4 HASIL DAN PEMBAHASAN

7

4 HASIL DAN PEMBAHASAN

Studi Pendahuluan

Salah satu bahasan dalam aljabar linier yang merupakan kunci penting dalam latis adalah proses ortogonalisasi Gram-Schmidt. Proses ini akan menjadi ide utama dalam pembentukan algoritme LLL. Berikut ini definisi proses ortogonalisasi Gram-Schmidt.

Ortogonalisasi Gram-Schmidt

Misalkan ℬ = {𝐛₁, 𝐛₂, … , 𝐛_𝑛} adalah himpunan n vektor bebas linier dalam ruang vektor ℝ^𝑚. Maka dapat dikonstruksi barisan bagian dari 𝑛 vektor yang saling ortogonal ℬ^∗ = {𝐛₁^∗, 𝐛₂^∗, … , 𝐛_𝑛^∗} dimana

𝐛₁^∗ = 𝐛₁, 𝐛_𝑗^∗ = 𝐛_𝑗− ∑ 𝜇_𝑗,𝑖

𝑗−1

𝑖=1

𝐛_𝑖^∗ dengan 𝑗 = 2, 3, … , 𝑛 dan

𝜇_𝑗,𝑖 = 𝐛_𝑗. 𝐛_𝑖^∗ 𝐛_𝑖^∗. 𝐛_𝑖^∗.

Jika himpunan ℬ = {𝐛₁, 𝐛₂, … , 𝐛_𝑛} adalah bebas linier, maka ℬ merupakan basis untuk 〈ℬ〉 = {∑^𝑛_𝑗=1𝑥_𝑗𝐛_𝑗/𝑥_𝑗 ∈ ℝ} , dan jika ℬ^∗ = {𝐛₁^∗, 𝐛₂^∗, … , 𝐛_𝑛^∗} adalah hasil ortogonalisasi Gram-Schmidt dari ℬ, maka ℬ^∗ juga merupakan basis untuk

〈ℬ〉. Namun hal ini tidak berlaku secara umum dalam latis, jika ℬ adalah basis untuk latis yang dibangkitkan oleh ℬ, tidak harus ℬ^∗ merupakan basis untuk latis tersebut.

Kompleksitas Gram-Schmidt

Dalam ortogonalisasi Gram-Schmidt terlihat bahwa banyaknya operasi aritmetik yang dilibatkan dalam proses tersebut adalah 𝑂(𝑛³). Namun, belum dapat disimpulkan bahwa waktu eksekusi (running time) pada ortogonalisasi Gram-Schmidt adalah polinomial.

Diasumsikan bahwa matriks B yang digunakan adalah matriks bilangan bulat. Perhatikan bahwa langkah ke-j dari ortogonalisasi Gram-Schmidt dapat dirumuskan ulang sebagai

𝐛_𝑗^∗ = 𝐛_𝑗+ ∑ 𝜐_𝑗𝑖

𝑗−1

𝑖=1

𝐛_𝑖 (1) untuk suatu 𝜐_𝑗𝑖 ∈ ℝ. Karena 𝐛_𝑗^∗ ortogonal ke 𝐛_𝑡 untuk setiap 𝑡 < 𝑗 maka diperoleh 𝐛_𝑡. 𝐛_𝑗^∗ = ( 𝐛_𝑡. 𝐛_𝑗) + 𝐛_𝑡. ∑ 𝜐_𝑗𝑖

𝑗−1

𝑖=1

𝐛_𝑖

⇔ 𝟎 = ( 𝐛_𝑡. 𝐛_𝑗) + 𝐛_𝑡. ∑ 𝜐_𝑗𝑖

𝑗−1

𝑖=1

𝐛_𝑖

8

⇔ 𝐛_𝑡. ∑ 𝜐_𝑗𝑖

𝑗−1

𝑖=1

𝐛_𝑖 = −( 𝐛_𝑡. 𝐛_𝑗). (2) Untuk 𝑡 = 1, 2, … , 𝑗 − 1 , persamaan tersebut dapat dituliskan dalam bentuk matriks

(

𝐛₁. ∑^𝑗−1_𝑖=1𝜐_𝑗𝑖𝐛_𝑖 𝐛₂. ∑^𝑗−1_𝑖=1𝜐_𝑗𝑖𝐛_𝑖

⋮

𝐛_𝑗−1. ∑^𝑗−1_𝑖=1𝜐_𝑗𝑖𝐛_𝑖)

= − (

𝐛₁. 𝐛_𝑗 𝐛₂. 𝐛_𝑗

⋮ 𝐛_𝑗−1. 𝐛_𝑗)

.

Jika didefinisikan matriks

𝐁_𝑗−1 = (𝐛₁ 𝐛₂ … 𝐛_𝑗−1) dan matriks

𝐮_𝑗 = ( 𝜐_𝑗1 𝜐_𝑗2

⋮ 𝜐_{𝑗,𝑗−1}

), maka persamaan (2) dapat ditulis sebagai

(

𝐛₁. (𝐁_𝑗−1𝐮_𝑗) 𝐛₂. (𝐁_𝑗−1𝐮_𝑗)

⋮

𝐛_𝑗−1. (𝐁_𝑗−1𝐮_𝑗))

= − (

𝐛₁. 𝐛_𝑗 𝐛₂. 𝐛_𝑗

⋮ 𝐛_𝑗−1. 𝐛_𝑗)

⇔ 𝐁_𝑗−1^𝑇 (𝐁_𝑗−1𝐮_𝑗) = −𝐁_𝑗−1^𝑇 𝐛_𝑗

⇔ (𝐁_𝑗−1^𝑇 𝐁_𝑗−1)𝐮_𝑗 = −𝐁_𝑗−1^𝑇 𝐛_𝑗. (3) Persamaan (3) merupakan SPL dengan matriks koefisien 𝐁_𝑗−1^𝑇 𝐁_𝑗−1 dan vektor −𝐁_𝑗−1^𝑇 𝐛_𝑗 adalah bilangan bulat. Dengan demikian, untuk 𝑠 = 1, 2, … , 𝑗 − 1 berdasarkan aturan Cramer diperoleh

𝜐_𝑗𝑠 ∈ ℤ

det(𝐁_𝑗−1^𝑇 𝐁_𝑗−1)= ℤ

det (ℒ(ℬ_𝑗−1))² .

Hasil ini digunakan untuk memberi batas pada koefisien pada koefisien 𝜇_𝑗𝑖. Misalkan 𝐷_𝑗−1 = det(𝐁_𝑗−1^𝑇 𝐁_𝑗−1) dan dikalikan nilainya dengan kedua ruas dari persamaan (1) maka diperoleh

𝐷_𝑗−1𝐛_𝑗^∗ = 𝐷_𝑗−1𝐛_𝑗+ ∑(𝐷_𝑗−1𝜐_𝑗𝑖)

𝑗−1

𝑖=1

𝐛_𝑖

merupakan persamaan yang semua koefisien vektornya adalah bilangan bulat. Ini berarti semua penyebut dari bilangan dalam vektor 𝐛_𝑗^∗ adalah faktor 𝐷_𝑗−1. Kemudian

𝜇_𝑗,𝑖 = 𝐛_𝑗. 𝐛_𝑖^∗ 𝐛_𝑖^∗. 𝐛_𝑖^∗ =𝐷_𝑖−1(𝐛_𝑗. 𝐛_𝑖^∗)

𝐷_𝑖−1(𝐛_𝑖^∗. 𝐛_𝑖^∗)

9 = 𝐛_𝑗(𝐷_𝑖−1. 𝐛_𝑖^∗)

(∏^𝑖−1_𝑠=1‖𝐛_𝑠^∗‖^𝟐)‖𝐛_𝑖^∗‖^𝟐∈ ℤ 𝐷_𝑖. Hasil ini menunjukkan bahwa penyebut dari 𝜇_𝑗𝑖 harus membagi 𝐷_𝑖.

