MODEL EPIDEMI SIR RANTAI BINOMIAL DENGAN WAKTU UNTUK SEMBUH TAK HINGGA DAN JUMLAH KONTAK KONSTAN

(1)

i

MODEL EPIDEMI SIR RANTAI BINOMIAL DENGAN WAKTU UNTUK SEMBUH TAK HINGGA DAN JUMLAH KONTAK

KONSTAN

SKRIPSI

Diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan mendapatkan gelar Sarjana Sains Statistika

Disusun oleh:

ALMA DWI MAULANA

NIM. M0716003

PROGRAM STUDI STATISTIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SEBELAS MARET

SURAKARTA 2020

commit to user

(2)

ii SKRIPSI

MODEL EPIDEMI SIR RANTAI BINOMIAL DENGAN WAKTU UNTUK SEMBUH TAK HINGGA DAN JUMLAH KONTAK KONSTAN

Disusun oleh : ALMA DWI MAULANA

NIM. M0716003

Skripsi ini telah disetujui untuk dipertahankan di hadapan dewan penguji pada tanggal 28 September 2020,

Pembimbing I

Dra. Respatiwulan, M.Si.

NIP.196806111993022001

Pembimbing II

Drs. Isnandar Slamet, M.Sc., Ph.D.

NIP. 196603281992031001

commit to user

(3)

iii SKRIPSI

Disusun oleh : ALMA DWI MAULANA

NIM. M0716003

Telah dipertahankan di hadapan Dewan Penguji Pada tanggal 28 September 2020,

Susunan Dewan Penguji 1. Dra. RR Sri Sulistijowati H. M.Si.

NIP. 196901161994022001

(Ketua) ( ) 2. Dr. Winita Sulandari, S.Si., M.Si.

NIP. 197808142005012002

(Sekretaris) ( ) 3. Dra. Respatiwulan, M.Si.

NIP. 196806111993022001

(Anggota) ( ) 4. Drs. Isnandar Slamet M.Sc., Ph.D.

NIP. 196603281992031001

(Anggota) ( )

commit to user

(4)

iv

PERNYATAAN

Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi saya yang berjudul ”Model Epidemi SIR Rantai Binomial dengan Waktu untuk Sembuh Tak Hingga dan Jumlah Kontak Konstan” belum pernah diajukan untuk memperoleh gelar kesarjanaan pada suatu perguruan tinggi, dan sepanjang pengetahuan saya juga belum pernah ditulis atau dipublikasikan oleh orang lain, kecuali yang secara tertulis diacu dalam naskah ini dan disebutkan dalam daftar pustaka.

commit to user

(5)

v MOTTO

“Memberi tanpa mengharap kembali.”

commit to user

(6)

vi

PERSEMBAHAN Karya ini kupersembahkan untuk

kedua orang tuaku Bapak Suhardi dan Ibu Sulastri tercinta, serta kakakku Ndari S.E tersayang terima kasih atas doa, semangat, dan semua dukungannya.

commit to user

(7)

vii

KATA PENGANTAR

Puji syukur senantiasa penyusun panjatkan ke hadirat Allah SWT atas segala rahmat yang berlimpah menyertai tiap perjalanan penuntut ilmu yang terkadang kurang bersyukur sehingga penyusun dapat menyelesaikan skripsi ini. Shalawat dan salam semoga selalu digaungkan kepada Rasulullah Muhammad SAW. Keberhasilan skripsi ini tidak terlepas dari bimbingan, kerjasama, serta bantuan dari berbagai pihak sehingga penulis menguncaplan terima kasih kepada

1. Drs. Isnandar Slamet, M.Sc., Ph.D. sebagai Kepala Program Studi Statistika Universitas Sebelas Maret dan Dosen Pembimbing II yang telah memberikan bimbingan, dukungan dan petunjuk dalam penyusunan skripsi ini.

2. Dra. Respatiwulan, M.Si. sebagai Dosen Pembimbing I yang telah memberi bimbingan, motivasi, saran serta penjelasan materi dalam penyusunan skripsi ini.

