoleh:
( (
Persamaan (3.22) menjadi:
(