Uraian diatas membuktikan bahwa bilangan-bilangan yang ada di dalam vektor 𝐛_𝑖^∗ dan 𝜇_𝑗𝑖 mempunyai penyebut paling banyak

max𝑘 𝐷_𝑘 ≤ ∏‖𝐛_𝑘^∗‖^𝟐

𝑛

𝑖=𝑘

.

Akhirnya, besarnya bilangan polinomial karena ‖𝐛_𝑗^∗‖ ≤ ‖𝐛_𝑗‖. Dengan demikian, secara keseluruhan ortogonalisasi Gram-Schmidt mempunyai kompleksitas waktu polinomial. Hal ini bermanfaat untuk menganalisis algoritme LLL yang akan direkonstruksi, dimana cara kerja algoritme ini berdasarkan atas proses ortogonalisasi Gram-Schmidt.

Rekonstruksi Algoritme LLL

Seperti yang telah dijelaskan dalam pendahuluan bahwa latis merupakan obyek geometrik dalam ruang berdimensi-n yang dapat diilustrasikan sebagai himpunan titik-titik yang teratur dan periodik. Definisi latis secara formal adalah sebagai berikut.

Definisi 4.1

Misalkan ℬ = {𝐛₁, 𝐛₂, … , 𝐛_𝑛} adalah himpunan n vektor bebas linier dalam ruang vektor ℝ^𝑚. Latis yang dibangkitkan oleh ℬ adalah himpunan

ℒ(ℬ) = {∑ 𝑥_𝑗𝐛_𝑗

𝑛

𝑗=1

/𝑥_𝑗 ∈ ℤ}

yang beranggotakan semua kombinasi linier bilangan bulat dari ℬ. Dalam hal ini, ℬ merupakan basis untuk ℒ(ℬ). Notasi “/” dibaca sebagai “dengan”.

Seperti dalam ruang vektor, basis ℬ untuk latis ℒ(ℬ) dapat direpresentasikan sebagai matriks 𝐁 berukuran 𝑚 × 𝑛 yang kolom-kolomnya merupakan vektor 𝐛_𝑗:

𝐁 = (𝐛₁ 𝐛₂ … 𝐛_𝑛),

sehingga ℒ(ℬ) dapat dituliskan sebagai perkalian matriks ℒ(𝐁) = {𝐁𝑥/𝑥 ∈ ℤ^𝑛}.

Dalam hal ini, 𝐁 merupakan bentuk matriks dari ℬ.

Terdapat kemiripan antara pengertian latis yang dibangkitkan oleh ℬ dengan pengertian subruang vektor dalam ℝ^𝑚 yang direntang oleh ℬ:

〈ℬ〉 = {∑ 𝑥_𝑗𝐛_𝑗

𝑛

𝑗=1

/𝑥_𝑗 ∈ ℝ}.

Perbedaannya hanya terdapat pada bilangan yang digunakan pada kombinasi linier. Pada latis ℒ(ℬ), kombinasi linier menggunakan koefisien dalam rentang bilangan bulat (ℤ ⊆ ℝ). Sedangkan pada 〈ℬ〉, koefisien pada kombinasi linier yang digunakan adalah rentang bilangan real (ℝ), sehingga dapat disimpulkan bahwa jika ℬ adalah basis untuk ℒ(ℬ), maka ℬ juga merupakan basis untuk 〈ℬ〉.

Namun hal ini tidak berlaku sebaliknya, jika ℬ adalah basis untuk 〈ℬ〉, belum

10

Gambar 3 Latis dengan basis {(1,2),(4,1)}

Gambar 4 Latis dengan basis {(1,1)}

tentu ℬ juga basis untuk ℒ(ℬ). Misalkan dipilih basis ℬ₁ = {(1,0), (0,1)} yang merupakan basis baku untuk ℝ², maka

ℒ(ℬ₁) = {𝑥(1,0) + 𝑦(0,1)/𝑥, 𝑦 ∈ ℤ} = {(𝑥, 𝑦)/𝑥, 𝑦 ∈ ℤ} = ℤ².

Latis ℤ² beserta basis diilustrasikan pada Gambar 1. Seperti pada ruang vektor, basis suatu latis tidak tunggal. Pada Gambar 2, diilustrasikan bahwa ℤ² dapat dibangkitkan oleh latis basis ℬ₂ = {(2,1), (3,1)}. Sedangkan pada Gambar 3 merupakan contoh basis ℬ₃ = {(1,2), (4,1)} yang bukan merupakan basis untuk ℤ² walaupun mempunyai rank penuh dalam ℝ². Selanjutnya Gambar 4 merupakan sebuah contoh bahwa basis ℬ₄ = {(1,1)} yang membentuk latis ℒ(ℬ₄) walaupun ℬ₄ tidak memiliki rank penuh di dalam ℝ².

Gambar 1 Latis dengan basis {(1,0),(0,1)}

Gambar 2 Latis dengan basis {(2,1),(3,1)}

11 Definisi 4.2

Dua basis 𝒜 dan ℬ dikatakan ekivalen, dinotasikan dengan 𝒜 ~ ℬ, jika dan hanya jika 𝒜 dan ℬ membangkitkan latis yang sama, yaitu ℒ(𝒜) = ℒ(ℬ).

Definisi 4.3

Matriks U berukuran 𝑛 × 𝑛 disebut unimodular jika 𝐔 ∈ ℤ^𝑛×𝑛 dan det(𝐔) =

±1.

Contoh matriks unimodular: 𝐔 = (

1 3 −7

0 −1 2

−1 0 2

) dengan det(𝐔) = −1.

Proposisi 4.1

Invers dari matriks unimodular juga merupakan matriks unimodular.

Bukti:

Misalkan 𝐔 = (𝑢_𝑖𝑗) adalah matriks unimodular berukuran 𝑛 × 𝑛 dari asumsi diperoleh 𝑢_𝑖𝑗 ∈ ℤ dan det(𝐔) = ±1. Berdasarkan rumus matriks invers, maka

𝐔^−𝟏 = ¹

det(𝐔)(𝜇_𝑖𝑗)^𝑇, (4) dimana 𝜇_𝑖𝑗 adalah kofaktor dari 𝑢_𝑖𝑗. Karena 𝑢_𝑖𝑗 ∈ ℤ, dari definisi kofaktor, jelas

bahwa 𝜇_𝑖𝑗 ∈ ℤ sehingga

(𝜇_𝑖𝑗)^𝑇 ∈ ℤ^𝑛×𝑛. Disamping itu,

𝐔^−𝟏 𝐔 = 𝐈

⇒ det(𝐔^−𝟏 𝐔) = det(𝐈)

⇒ det(𝐔^−𝟏 )det (𝐔) = det(𝐈)

⇒ det(𝐔^−𝟏) = 1 det (𝐔). Karena det(𝐔) = ±1, maka

det(𝐔^−𝟏) = ±1 dan ¹

det (𝐔)∈ ℤ. (5) Dari (4) dan (5) dapat disimpulkan bahwa matriks 𝐔^−𝟏 merupakan matriks unimodular. Bukti lengkap. ∎

Proposisi 4.2

Misalkan 𝒜 = {𝐚₁, 𝐚₂, … , 𝐚_𝑛} adalah basis untuk ℒ(𝒜) dan ℬ = {𝐛₁, 𝐛₂, … , 𝐛_𝑛} adalah basis untuk ℒ(ℬ). Maka 𝒜 ~ ℬ jika dan hanya jika adalah matriks unimodular 𝐔 ∈ ℤ^𝑛×𝑛 sehingga 𝐁 = 𝐀𝐔, dimana 𝐀 dan 𝐁 adalah bentuk matriks

𝐀 = (𝐚1 𝐚₂ … 𝐚_𝑛) dan 𝐁 = (𝐛₁ 𝐛₂ … 𝐛_𝑛).