3. Segenap Bapak/Ibu Dosen di Program Studi Statistika Universitas Sebelas Maret yang telah memberikan ilmu pengetahuan kepada penulis.

4. Eko Darsito, S.Ap. selaku Admin Program Studi Statistika Universitas Sebelas Maret yang telah memberikan ilmu selama penulis kuliah di sini.

5. Galuh Kartikasari, Ida Nur Hayati, Ilham Assyifa, dan Wulan Rohimasanti, sebagai kelompok diskusi yang selalu memberikan masukan untuk penulisan skripsi, diskusi terkait topik skripsi, dan dukungan serta semangat yang diberikan hingga terselesainya skripsi ini.

6. Sahabat dan teman-teman statistika 2016 yang senantiasa memberikan semangat dan dukungannya hingga terselesainya skripsi ini.

Semoga skripsi ini dapat memberi manfaat.

Surakarta, 18 September 2020

Penulis commit to user

(8)

viii

ALMA DWI MAULANA NIM. M0716003

Program Studi Statistika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sebelas Maret

ABSTRAK

Kesehatan merupakan hal sangat penting bagi setiap manusia. Tubuh yang terserang penyakit akan mengganggu aktivitas sehari-hari. Penyakit menular dapat menyebabkan epidemi. Epidemi merupakan peristiwa menyebarnya penyakit dengan cepat di daerah yang luas dan menimbulkan banyak korban.Model epidemi susceptible infected recovered (SIR) merupakan model epidemi yang menggambarkan pola penyebaran penyakit, dengan karakteristik individu yang telah sembuh tidak dapat terinfeksi kembali karena memiliki sistem kekebalan tubuh permanen. Pada penelitian ini, banyaknya individu yang terinfeksi setiap waktu diasumsikan mengikuti distribusi binomial. Tujuan dari penelitian ini adalah menurunkan ulang serta mensimulasikan model epidemi SIR berdistribusi binomial dengan waktu untuk sembuh tak hingga (ℜ = ∞) dan jumlah kontak individu konstan. Model epidemi ini berupa probabilitas individu susceptible berubah menjadi individu infected. Probabilitas ini bergantung pada probabilitas penularan (𝑝), jumlah individu infected 𝑌(𝑡) pada waktu ke- 𝑡, jumlah populasi (𝑛), banyaknya kontak individu susceptible ke- 𝑖 atau 𝑁_𝑖(𝑡) = 𝑁. Simulasi untuk mengetahui perubahan probabilitas individu infected baru apabila epidemi dari individu suceptible menjadi individu infected dengan memberikan nilai probabilitas penularan 𝑝 = 0,1; 0,3; 0,5; 0,7 dan 0,9 serta jumlah individu infected awal 𝑌(0) = 1.

Hasil penelitian berdasarkan simulasi diperoleh bahwa semakin besar probabilitas penularan tiap kontak maka probabilitas individu infected baru pada periode berikutnya semakin besar serta semakin besar nilai probabilitas maka semakin singkat waktu epidemi.

Kata kunci: epidemi, model SIR,distribusi binomial

commit to user

(9)

ix

BIROMIAL CHAIN SIR EPIDEMIC MODEL WITH NO RECOVERY TIME AND NUMBER OF CONSTANT CONTACTS

ALMA DWI MAULANA NIM. M0716003

Department of Statistics, Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Sebelas Maret University

