Bab 1 Besaran Fisika dan Satuannya

(1)

Bab 1

Besaran Fisika dan Satuannya

Ayo Uji Pemahaman Anda 1. (13,35 ± 0,05) cm 2. (a) (1,670 ± 0,005) cm

(b) (6,230 ± 0,005) cm

3. (a) 6,5 + 43 x 0,01 = (6,930 ± 0,005) mm (b) 4,0 + 11 x 0,01 = (4,110 ± 0,005) mm 4. (a) 4200 m = 4,2 × 10³ m

Bilangan penting = 4,2 Orde besar = 10³

(b) 5807,6 m = 5,8076 × 10³ m Bilangan penting = 5,8076 Orde besar = 10³

(c) 200 300 000 m = 2,003 × 10⁸ m Bilangan penting = 2,003 Orde besar = 10⁸

(d) 0,007 kg = 7 × 10^-3 kg Bilangan penting = 0,007 Orde besar = 10^-3

(e) 0,006 300 kg = 6,300 × 10^-3 kg Bilangan penting = 6,300 Orde besar = 10^-3

(f) 0,000 000 54 kg = 5,4 × 10^-7 kg Bilangan penting = 5,4

Orde besar = 10^-7 5. (a) 4 angka penting

(b) 5 angka penting (c) 2 angka penting (d) 2 angka penting

(2)

6. (a) 43,35 (b) 88,0 (c) 0,090 (d) 225

7. (a) 24,286 + 2,343 + 3,21 = 30,24 m

(b) 3,67 x 10⁴ + 2,54 x 10³ = 36,7 x 10³ + 2,54 x 10³= (36,7 + 2,54) x 10³

= 39,2 × 10⁴ g

(c) 297,15 – 13,5 = 283,7 m

(d) 6,35 x 10³ – 5665 = (6,35 – 5,665) x 10³ = 0,69 × 10³ m (e) 0,012 kg + 30 g = 12 g + 30 g = 42 g

8. (a) 2,5 m x 3,14 m = 7,9 m²

2 AP 3 AP 2 AP; (AP = angka penting)

(b) 2,5 m x 4,20 m x 0,305 m = 10,5 x 0,3052 m³ = 3,2 m³ 2 AP 3 AP hasil antara dari 2 AP 4 AP 2 AP (c) 323,75 N : 5,0 m² = 65 N/m²

5 AP 2 AP 2 AP (d) ^{3 cm} ^{5, 2 cm} ^15,6 cm

2,10 cm 2,10

× = =7,4 cm = 7,0 cm

9. massa = 2,1 x 25 g = 525 g = 530 g = 5,3 x 10² g 10. suhu rata-rata = 21 21, 2 21,11

3

+ + =21º

11. R1 = 36 Ω ± 5%; R2 = 75 Ω ± 5%;

(a) ∆R1 = ⁵ 36

100× Ω=1,8 Ω

∆R2 = ⁵ 75

100× Ω=3,75 Ω

(b) R₁ seri dengan R₂; R = R₁ + R₂ = 36 + 75 = 111 Ω

∆R = ∆R₁ + ∆R₂ = 1,8 = 3,75 = 5,55

Hambatan total = R ± ∆R = (111 ± 5,55) Ω = (111 ± 6) Ω Ketidakpastian R total = 6 Ω

Persen = ⁶ 100% 5%

111× =

12. L = (90,0 ± 0,1) cm = (90,0 ± 0,1) x 10^-2 m

(3)

T = (3,00 ± 0,05) s

2

2 2

2

L L 4 L

T 2 ;T 4 ;g

g g T

= π = π = π

Karena L dan T dalam 3 AP, maka ambil π = 3,142 (4 AP)

2

g 4 L T

= π

2 2

2

4(3,14) (90,0x10 )

g 3,949

(3,00)

= − = m/s² (4 AP; hasil antara)

2

2 2

2

4 L g L T

g 4 LT ; 2

T g L T

− ∆

π ∆ ∆

= = π = +

∆g = ^0,1x10²₂ 2^0,05 0,0344 3, 44%

90,0x10 3,00

−

 

+ = =

 

 

Sesuai persamaan (1-5), 3,44% dekat dengan 1%, sehingga berhak atas 3 angka penting.