Bukti:

(⇒) Misalkan ℒ(𝒜) = ℒ(ℬ) . Dari asumsi ini, berarti untuk setiap 𝑗 = 1, 2, … 𝑛 untuk 𝐛_𝑗 ∈ ℒ(𝒜). Dari pengertian ℒ(𝒜) maka ada 𝐮_𝑗 = (𝑢1𝑗 𝑢_1𝑗 … 𝑢_1𝑗) ∈ ℤ^𝑛 sehingga

𝐛_𝑗 = ∑ 𝑢_𝑖𝑗𝐚_{𝑗 .} (6)

𝑛

𝑖=1

12

Dengan demikian, dapat didefinisikan matriks 𝐔 ∈ ℤ^𝑛×𝑛 yang kolom-kolomnya adalah vektor 𝐮_𝑗, yaitu

𝐔 = (𝐮1 𝐮₂ … 𝐮_𝑛) = (

𝑢₁₁ 𝑢₁₂ … 𝑢_1𝑛 𝑢₂₁

⋮ 𝑢_𝑛1

𝑢₂₂

⋮ 𝑢_𝑛2

… 𝑢_2𝑛

⋱ ⋮

… 𝑢_𝑛𝑛 ).

Dari persamaan (6) diperoleh persamaan matriks

(𝐛₁ 𝐛₂ … 𝐛_𝑛) = (𝐚₁ 𝐚₂ … 𝐚_𝑛)(𝐮₁ 𝐮₂ … 𝐮_𝑛) ⇔ 𝐁 = 𝐀𝐔. (7) Dengan langkah yang sama, dapat diperoleh matriks 𝐕 ∈ ℤ^𝑛×𝑛 sehingga

𝐀 = 𝐁𝐕. (8) Dari persamaan (7) dan (8),

𝐀 = 𝐁𝐕 = 𝐀𝐔𝐕 ⇒ det(𝐀) = det(𝐀𝐔𝐕) ⇔ det(𝐔) det(𝐕) = 1.

Disamping itu, karena 𝐔 dan 𝐕 adalah matriks bilangan bulat, maka determinannya juga bilangan bulat. Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa det(𝐔) = ±1.

(⇐) Misalkan 𝐁 = 𝐀𝐔 dengan U unimodular. Dari asumsi ini, berarti untuk setiap 𝑗 = 1, 2, … , 𝑛 , 𝐛_𝑗 ∈ ℒ(𝒜) , dengan kata lain, 𝐛_𝑗 merupakan kombinasi linier bilangan bulat dari 𝒜. Selanjutnya bahwa karena setiap 𝐱 ∈ ℒ(ℬ) merupakan kombinasi linier dari {𝐛₁ 𝐛₂ … 𝐛_𝑛} , maka dapat disimpulkan bahwa x juga merupakan kombinasi linier bilangan bulat dari 𝒜 (artinya 𝐱 ∈ ℒ(𝒜)). Dengan demikian, diperoleh ℒ(ℬ) ⊆ ℒ(𝒜). Sekarang tinggal ditunjukkan ℒ(𝒜) ⊆ ℒ(ℬ). Perhatikan bahwa, dari asumsi juga diperoleh 𝐀 = 𝐁𝐔⁻¹ dengan 𝐔⁻¹ adalah unimodular (Proposisi 4.1). Akhirnya dengan langkah yang sama dengan sebelumnya diperoleh ℒ(𝒜) ⊆ ℒ(ℬ). Bukti lengkap. ∎

Cara yang lebih praktis untuk menentukan dua basis yang ekivalen adalah dengan menerapkan operasi kolom integer (integer column operation).

Definisi 4.4

Operasi Kolom Integer (OKI) pada matriks 𝐁 memiliki 3 jenis berikut:

1. 𝐾_𝑗𝑘(𝐁) menyatakan matriks hasil operasi yang menukar kolom ke-j dan kolom ke-k pada matriks 𝐁.

2. 𝐾_𝑗(−1)(𝐁) menyatakan matriks hasil operasi yang mengalikan kolom ke-j dengan skalar -1 pada matriks 𝐁.

3. 𝐾_{𝑗𝑘(𝜆)}(𝐁) menyatakan matriks hasil operasi yang menambahkan kolom ke-j dengan 𝜆 ∈ ℤ kali kolom ke-k pada matriks 𝐁.

OKI hampir sama dengan Operasi Kolom Dasar (OKD) yang biasanya diterapkan pada ruang vektor. Hal yang membedakan hanya terdapat pada jenis kedua. Pada OKD, pengali yang digunakan adalah sembarang bilangan real taknol sedangkan pada OKI pengali yang digunakan adalah -1.

Kemudian, misalkan I adalah matriks identitas dan K adalah serangkaian OKI yang diterapkan pada suatu matriks B dan menghasilkan matriks C, maka berlaku

𝐾(𝐁) = 𝐂 ⇔ 𝐁. 𝐾(𝐈) = 𝐂.

Serangkaian OKI yang diterapkan pada I pasti akan menghasilkan matriks bilangan bulat, sehingga 𝐾(𝐈) merupakan matriks bilangan bulat. Disamping itu,

13

Gambar 5 Parallelepiped dengan ℬ = {(2,3), (3,2)}

karena det(𝐈) = 1, OKI jenis pertama dan kedua bersifat mengubah tanda determinan, dan OKI jenis ketiga bersifat tidak mengubah nilai determinan, sehingga didapatkan det(𝐾(𝐈)) = ±1. Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa 𝐾(𝐈) merupakan matriks unimodular, sehingga didapatkan proposisi berikut.

Proposisi 4.3

Dua basis dikatakan ekivalen jika dan hanya jika yang satu merupakan hasil serangkaian OKI dari yang lain.

Fungsi Proyeksi dan Determinan Latis Definisi 4.5

Untuk 𝑗 = 1, 2, … , 𝑛 fungsi proyeksi 𝜋_𝑗 dari ruang vektor 𝑉 = 〈ℬ^∗〉 = 〈ℬ〉

ke subruang vektor 〈{𝐛_𝑗^∗, 𝐛_𝑗+1^∗ , … , 𝐛_𝑛^∗}〉 didefinisikan sebagai 𝜋_𝑗(𝐯) = ∑ (𝐯. 𝐛_𝑖^∗

𝐛_𝑖^∗. 𝐛_𝑖^∗)

𝑛

𝑖=𝑗

𝐛_𝑖^∗. Jika diambil nilai 𝐯 = 𝐛_𝑘, 𝑘 = 1, 2, … , 𝑛 maka diperoleh

𝜋_𝑗(𝐛_𝑘) = ∑ (𝐯. 𝐛_𝑖^∗ 𝐛_𝑖^∗. 𝐛_𝑖^∗) 𝐛_𝑖^∗

𝑛

𝑖=𝑗

= {

𝟎 jika 𝑘 < 𝑗 𝐛_𝑘^∗ jika 𝑘 = 𝑗 𝐛_𝑘^∗+ ∑ 𝜇_𝑘𝑖𝐛_𝑖^∗

𝑘−1

𝑖=𝑗

jika 𝑘 > 𝑗.

Selanjutnya perhatikan definisi berikut.

Definisi 4.6

Misalkan Λ = ℒ(ℬ) adalah latis yang dibangkitkan oleh basis ℬ = {𝐛₁, 𝐛₂, … , 𝐛_𝑛}, maka dapat didefinisikan himpunan

𝒫(ℬ) = {∑ 𝑥_𝑗𝐛_𝑗

𝑛

𝑗=1

/𝑥_𝑗 ∈ ℝ, 0 ≤ 𝑥_𝑗 < 1},

dimana 𝒫(ℬ) merupakan bangun geometrik yang disebut parallelepiped dasar atau daerah fundamental (fundamental region). Berikut ilustrasi dari 𝒫(ℬ).