ABSTRACT

Health is very important for every human life. The body that is infected by disease will interfere daily activities. Infectious diseases can cause epidemics. Epidemic is the occurrence of disease that infects a certain population in a particular period of time with a high rate and many victims. The susceptible infected recovered (SIR) epidemic model is an epidemic model that describes the pattern of disease spread, with the characteristics of individuals who have recovered cannot be reinfected because they have a permanent immune system. In this study, the number of infected individuals in aeach time period is assumed to follow the binomial distribution. The purpose of this study to construct and to simulate an epidemic model of SIR with a binomial distribution with infinite recovery time (ℜ = ∞) and a constant number of individual contacts. This epidemic model is a probability of susceptible individuals turning into infected individuals. The probability depends on the probability of transmission (𝑝), the number of infected individuals 𝑌(𝑡) at time t, the number of population(𝑛), the number of contacts of the i susceptible individuals or 𝑁_𝑖(𝑡) = 𝑁. The simulation to find the probability of new individuals as the time of the epidemic from a susceptible individuals turning into infected individuals by a probability value of transmission various of 𝑝 = 0,1; 0,3; 0,5; 0,7; and 0,9, and the number of individuals at the beginning 𝑌(0) = 1. The results of the simulation it can be noted that the greater of the probability of transmission of each contact, the greater the probability of new individuals being infected in the next period.

Keywords: epidemic, SIR model, binomial distribution

commit to user

(10)

x DAFTAR ISI

Halaman

HALAMAN JUDUL... i

HALAMAN PERSETUJUAN ... ii

HALAMAN PENGESAHAN ... iii

HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN ...iv

MOTTO ...v

PERSEMBAHAN ...vi

KATA PENGANTAR ... vii

ABSTRAK ... viii

ABSTRACT ...ix

DAFTAR ISI ...x

DAFTAR TABEL... xii

DAFTAR GAMBAR ... xiii

DAFTAR NOTASI ... xiv

DAFTAR LAMPIRAN... xv

BAB I PENDAHULUAN...1

1.1 Latar Belakang ...1

1.2 Rumusan Masalah ...2

1.3 Tujuan Penelitian ...2

1.4 Manfaat Penelitian ...3

BAB II LANDASAN TEORI ...4

2.1 Tinjauan Pustaka ...4

2.2 Teori Penunjang ...5

2.2.1 Model Epidemi SIR ...5

2.2.2 Proses Stokastik ...5

2.2.3 Proses Markov ...6

2.2.4 Distribusi Binomial ...6

2.3 Kerangka Pemikiran ...7

BAB III METODE PENELITIAN ...8

BAB IV PEMBAHASAN ...9

4.1 Model Epidemi SIR Rantai Binomial...9

4.2 Probabilitas Transisi Individu Susceptible menjadi Infected ... 10

4.3 Model SIR Waktu Sembuh Tak Hingga (ℜ = ∞) ... 12

4.4 Simulasi Model Epidemi SIR Rantai Binomial dengan Waktu untuk Sembuh Tak Hingga dan Jumlah Kontak Konstan... 13

BAB V PENUTUP ... 19 commit to user

(11)

xi

5.1 Kesimpulan ... 19 5.2 Saran... 19 DAFTAR PUSTAKA ... 20

commit to user

(12)

xii

DAFTAR TABEL

Halaman Tabel 4.1 Parameter yang digunakan serta nilainya... 14 Tabel 4.2 Probabilitas individu infected baru ... 14

commit to user

(13)

xiii

DAFTAR GAMBAR

Halaman

Gambar 4.3 Probabilitas infected baru ... 15

Gambar 4.4 Jumlah infected baru 𝑁 = 5 dan 𝑝 = 0,1 ... 15

commit to user

(14)

xiv

DAFTAR NOTASI

𝑋(𝑡) : Jumlah individu susceptible pada periode 𝑡 𝑌(𝑡) : Jumlah individu infected pada periode 𝑡 ℜ : Waktu sembuh

𝑛 : Jumlah populasi

𝑁_𝑖(𝑡) : Jumlah individu yang bertemu dengan individu i pada periode 𝑡 𝑝 : Probabilitas individu susceptible menjadi infected (probabilitas

penularan)

𝑝̃ : Probabilitas individu infected baru

𝑁 : Jumlah kontak penularan tiap-tiap individu 𝑦 : Individu infected

commit to user

(15)

xv

DAFTAR LAMPIRAN

Halaman Lampiran 1 : Flowchart probabilitas infected baru ... 21 Lampiran 2 : Data hasil simulasi ... 23

commit to user

(16)

1

commit to user