PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI. METODE TITIK-INTERIOR PADA PEMROGRAMAN KUADRATIK KONVEKS. Skripsi Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika. Oleh: Fenny Basuki NIM: 083114003. PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA 2012. i.

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI. INTERIOR-POINT METHODS IN CONVEX QUADRATIC PROGRAMMING. Research Presented as Partial Fulfillment of the Requirements To Obtain the Sarjana Sains Degree In Mathematics. By: Fenny Basuki Student Number: 083114003. MATHEMATICS STUDY PROGRAM MATHEMATICS DEPARTMENT SCIENCE AND TECHNOLOGY FACULTY SANATA DHARMA UNIVERSITY YOGYAKARTA 2012. ii.

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI.

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI.

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI.

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI. Yesus berfirman : “Janganlah Janganlah hendaknya kamu kuatir tentang apapun juga, tetapi nyatakanlah dalam segala hal keinginanmu dalam Allah dalam doa dan permohonan dengan ucapan syukur.” (Filipi 4:6). Karya ini ku persembahkan untuk: Tuhan Yesus dan Bunda Maria sumber inspirasi ku, Papi, mami, serta adik adik-adikku yang selalu memberi perhatian, kasih sayang dan membimbingku membimbingku.. vi.

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI.

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI. ABSTRAK. Penyelesaian pemrograman kuadratik konveks secara analitik memerlukan langkah yang panjang. Pada skripsi ini akan dipaparkan metode numerik yang dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan tersebut, yakni metode titik-interior primal-dual. Metode titik-interior primal-dual merupakan suatu metode untuk menemukan penyelesaian primal-dual dengan menerapkan metode Newton dan memodifikasi arah selidik dan panjang langkah. Tujuan dari metode ini adalah membatasi pergerakan nilai optimum yang dihasilkan pada setiap iterasinya dengan toleransi tertentu. Pencarian penyelesaian optimum dimulai dari sebarang titikinterior, sehingga konvergensinya cepat diperoleh.. Kata kunci: Karush Kuhn Tucker, metode titik-interior primal-dual, pemrograman kuadratik konveks, penyelesaian optimum. .. viii.

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI. ABSTRACT. Solving the convex quadratic programming need a long step when it is finished analytically. In this thesis, numerical method will be introduced which can be used to solve this problem, namely a primal-dual interior-point method. Primal-dual interiorpoint method is a method to find the primal-dual solution by applying Newton method and modifying the search direction and step-length. This method purpose to restricting the movement of the optimum value generated from each iteration method with certain tolerances. Optimum solution search start from the any interior-point so that the convergence will be faster to obtain.. Key word: Karush Kuhn Tucker, primal-dual interior-point method, convex quadratic programming, optimum solution.. ix.

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI. KATA PENGANTAR Puji syukur kepada Tuhan Yesus atas anugerah dan karunia-Nya sehingga penulisan skripsi ini dapat terselesaikan. Skripsi ini berjudul: “METODE TITIKINTERIOR PADA PEMROGRAMAN KUADRATIK KONVEKS”, yang diajukan sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Program Studi Matematika, Jurusan Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Sanata Dharma Yogyakarta. Penulisan skripsi ini tidak lepas dari bantuan dan dukungan dari berbagai pihak. Oleh karena itu, dengan segala kerendahan hati penulis ingin menyampaikan ucapan terima kasih kepada: 1. Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si., selaku dosen pembimbing dan Kaprodi Matematika FST-USD yang dengan rendah hati mau meluangkan banyak waktu dan penuh kesabaran telah membimbing penulis selama penyusunan skripsi. 2. P. H. Prima Rosa, S.Si., M.Sc., selaku Dekan FST-USD. 3. MV. Any Herawati, S.Si., M.Si., selaku dosen pembimbing akademik dan dosen penguji. 4. Dominikus Arif Budi Prasetyo, S.Si., M.Si., selaku dosen penguji. 5. A. Prasetyadi, S.Si., M.Si., dan Prof. Drs. R. Soemantri yang telah banyak membantu dan memberi masukan kepada penulis. 6. Herry Pribawanto Suryawan, S.Si., M.Si. yang yang pernah menjadi dosen pembimbing akademik dan telah banyak membantu dan memberi masukan kepada penulis. x.

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI.

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI. DAFTAR ISI Halaman HALAMAN JUDUL.................................................................................... i. HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS ................................. ii. HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ......................................... iii. HALAMAN PENGESAHAN...................................................................... iv. PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ..................................................... v. HALAMAN PERSEMBAHAN .................................................................. vi. LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS .................................... vii. ABSTRAK .................................................................................................. viii. ABSTRACT ................................................................................................ ix. KATA PENGANTAR ................................................................................ x. DAFTAR ISI ............................................................................................... xii. DAFTAR GAMBAR .................................................................................. xiv. DAFTAR TABEL ....................................................................................... xv. BAB I PENDAHULUAN ........................................................................... 1. A. Latar Belakang Masalah ............................................................... 1. B. Perumusan Masalah ...................................................................... 4. C. Batasan Masalah ........................................................................... 5. D. Tujuan Penulisan .......................................................................... 5. E. Manfaat Penulisan ........................................................................ 5. F. Metode Penulisan .......................................................................... 5. G. Sistematika Penulisan..................................................................... 6. BAB II HIMPUNAN KONVEKS DAN TEORI OPTIMISASI DALAM
 ................................................................................... xii. 8.

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI. A. Matriks dan Ruang Vektor ........................................................... 8. B. Fungsi Terdiferensial .................................................................... 41. C. Himpunan Konveks dan Fungsi Konveks .................................... 55. D. Teori Optimisasi ........................................................................... 72. E. Metode Newton untuk Sistem Persamaan Nonlinear ................... 85. BAB III METODE TITIK-INTERIOR ...................................................... 91. A. Pemrograman Kuadratik Konveks ............................................... 91. B. Metode Titik-Interior ................................................................... 94. BAB IV PENUTUP .................................................................................... 120. A. Kesimpulan .................................................................................. 120. B. Saran ............................................................................................. 121. DAFTAR PUSTAKA ................................................................................. 122. LAMPIRAN ................................................................................................ 124. xiii.

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI. DAFTAR GAMBAR Halaman Gambar 1.1.1 Minimum  sama dengan maksimum  ................. 2. Gambar 2.1.1 Lingkaran   1 ..................................................... 30. Gambar 2.1.2 Himpunan Terurut ................................................................. 38. Gambar 2.2.1 Teorema Nilai Rata-Rata ...................................................... 45. Gambar 2.3.1 Ilustrasi dari Himpunan Konveks ......................................... 56. Gambar 2.3.2 Lingkaran x 2 + y 2 = 1 .......................................................... 57. Gambar 2.3.3 Contoh Fungsi Konveks ....................................................... 58. Gambar 3.2.1 Diagram Alir Algoritma Metode Titik-Interior Primal-Dual .......................................................................... xiv. 107.

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI. DAFTAR TABEL Halaman Tabel 3.2.1 Output Penyelesaian Contoh 3.2.1 dengan Matlab ................. 117. Tabel 3.2.2 Tabel Perbandingan Nilai Awal Metode Titik-Interior Primal-Dual .......................................................................... xv. 118.

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI. BAB I PENDAHULUAN. A. Latar Belakang Masalah Saat ini semakin banyak permasalahan pada kehidupan sehari-hari yang memerlukan pendekatan optimisasi dalam penyelesaiannya. Sebagai contoh, misalkan sebuah perusahaan ingin meminimumkan biaya pembuatan dua produk. Untuk menyelesaikan permasalahan ini, maka harus diketahui hal-hal apa saja yang mempengaruhi pembuatan dua produk tersebut, misalnya jumlah bahan baku yang tersedia. Misalkan, meminimumkan biaya pembuatan dua produk dinyatakan dengan fungsi f . Sedangkan, banyaknya barang yang dihasilkan dari masing-masing produk, misalnya
 ,
 . Variabelvariabel tersebut perlu diberi batasan yang disebut dengan kendala, dalam hal ini berupa jumlah bahan baku yang tersedia, sedangkan fungsi 
 ,
 disebut dengan fungsi obyektif. Optimisasi secara matematis dapat diartikan sebagai proses menemukan penyelesaian yang memaksimumkan atau meminimumkan suatu fungsi. Untuk menemukan penyelesaian dari masalah memaksimumkan suatu fungsi dapat diselesaikan dengan cara mencari penyelesaian dari masalah meminimumkan negatif dari fungsi tersebut.. 1.

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI. 2. Untuk lebih jelasnya, perhatikan Gambar 1.1.1:. Gambar 1.1.1 Minimum ݂ሺ‫ݔ‬ሻ sama dengan maksimum െ݂ሺ‫ݔ‬ሻ. Berdasarkan Gambar 1.1.1, (dalam hal ini sebagai contoh ݂ሺ‫ݔ‬ሻ adalah suatu fungsi dengan satu variabel) dapat dilihat bahwa jika suatu titik ‫ כ ݔ‬menunjukkan nilai pembuat minimum dari fungsi ݂ሺ‫ݔ‬ሻ, maka titik yang sama itu juga menunjukkan nilai pembuat maksimum dari negatif fungsi tersebut, yakni െ݂ሺ‫ݔ‬ሻ. Pendekatan optimisasi sendiri menyediakan banyak alternatif metode yang dapat dipilih sesuai dengan karakteristik permasalahan yang akan diselesaikan. Permasalahan optimisasi terbagi menjadi dua bagian, yaitu permasalahan optimisasi berkendala dan permasalahan optimisasi tidak berkendala. Permasalahan optimisasi berkendala adalah optimisasi suatu fungsi, yang disebut fungsi obyektif, dengan kendala-kendala berupa pertidaksamaaan atau.