14

Dari Gambar 5 terlihat bahwa pada latis dalam ℝ², 𝒫(ℬ) digambarkan sebagai daerah arsir jajaran genjang. Hasil dari luas jajaran genjang pada Gambar 5 disebut 𝐯𝐨𝐥(𝒫(ℬ)). Pada sembarang latis Λ, dapat didefinisikan nilai mutlak dari determinan latis dari Λ, dinotasikan dengan |det(Λ)|, yang merupakan nilai dari 𝐯𝐨𝐥(𝒫(ℬ)). Dari ilustrasi Gambar 5, maka definisi tersebut dapat dinyatakan sebagai berikut.

Definisi 4.7

Misalkan Λ = ℒ(ℬ) adalah latis yang dibangkitkan oleh basis ℬ = {𝐛₁, 𝐛₂, … , 𝐛_𝑛} dan ℬ^∗ = {𝐛₁^∗, 𝐛₂^∗, … , 𝐛_𝑛^∗} adalah hasil ortogonalisasi Gram- Schmidt dari ℬ. Determinan dari Λ didefinisikan sebagai

det(Λ) = ∏‖𝐛_𝑖^∗‖

𝑛

𝑖=1

.

Cara menentukan determinan suatu latis tanpa menggunakan ortogonalisasi Gram-Schmidt akan dijelaskan oleh proposisi setelah lema berikut ini.

Lema 4.1

Jika matriks

𝐁^∗ = (𝐛₁^∗ 𝐛₂^∗ … 𝐛_𝑛^∗)

adalah matriks hasil ortogonalisasi Gram-Schmidt dari matriks 𝐁 = (𝐛₁ 𝐛₂ … 𝐛_𝑛),

maka ada matriks U dengan unsur diagonal adalah 1 sehingga 𝐁 = 𝐁^∗𝐔.

Bukti:

Perhatikan bahwa rumus ortogonalisasi Gram-Schmidt dapat diubah menjadi

𝐛₁ = 𝐛₁^∗ 𝐛₂ = 𝐛₂^∗ + 𝜇₂₁𝐛₁^∗ 𝐛₃= 𝐛₃^∗ + (𝜇₃₁𝐛₁^∗ + 𝜇₃₂𝐛₂^∗)

⋮ 𝐛_𝑛 = 𝐛_𝑛^∗ + ∑ 𝜇_𝑛,𝑖

𝑛−1

𝑖=1

𝐛_𝑖^∗.

Hal ini menunjukkan bahwa transformasi balik dari ortogonalisasi Gram-Schmidt dari 𝐁^∗ ke 𝐁 merupakan serangkaian OKD yang dilakukan pada matriks B, yaitu

𝐁 = 𝐾(𝐁^∗) ⇔ 𝐁 = 𝐁^∗𝐾(𝐈).

Dengan demikian dapat didefinisikan suatu matriks 𝐔 = 𝐾(𝐈), dimana 𝐾(𝐈) = (

1 𝜇21 … 𝜇_𝑛1 0

⋮ 0

1

⋮ 0

…

⋱ 1

𝜇_𝑛2

⋮ 1

).

Bukti lengkap. ∎ Proposisi 4.4

Jika Λ = ℒ(ℬ) adalah latis yang dibangkitkan oleh basis ℬ = {𝐛₁, 𝐛₂, … , 𝐛_𝑛}, maka

det(Λ) = √det (𝐁^𝑇𝐁), dimana B adalah bentuk matriks dari ℬ.

15 Bukti:

Misalkan

𝐁^∗ = (𝐛₁^∗ 𝐛₂^∗ … 𝐛_𝑛^∗) adalah matriks ortogonalisasi dari matriks

𝐁 = (𝐛₁ 𝐛₂ … 𝐛_𝑛).

Menurut Lema 4.1, terdapat sebuah matriks U yang unsur diagonalnya adalah 1 sehingga

𝐁 = 𝐁^∗𝐔.

Dengan demikian diperoleh

𝐁^𝑇𝐁 = (𝐁^∗𝐔)^𝑇(𝐁^∗𝐔)

⇔ 𝐁^𝑇𝐁 = 𝐔^𝑇((𝐁^∗)^𝑇𝐁^∗)𝐔

⇒ det (𝐁^𝑇𝐁) = det(𝐔^𝑇((𝐁^∗)^𝑇𝐁^∗)𝐔)

⇔ det (𝐁^𝑇𝐁) = det((𝐁^∗)^𝑇𝐁^∗)

⇔ det (𝐁^𝑇𝐁) = (∏‖𝐛_𝑖^∗‖

𝑛

𝑖=1

)

2

⇔ ∏‖𝐛_𝑖^∗‖

𝑛

𝑖=1

= √det (𝐁^𝑇𝐁)

⇔ det(Λ) = √det (𝐁^𝑇𝐁).

Bukti lengkap. ∎

Berikut ini merupakan proposisi yang menjelaskan bahwa determinan suatu latis tidak bergantung pada suatu basis.

Proposisi 4.5

Jika 𝒜 ~ ℬ, maka det (ℒ(𝒜)) = det(ℒ(ℬ)).

Bukti:

Misalkan 𝒜 ~ ℬ dengan A dan B adalah bentuk matriks dari 𝒜 dan ℬ . Berdasarkan Proposisi 4.2 terdapat sebuah matriks unimodular U sehingga 𝐀 = 𝐁𝐔. Dengan demikian,

det (ℒ(𝒜)) = √det (𝐀^𝑇𝐀)

= √det ((𝐁𝐔)^𝑇(𝐁𝐔)) = √det (𝐔^𝑇(𝐁^𝑇𝐁)𝐔)

= √det (𝐁^𝑇𝐁) = det(ℒ(ℬ)).

Bukti lengkap. ∎

Permasalahan dalam Latis

Berikut merupakan pengertian jarak minimum dan panjang vektor minimum dari suatu latis.

16

Definisi 4.8

Jarak minimum antara sebarang dua titik di dalam latis Λ , dinotasikan dengan 𝜆(Λ), didefinisikan sebagai

𝜆(Λ) = inf(‖𝐱 − 𝐲‖ ∕ 𝐱, 𝐲 ∈ 𝚲, 𝐱 ≠ 𝐲 ).

Definisi 4.9

Panjang vektor minimum di antara titik-titik di dalam latis Λ, dinotasikan dengan 𝜋(Λ), didefinisikan sebagai

𝜋(Λ) = inf(‖𝐱‖ ∕ 𝐱 ∈ 𝚲, 𝐱 ≠ 𝟎 ).

Dua pengertian diatas memiliki arti yang ekivalen. Hal tersebut dinyatakan dalam proposisi berikut.

Proposisi 4.5

Untuk sembarang latis Λ, berlaku 𝜆(Λ) = 𝜋(Λ).

Bukti:

Karena Λ adalah grup, maka berlaku

𝜆(Λ) = inf(‖𝐱 − 𝐲‖ 𝐱⁄ , 𝐲 ∈ 𝚲, 𝐱 ≠ 𝐲 ) = inf(‖𝐳‖/𝐳 = 𝐱 − 𝐲 ∈ 𝚲, 𝐱 ≠ 𝐲)

= inf(‖𝐳‖/𝐳 ∈ 𝚲, 𝐳 ≠ 𝟎) = 𝜋(Λ).

Bukti lengkap. ∎

Berikut ini merupakan batas bawah dari 𝜆.