∆g = ^{3, 44}(^3,949) ^0,1358

100 = m/s²

Jadi, g = (3,949 ± 0,1358) m/s² = (3,95 ± 0,14) m/s² dalam 3 AP 13. L= 100,00 cm (sL = 0,04 cm); T= 2,00 s (sT = 0,05 s)

2

g 4 L T

= π → g = 4π²LT^-2;

2 2

L T

g s s 0,04 0,05

1 2 2

g L T 100,00 2,00

∆        

=  ×  + − ×  =   + − × 

       

g g

∆ = 0,05000 = 0,05000 × 100% = 5% dekat dengan 1%, sehingga berhak atas 3

angka penting.

g = 4(3,142)²(100,00 cm)(2,005)^-2 = 987,2164 cm s^-2 = 9,87 m s^-2

∆g = 5%(9,87 m s^-2) = 0,4935 m s^-2 Jadi, g = (9,87 ± 0,49) m s^-2

14. (a). 45 000 mg = 45 000 × 10^-6 kg = 0,045 kg (b) 200 dm³ = 200 × 10^-3 m³ = 0,200 m³ (c) 0,8 ^g₃

cm = (8 × 10^-1) ×10³ ^kg₃

m = 8 × 10² ^kg₃

m = 800 ^kg₃ m

(4)

15. (a) [Luas] = [p][ℓ] = L.L = L²

(b) [p] = [m][v] = [M][L.T^-1] = MLT^-1 (c) [p] =

2

1 2

2

[F] M.L.T

M L T [A ] L

− − −

= =

(d) [s] =

2

2 2

3

[w ] M.L.T

M L T

[V] L

− − −

= =

16. v = P + Qt + Rt²; [v] = [P] + [Q].T + [R].T² [P] = [v] = L.T^-1 = m s^-1

[Q] = [v].T^-1 = [L.T^-1][T^-1] = L.T^-2 satuan m s^-2 [R] = [v].T^-2 = [L.T^-1][T^-2] = L.T^-3 satuan m s^-3 17. [p] = [m][v] = [M][L.T^-1] = MLT^-1

[I] = [F][t] = [MLT^-2][T] = MLT^-1

[p] = [I]. Jadi, momentum dan impuls adalah besaran vektor yang setara.

18. (a) a = ^m

F ; LT^-2 = ^M ₂;LT ² L T¹ ² M LT

− −

− ≠ ; tidak sama, sehingga persamaan pasti salah (b) v² = vo2

+ 2as; (L.T^-1)² = (L.T^-1)² + [L.T^-2][L]

L²T^-2 = L²T^-2 + L²T^-2 → sama, sehingga persamaan mungkin benar

19.

2 2 2

1 3 2

1 2

2

1 2

m m Fr (M.L.T ).L

F G ;G M L T

r m m M.M

− − −

= = = =

20. perpindahan; s = ka^x.t^y; L = [L.T^-2]^x .[T]^y L¹T⁰ = L^x.T^{-2x + y} Pangkat L: 1 = x; x = 1

Pangkat T: 0 = -2x + y; 0 = -2(1) + y; y = 2 Jadi, persamaannya adalah s = kat²

21. Tekanan hidrostatik;

p = kρ^xg^yh^z;

ML^-1T^-2 = (ML^-3)^x.(LT^-2)^y.(L)^z M⁺¹L^-1T^-2 = M^xL^-3x+y+z.T^-2y Pangkat M; +1 = x; x = +1 Pangkat T; -2 = -2y; y = 1

(5)

Pangkat L; -1 = -3x + y + z; -1 = -3 + 1 + z; z = 1 Jadi, persamaannya adalah p = kρgh

22.

23.

(6)

24.