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI. 3. persamaan. Sedangkan, permasalahan optimisasi tidak berkendala adalah optimisasi suatu fungsi obyektif tanpa kendala. Secara garis besar, permasalahan dalam teknik optimisasi dapat berupa permasalahan pemrograman linear maupun nonlinear. Pemrograman linear adalah pemrograman yang mempelajari kasus dimana fungsi obyektifnya adalah fungsi linear dan kendalanya merupakan persamaaan atau pertidaksamaan linear. Sedangkan, pemrograman nonlinear adalah pemrograman yang mempelajari kasus dimana salah satu fungsi obyektif atau fungsi kendalanya merupakan persamaaan atau pertidaksamaan nonlinear. Salah satu subklas dalam permasalahan pemrograman nonlinear adalah pemrograman kuadratik konveks. Pemrograman kuadratik konveks adalah permasalahan optimisasi berkendala nonlinear dimana fungsi obyektifnya adalah fungsi kuadratik konveks, sedangkan kendala-kendalanya merupakan persamaan atau pertidaksamaan linear. Fungsi kuadratik konveks pada fungsi obyektif yang terdapat dalam pemrograman kuadratik konveks memiliki bentuk ଵ. umum ܳሺ‫ܠ‬ሻ ൌ ଶ ‫ ܠܩ ் ܠ‬൅ ‫ ܏ ் ܠ‬dengan G adalah matriks semidefinit positif. Metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan optimisasi pada pemrograman kuadratik konveks antara lain adalah metode himpunan aktif dan metode titik-interior. Metode titik-interior pada pemrograman kuadratik terbagi lagi menjadi dua, yakni metode jalur pusat (central path method) dan metode titik-interior primal-dual (primal-dual interior-point me-.

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI. 4. thod). Namun dalam skripsi ini metode yang akan dibahas hanya metode titikinterior primal-dual. Metode titik-interior primal-dual merupakan salah satu metode numerik yang menerapkan metode Newton dalam menyelesaikannya. Pada metode titik-interior primal-dual, pencarian penyelesaian optimum dimulai dari sebarang titik-interior sehingga akan menghasilkan iterasi yang lebih sedikit karena konvergensinya lebih cepat diperoleh.. B. Perumusan Masalah Berdasarkan uraian yang dikemukakan dalam latar belakang, pokok– pokok permasalahan yang akan dibahas dalam tulisan ini dapat dirumuskan sebagai berikut : 1. Apa yang dimaksud dengan pemrograman kuadratik konveks? 2. Apa yang dimaksud dengan metode titik-interior primal-dual untuk menyelesaikan permasalahan optimisasi berkendala pada pemrograman kuadratik konveks? 3. Bagaimana cara menyelesaikan pemrograman kuadratik konveks dengan menggunakan metode titik-interior primal-dual? 4. Bagaimana mengimplementasikan metode titik-interior primal-dual dengan menggunakan Matlab?.

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI. 5. C. Batasan Masalah Pembatasan masalah metode titik-interior primal-dual dalam skripsi ini hanya dibatasi untuk pemrograman kuadratik konveks dengan kendalakendala berupa pertidaksamaan.. D. Tujuan Penulisan Tujuan penulisan skripsi ini adalah untuk menyelesaikan permasalahan optimisasi berkendala dengan menggunakan metode titik-interior primaldual pada pemrograman kuadratik konveks serta bagaimana mengimplementasikan metode titik-interior primal-dual dengan menggunakan Matlab.. E. Manfaat Penulisan Manfaat yang diharapkan dalam skripsi ini adalah dapat memahami bagaimana penggunaan metode titik-interior primal-dual pada pemrograman kuadratik konveks serta dapat mengimplementasikan metode titik-interior primal-dual dengan menggunakan Matlab.. F. Metode Penulisan Metode yang digunakan penulis dalam skripsi ini adalah metode studi pustaka, yaitu dengan mempelajari buku-buku yang berkaitan dengan topik metode titik-interior primal-dual pada pemrograman kuadratik konveks..

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI. 6. G. Sistematika Penulisan Sistematika penulisan skripsi ini terdiri dari empat bab dengan urutan sebagai berikut:. BAB I. :. PENDAHULUAN Dalam bab ini akan dibahas mengenai latar belakang masalah, perumusan masalah, batasan masalah, tujuan penulisan, manfaat penulisan, metode penulisan, dan sistematika penulisan.. BAB II. :. HIMPUNAN KONVEKS DAN TEORI OPTIMISASI DALAM Թ௡ Dalam bab ini akan dibahas mengenai matriks dan ruang vektor, fungsi terdiferensial, himpunan konveks dan fungsi konveks, teori optimisasi, dan metode Newton untuk sistem persamaan nonlinear yang akan digunakan untuk memahami metode titik-interior primal-dual.. BAB III :. METODE TITIK-INTERIOR Dalam bab ini akan dibahas mengenai pemrograman kuadratik konveks, metode titik-interior, konsep metode titik-interior primal dual, algoritma metode titik-interior primal-dual beserta.

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI. 7. contoh permasalahan pemrograman kuadratik konveks yang diselesaikan dengan metode titik-interior primal-dual, dan yang terakhir akan dibahas juga implementasinya dengan menggunakan program Matlab.. BAB IV : PENUTUP Bab ini berisi kesimpulan dan saran..

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI. BAB II HIMPUNAN KONVEKS DAN TEORI OPTIMISASI DALAM
. Dalam bab ini akan dibahas mengenai matriks dan ruang vektor, fungsi terdiferensial, himpunan konveks dan fungsi konveks, teori optimisasi, dan metode Newton untuk sistem persamaan nonlinear yang akan digunakan untuk memahami metode titik-interior primal-dual.. A. Matriks dan Ruang Vektor Pada subbab ini akan dibahas mengenai matriks, panjang (norm), jarak, ruang vektor, dan beberapa definisi serta teorema dasar tentang analisis real.. Definisi 2.1.1 (Ruang Berdimensi n) Jika n adalah suatu bilangan bulat positif, maka tupel n berurutan adalah suatu urutan dari n bilangan real  ,  , … ,  . Himpunan semua tupel n berurutan disebut ruang berdimensi n dan dinyatakan sebagai
 .. 8.

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI. 9. Definisi 2.1.2 (Matriks) Matriks adalah jajaran empat persegi panjang dari bilangan-bilangan yang diatur menurut baris dan kolom. Bilangan-bilangan dalam jajaran tersebut disebut dengan elemen dari matriks.. Elemen-elemen yang terletak pada baris i dan kolom j di dalam ma-. triks A dapat dinyatakan sebagai
 . Sehingga, matriks secara umum dapat di-. tulis sebagai berikut:.

 


.




.
.
. 


. Atau lebih singkat dapat ditulis sebagai 
   atau 
 . Definisi 2.1.3 (Matriks Simetrik) Sebuah matriks bujur sangkar A adalah simetrik jika dan hanya jika A = AT.. Definisi 2.1.4 (Matriks Definit Positif dan Matriks Semidefinit Positif) Misalkan A   adalah matriks simetrik.. A dikatakan definit positif jika xTAx > 0,    ,   0.. A dikatakan semidefinit positif jika xTAx ≥ 0,    ..

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI. 10. Dari Definisi 2.1.4, dapat disimpulkan bahwa jika A adalah matriks definit positif, maka A juga adalah matriks semidefinit positif.. Untuk lebih memahami definisi matriks, matriks simetrik, matriks definit positif dan matriks semidefinit positif, maka akan diberikan contoh berikut.. Contoh 2.1.1 Misalkan diberikan suatu matriks simetrik: 2   1 0. 1 0 2 1 1 2. Untuk mengkaji bahwa matriks A adalah matriks definit positif, maka harus ditunjukkan bahwa xTAx > 0,    ,   0.    !. !.  !. !. 2 1 0 ! !  1 2 1 !  0 1 2 ! 2!  ! !  ! " 2!  !  ! " 2!.  ! #2!  ! $ " ! #! " 2!  ! $ " ! #! " 2! $  2!   ! !  ! ! " 2!   !% !&  !% !& " 2!   2!   2! ! " 2!   2!% !& " 2! .  !  " #!   2! ! " !  $ " #!   2!% !& " !  $ " ! .

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI. 11.  !  " #!  ! $ " #!%  !& $ " ! . Dari sini dapat disimpulkan bahwa matriks A bersifat definit positif karena    !  " #!  ! $ " #!%  !& $ " !  ' 0,    , kecuali jika !  !  !  0. ▄. Contoh 2.1.2 Misalkan diberikan suatu matriks simetrik: 2 () 0. 0 * 2. Untuk mengkaji bahwa matriks G adalah matriks semidefinit positif, maka ha-. rus ditunjukkan bahwa xTGx ≥ 0,    .  (  !  !. ! !  )2 0* )  * ! 0 2 . !  +2! , 2!.  ! #2! $ " ! #2! $  2!  " 2! . Karena  (  2!  " 2!  - 0,    , maka dapat disimpulkan bahwa matriks G adalah matriks semidefinit positif. ▄.

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI. 12. Definisi 2.1.5 (Ruang Vektor). Misalkan . adalah himpunan tak kosong yang dilengkapi dengan operasi pen-. jumlahan dan perkalian skalar dengan bilangan real. Artinya, bila diberikan dua elemen / dan 3 di . dan
, 5  , maka penjumlahan / " 3 dan perka-. lian skalar
/ didefinisikan dan terletak di V juga. Kemudian V dengan kedua. operasi ini disebut ruang vektor jika kedua operasi tersebut memenuhi aksi-. oma-aksioma berikut.. Untuk setiap /, 3, 6  . dan
, 5   berlaku: (i). (ii) (iii) (iv) (v) (vi) (vii). / " 3  3 " /.. / " #3 " 6$  #/ " 3$ " 6.. Ada elemen 7  . sehingga / " 7  /.. Ada elemen /  . sehingga / " #/$  7..
#/ " 3$ 
/ "
3.. #
" 5$/ 
/ " 5/. #
5$/ 
#5/$.. (viii) 1/  /.. Untuk lebih memahami definisi ruang vektor, maka akan diberikan contoh berikut..