Teorema 4.1

Jika Jika Λ = ℒ(ℬ) adalah latis yang dibangkitkan oleh basis ℬ = {𝐛₁, 𝐛₂, … , 𝐛_𝑛} dan ℬ^∗ = {𝐛₁^∗, 𝐛₂^∗, … , 𝐛_𝑛^∗} adalah hasil ortogonalisasi dari ℬ maka

min𝑗∈𝐼_𝑛‖𝐛_𝑗^∗‖ ≤ 𝜆(Λ), 𝐼_𝑛 = {1,2, … , 𝑛}.

Bukti:

Ambil sembarang 𝐯 ∈ ℒ(ℬ) dengan 𝐯 ≠ 𝟎, maka ada vektor 𝐱 ∈ ℤ^𝑛 dengan 𝐱 ≠ 𝟎 sehingga 𝐯 = 𝐁𝐱 dengan B adalah matriks bilangan bulat dari ℬ. Misalkan 𝐱 = {𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛} dan 𝑘 adalah indeks terbesar dari komponen x sehingga 𝑥_𝑘 ≠ 0, karena untuk setiap 𝑗 < 𝑘, 𝐛_𝑘^∗ ortogonal ke 𝐛_𝑗 dan juga ortogonal ke 𝐛_𝑗^∗, maka

𝐯. 𝐛_𝑘^∗ = (𝐁𝐱). 𝐛_𝑘^∗ = (∑ 𝑥_𝑗𝐛_𝑗

𝑘

𝑗=1

) . 𝐛_𝑘^∗ = 𝑥_𝑘(𝐛_𝑘. 𝐛_𝑘^∗) dan

𝐛_𝑘^∗. 𝐛_𝑘^∗ = (𝐛_𝑘− ∑ 𝜇_𝑘𝑗𝐛_𝑗

𝑘−1

𝑗=1

) . 𝐛_𝑘^∗

= 𝐛_𝑘. 𝐛_𝑘^∗. Dengan demikian diperoleh

𝐯. 𝐛_𝑘^∗ = 𝑥_𝑘(𝐛_𝑘^∗. 𝐛_𝑘^∗)

17 = 𝑥_𝑘‖𝐛_𝑘^∗‖².

Berdasarkan ketaksamaan Cauchy-Schwartz, maka diperoleh

|𝐯. 𝐛_𝑘^∗| ≤ ‖𝐯‖‖𝐛_𝑘^∗‖

⇔ |𝑥_𝑘|‖𝐛_𝑘^∗‖² ≤ ‖𝐯‖‖𝐛_𝑘^∗‖

⇔ |𝑥_𝑘|‖𝐛_𝑘^∗‖² ≤ ‖𝐯‖.

Karena |𝑥_𝑘| ≥ 1, untuk 𝐼_𝑛 = {1, 2, … , 𝑛} diperoleh min𝑗∈𝐼𝑛

‖𝐛_𝑗^∗‖ ≤ 𝜆(Λ).

Bukti lengkap. ∎

Selanjutnya didefinisikan masalah yang paling mendasar dalam latis, yaitu SVP (Shortest Vector Problem). Berikut merupakan varian dari SVP.

Problem 4.1 (Pelacakan SVP)

Diberikan sebuah latis dengan basis ℬ, bagaimana menentukan 𝐱 ∈ ℒ(ℬ) sehingga ‖𝐱‖ = 𝜆(ℒ(ℬ)).

Problem 4.2 (Optimisasi SVP)

Diberikan sebuah latis dengan basis ℬ, bagaimana menentukan 𝜆(ℒ(ℬ)).

Problem 4.3 (Pelacakan SVP)

Diberikan sebuah latis dengan basis ℬ dan bilangan rasional 𝑞 ∈ ℚ , bagaimana menentukan apakah 𝜆(ℒ(ℬ)) ≤ 𝑞 atau 𝜆(ℒ(ℬ)) > 𝑞.

Problem 4.4 (Pelacakan SVP)

Diberikan sebuah latis dengan basis ℬ dan 𝛾 ≥ 1, bagaimana menentukan 𝐱 ∈ ℒ(ℬ) dengan 𝐱 ≠ 𝟎 sehingga ‖𝐱‖ ≤ 𝛾𝜆(ℒ(ℬ)).

Problem 4.5 (Pelacakan SVP)

Diberikan sebuah latis dengan basis ℬ dan 𝛾 ≥ 1, bagaimana menentukan 𝑑 sehingga 𝑑 ≤ 𝜆(ℒ(ℬ)) ≤ 𝛾𝑑.

Algoritme LLL Pengertian Basis Tereduksi

Berikut ini merupakan definisi dari basis tereduksi 𝛿.

Definisi 4.10

Suatu basis ℬ = [𝐛₁, 𝐛₂, … , 𝐛_𝑛] dalam ℝ^𝑚 disebut tereduksi LLL dengan parameter 𝛿 jika memenuhi

1. |𝜇_𝑗𝑖| ≤¹

2, untuk setiap bilangan bulat 𝑖, 𝑗 dengan 1 ≤ 𝑖 < 𝑗 < 𝑛, 2. 𝛿‖𝜋_𝑗(𝐛_𝑗)‖² ≤ ‖𝜋_𝑗(𝐛_𝑗+1)‖², untuk 𝑗 = 1, 2, … , 𝑛 − 1,

dimana 𝛿 merupakan parameter reduksi yang bernilai real dengan ¹

4 < 𝛿 < 1.

Syarat pertama dalam definisi di atas disebut dengan reduksi ukuran. Syarat pertama mengatakan bahwa basis tereduksi 𝛿 harus “hampir ortogonal” dan dalam

18

komputasinya syarat ini mudah dicapai dengan menggunakan ortogonalisasi Gram-Schmidt. Pembahasan mengenai syarat ini akan dibahas pada subbab berikutnya.

Sedangkan pada syarat kedua dari definisi di atas disebut syarat pertukaran, atau disebut juga kondisi Lovasz, yang dapat ditulis ulang sebagai

𝛿‖𝐛_𝑗^∗‖² ≤ ‖𝐛_𝑗+1^∗ + 𝜇_𝑗+1,𝑗𝐛_𝑗^∗‖²

⇔ 𝛿‖𝐛_𝑗^∗‖² ≤ ‖𝐛_𝑗+1^∗ + 𝜇_𝑗+1,𝑗𝐛_𝑗^∗‖‖𝐛_𝑗+1^∗ + 𝜇_𝑗+1,𝑗𝐛_𝑗^∗‖

⇔ 𝛿‖𝐛_𝑗^∗‖² ≤ ‖𝐛_𝑗+1^∗ ‖ ²+ 2𝜇_𝑗+1,𝑗‖𝐛_𝑗^∗. 𝐛_𝑗+1^∗ ‖+‖𝜇_𝑗+1,𝑗𝐛_𝑗^∗‖²

⇔ 𝛿‖𝐛_𝑗^∗‖² ≤ ‖𝐛_𝑗+1^∗ ‖ ²+𝜇_𝑗+1,𝑗‖𝐛_𝑗^∗‖²

⇔ (𝛿 − 𝜇_𝑗+1,𝑗² )‖𝐛_𝑗^∗‖² ≤ ‖𝐛_𝑗+1^∗ ‖².

Ketaksamaan diatas menyatakan bahwa vektor-vektor Gram-Schmidt dari basis tereduksi LLL harus terurut turun dengan faktor penurunan sebesar 𝛿 − 𝜇_𝑗+1,𝑗² . Jika terdapat pasangan vektor (𝐛_𝑗^∗, 𝐛_𝑗+1^∗ ) yang tidak memenuhi kondisi Lovasz, maka dapat dilakukan pertukaran antara vektor tersebut kemudian proses ortogonalisasi kembali dilakukan.