25. (a)

(b)

(c)

(7)

26. (a)

(b)

(c)

27. (a)

(b)

(8)

28.

S = F1 – F2 = F1 + (-F2)

|F2| = F2, sehingga S²= F12

+ F22

+ 2F1F2 cos (180 – α) S²= F12

+ F22

- 2F1F2 cos α

S = F +F - 2F F cos α₁² ₂² _{1 2} (terbukti)

29. Diketahui: A = 5; B = 12; _∠(A, B) = α; cos α = cos 120º = -½ Ralat soal

F1 diganti A F2 diganti B

(a) R = A + B

R²= A²+ B² + 2AB cos 120º = 5²+ 12² + 2(5)(12)(-½) R²= 109

R = √109 Arah β

o

B R

sin =sin 60

β ; sin β =

12 1 3

2 0,9954 109

 

 

 = → β = 84,5º (b) S = A - B

(9)

S²= A²+ B² + 2AB cos 60º = 5²+ 12² + 2(5)(12)(½) R²= 229

R = √229 Arah γ

o

B S

sin =sin 120

γ ; sin γ =

12 1 3

2 0,68674 229

 

 

  = → β = 43,4º

(c) T = B - A

T²= A²+ B² + 2AB cos 60º = 5²+ 12² + 2(5)(12)(½) R²= 229

R = √229 Arah x

o

B T

sin x =sin 120 ; sin x =

5 1 3

2 0,2861 229

 

 

 

= → x = 16,6º Jadi, arah = 120 + 16,6º = 136,6º terhadap A

30. (a) 2 m + 8 m ≥ 10 benar, sehingga mobil mungkin dapat kembali ke titik awal keberangkatan.

(b) 5 m + 14 m ≥ 20 m salah, sehingga mobil tidak mungkin dapat kembali ke titik awal keberangkatan.

(10)

(c) 10 m + 10 m ≥ 10 m benar, sehingga mobil mungkin dapat kembali ke titik awal keberangkatannya.

(d) 150 m + 250 m ≥ 450 m salah, sehingga mobil tidak mungkin dapat kembali ke titik awal berangkatnya.

31. s = 8 m arah 143° terhadap sumbu X+ (arah mendatar) sx = 8 cos 143° = 8(-cos 37°) = 8(-0,8) = -6,4 m sy = 8 cos 143° = 8(sin 37°) = 8(0,6) = 4,8 m 32. (a) A = 3²+4² =5cm; tan α = ^y

x

A 4

A =3(Kuadran I) → α = 53,13º (b) F =

(

⁻^{40 3}

)

²^{+ −}^{( 40)}² ⁼⁸⁰ N; tan α = ^y

x

F 40

F 40 3

= −

− (Kuadran III) → α = (180 + 30)° = 210º

(c) B = 12²+ −( 13)² = 313 m; tan α = ^y

x

B 13

B 12

=− (Kuadran IV)

→ α = -47,29 (d) P = ( 20)− ²+20² =20 2N; tan α = ^y

x

P 20 P = 20

− (Kuadran II) → α = (180 – 45)º = 135º 33. F_1x = +5 N; F1y = 0; F2x = +3 N; F2y = 6 N

Fx = 5 + 3 = 8 N; Fy = 0 + 6 = 6 N F = 8²+6² =10N

Arah tan α = ^y

x

F 6

F =8(Kuadran I); α = 37º 34.

(11)

F1 = 100 N; α1 = 90º F2 = 120 N; α2 = 0º F3 = 50 N; α1 = 143º Ralat soal

Orang ketiga menarik ke arah 53º barat dari selatan dengan gaya 50 N.