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI. Contoh 2.1.3. 13. Buktikan bahwa   8#9 , 9 , … , 9 $|9  , 9  , … , 9  < adalah. ruang vektor!. Bukti:. Misalkan /  #9 , 9 , … , 9 $ dan 3  #= , = , … , = $, maka. / " 3  #9 " = , 9 " = , … , 9 " = $ dan
/  #
9 ,
9 , … ,
9 $.. a) / " 3  #9 " = , 9 " = , … , 9 " = $.  #= " 9 , = " 9 , … , = " 9 $ 3"/. b) #/ " 3$ " 6  >#9 " = , 9 " = , … , 9 " = $? " #@ , @ , … , @ $.  >#9 , 9 , … , 9 $ " #= , = , … , = $? " #@ , @ , … , @ $  #9 , 9 , … , 9 $ " #= , = , … , = $ " #@ , @ , … , @ $.  #9 , 9 , … , 9 $ " ##= , = , … , = $ " #@ , @ , … , @ $$  #9 , 9 , … , 9 $ " #= " @ , = " @ , … , = " @ $  / " #3 " 6$. c) / " 7  #9 , 9 , … , 9 $ " #0, 0, … , 0$  #9 " 0, 9 " 0, … , 9 " 0$.

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI.  #9 , 9 , … , 9 $ /. d) / " #/$  #9 , 9 , … , 9 $ " #9 ,  9 , … , 9 $.  #9 " #9 $, 9 " #9 $, … , 9 " #9 $$  #0, 0, … , 0$ 7. e)
#/ " 3$ 
#9 " = , 9 " = , … , 9 " = $. 
##9 , 9 , … , 9 $ " #= , = , … , = $$ 
#9 , 9 , … , 9 $ "
#= , = , … , = $ 
/ "
3. f) #
" 5$/  #
" 5$#9 , 9 , … , 9 $.  >#
" 5$9 , #
" 5$9 , … , #
" 5$9 ?.  #
9 " 59 ,
9% " 59% , … ,
9 " 59 $.  #
9 ,
9 , … ,
9 $ " #59 , 59 , … , 59 $ 
#9 , 9 , … , 9 $ " 5#9 , 9 , … , 9 $ 
/ " 5/. g) #
5$/  #
5$#9 , 9 , … , 9 $. 14.

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI. 15.  >#
5$9 , #
5$9 , … , #
5$9 ?.  #
#59 $,
#59 $, … ,
#59 $$ 
#59 , 59 , … , 59 $ 
#5/$. h) 1/  1#9 , 9 , … , 9 $.  #19 , 19 , … , 19 $  #9 , 9 , … , 9 $ /. Karena   8#9 , 9 , … , 9 $|9  , 9  , … , 9  < dengan operasi penjumlahan dan perkalian skalar memenuhi aksioma-aksioma seperti pada Definisi 2.1.5, maka terbukti bahwa  adalah ruang vektor.. ▄. Definisi 2.1.6 (Ruang Hasil Kali Dalam). Hasil kali dalam pada  adalah sebuah fungsi yang mengasosiasikan se-. buah bilangan real A, BC dengan sepasang vektor x dan y di  , sehingga ak-. sioma-aksioma berikut ini terpenuhi bagi semua vektor x, y, dan z di  dan. semua bilangan skalar s. (i) (ii). A, BC  AB, C. A " B, DC  A, DC " AB, DC. (Aksioma Kesimetrian) (Aksioma Penjumlahan).

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI. (iii) (iv) (v). AE, BC  EA, BC A, C - 0. A, C  0 jika dan hanya jika   0. 16. (Aksioma Homogenitas) (Aksioma Positivitas). Sebuah ruang vektor real yang memiliki sebuah hasil kali dalam disebut ruang hasil kali dalam.. Untuk lebih memahami sifat hasil kali dalam yang pertama, yakni. A, BC  AB, C , maka akan diberikan contoh berikut. Contoh 2.1.4. H ! ! H Untuk   F

G dan B  F

G adalah sembarang vektor-vektor di  , bukti!. H. kan jika A, BC   B, maka B   AB, C! Bukti:. H ! ! H Ambil sebarang vektor   F

G dan B  F

G dalam ruang vektor  . !. H. Akan dibuktikan A, BC   B memenuhi A, BC  AB, C.  B  !. !. H H … !  F G

H.

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI. 17.  ! H " ! H " … " ! H.  H ! " H ! " … " H !. H.  H. B . ! ! … H  F G

!.  AB, C. Jadi, terbukti bahwa A, BC  AB, C. ▄. Definisi 2.1.7 (Panjang atau Norm). Panjang atau norm sebuah vektor  di  dinotasikan dengan LL dan didefinisikan sebagai. LL  A, CN  # · $N  P!  " !  " … " !  . M. M. Sebuah pemetaan L . L dikatakan sebuah norm jika dan hanya jika. memenuhi sifat berikut: (1) (2) (3) (4). LL - 0,   . LL  0 jika dan hanya jika x = 0,   . LαL  |R|LL, R  ,   . L " BL S LL " LBL, , B   (Ketaksamaan segitiga).

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI. 18. Definisi 2.1.8 (Ortogonal). Dua vektor u dan v di dalam ruang hasil kali dalam di  dikatakan ortogonal jika A/, 3C  0.. Teorema 2.1.1 (Hukum Phytagoras) Jika u dan v adalah vektor-vektor ortogonal di dalam ruang hasil kali dalam di  , maka. L/ " 3L  L/L " L3L .. Bukti:. L/ " 3L  A/ " 3, / " 3C.  A/, /C " A/, 3C " A3, /C " A3, 3C  A/, /C " A/, 3C " A/, 3C " A3, 3C  A/, /C " 2A/, 3C " A3, 3C. ▄.  L/L " L3L. Definisi 2.1.9 (Proyeksi Skalar dan Proyeksi Vektor). Jika u dan v adalah vektor-vektor di dalam ruang hasil kali dalam di  dan. 3  0, maka proyeksi skalar dari u pada v diberikan oleh R . proyeksi vektor dari u pada v diberikan oleh T  R UL3L 3V  . A/,3C A3,3C. 3.. A/,3C L3L. dan.

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI. 19. Teorema 2.1.2. Jika 3  0 dan p adalah proyeksi vektor dari u pada v, maka /  T dan p adalah ortogonal.. Bukti: . Karena AT, TC  AL3L 3, L3L 3C  UL3LV A3, 3C  R  dan A/, TC  W. W. W. #A/,3C$ A3,3C.  R.. Ini mengakibatkan A/  T, TC  A/, TC  AT, TC  R   R   0. Oleh karena. itu, /  T dan p adalah ortogonal. ▄. Teorema 2.1.3 (Ketaksamaan Cauchy-Schwarz). Jika u dan v adalah vektor-vektor di dalam ruang hasil kali dalam di  , maka |A/, 3C| S L/LL3L. Bukti:. Jika 3  0, maka |A/, 3C|  0  L/LL3L. Jika 3  0, maka misalkan p seba-. gai proyeksi vektor dari u pada v. Karena p ortogonal pada /  T, maka me-. nurut Hukum Phytagoras. LTL " L/  TL  L/L. X LTL  L/L  L/  TL X R   L/L  L/  TL. (dari Teorema 2.1.2).

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI. X. 20. #A/, 3C$  L/L  L/  TL L3L . X #A/, 3C$  L/L L3L  L/  TL L3L S L/L L3L. Dengan mengambil akarnya, maka diperoleh |A/, 3C| S L/LL3L.. ▄. Untuk lebih memahami definisi norm serta sifat-sifat dari norm, maka akan diberikan contoh berikut.. Contoh 2.1.5 Buktikan bahwa. Z. LL  Y|! | [\. adalah norm!. Bukti:. Untuk membuktikan bahwa LL adalah norm, maka harus ditunjukkan bahwa LL memenuhi keempat sifat dari norm.. Misalkan, x dan y adalah sebarang vektor di  dan R adalah sebarang bila-. ngan real. (1). Akan dibuktikan bahwa LL - 0. Karena ! - 0 untuk sebarang bilangan real ! , maka.

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI. 21. Z. LL  Y|! | - 0 [\. (2). Akan dibuktikan bahwa LL  0 jika dan hanya jika   0. Jika   0, maka !  0, ].. Oleh karena itu, ∑Z[\|! |  0 dan LL  0.. Sebaliknya, jika LL  0, maka ∑Z[\|! |  0.. Karena |! | - 0, dengan demikian ∑Z[\|! |  0 hanya dipenuhi jika |! |  0 sehingga   0. (3). Akan dibuktikan bahwa LRL  |R|LL , R  ,    .. LRL  Y|R! | \.  |R| _Y|! |` \.  |R|LL (4). Akan dibuktikan bahwa L " BL S LL " LBL .. L " BL  Y|! " H | \. S Y|! | " Y|H | \. \. #Sifat nilai mutlak$.

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI. 22.  LL " LBL. ▄. Jadi, L " BL S LL " LBL .. Teorema 2.1.4 (Ketaksamaan Cauchy-Buniakowski-Schwarz). Misalkan , B   , maka. gY ! H g S LL LBL \. Bukti:. Pertidaksamaan |∑hi\j ! H | S LL LBL akan bersifat trivial jika dan hanya. jika   0 atau B  0. Oleh karena itu, andaikan bahwa  dan B, keduanya taknol. Misalkan, k adalah sebarang bilangan real. Maka,. . 0 S L " kBL  Y#! " kH $ . \.  Y !  " 2k Y ! H " k Y H  \. \. \.  LL " 2k Y ! H " k LBL . \. . Misalkan,
 LBL , 5  ∑hi\j ! H , dan l  LL . Sehingga pertidaksa. . maan menjadi
k " 25k " l - 0 untuk semua k  . Hal ini dapat terjadi.