Selanjutnya dengan menerapkan syarat-syarat yang terdapat pada Definisi 4.10, maka diperoleh batas atas untuk ‖𝐛₁‖ dari basis tereduksi 𝛿.

Teorema 4.2

Jika ℬ = [𝐛₁, 𝐛₂, … , 𝐛_𝑛] dalam ℝ^𝑚 adalah basis tereduksi 𝛿, maka berlaku

‖𝐛₁‖ ≤ 𝛼^𝑛−12 𝜆(Λ) dengan 𝛼 = ¹

𝛿−¹ 4

. Bukti:

Misalkan ℬ = [𝐛₁, 𝐛₂, … , 𝐛_𝑛] dalam ℝ^𝑚 adalah basis tereduksi 𝛿, menurut definisi diperoleh

𝛿‖𝐛_𝑗^∗‖² ≤ ‖𝐛_𝑗+1^∗ + 𝜇_𝑗+1,𝑗𝐛_𝑗^∗‖²

⇔ (𝛿 − 𝜇_𝑗+1,𝑗² )‖𝐛_𝑗^∗‖² ≤ ‖𝐛_𝑗+1^∗ ‖²

⇔ (𝛿 −1

4) ‖𝐛_𝑗^∗‖² ≤ ‖𝐛_𝑗+1^∗ ‖²

⇔1

𝛼‖𝐛_𝑗^∗‖² ≤ ‖𝐛_𝑗+1^∗ ‖²

⇔ ‖𝐛_𝑗^∗‖²≤ 𝛼‖𝐛_𝑗+1^∗ ‖² . (9) Dengan menerapkan pertidaksamaan (9) secara berulang diperoleh

‖𝐛₁^∗‖² ≤ 𝛼‖𝐛₂^∗‖²

‖𝐛₂^∗‖² ≤ 𝛼‖𝐛₃^∗‖²

‖𝐛₃^∗‖² ≤ 𝛼‖𝐛₄^∗‖²

⋮

‖𝐛₁^∗‖² ≤ 𝛼‖𝐛₂^∗‖² ≤ 𝛼²‖𝐛₃^∗‖² ≤ ⋯ ≤ 𝛼^𝑛−1‖𝐛_𝑛^∗‖². Dengan kata lain, secara umum untuk setiap 𝑗 ∈ 𝐼_𝑛 = {1,2, … , 𝑛}, maka

‖𝐛₁^∗‖² ≤ 𝛼^𝑗−1‖𝐛_𝑗^∗‖² ⇒ ‖𝐛₁^∗‖ ≤ 𝛼^𝑗−12 ‖𝐛_𝑗^∗‖ ⇔ ‖𝐛₁^∗‖ ≤ 𝛼^𝑗−12 ‖𝐛_𝑗^∗‖.

Karena berlaku untuk setiap 𝑗 ∈ 𝐼_𝑛, maka ‖𝐛₁^∗‖ ≤ (𝛼^𝑗−12 ) (min

𝑗∈𝐼_𝑛‖𝐛_𝑗^∗‖). (10)

19 Misalkan ℬ = [𝐛₁, 𝐛₂, … , 𝐛_𝑛] dalam ℝ^𝑚 adalah basis tereduksi LLL untuk latis Λ = ℒ(ℬ), menurut Teorema 4.1 diperoleh

min𝑗∈𝐼_𝑛‖𝐛_𝑗^∗‖ ≤ 𝜆(Λ) dan ketaksamaan persamaan (10) menjadi

‖𝐛₁^∗‖ ≤ (𝛼^𝑗−12 ) 𝜆(Λ).

Bukti lengkap. ∎

Teorema 4.2 menyatakan bahwa vektor pertama pada basis tereduksi 𝛿 merupakan jawaban dari Problem 4.4 dengan nilai 𝛾 = 𝛼^𝑗−12 .

Reduksi Ukuran

Sebagaimana telah dinyatakan dalam subbab sebelumnya bahwa syarat reduksi ukuran yaitu |𝜇_𝑗,𝑖| ≤¹

2 mudah dicapai dengan menggunakan prosedur Gram-Schmidt. Pada subbab ini akan dibahas melalui interpretasi geometrik.

Untuk itu perlu pengertian tentang daerah fundamental (parallelepiped) yang lain dari 𝒫(ℬ), yaitu daerah fundamental dasar terpusat yang didefinisikan sebagai berikut.

Definisi 4.11

Misalkan Λ = ℒ(ℬ) adalah latis yang dibangkitkan oleh basis ℬ = [𝐛₁, 𝐛₂, … , 𝐛_𝑛] dalam ruang vektor ℝ^𝑚. Daerah fundamental terpusat (centered fundamental region) dari Λ , dinotasikan dengan 𝒞(ℬ) , didefinisikan sebagai himpunan

𝒞(ℬ) = {∑ 𝑥_𝑗𝐛_𝑗

𝑛

𝑗=1

/𝑥_𝑗 ∈ ℝ, −1

2≤ 𝑥_𝑗 < 1 2}.

𝒞(ℬ) juga disebut parallelepiped dasar terpusat (centered fundamental region).

Proposisi 4.6

Jika Λ = ℒ(ℬ) adalah latis yang dibangkitkan oleh basis ℬ = [𝐛₁, 𝐛₂, … , 𝐛_𝑛] dalam ruang vektor ℝ^𝑚, maka untuk setiap vektor 𝐰 ∈ 〈ℬ〉, ada tepat satu vektor 𝐭 ∈ 𝒞(ℬ) sehingga dapat dituliskan 𝐰 = 𝐯 + 𝐭.

Bukti:

Karena ℬ merupakan basis untuk Λ, maka ℬ juga merupakan basis untuk ruang vektor 〈ℬ〉, dan karena 𝐰 ∈ 〈ℬ〉, berarti ada tepat satu (𝑤₁, 𝑤₂, … , 𝑤_𝑛) ∈ ℝ^𝑛 sehingga

𝐰 = ∑ 𝑤_𝑗𝐛_𝑗

𝑛

𝑗=1

.

Kemudian, karena 𝑤_𝑗 ∈ ℝ maka ada bilangan bulat ⌊𝑤_𝑗⌉ ∈ ℤ (pembulatan ke bilangan bulat terdekat (round) dari 𝑤_𝑗 sehingga

𝑤_𝑗 = ⌊𝑤_𝑗⌉ + 𝑡_𝑗 dengan −¹

2≤ 𝑡_𝑗 < ¹

2. Selanjutnya,

20

𝐰 = ∑ 𝑤_𝑗𝐛_𝑗

𝑛

𝑗=1

= ∑(⌊𝑤_𝑗⌉ + 𝑡_𝑗)𝐛_𝑗

𝑛

𝑗=1

= ∑⌊𝑤_𝑗⌉𝐛_𝑗+ ∑ 𝑡_𝑗𝐛_𝑗

𝑛

𝑗=1 𝑛

𝑗=1

= 𝐯 + 𝐭.