F1x = 0 N; F1y = 100 N F2x = 120 N; F2y = 0

F3x = 50 cos 143º = 50 (-cos 37º) = 50(-0,8) = -40 N F2y = 50 sin 143º = 50 (sin 37º) = 50(0,6) = 30 N Fx = 0 + 120 – 40 = 80 N; Fy = 100 + 0 + 30 = 130 N F = 80²+130² =10 64 169+ =10 233 N

Arah tan α = ^y

x

F 130

F = 80 (Kuadran I); α = 1,02º

Uji Kompetensi Bab 1 I. Pilihan Ganda

1. Besaran pokok: panjang, massa, waktu, kuat arus listrik, suhu, jumlah zat, intensitas cahaya.

Jawab C

2. 1 m³ = 1000 dm³ = 1000 L Jawab C

3. 500 cc = 500 cm³ = 500 × 10^-6 m³ = 5 × 10^-4 m³ Jawab D

4. 2,47 × 10² km = 2,47 × 10²(10³ m) = 2,47 × 10⁵ m Jawab E

5. 1 bulan = 30 hari = 30(24 jam) = 720(3 600 s) = 72(36)10³ s = 2592 × 10³

≈ 2,6 × 106 s Jawab A

6. Jarak = 20 000 tahun cahaya; 1 tahun = 365 hari Jarak = [(2 × 104)(365)(24)(3 600) s] 3 × 108 m/s

(12)

= (1,89 × 10⁶) 10¹¹ km ≈ 2 × 10¹⁷ km Jawab B

7. Ek = ½mv² → kg(m/s)² = kgm²s^-2 Jawab A

8. Dimensi momentum, p = mv = MLT^-1 Dimensi gaya, F = MLT^-2

Dimensi daya, _P ^F.s

(

^{M LT} ²

)

^{( )}^L

t T

−

= = = ML²T^-3 Jawab C

9. Dimensi daya, ML²T^-3 (cara sama dengan nomor 8) Jawab D

10. Dimensi momentum, MLT^-1 (cara sama dengan nomor 8) Jawab C

11. ^m_t ⁼^kp^x^ρ^y^{A ;}^z ^M_T ⁼

(

^{M L T}⁻¹ ⁻²

) (

^x ^{M L}⁻³

) ( )

^y ^L² ^z

M¹T^-1L⁰ = M^{x + y}T^-2xL-x – 3y + 2z

Pangkat T; -1 = -2x; x = ½

Pangkat M; 1 = x + y; 1 = ½ + y; y = ½

Pangkat L; 0 = -x – 3y+ 2z; 0 = -½ - 1½ + 2z; z = 1 Jawab B

12. sudah jelas Jawab E 13. x = x_o ± ∆x

xo = (0,2 + 5 × 0,01) cm = (0,2 + 0,05) cm = 0,25 cm x = x_o ± ∆x = (0,250 ± 0,005) cm

Jawab D

14. mikrometer sekrup, ∆x = ½ × 0,01 mm = 0,005 mm x = 5,5 mm + (37 x 0,01 mm) = 5,87 mm

∆x relatif = ^0,005x100%

5,87 = 0,085%

Jawab A

15. 0,07060 m memiliki 4 angka penting

(13)

Jawab C

16. Luas = 12,61 x 5,2 m² = 65,572 m² = 66 m² (2 AP) Jawab E

17. R1 = 400 ± 1%; ∆R1 = 1%(400) = 4 Ω R2 = 600 ± 1%; ∆R2 = 1%(600) = 6 Ω R3 = 100 ± 0,5%; ∆R3 = 0,5%(100) = 0,5 Ω Rx = ¹ ²

3

R R

R ; ∆Rx = …..?

Rx = ^400(600) 2400

100 = Ω

Rx = R1R2R3-1

; ^x ¹ ² ³

x 1 2 3

R

R R R

R R R R

∆

∆ =∆ +∆ +

x

R 1% 1% 0,5% 2, 5%

R

∆ = + + = ; ∆Rx = 2,5%(2400 Ω) = 60 Ω

Jawab B

18. Nilai benar g ≈ 9,80 m/s2

Murid D menghasilkan pengukuran berulang yang baik yang berarti tepat (presisi), tetapi nilainya jauh dari nilai benar, g = 9,80 m/s² (berarti tidak teliti atau tidak akurat)