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI. 23. jika dan hanya jika diskriminan atau m  #25$  4
l  45   4
l o 0.. Karena itu, 5  o
l. Dengan mensubstitusikan nilai dari
, 5, dan l, maka di-. peroleh. .   _Y ! H ` S LL LBL \. Dengan mengambil akarnya, maka diperoleh. gY ! H g S LL LBL \. ▄. Contoh 2.1.6 Buktikan bahwa. LL  _Y !  ` \. p . adalah norm!. Bukti:. Untuk membuktikan bahwa LL adalah norm, maka harus ditunjukkan bah-. wa LL memenuhi keempat sifat dari norm.. Misalkan, x dan y adalah sebarang vektor di  dan R adalah sebarang bila-. ngan real..

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI. (1). 24. Akan dibuktikan bahwa LL - 0 .. Karena !  - 0 untuk sebarang bilangan real ! , maka. LL  #Y !  $/ - 0 \. (2). Akan dibuktikan bahwa LL  0 jika dan hanya jika   0.. Jika   0, maka !  0, ].. Oleh karena itu, ∑hi\j !   0 dan LL  0.. Sebaliknya, jika LL  0, maka ∑hi\j !   0.. Karena !  - 0, dengan demikian #∑hi\j !  $/  0 hanya dipenuhi jika !   0 sehingga   0.. (3). Akan dibuktikan bahwa LRL  |R|LL , R  ,    .. LRL  _Y#R! $ ` \.  . /. /.  _R  Y !  ` \.  |R| _Y !  ` \.  |R|LL.

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI. (4). 25. Akan dibuktikan bahwa L " BL S LL " LBL .. L " BL .  Y#! " H $ \.  Y !  " 2 Y ! H " Y H  \. \. \. S LL " 2 gY ! H g " LBL . \. . S LL " 2LL LBL " LBL .  #LL " LBL $. . #Sifat nilai mutlak$. # Ketaksamaan. Cauchy-. Buniakowski-Schwarz). Dengan mengambil akarnya, maka diperoleh. ▄. L " BL S LL " LBL .. Selanjutnya, akan diberikan definisi dan sifat jarak pada  . Definisi 2.1.10 (Jarak). Jarak antara dua buah titik titik  dan B dinotasikan dengan . . r#, B$  L  BL  A  B,   BC  #  B$ · #  B$.

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI. 26. Teorema 2.1.5 (Sifat-Sifat Jarak pada  ). Jika x, y, dan z adalah vektor-vektor pada  , maka: (1) L  BL - 0. (2) L  BL  0 jika dan hanya jika   B (3) L  DL S L  BL " LB  DL. (4) L  BL  LB  L Bukti:. (1) Akan dibuktikan bahwa L  BL - 0. Bukti:.  n  L  BL   ∑ ( xi − yi ) 2   i =1 . 1/ 2. Karena #!  H $ - 0 untuk sebarang bilangan real ! dan H , maka L  BL - 0. ▄. (2) Akan dibuktikan bahwa L  BL  0 jika dan hanya jika   B. Bukti:. Jika   B, maka !  H , ]..

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI. 27. Oleh karena itu, ∑ \#!  H $  0 dan L  BL  0.. Sebaliknya, jika L  BL  0, maka ∑ \#!  H $  0.. Karena #!  H $ - 0, dengan demikian ∑ \#!  H $  0 hanya dipe-. nuhi jika !  H  0 sehingga   B. ▄. (3) Akan dibuktikan bahwa L  DL S L  BL " LB  DL. Bukti:. L  DL  L  B " B  DL.  A  B " B  D,   B " B  DC.  A  B,   B " B  DC " AB  D,   B " B  DC  A  B,   BC " A  B, B  DC " AB  D,   BC "AB  D, B  DC.  L  BL " A  B, B  DC " AB  D,   BC " LB  DL  L  BL " A  B, B  DC " A  B, B  DC " LB  DL  L  BL " 2A  B, B  DC " LB  DL. S L  BL " 2L  BLLB  DL " LB  DL Cauchy-Schwarz).  #L  BL " LB  DL$. Dengan mengambil akarnya, maka diperoleh. (Ketaksamaan.

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI. L  DL S L  BL " LB  DL.. Jadi, terbukti untuk L  DL S L  BL " LB  DL. ▄. (4) Akan dibuktikan bahwa L  BL  LB  L. Bukti:. L  BL  L#1$#B  $L  |1|LB  L. ▄.  LB  L. Teorema 2.1.6 (Hukum Paralelogram) Untuk semua , B  . L " BL " L  BL  2#LL " LBL $. Bukti:. L " BL " L  BL.  A " B,  " BC " A  B,   BC.  A,  " BC " AB,  " BC " A,   BC  AB,   BC.  A, C " A, BC " AB, C " AB, BC " A, C  A, BC  AB, C " AB, BC. 28.

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI. 29.  A, C " AB, BC " A, C " AB, BC  2A, C " 2AB, BC  2LL " 2LBL.  2#LL " LBL $ ▄. Selanjutnya, akan diberikan definisi kitar dan titik-interior.. Definisi 2.1.11 (Kitar). Diberikan titik    dan δ > 0. Kitar- δ dari x didefinisikan sebagai st #$  8B   |LB  L o δ<. Definisi 2.1.12 (Titik Interior). Misalkan m v  dan   m. Titik x dikatakan titik interior dari D. jika ada suatu kitar- δ dari x sedemikian sehingga st #$ v m.. Untuk lebih memahami definisi titik interior, maka akan diberikan contoh berikut.. Contoh 2.1.7.   8#! , ! $|!  " !  o 1<.

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI. 30. Himpunan ini merepresentasikan titik yang berada di dalam lingkaran dengan pusat (0,0) dan radius 1 seperti pada Gambar 2.1.1.. Gambar 2.1.1 Lingkaran !  " !  o 1 Titik-titik yang berada di dalam lingkaran adalah titik interior. Sedangkan, titik-titik yang berada pada batas dan luar lingkaran bukan merupakan titik interior.. Definisi 2.1.13 (Himpunan Terbuka) Himpunan semua titik interior dari D disebut interior D dan dinotasikan dengan int(D). Selanjutnya, jika int(D) = D, yakni setiap titik dari D adalah titik interior dari D, maka D adalah himpunan terbuka.. Definisi 2.1.14 (Himpunan Tertutup). Suatu himpunan m v  dikatakan tertutup jika dan hanya jika komplemen-. nya adalah terbuka..

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI. 31. Untuk lebih memahami definisi himpunan terbuka, maka akan diberikan contoh berikut.. Contoh 2.1.8 Berdasarkan Contoh 2.1.7, A adalah himpunan terbuka, karena titik-titik yang berada di dalam lingkaran adalah titik interior.. Selanjutnya, akan diberikan definisi relasi dan himpunan terurut secara parsial.. Definisi 2.1.15 (Relasi) Sebuah relasi dari suatu himpunan A ke himpunan B adalah suatu subset R dari  X x, di mana  X x  8#
, 5$:
 , 5  x<.. Relasi dapat pula ditulis sebagai
z 5 yang berarti bahwa #
, 5$  z. Definisi 2.1.16 (Himpunan Terurut Secara Parsial) Misalkan R adalah sebuah relasi pada sebuah himpunan S, maka R disebut relasi urutan parsial jika yang memenuhi tiga sifat berikut: (i). Refleksif. R dikatakan refleksif jika dan hanya jika
z
untuk setiap
 {..

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI. (ii). (iii). 32. Antisimetris. R dikatakan antisimetris jika dan hanya jika
z 5 dan 5 z
, maka.
 5, untuk setiap #
, 5$  {. Transitif. R dikatakan transitif jika dan hanya jika
z 5 dan 5 z l, maka
z l,. untuk setiap #
, 5, l$  {.. Himpunan S bersama dengan suatu relasi urutan parsial R pada A dikatakan himpunan terurut secara parsial.. Relasi urutan parsial dari sebuah himpunan S biasanya dinotasikan. dengan S atau -. Relasi
S 5 dibaca dengan “a mendahului b”, sedangkan. relasi
- b dibaca dengan “a melampaui b”.. Untuk lebih memahami definisi himpunan terurut secara parsial, maka akan diberikan contoh berikut.. Contoh 2.1.9. Perhatikan bilangan bulat positif }. Didefinisikan relasi "
membagi 5" de-. ngan
|5, jika terdapat sebuah l  } sedemikian sehingga
l  5. Misalnya, 2|4, 3|12, 7|21, dan seterusnya. Tunjukkan bahwa pembagian adalah sebuah. pengurutan parsial dari }, yakni tunjukkan bahwa berlaku sifat berikut:.

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI. 33. a. Refleksif:
|
.. b. Antisimetris: Jika
|5 dan 5|
maka
 5. c. Transitif: Jika
|5 dan 5|l maka
|l.. Bukti:. a. Karena
· 1 
, maka
|
.. b. Andaikan
|5 dan 5|
, misalkan 5  †
dan
 E5. Maka, 5  †E5 se-. hingga †E  1. Karena † dan E adalah bilangan bulat positif, maka †  1 dan E  1. Dengan demikian,
 5.. c. Andaikan
|5 dan 5|l, misalkan 5  †
dan l  E5. Maka, l  E†
se▄. hingga
|l.. Berikut ini diberikan definisi batas atas, supremum, batas bawah, dan infimum.. Definisi 2.1.17 (Batas Atas) Misalkan A adalah himpunan bagian dari sebuah himpunan S yang terurut secara parsial..