Bukti lengkap. ∎ Lema 4.2

Misalkan ℬ^∗ = [𝐛₁^∗, 𝐛₂^∗, … , 𝐛_𝑛^∗] adalah hasil proses ortogonalisasi Gram- Schmidt dari himpunan bebas linier ℬ = [𝐛₁, 𝐛₂, … , 𝐛_𝑛] dan diberikan sebarang 𝐰 ∈ 〈ℬ〉. Jika 𝐰 = ∑^𝑛_𝑗=1𝑤_𝑗𝐛_𝑗, maka

𝑤_𝑛 = 𝐰. 𝐛_𝑛^∗ 𝐛_𝑛^∗. 𝐛_𝑛^∗. Bukti:

Perhatikan bahwa 𝐰. 𝐛_𝑛^∗ = (∑ 𝑤_𝑗𝐛_𝑗

𝑛

𝑗=1

) . 𝐛_𝑛^∗ = ∑ 𝑤_𝑗

𝑛

𝑗=1

(𝐛_𝑗. 𝐛_𝑛^∗) = 𝑤_𝑛(𝐛_𝑛. 𝐛_𝑛^∗) ⇔ 𝑤_𝑛 = 𝐰. 𝐛_𝑛^∗ 𝐛_𝑛^∗. 𝐛_𝑛^∗. Bukti selesai setelah ditunjukkan bahwa 𝐛_𝑛. 𝐛_𝑛^∗ = 𝐛_𝑛^∗. 𝐛_𝑛^∗ sebagai berikut

𝐛_𝑛. 𝐛_𝑛^∗ = (𝐛_𝑛^∗ + ∑ 𝜇_𝑛,𝑖𝐛_𝑖^∗

𝑛−1

𝑖=1

) . 𝐛_𝑛^∗

= 𝐛_𝑛^∗. 𝐛_𝑛^∗ + ∑ 𝜇_𝑛,𝑖

𝑛−1

𝑖=1

(𝐛_𝑖^∗. 𝐛_𝑛^∗)

= 𝐛_𝑛^∗. 𝐛_𝑛^∗ + ∑ 𝜇_𝑛,𝑖

𝑛−1

𝑖=1

(0) = 𝐛_𝑛^∗. 𝐛_𝑛^∗.

Bukti lengkap. ∎ Proposisi 4.7

Jika ℬ^∗ = [𝐛₁^∗, 𝐛₂^∗, … , 𝐛_𝑛^∗] adalah hasil proses ortogonalisasi Gram-Schmidt dari himpunan bebas linier ℬ = [𝐛₁, 𝐛₂, … , 𝐛_𝑛] , maka 𝒞(ℬ^∗) juga merupakan daerah fundamental untuk ℒ(ℬ). Artinya, untuk setiap 𝐰 ∈ 〈ℬ〉, ada tepat satu vektor latis 𝐰 ∈ ℒ(ℬ) dan ada tepat satu vektor 𝐭 ∈ 𝒞(ℬ^∗) sehingga dapat dituliskan 𝐰 = 𝐯 + 𝐭.

Bukti:

Demi kepentingan bagaimana menentukan 𝐯 dan 𝐭 secara algoritmik, proposisi ini akan dibuktikan secara instruktif. Kemudian, agar lebih mudah dibayangkan, tanpa mengurangi keumumannya, diambil untuk kasus 𝑛 = 3 sebagai berikut.

21 1. Definisikan 𝐰₃ = 𝐰 , karena 𝐰₃ ∈ 〈{𝐛₁, 𝐛₂, 𝐛₃}〉 , berarti ada tepat satu

(𝑥₁, 𝑥₂, 𝑥₃) ∈ ℝ³ sehingga

𝐰₃ = ∑ 𝑥_𝑗𝐛_𝑗

3

𝑗=1

dan berdasarkan Lema 4.2 dapat dituliskan 𝐰₃ = ∑ 𝑥_𝑗𝐛_𝑗 +

2

𝑗=1

𝐰_𝟑. 𝐛₃^∗ 𝐛₃^∗. 𝐛₃^∗ 𝐛₃ = ∑ 𝑥_𝑗𝐛_𝑗+

2

𝑗=1

(⌊𝐰₃. 𝐛₃^∗

𝐛₃^∗. 𝐛₃^∗⌉ + 𝑡₃) 𝐛₃ dan dalam hal ini, −¹

2≤ 𝑡₃ <¹

2. Selanjutnya, 𝐰₃ = ∑ 𝑥_𝑗𝐛_𝑗+

2

𝑗=1

⌊𝐰₃. 𝐛₃^∗

𝐛₃^∗. 𝐛₃^∗⌉ 𝐛₃+ 𝑡₃𝐛₃

= ∑ 𝑥_𝑗𝐛_𝑗+

2

𝑗=1

⌊𝐰_𝟑. 𝐛₃^∗

𝐛₃^∗. 𝐛₃^∗⌉ 𝐛₃+ 𝑡₃(𝐛₃^∗ + ∑ 𝜇_3,𝑖

2

𝑖=1

𝐛_𝑖^∗) ⇔

𝐰₃− (⌊𝐰_𝟑. 𝐛₃^∗

𝐛₃^∗. 𝐛₃^∗⌉ 𝐛₃+ 𝑡₃𝐛₃) = ∑ 𝑥_𝑗𝐛_𝑗+ ∑ 𝑡₃𝜇_3,𝑖

2

𝑖=1

𝐛_𝑖^∗.

2

𝑗=1

(11)

2. Definisikan

𝐰₂ = 𝐰₃− (⌊𝐰_𝟑. 𝐛₃^∗

𝐛₃^∗. 𝐛₃^∗⌉ 𝐛₃+ 𝑡₃𝐛₃^∗).

Dari persamaan (11) dan karena 〈{𝐛₁, 𝐛₂}〉 = 〈{𝐛₁^∗, 𝐛₂^∗}〉, maka 𝐰₂ ∈ 〈{𝐛₁, 𝐛₂}〉

dengan tepat satu (𝑥₁, 𝑥₂) ∈ ℝ² sehingga 𝐰₂ = 𝑥₁𝐛₁+ 𝑥₂𝐛₂ dan berdasarkan Lema 4.2, dapat dituliskan

𝐰₂ = 𝑥₁𝐛₁+𝐰_𝟐. 𝐛₂^∗ 𝐛₂^∗. 𝐛₂^∗ 𝐛₂

= 𝑥₁𝐛₁+ (⌊𝐰_𝟐. 𝐛₂^∗

𝐛₂^∗. 𝐛₂^∗⌉ + 𝑡₂) 𝐛₂ dan dalam hal ini, −¹

2 ≤ 𝑡₂ < ¹

2. Selanjutnya, 𝐰₂ = 𝑥₁𝐛₁+ ⌊𝐰_𝟐. 𝐛₂^∗

𝐛₂^∗. 𝐛₂^∗⌉ 𝐛₂+ 𝑡₂𝐛₂ = 𝑥₁𝐛₁+ ⌊𝐰_𝟐. 𝐛₂^∗

𝐛₂^∗. 𝐛₂^∗⌉ 𝐛₂+ 𝑡₂(𝐛₂^∗ + 𝜇_2,1𝐛₁^∗) ⇔ 𝐰₂− (⌊𝐰_𝟐. 𝐛₂^∗

𝐛₂^∗. 𝐛₂^∗⌉ 𝐛₂+ 𝑡₂𝐛₂^∗) = 𝑥₁𝐛₁+ 𝑡₂𝜇_2,1𝐛₁^∗. (12) 3. Definisikan

22

𝐰₁ = 𝐰₂− (⌊𝐰_𝟐. 𝐛₂^∗

𝐛₂^∗. 𝐛₂^∗⌉ 𝐛₂+ 𝑡₂𝐛₂^∗).

Dari persamaan (12), maka 𝐰₁ ∈ 〈{𝐛₁}〉 dan ada 𝑥₁ ∈ ℝsehingga 𝐰₁ = 𝑥₁𝐛₁.

Berdasaran Lema 4.2 dapat dituliskan 𝐰₁ = ⌊𝐰_𝟏. 𝐛₁^∗

𝐛₁^∗. 𝐛₁^∗⌉ 𝐛₁ = (⌊𝐰_𝟏. 𝐛₁^∗

𝐛₁^∗. 𝐛₁^∗⌉ + 𝑡₁𝐛₁^∗) dan dalam hal ini, −¹

2≤ 𝑡₁ < ¹

2. Maka

𝐰 = 𝐯 + 𝐭 dimana

𝐯 = ⌊𝐰_𝟏. 𝐛₁^∗

𝐛₁^∗. 𝐛₁^∗⌉ 𝐛₁+ ⌊𝐰_𝟐. 𝐛₂^∗

𝐛₂^∗. 𝐛₂^∗⌉ 𝐛₂+ ⌊𝐰_𝟑. 𝐛₃^∗ 𝐛₃^∗. 𝐛₃^∗⌉ 𝐛₃ dan

𝐭 = 𝑡₁𝐛₁^∗ + 𝑡₂𝐛₂^∗ + 𝑡₃𝐛₃^∗.