Jawab D

19. T= 5,00 s (sT = 0,10 s); L= 100,0 cm (sL = 3,0 cm) T = 2 ^L;g 4 LT² ²

g

π = π −

2 2

L T

g s s 0,10 3,0

1 2 2 0,05 5%

g L T 5,00 100,0

∆        

=  ×  + − ×  =   + ×  = =

       

Jawab E 20. F = ^{q q}¹ ² ¹₂

4 r

 

 

πε

  sumbu tegak F dan sumbu mendatar r^-2 tan θ = ^{q q}¹ ²

4πε , dari grafik tan θ = ( )

( )

2

1100 500

1 3

(r )⁻ 400 200

∆ = − =

∆ −

Jadi, 3 = ^{q q}¹ ²

4πε ;

( )( )

( )

6 6

12 10

1 2 62,6x10 106, 2x10

q q 177x10 1,8x10

12 12 3,14

− −

ε = = = =

π

(14)

Jawab C 21. D + A + B = C

Jawab B

F3x = 50 cos 143º = 50 (-cos 37º) = 50(-0,8) = -40 N F2y = 50 sin 143º = 50 (sin 37º) = 50(0,6) = 30 N 22. F → F_x = F cos θ; Fy = F sin θ

P = 10 N → Px = 0; Py = -10 Rx = F cos θ

Ry = F sin θ – 10

Diketahui R = 20 N arah OA atau α = 0º, artinya Rx = R = 20 N dan Ry = 0 Jadi, F sin θ – 10 = 0; F sin θ = 10

F cos θ = 20 F sin 10 1 F cos 20 2

θ = =

θ ; tan ½

Jadi, sin θ = ¹ ¹ 5 5=5 Jawab C

23. A = 40; B = 20; θ = 60º → cos 60º = ½

|A – B| = A +B - 2A B cos ² ² 40 +20 - 2(40)(20)² ² ¹ 2

θ =   

  = 20 2 +1 - 2² ² =20 3

Jawab B

24. P = D; _∠(P, Q) = 90º

tan α = ^Q 1; 45^o P= α =

(15)

tan β = ^Q 1; 45^o P

− = β =

∠(P + Q, P - Q) = α + β = 45º + 45º = 90º Jawab D

25. Diketahui: P dan Q dengan P = Q = x. Misal _∠(P, Q) = θ 1 2

2

− = + P Q

P Q ;

2 2

P Q 2PQ cos 2 P Q 2PQ cos 2

+ − θ

+ + θ =

2 2 2 2

2 2 2

x x 2x cos 2

 

+ − θ= 

+ + θ   ;

( )

2

2x 1 cos 2 1 2x 1 cos 4 2

− θ + θ = = 1 + cos θ = 2 – 2 cos θ; 3 cos θ = 1; cos θ = ¹

3 Jawab A

26. 60 + 120 + 180 ≥ 240; 360 ≥ 240. Jadi, mungkin Jawab C

27. Diketahui: 1 petak = 1 N

F_1x= 6; F_1y= 0; F_2x= 2; F_2y= 6 Fx = 6 + 2 = 8; Fy = 0 + 6 = 6

2 2 2 2

x y

F= F +F = 8 +6 =10N Jawab C

28.

Diketahui A = 8 km; C = 6 km R = A + C; R = ……?

A_x= 0; A_y= -8; C_x= 6 cos 30º = 3√3; C_y= 6 sin 30º = 3

(16)

Rx = 0 + 3√3 = 3√3; Ry = -8 + 3 = -5

( )

² ^{( )}²

2 2

x y

R= R +R = 3 3 + -5 = 27+25=2 13km Jawab C

29.