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI. 34. Sebuah elemen M dalam S dikatakan sebuah batas atas dari A jika M melampaui setiap elemen dari A, yaitu M adalah sebuah batas atas dari A jika un-. tuk setiap x dalam A diperoleh ! S ‡. Definisi 2.1.18 (Supremum). Jika sebuah batas atas dari A mendahului setiap batas atas lain dari A maka disebut batas atas terkecil atau supremum dari A yang dinotasikan dengan sup (A).. Definisi 2.1.19 (Batas Bawah) Sebuah elemen m dalam S dikatakan sebuah batas bawah dari A jika m mendahului setiap elemen dari A, yaitu m adalah sebuah batas bawah dari A jika untuk setiap x dalam A diperoleh ˆ S !.. Definisi 2.1.20 (Infimum) Jika sebuah batas bawah dari A melampaui setiap batas bawah lain dari A maka disebut batas bawah terbesar atau infimum dari A yang dinotasikan dengan inf (A).. Definisi 2.1.21 (Terbatas ke Atas dan Terbatas ke Bawah) Misalkan { merupakan subhimpunan tak kosong dari ..

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI. 35. a. Himpunan { dikatakan terbatas ke atas jika ada bilangan 9   sedemikian sehingga E S 9 untuk semua E  {. Setiap bilangan 9 dikatakan batas atas dari {.. b. Himpunan { dikatakan terbatas ke bawah jika ada bilangan @   se-. demikian sehingga @ S E untuk semua E  {. Setiap bilangan @ dikata-. kan batas bawah dari {. Lemma 2.1.1. Batas bawah ‰ dari himpunan tak kosong { di  adalah infimum dari { jika. dan hanya jika Š ' 0 terdapat !  { sedemikian sehingga ‰ " Š ' !. Bukti #‹$. Diketahui ‰  inf { dan Š ' 0.. Akan ditunjukkan terdapat !  { sedemikian sehingga ‰ " Š ' !.. Jika 5 batas bawah { maka 5 S ‰.. Karena ‰ " Š ' ‰ maka ‰ " Š bukan batas bawah {.. Karena ‰ " Š bukan batas bawah { maka harus ada !  { sehingga ‰ " Š ' !.. #Œ$. Jika ‰ suatu batas bawah {, dan untuk setiap Š ' 0 terdapat !  { sedemikian. sehingga ‰ " Š ' !..

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI. 36. Akan dibuktikan ‰  inf {.. Misalkan bahwa 5 suatu batas bawah {. Karena !  { dan 5 suatu batas bawah { maka ! - 5.. Karena ‰ " Š ' ! maka ‰ " Š ' 5.. Jadi untuk setiap Š ' 0 berlaku ‰ " Š ' 5. Andaikan 5 ' ‰ maka jika diambil Š. Ž . akan diperoleh ‰ " Š .  . sehingga 5 ' ‰ " Š ' ‰ dan 5 ' ‰ " Š ' !. yang kontradiksi dengan pernyataan bahwa 5 batas bawah. Jadi, jika 5 batas. bawah { haruslah ‰ - 5 sehingga ‰ merupakan batas bawah terbesar atau ‰  inf {. ▄. Definisi 2.1.22 (Barisan Naik dan Barisan Turun). Misalkan ‘  8! < merupakan barisan bilangan real. Barisan ‘ dikatakan naik jika memenuhi pertidaksamaan. ! S ! S S ! S !  S . dan dikatakan turun jika memenuhi pertidaksamaan. ! - ! - - ! - !  - . Jika barisan ‘ merupakan barisan naik atau barisan turun maka merupakan. barisan monoton..

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI. 37. Teorema 2.1.7 Barisan turun dan terbatas ke bawah adalah konvergen.. Bukti:. Diberikan 8! < turun dan terbatas ke bawah. Karena 8! : ’  }<  “ maka. terdapat 5   dan 5  inf8! : ’  }<. Jadi, untuk setiap ’  } berlaku ! - 5. (2.1). 5  Š ' !” - 5. (2.2). 5  Š ' !” - ! - 5 ' 5 " Š. (2.3). Karena 5  inf8! : ’  }<, maka untuk Š ' 0 yang diberikan terdapat s  } dan. Karena 8! < turun, maka mengingat (2.1) dan (2.2), untuk setiap ’ - s berlaku. Jadi, diperoleh pernyataan bahwa untuk setiap Š ' 0 terdapat s  } sedemi-. kian sehingga untuk setiap ’ - } dan ’ - s, maka |!  5| o Š. Jadi, 8! < konvergen dan lim !  5  inf8! : ’  }<.. ▄. Untuk lebih memahami definisi batas atas, batas bawah, supremum, dan infimum, maka akan diberikan contoh berikut..

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI. 38. Contoh 2.1.10. Misalkan .  8
, 5, l, r, •, –, —< terurut seperti pada Gambar 2.1.1 dan misal-. kan ‘  8l, r, •<. Tentukan batas atas, batas bawah, supremum, dan infimum. dari X!. – l.
. •. — r. 5. Gambar 2.1.2 Himpunan Terurut. Penyelesaian:. Elemen •, –, dan — didahului oleh setiap elemen dari X, sehingga •, –, dan — adalah batas atas dari X.. Elemen
mendahului setiap elemen dari X, sehingga
adalah batas bawah. dari X.. Elemen • mendahului – dan —, sehingga • adalah supremum dari X.. Elemen
mendahului setiap batas bawah dari X, sehingga
adalah infimum. dari X..

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI. 39. Definisi 2.1.23 (Barisan Cauchy). Barisan 8 ˜ < v  dikatakan Barisan Cauchy jika lim ,™š L    L  0.. Dengan kata lain untuk setiap Š ' 0, terdapat bilangan bulat s sedemikian sehingga L    L o Š untuk semua ˆ, ‰ ' s.. Untuk lebih memahami definisi barisan Cauchy, maka akan diberikan contoh berikut.. Contoh 2.1.11. Buktikan bahwa › œ   adalah barisan Cauchy! . Bukti:. Jika diberikan Š ' 0, dapat dipilih s  } sedemikian sehingga s '  . Maka,. jika ’, ˆ - s, diperoleh . . S ” o  dan dengan cara yang sama diperoleh . . S ” o  . Oleh karena itu, jika ’, ˆ - s, maka . . ž  ž S " o  "   Š. . . . . . . . Karena berlaku untuk sebarang Š ' 0, maka dapat disimpulkan bahwa › œ adalah barisan Cauchy.. ▄. .

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI. 40. Definisi 2.1.24 (Konvergen). Barisan 8E < dikatakan konvergen jika terdapat E   dengan sifat, untuk sebarang Š ' 0 yang diberikan, terdapat s  } sehingga untuk semua ’  }. dengan ’ - s berlaku |E  E | o Š. Bilangan s dinamakan limit 8E < untuk. ’ ™ ∞ dan ditulis lim’™∞ E’  E atau disingkat lim E  E.. Untuk lebih memahami definisi konvergen dari suatu barisan, maka akan diberikan contoh berikut.. Contoh 2.1.12. Jika E  l untuk semua ’  } dan c suatu konstanta, maka buktikan bahwa 8E < konvergen ke c!. Bukti:. Untuk semua ’  } berlaku |E  l|  0. Jadi, jika diberikan Š ' 0, maka. terdapat s  } sehingga ’ - s berlaku |E  l| o Š. Dalam hal ini, dapat diambil bilangan bulat positif manapun untuk }, karena |E  l|  0 o Š untuk ’  }.. ▄.

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI. 41. B. Fungsi Terdiferensial Pada subbab ini akan dibahas mengenai fungsi, fungsi kontinu, fungsi terdiferensial secara kontinu, fungsi terdiferensial dua kali secara kontinu dan beberapa definisi serta teorema dasar tentang kalkulus.. Definisi 2.2.1 (Fungsi atau Pemetaan) Relasi dari himpunan A ke himpunan B disebut dengan fungsi atau pemetaan, jika dan hanya jika setiap anggota dari himpunan A berpasangan tepat hanya dengan sebuah anggota dalam himpunan B.. Fungsi f dapat pula dinotasikan dengan f : A → B , yang mana menunjukkan bahwa fungsi tersebut merupakan pemetaan dari himpunan A ke himpunan B. Himpunan A disebut dengan domain atau daerah asal, sedangkan himpunan B disebut dengan kodomain atau daerah kawan. Definisi 2.2.2 (Fungsi Kontinu di ). Misalkan    , –:  ™ , dan l  . Fungsi f dikatakan kontinu di c, jika. untuk setiap Š ' 0 yang diberikan, dapat dicari ¡ ' 0, sehingga untuk semua. !   dan |!  l| o ¡, maka |–#!$  –#l$| o Š..

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI. 42. Teorema 2.2.1. Jika –, — kontinu di x, maka –  — juga kontinu di x. Bukti:. Andaikan f dan — kontinu di x.. Akan dibuktikan bahwa –  — kontinu di x.. Jika Š adalah sebarang bilangan positif yang diberikan, maka Š/2 adalah positif. Karena f kontinu di x, maka untuk setiap Š   ' 0, terdapat suatu bila. ngan positif ¡ , sedemikian sehingga untuk H   dan |!  H| o. ¡ maka |–#!$  –#H$| o Š dan karena — kontinu di x, maka untuk setiap Š   ' 0, terdapat suatu bilangan positif ¡ , sedemikian sehingga untuk . H   dan |!  H| o ¡ maka |—#!$  —#H$| o Š. Ambil sebarang Š ' 0. dan pilih ¡  min 8 ¡ , ¡ <, yakni pilih ¡ yang terkecil diantara ¡ dan ¡ .. Maka, untuk H   dan |!  H| o ¡ mengimplikasikan |–#!$  –#H$  —#!$  —#H$|.  |–#!$  –#H$ " #1$—#!$  —#H$| S |–#!$  –#H$| " |#1$—#!$  —#H$|. S |–#!$  –#H$| " |#1$||—#!$  —#H$| S |–#!$  –#H$| " |—#!$  —#H$| S Š/2 " Š/2  Š. (Ketaksamaan Segitiga).