Dengan mudah dilihat bahwa 𝐯 ∈ ℒ(ℬ) dan 𝐭 ∈ 𝒞(ℬ^∗). Bukti lengkap. ∎ Bukti dari proposisi sekaligus merupakan bukti kebenaran dari algoritme berikut.

Algoritme 4.1

Input: ℬ = [𝐛₁, 𝐛₂, … , 𝐛_𝑛] basis untuk ℒ(ℬ) dan 𝐰 ∈ 〈ℬ〉.

Output: Vektor latis 𝐯 ∈ ℒ(ℬ) dan 𝐭 ∈ 𝒞(ℬ^∗).

1. Dengan algoritme Gram-Schmidt, hitung [𝐛₁^∗, 𝐛₂^∗, … , 𝐛_𝑛^∗] dengan menggunakan input ℬ = [𝐛₁, 𝐛₂, … , 𝐛_𝑛].

2. Inisialisasi 𝐯 ≔ 𝟎 dan 𝐭 ≔ 𝟎.

3. Untuk 𝑖 = 𝑛, 𝑛 − 1, … ,1 hitung:

a) 𝑥_𝑖 ≔^{𝐰.𝐛𝑖∗}

𝐛_𝑖^∗.𝐛_𝑖^∗

b) 𝑣_𝑖 ≔ ⌊𝑥_𝑖⌉ c) 𝐯 ≔ 𝐯 + 𝑣_𝑖𝐛_𝑖 d) 𝑡_𝑖 ≔ 𝑥_𝑖− 𝑣_𝑖 e) 𝐭 ≔ 𝒕 + 𝑡_𝑖𝐛_𝑖^∗

f) 𝑤 ≔ 𝑤 − (𝑣_𝑖𝐛_𝑖+ 𝑡_𝑖𝐛_𝑖^∗) 4. return(𝐯 dan t).

Algoritme 4.2 (Menentukan Vektor Terdekat)

Input: ℬ = [𝐛₁, 𝐛₂, … , 𝐛_𝑛] basis untuk ℒ(ℬ) dan 𝐰 ∈ 〈ℬ〉.

Output: Vektor latis 𝐯 ∈ ℒ(ℬ).

1. Dengan algoritme Gram-Schmidt, hitung [𝐛₁^∗, 𝐛₂^∗, … , 𝐛_𝑛^∗] dengan menggunakan input ℬ = [𝐛₁, 𝐛₂, … , 𝐛_𝑛].

2. Inisialisasi 𝐯 ≔ 𝟎.

3. Untuk 𝑖 = 𝑛, 𝑛 − 1, … ,1 hitung:

a) 𝑥_𝑖 ≔^{𝐰.𝐛𝑖}

∗

𝐛_𝑖^∗.𝐛_𝑖^∗

b) 𝑣_𝑖 ≔ ⌊𝑥_𝑖⌉ c) 𝐯 ≔ 𝐯 + 𝑣_𝑖𝐛_𝑖

23 d) 𝑡_𝑖 ≔ 𝑥_𝑖 − 𝑣_𝑖

e) 𝑤 ≔ 𝑤 − (𝑣_𝑖𝐛_𝑖 + 𝑡_𝑖𝐛_𝑖^∗) 4. return(𝐯).

Akibat dari Proposisi 4.7 diberikan dalam teorema berikut ini.

Teorema 4.3

Jika ℬ^∗ = [𝐛₁^∗, 𝐛₂^∗, … , 𝐛_𝑛^∗] adalah hasil proses ortogonalisasi Gram-Schmidt dari himpunan bebas linier ℬ = [𝐛₁, 𝐛₂, … , 𝐛_𝑛] , maka ℬ dapat ditransformasikan menjadi ℬ^′ = [𝐛₁^′, 𝐛₂^′, … , 𝐛_𝑛^′] yang juga merupakan basis untuk ℒ(ℬ) dan ℬ^∗ juga merupakan hasil ortogonalisasi Gram-Schmidt ℬ^′. Dalam hal ini,

𝐛₁^∗ = 𝐛₁^′ 𝐛_𝑗^∗ = 𝐛_𝑗^′− ∑ 𝜇_𝑗,𝑖^′

𝑗−1

𝑖=1

𝐛_𝑖^∗, untuk 𝑗 = 2, 3, … , 𝑟 dengan 𝜇_𝑗,𝑖^′ = ^𝐛𝑗

′.𝐛_𝑖^∗

𝐛_𝑖^∗.𝐛_𝑖^∗ dan |𝜇_𝑗,𝑖^′ | ≤¹

2. Bukti:

Untuk memudahkan pemahaman, transformasi dari ℬ ke ℬ^′ dilakukan secara instruktif sebagai berikut

1. Definisikan

𝐛₁^′ = 𝐛₁.

Dalam hal ini, didapatkan subruang vektor berdimensi satu, yaitu 𝒮₁ = 〈{𝐛₁}〉 = 〈{𝐛₁^′}〉 = 〈{𝐛₁^∗}〉.

2. Dari proses ortogonalisasi dari 𝐛₂ ke 𝐛₂^∗ berlaku hubungan 𝐛₂^∗ = 𝐛₂− 𝐩₁

dengan 𝐩₁ = 𝜇_2,1𝐛₁^∗ =^{𝐛2.𝐛1∗}

𝐛₁^∗.𝐛₁^∗𝐛₁^∗ adalah vektor proyeksi dari 𝐛₂ pada 𝒮₁. Hal ini berarti 𝐩₁ ∈ 𝒮₁. Dengan demikian, berdasarkan Proposisi 4.7 bahwa ada vektor latis 𝐯₁ ∈ ℒ〈{𝐛₁}〉 dan vektor 𝐭₁ ∈ 𝒞({𝐛₁^∗}), sehingga

𝐩₁ = 𝐯₁+ 𝐭₁ dan akibatnya diperoleh

𝐛₂^∗ = 𝐛₂ − (𝐯₁+ 𝐭₁) = (𝐛₂− 𝐯₁) − 𝐭₁. Kemudian dari persamaan ini dapat didefinisikan

𝐛₂^′ = 𝐛₂− 𝐯₁

sehingga jelas (karena latis adalah grup) bahwa 𝐛₂^′ ∈ ℒ(ℬ), dan diperoleh persamaan

𝐛₂^∗ = 𝐛₂^′ − 𝐭₁.

Hasil ini menunjukkan bahwa ortogonalisasi {𝐛₁^′, 𝐛₂^′} juga menghasilkan {𝐛₁^∗, 𝐛₂^∗} dengan vektor proyeksi 𝐛₂^′ pada 𝒮₁ adalah

𝐭₁ = 𝜇_2,1^′ 𝐛₁^∗ = 𝐛₂^′. 𝐛₁^∗ 𝐛₁^∗. 𝐛₁^∗𝐛₁^∗

dan dalam hali ini 𝜇_2,1^′ = 𝜇_2,1− ⌊𝜇_2,1⌉ sehingga |𝜇_2,1^′ | ≤¹

2.

Selanjutnya untuk menghitung 𝐛₂^′ berarti cukup menghitung 𝐯₁ dengan menggunakan Algoritme 4.2 dan

𝐛₃^′ = 𝐛₂− 𝐯₁.