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI. 43. Langkah-langkah di atas memperlihatkan bahwa untuk H   dan |!  H| o ¡, maka |–#!$  –#H$  —#!$  —#H$| o Š.. Oleh karena itu, dapat disimpulkan bahwa –  — kontinu di x.. ▄. Definisi 2.2.3 (Nilai Maksimum, Nilai Minimum, dan Nilai Ekstrim) Andaikan S adalah daerah asal dari f yang memuat titik c. Dapat dikatakan bahwa: (i). f(c) adalah nilai maksimum f pada S jika –#l$ - –#!$ untuk semua. x di S. (ii). f(c) adalah nilai minimum f pada S jika –#l$ S –#!$ untuk semua x di S.. (iii). f(c) adalah nilai ekstrim f pada S jika f(c) adalah nilai maksimum atau nilai minimum.. Teorema 2.2.2 (Titik Kritis). Andaikan f terdefinisikan pada selang 
, 5 yang memuat titik c. Jika f(c). adalah nilai ekstrim, maka c haruslah berupa suatu titik kritis, yakni c berupa. salah satu: (i) (ii). Titik ujung dari 
, 5.. Titik stasioner dari f, yakni titik c sedemikian sehingga – ¢ #l$  0..

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI. (iii). 44. Titik singular dari f, yakni titik c sedemikian sehingga – ¢ #l$ tidak ada.. Bukti:. Akan dibuktikan untuk f(c) yang berupa nilai maksimum f pada 
, 5.. Andaikan bahwa c bukan titik ujung ataupun titik singular, sehingga harus diperlihatkan bahwa c adalah titik stasioner. Karena f(c) adalah nilai maksimum, maka –#!$ S –#l$ untuk semua x dalam 
, 5 diperoleh –#!$  –#l$ S 0.. Jadi, jika ! o l sehingga !  l o 0, maka. ! ' l, maka. £#¤$Ž£#¥$ ¤Ž¥. £#¤$Ž£#¥$ ¤Ž¥. - 0. Sedangkan, jika. S 0. Akan tetapi, – ¢ #l$ ada, karena c bukan titik singu-. lar. Karena f terdiferensial pada c, maka diperoleh – ¢ #l$  –Ž¢ #l$ . lim¤™¥ ¦. £#¤$Ž£#¥$ ¤Ž¥. - 0 dan – ¢ #l$  –¢ #l$  lim¤™¥ §. £#¤$Ž£#¥$ ¤Ž¥. S 0, yang ma-. na mengakibatkan bahwa – ¢ #l$ - 0 dan – ¢ #l$ S 0. Sehingga dapat disimpulkan bahwa – ¢ #l$  0, yang mana menunjukkan bahwa c adalah titik stasio-. ner. Jadi, terbukti untuk f(c) yang berupa nilai maksimum f pada 
, 5. Se-. lanjutnya, untuk f(c) yang berupa nilai minimum f pada 
, 5 dibuktikan. dengan cara yang sama seperti untuk f(c) yang berupa nilai maksimum f pada. 
, 5. ▄.

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI. 45. Teorema 2.2.3 (Teorema Nilai Rata-Rata). Jika – kontinu pada selang tertutup 
, 5 dan terdiferensiasikan pada titik-. titik dalam dari #
, 5$, maka terdapat paling sedikit satu bilangan c dalam #
, 5$ dengan. –#5$  –#
$  – ¢ #l$ 5
. atau sama dengan –#5$  –#
$  – ¢ #l$#5 
$.. #2.4$. Bukti:. Pembuktian ini berdasarkan pada analisis dari fungsi E#!$  –#!$  —#!$ yang diperlihatkan pada Gambar 2.2.1.. Gambar 2.2.1 Teorema Nilai Rata-Rata. Pada Gambar 2.2.1, terlihat bahwa H  —#!$ adalah persamaan garis yang melalui #
, –#
$$ dan #5, –#5$$. Karena garis ini mempunyai kemiringan.

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI. 46. –#5$  –#
$/#5 
$ dan melalui titik #
, –#
$$, maka garis tersebut memiliki persamaan titik kemiringan, yakni —#!$  –#
$ . X —#!$  –#
$ ". –#5$  –#
$ #! 
$ 5
. –#5$  –#
$ #! 
$ 5
. Sedangkan, jarak antara fungsi – dengan fungsi — adalah. #2.5$. E#!$  –#!$  —#!$. Sehingga persamaan (2.5) dapat ditulis menjadi E#!$  –#!$  —#!$.  –#!$  –#
$ . –#5$  –#
$ #! 
$ 5
. #2.6$. Dapat dilihat bahwa E#5$  E#
$  0 dan bahwa untuk ! dalam #
, 5$ berlaku. E ¢ #!$  – ¢ #!$ . –#5$  –#
$ 5
. #2.7$. Jika diketahui bahwa terdapat suatu bilangan c dalam #
, 5$ yang memenuhi. E ¢ #l$  0, maka bukti akan selesai. Sehingga, persamaan (2.7) menjadi 0  – ¢ #l$ . –#5$  –#
$ 5
. #2.8$. yang mana persamaan (2.7) tidak lain merupakan persamaan (2.4).. Untuk melihat bahwa E ¢ #l$  0 untuk suatu c dalam #
, 5$ alasannya jelas. karena s kontinu pada 
, 5 yang merupakan selisih dua fungsi kontinu. Berdasarkan sifat bahwa jika – kontinu pada selang tertutup 
, 5, maka f men-.

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI. 47. capai nilai maksimum dan minimum, sehingga s harus mencapai nilai maksi-. mum ataupun nilai minimum pada 
, 5. Jika kedua nilai ini kebetulan adalah. 0, maka E#!$ secara identik adalah 0 pada 
, 5, akibatnya E ¢ #!$  0 untuk. semua x dalam #
, 5$. Jika nilai maksimum atau nilai minimum berlainan de-. ngan 0, maka nilai tersebut dicapai pada sebuah titik-dalam c, karena E#
$  E#5$  0. Sekarang s mempunyai turunan di setiap titik dari #
, 5$, sehingga. berdasarkan Teorema Titik Kritis diperoleh E ¢ #l$  0. ▄. Definisi 2.2.4 (Fungsi Kontinu di  ). Sebuah fungsi –:  ™  dikatakan kontinu pada «   , jika untuk setiap. ε > 0, terdapat δ > 0 sedemikian sehingga L  «L o δ maka. L–#$  –#«$L o Š .. Definisi 2.2.5 (Turunan Parsial). Andaikan bahwa f adalah suatu fungsi dua variabel dari ! dan H.. Turunan parsial f terhadap ¬ adalah fungsi yang dinyatakan dengan –¤ #!, H$ atau. ­£#¤,®$ ­¤. yang nilainya di setiap titik #!, H$ diberikan oleh. –¤ #!, H$ . ¯–#!, H$ –#! " ∆!, H$  –#!, H$  lim ∆¤™± ¯! ∆!.

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI. 48. apabila limitnya ada. Dengan cara yang sama, turunan parsial f terhadap ²,. fungsi yang dinyatakan dengan –® #!, H$ atau. tik #!, H$ diberikan oleh –® #!, H$ . apabila limitnya ada.. ­£#¤,®$ ­®. yang nilainya di setiap ti-. ¯–#!, H$ –#!, H " ∆H$  –#!, H$  lim ∆®™± ¯H ∆H. Untuk lebih memahami definisi turunan parsial, maka akan diberikan contoh berikut.. Contoh 2.2.1: Tentukan turunan parsial terhadap x dan turunan parsial terhadap y dari fungsi yang dinotasikan dengan –#!, H$  !  H " 5! " 4!. Penyelesaian:. ¯–#!, H$ –#! " ∆!, H$  –#!, H$  lim ∆¤™± ¯H ∆!. #! " ∆!$ H " 5#! " ∆!$ " 4  #!  H " 5! " 4$  lim ∆¤™± ∆!. !  H " 2!∆!H " #∆!$ H " 5! " 5∆! " 4  #!  H " 5! " 4$ ∆¤™± ∆!.  lim. 2!∆!H " #∆!$ H " 5∆! ∆¤™± ∆!.  lim.

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI. 49.  2!H " 5. ¯–#!, H$ –#!, H " ∆H$  –#!, H$  lim ∆®™± ¯H ∆H. !  #H " ∆H$ " 5! " 4  #!  H " 5! " 4$ ∆®™± ∆H.  lim. !  ∆H ∆®™± ∆H.  lim  !. Definisi 2.2.6 (Fungsi Terdiferensial Kontinu). Sebuah fungsi kontinu –:  ™  dikatakan terdiferensial kontinu di.  ∂f   (x) ada dan kontinu dengan i = 1, … n.    jika   ∂xi . Definisi 2.2.7 (Gradien). Misalkan –:  ™  dan    , gradien dari f di x didefinisikan sebagai ¯– #$ ¸ ¯! » ¯– · ¯– ¯– #$º º #$, … , ³–#$  ´ #$µ  · ¯! ¯! ¯!. · º ·

º ¯– #$ ¶¯!. ¹.

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI. 50. Definisi 2.2.8 (Turunan Berarah). Fungsi –:  ™  terdiferensial kontinu pada himpunan terbuka D ⊆  . Maka untuk x ∈ D dan ¼   turunan berarah dari f di  dalam arah d di-. definisikan sebagai. –# " ¿¼$  –#$  ³–#$ ¼ ¾™± ¿. – ¢ #, ¼$ ½ lim. dimana ³–#$ adalah gradien dari f di x, vektor berukuran n x 1. Teorema 2.2.4 (Teorema Taylor di  ). Misalkan –:  ™  terdiferensial secara kontinu dan bahwa ¼   . Maka. diperoleh. –# " ¼$  –#$ " ³–# " À¼$ ¼. untuk suatu À  #0,1$.. (2.9). Bukti:. Misalkan –:  ™  terdiferensial secara kontinu pada himpunan terbuka. m v  sehingga   m dan ¼   . Dengan menggunakan Definisi Turunan Berarah diperoleh bahwa. –# " ¿¼$  –#$  ³–#$ ¼ ¾™± ¿. – ¢ #, ¼$  lim. Misalkan, f(x) merupakan fungsi norm ‰, yakni f(x) = LL.. Dari persamaan (2.10) diperoleh bahwa. #2.10$.

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI. 51. L " ¿¼L  LL ¾™± ¿. – ¢ #LL , ¼$  lim. ∑ \|! " ¿r |  ∑ \|! | ¾™± ¿.  lim. Jika ! ' 0, diperoleh |! " ¿r |  |! | " ¿r untuk semua ¿ yang cukup ke-. cil. Jika ! o 0, diperoleh |! " ¿r |  |#!  ¿r $|  |1||! ¿r |  |! |  ¿r . Jika !  0, diperoleh |! " ¿r |  |0 " ¿r |  ¿|r |. Selanjutnya, diperoleh. – ¢ #LL , ¼$  lim. ¾™±. ∑|¤Á ±|! " ¿r |  ∑|¤Á ±|! |. "lim. ¾™±. "lim. ¾™±.  lim. ¾™±. ¿. ∑|¤Á ñ|! " ¿r |  ∑|¤Á ñ|! | ¿. ∑|¤Á \±|! " ¿r |  ∑|¤Á \±|! | ¿. ∑|¤Á ±|! | " ∑|¤Á ± ¿r  ∑|¤Á ±|! |. "lim. ¾™±. "lim. ¾™±. ¿. ∑|¤Á ñ|! |  ∑|¤Á ñ ¿r  ∑|¤Á ñ|! | ¿. ∑|¤Á \±|! | " ∑|¤Á \± ¿|r |  ∑|¤Á \±|! | ¿. ¿ ∑|¤Á ± r ¿ ∑|¤Á ñ r " lim ¾™± ¾™± ¿ ¿.  lim. ¿ ∑|¤Á \±|r | ¾™± ¿. "lim.  Y r  Y r " Y |r | |¤Á ±. |¤Á ñ. |¤Á \±.

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI. 52. Jadi, turunan berarah dari fungsi f(x) ada untuk sebarang x dan d. Misalkan f terdiferensial secara kontinu pada suatu kitar dari x, maka diperoleh. – ¢ #–#$, ¼$  ³–#$ ¼. (2.11). Untuk membuktikan rumus ini, didefinisikan fungsi “#À$  –# " À¼$  –#B#À$$. dimana B#À$   " À¼. Dapat dicatat bahwa. –# " ¿¼$  –#$ “#¿$  “#0$  lim  “¢ #0$ ¾™± ¾™± ¿ ¿ lim. Dengan menggunakan aturan rantai pada –#B#À$$ diperoleh “¢ #À$ . ¯–>B#À$? ¯B ¯–>B#À$? ¯B ¯–>B#À$? ¯B · " · " …" · " …" ¯B ¯À ¯B ¯À ¯B ¯À ¯–#B#À$$ ¯B. · ¯À ¯B. Y \. Y \. ¯–>B#À$? · ³B #À$ ¯B ¯–>B#À$? · r ¯B.  ³–>B#À$? ¼.  ³–# " À¼$ ¼. (2.12). Substitusikan untuk À  0 ke dalam persamaan (2.12), sehingga diperoleh “¢ #0$  ³–#$ ¼  – ¢ #–#$, ¼$. (2.13).

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI. 53. yang mana persamaan (2.13) adalah persamaan (2.11). Berdasarkan Teorema Nilai Rata-Rata, misalkan diberikan sebuah fungsi yang terdiferensial secara kontinu “:  ™  dan terdapat dua bilangan real À± dan À yang memenuhi À ' À± untuk suatu Ä  #À± , À $, sehingga dipero-. leh. “#À $  “#À± $ " “¢ #Ä$#À  À± $. Dapat diingat bahwa “#À$  –# " À¼$. Andaikan bahwa À±  0 dan À  1. Jika À diganti menjadi À , maka diperoleh “#À $  –# " À ¼$. Substitusikan À  1 ke dalam persamaan (2.15) sehingga diperoleh “#1$  –# " ¼$. Jika À diganti menjadi À± , maka “#À± $  –# " À± ¼$. Substitusikan À±  0 ke dalam persamaan (2.16) sehingga diperoleh. (2.14). (2.15). (2.16). “#0$  –#$. Suatu perluasan dari hasil ini untuk fungsi multivariabel –:  ™  bahwa untuk sebarang vektor d diperoleh bahwa –# " ¼$  –#$ " ³–# " À¼$ ¼ untuk suatu À  #0,1$. ▄. Definisi 2.2.9 (Fungsi Terdiferensial Dua Kali Secara Kontinu). Sebuah fungsi terdiferensial kontinu –:  ™  dikatakan terdiferensial.

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI.  ∂2 f dua kali secara kontinu di    jika   ∂x ∂x  i j. ]  1, … , ’ dan Å  1, … , ’.. 54.   (x) ada dan kontinu dengan  . Definisi 2.2.10 (Matriks Hesse). Misalkan –:  ™  dan    , matriks Hesse dari f didefinisikan sebagai. matriks simetri berukuran n x n, yang dinotasikan dengan H(x) dengan ele-. men-elemen sebagai berikut: ³ –#$ . ¯ – #$, ]  1, … , ’ dan Å  1, … , ’ ¯! ¯!. Atau dapat juga dinyatakan sebagai berikut: ¯  –#$ É  È ¯! È ¯  –#$ Æ#$  È ¯! ¯! È È 

È ¯ –#$ ǯ! ¯!. ¯  –#$ ¯! ¯! ¯  –#$ ¯!

 ¯ –#$ ¯! ¯!. ¯  –#$ Ì ¯! ¯! Ë Ë

Ë Ë Ë ¯  –#$ Ë. ¯!  Ê. Untuk lebih memahami definisi gradien dan matriks Hesse, maka akan diberikan contoh berikut.. Contoh 2.2.2:. Misalkan Í#! , ! $  ! " !  2!  5! " 7.25..

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI. Maka ³Í#! , ! $ . ­Î. ­¤ F ­ÎM ­¤N. ­ N Î#¤M ,¤N $. Æ#! , ! $  ­N Î#¤. ­¤MN. M ,¤N $. ­¤N ­¤M. #! , ! $ #! , ! $. G+. ­ N Î#¤M ,¤N $ ­¤M ­¤N. 2!  2 , dan 2!  5. 2 ) 0. ­ N Î#¤M ,¤N $ ­¤NN. 55. 0 *. 2. C. Himpunan Konveks dan Fungsi Konveks Pada subbab ini akan dibahas mengenai himpunan konveks dan fungsi konveks serta beberapa teorema-teorema yang berkaitan dengan fungsi konveks.. Definisi 2.3.1 (Himpunan Konveks). Sebuah himpunan Ï v  disebut himpunan konveks apabila memenuhi si-. fat berikut: jika diberikan sebarang dua titik x1, x2 ∈ C , maka. θ x1 + (1 − θ ) x2 ∈ C untuk setiap θ ∈ [0,1] . Suku θ x1 + (1 − θ ) x2 dengan θ ∈ [0,1] menggambarkan titik-titik yang terletak pada ruas garis yang menghubungkan x1 dan x2.. Dalam pengertian geometri, himpunan konveks dapat digambarkan pada Gambar 2.3.1..

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI. 56. Gambar 2.3.1 Ilustrasi dari Himpunan Konveks.. Berdasarkan Gambar 2.3.1, jika diberikan sebarang dua titik x1 dan x2 yang berada di dalam C, maka ruas garis yang menghubungkan titik x1 dan x2 akan berada di dalam C.. Untuk lebih memahami definisi himpunan konveks, maka akan diberikan contoh berikut.. Contoh 2.3.1:. K = ( x1 , x 2 ) : x12 + x 22 < 1 v . {. }. Himpunan ini merepresentasikan titik yang berada di dalam lingkaran dengan pusat (0,0) dan radius 1 seperti pada Gambar 2.3.2..

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI. 57. Gambar 2.3.2 Lingkaran x 2 + y 2 = 1. Berdasarkan Gambar 2.3.2, jika diberikan sebarang dua titik x1 dan x2 yang berada di dalam lingkaran, maka ruas garis yang menghubungkan titik x1 dan x2 akan berada di dalam lingkaran.. Definisi 2.3.2 (Fungsi Konveks). Fungsi –:  ™  dikatakan konveks jika untuk dua vektor x1, x2   berlaku. f (θ x1 + (1 − θ ) x2) ≤ θ f (x1) + (1 − θ ) f (x2) untuk semua θ ∈ [0,1] .. Fungsi f dikatakan konveks tegas (strictly convex) jika. f (θ x1 + (1 − θ ) x2) < θ f (x1) + (1 − θ ) f (x2) dimana x1≠ x2 dan 0 < θ < 1.. Fungsi konveks dapat diilustrasikan pada Gambar 2.3.3..

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI. 58. Gambar 2.3.3 Contoh Fungsi Konveks.. Gambar 2.3.3 adalah fungsi konveks, dimana θ f (x1) + (1 − θ ) f (x2) digambarkan sebagai titik pada tali busur yang menghubungkan f (x1) dan f (x2), sedangkan f (θ x1 + (1 − θ ) x2) adalah titik pada f yang menghubung-. kan f(x1) dan f(x2). Berdasarkan Gambar 2.3.3, dapat dilihat bahwa ¿–# $ " (1 − θ ) f #  $. berada. di. atas. –#¿ " #1  ¿$  $.. Jadi,. #1  ¿$  $ S ¿–# $ " (1 − θ ) f #  $, yang berarti f konveks.. –#¿ ". Untuk lebih memahami definisi fungsi konveks, maka akan diberikan contoh berikut.. Contoh 2.3.2:. Diberikan f ( x) = x 2 , x  , fungsi f merupakan fungsi konveks..

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI. 59. Bukti:. Ambil x1, x2  , maka f ( x1) = x1 dan f ( x2) = x2 ,θ ∈ [0,1] . 2. 2. f (θ x1 + (1 − θ ) x2) = (θx1 + (1 − θ ) x 2 ) 2. = (θx1 ) 2 + 2 (θx1 )((1 − θ ) x 2 ) + ((1 − θ ) x 2 ) 2 2. = θ 2 x1 + 2θx1 ( x2 − θx2 ) + ( x2 − θx2 ) 2 2. 2. 2. = θ 2 x1 + 2θx1 x2 − 2θ 2 x1 x2 + x2 − 2θx2 + θ 2 x 2 2. 2. 2. = θ 2 x1 + (1 − 2θ + θ 2 ) x 2 + 2θx1 x 2 − 2θ 2 x1 x 2 2. 2. = θ 2 x1 + (1 − θ ) 2 x 2 + 2θx1 x 2 − 2θ 2 x1 x 2. Sedangkan, 2. θ f (x1) + (1 − θ ) f (x2) = θx1 + (1 − θ ) x2. 2. Karena θ ∈ [0,1] , maka θ 2 < θ sehingga diperoleh:. f (θ x1 + (1 − θ ) x2) 2. 2. = θ 2 x1 + (1 − θ ) 2 x 2 + 2θx1 x 2 − 2θ 2 x1 x 2 2. 2. 2. 2. < θx1 + (1 − θ ) x 2 + 2θx1 x 2 − 2θx1 x 2 = θx1 + (1 − θ ) x 2. = θ f (x1) + (1 − θ ) f (x2) Jadi, f (θ x1 + (1 − θ ) x2) ≤ θ f (x1) + (1 − θ ) f (x2) untuk sebarang θ ∈ [0,1] , maka terbukti bahwa f ( x) = x 2 adalah fungsi konveks. ▄.

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI. 60. Contoh 2.3.3:. Diberikan Í#$  ! " !  2!  5! " 7.25,    , fungsi Q merupa-. kan fungsi konveks.. Bukti:. Misalkan x = [x1 , x 2 ]T   dan y = [ y1 , y 2 ]T   ,θ ∈ [0,1].. Maka. x . y .  2. . θ x + (1 − θ ) y = θ  1  + (1 − θ )  1  x y 2. . θx   y − θy1  =  1 +  1  θx 2   y 2 − θy 2   θ ( x1 − y1 ) + y1  =  θ ( x 2 − y 2 ) + y 2  Karena itu. Í#¿ " #1  ¿$B$.  #¿#!  H $ " H $ " #¿#!  H $ " H $  2#¿#!  H $ " H $ 5#¿#!  H $ " H $ " 7.25.  #¿  #!  H $ " 2¿#!  H $H " H  $ " #¿  #!  H $ ". 2¿#!  H $H " H  $  2¿#!  H $  2H  5¿#!  H $  5H " 7.25.  #¿  #!   2! H " H  $ " 2¿! H  2¿H  " H  $. "#¿  #!   2! H " H  $ " 2¿! H  2¿H  " H  $  2¿! " 2¿H.

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI. 2H  5¿! " 5¿H  5H " 7.25. Sedangkan,. ¿Í#$ " #1  ¿$Í#B$  ¿#! " !  2!  5! $ " #1  ¿$ #H " H  2H  5H $ " 7.25.  ¿! " ¿!  2¿!  5¿! " H " H  2H 5H  ¿H  ¿H " 2¿H " 5¿H " 7.25. Karena θ ∈ [0,1] , maka θ 2 < θ sehingga diperoleh:. Í#¿ " #1  ¿$B$.  #¿  #!   2! H " H  $ " 2¿! H  2¿H  " H  $. "#¿  #!   2! H " H  $ " 2¿! H  2¿H  " H  $  2¿! " 2¿H 2H  5¿! " 5¿H  5H " 7.25. o #¿#!   2! H " H  $ " 2¿! H  2¿H  " H  $. "#¿#!   2! H " H  $ " 2¿! H  2¿H  " H  $  2¿! " 2¿H 2H  5¿! " 5¿H  5H " 7.25. o ¿!   2¿! H " ¿H  " 2¿! H  2¿H  " H  " ¿!   2¿! H "¿H  " 2¿! H  2¿H  " H   2¿! " 2¿H  2H  5¿! "5¿H  5H " 7.25.  ¿! " ¿!  2¿!  5¿! " H " H  2H  5H  ¿H  ¿H "2¿H " 5¿H " 7.25.  ¿Í#$ " #1  ¿$Í#B$. 61.

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI. 62. Jadi, Í#¿ " #1  ¿$B$ S ¿Í#$ " #1  ¿$Í#B$ untuk sebarang θ ∈ [0,1] ,. maka terbukti bahwa Í#$  ! " !  2!  5! " 7.25 dengan    adalah fungsi konveks.. ▄. Teorema 2.3.1. Misalkan S ⊆  adalah himpunan konveks terbuka tidak kosong dan. –: {    ™  adalah fungsi terdiferensial. Maka f dikatakan konveks jika dan hanya jika. –#$ - –#«$ " ³–#«$ #  «$,  «,   {. Bukti: (⇒ ). Misalkan f konveks.. Akan ditunjukkan bahwa –#$ - –#«$ " ³–#«$ #  «$,  «,   {.. Berdasarkan Definisi Fungsi Konveks bahwa jika f adalah konveks, maka un-. tuk semua ¿ dengan 0 < ¿ < 1 berlaku. –#¿ " #1  ¿$«$ S ¿–#$ " #1  ¿$–#«$. Ð –#¿ " «  ¿«$ S ¿–#$ " –#«$  ¿–#«$. Ð –#« " ¿#  «$$ S ¿>–#$  –#«$? " –#«$ Ð –#« " ¿#  «$$  –#«$ S ¿>–#$  –#«$?.

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI. Ð. –#« " ¿#  «$$  –#«$ S –#$  –#«$ ¿. Dengan pengambilan limit untuk ™ 0 , maka. –#« " ¿#  «$$  –#«$ S –#$  –#«$ ¾™± ¿ lim. Berdasarkan Definisi Turunan Berarah diperoleh. Maka terbukti bahwa. ³–#«$ #  «$ S –#$  –#«$ –#$ - –#«$ " ³–#«$ #  «$. (⇐). Misalkan bahwa –#$ - –#«$ " ³–#«$ #  «$.. Akan ditunjukkan f konveks.. Anggap bahwa –#$ - –#«$ " ³–#«$ #  «$,  «,   { benar.. Pilih sebarang x1, x2  { dan   ¿ " #1  ¿$  untuk semua ¿  #0,1$.. Maka diperoleh. dan. Oleh karena itu,. –# $ - –#«$ " ³–#«$ #  «$ –#  $ - –#«$ " ³–#«$ #   «$. ¿–# $ " #1  ¿$–#  $. - ¿#–#«$ " ³–#«$ #  «$$ " #1  ¿$#–#«$ " ³–#«$ #   «$$. 63.

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI. 64.  ¿–#«$" ³–#«$ ¿#  «$ " –#«$" ³–#«$ #  «$  ¿–#«$  ³–#«$ ¿#   «$.  –#«$" ³–#«$ #¿#  «$ " #   «$  ¿#   «$$  –#«$" ³–#«$ #¿  ¿« "    «  ¿  " ¿«$  –#«$" ³–#«$ #¿ " #1  ¿$   «$  –#¿ " #1  ¿$  $. Karena –#¿ " #1  ¿$  $ S ¿–# $ " #1  ¿$–#  $ untuk sebarang. x1, x2  { dan ¿  #0,1$, maka terbukti bahwa – konveks.. ▄. Teorema 2.3.2. Misalkan { v  adalah himpunan konveks terbuka tidak kosong dan. –: { v  ™  terdiferensial dua kali secara kontinu. Maka f adalah konveks. jika dan hanya jika matriks Hesse adalah semidefinit positif pada setiap titik dalam S.. Bukti: #Ñ$. Andaikan bahwa matriks Hesse ³ –#$ adalah semidefinit positif pada setiap. titik   {. Akan dibuktikan bahwa f adalah konveks. Anggap , «  {. Mela-. lui Teorema Nilai Rata-Rata diperoleh –#$  –#«$ " ³–#«$ #  «$ ".

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI.  . 65. #  «$ ³ –#Ò$#  «$ dimana Ò  « " ¿#  «$, ¿  #0,1$. Dapat dicatat. bahwa Ò  {. Karena ³ –#$ adalah semidefinit positif,   {, maka #  «$ ³ –#Ò$#  «$ - 0.. Sehingga. diperoleh. –#$ - –#«$ ". ³–#«$ #  «$. Dengan menggunakan Teorema 2.3.1 diperoleh bahwa f ada-. lah fungsi konveks. #Ó$. Andaikan bahwa f adalah fungsi konveks dan «  {.. Akan dibuktikan bahwa T ³ –#«$T - 0, Ô   . Karena S terbuka, maka. terdapat ¡ ' 0 sedemikian sehingga ketika |k| o ¡, « " kT  {. Dengan Teorema 2.3.1 diperoleh. –#« " kT$ - –#«$ " ³–#«$ #« " kT  «$. X –#« " kT$ - –#«$ " k³–#«$ T. Karena –#$ terdiferensial dua kali pada «, maka. (2.17). 1 –#« " kT$  –#«$ " ³–#«$ #« " kT  «$ " #« " kT  «$ ³ –#«$ 2 #« " kT  «$ " Õ#LkTL $. 1  –#«$ " k³–#«$ T " #kT$ ³ –#«$kT " Õ#LkTL $ 2  –#«$ " k³–#«$ T ". k T ³ –#«$T " Õ#LkTL $ 2. #2.18$.