R = F₁+ F₂+ F₃ F1x = -2; F1y = 7 F2x = -6; F2y = 8 F3x = 3; F3y = -3 Rx = -5; Ry = 12

( )²

2 2 2

x y

R= R +R = −5 +12 =13 N Jawab D

30. Diketahui:

F1 = 20 N; 0º; F1x = 20; F1y = 0 F2 = 20√3 N; 90º; F2x = 0; F2y = 20√3 F₃= 30 N; 60º; F_3x= 15; F_3y= 15√3 Fx = 20 + 0 + 15 = 35;

Fy = 0 + 20√3 + 15√3 = 35√3 Besar

( )²

( )

²

2 2

x y

F= F +F = 35 + 35 3 =70 N Arah

tan θ = ^y

x

F 35 3

F = 35 = 3→ θ = 60º Jawab B

(17)

II. Esai

Tingkat 1 Pengaplikasikan Skill A. Pengukuran

1. L = x + ∆x = (11,45 ± 0,05) cm 2. L = x + ∆x = (1,680 + 0,005) cm 3. mikrometer sekrup; ∆x = 0,005 mm

(a) 3,5 mm lebih 45 × 0,01 mm = 0,45 mm

Jadi, L = (3,5 + 0,45) mm ± 0,005 mm = (3,950 ± 0,005) mm (b) 1,5 mm lebih 17 × 0,01 = 0,17 mm

Jadi, L = (1,5 + 0,17) mm ± 0,005 mm = (1,670 ± 0,005) mm (c) 5 mm lebih 40 × 0,01 = 0,40 mm

Jadi, L = (5 + 0,40) mm ± 0,005 mm = (5,400 ± 0,005) mm 4. 11, 38 11,28 11,32 11, 42 11, 30

x 11,34

5

+ + + +

= =

( )

²

2

i i

x

N x x

s 1

N N 1

Σ − Σ

= − ; N = 5; N – 1 = 4

2 2 2 2 2 2

xi 11,38 11, 28 11, 32 11, 42 11,30 642,992

Σ = + + + + =

( )

Σ^xⁱ ² =⁽11, 38 11, 28 11, 32 11, 42 11, 30+ + + + ⁾²=3214,89

Jadi, ( )

x

5 642,992 3214,89

s 1 0,0265

5 4

= − =

sx 0,0265

100% 100% 0, 2%

x × = 11, 34 × =

0,2% dekat dengan 0,1%, sehingga berhak atas 4 angka penting.

Hasil diameter = x± sx = (11,34 ± 0,03) mm

5. Hasil pengukuran selang waktu dari 20 kali ayunan adalah 20T = 40,0; 40,1; 39,8; 39,8; 39,9

T = 2,000; 2,005; 1,990; 1,990; 1,995 Ti 9,980

T 1,996

5 5

=Σ = =

2 2 2 2 2 2

Ti 2,000 2,005 1,990 1,990 1,995 19,9203

Σ = + + + + =

( )

Σ^Tⁱ ²=⁽2,000 2,005 1,990 1,990 1,995+ + + + ^{) (}² = 9,980⁾²

(18)

( )

² ( ) ( )²

2

i i

T

N T T 5 19,9203 9,980

1 1

s 0,003317

N N 1 5 4

Σ − Σ −

= = =

− sT 0,003317

100% 100% 0,17%

T × = 1,996 × =

0,17% dekat dengan 0,1%, sehingga berhak atas 4 angka penting.

Jadi, periode bandul T = T± s_T = (1,996 ± 0,003) detik

6. Temannya ragu karena dua nol dalam 500 g tidak terdefinisi dengan jelas, apakah termasuk angka penting atau bukan. Untuk mengatasi masalah ini, maka harus ditulis dengan menggunakan notasi ilmiah.

500 g = 5,00 × 10² g berarti 3 angka penting 500 g = 5,0 × 10² g berarti 2 angka penting 500 g = 5 × 10² g berarti 1 angka penting 7. (a) 125,97 g + 8,15 g = 134,12 g

(b) 112,6 m + 8,005 m + 13,48 m = 134,085 m = 134,1 m (c) 78,05 cm² – 32,046 cm² = 46,004 cm² = 46,00 cm² (d) 1,6 kg + 23 kg – 0,005 kg = 24,595 kg = 25 kg (e) 14,0 cm × 5,2 cm = 72,80 cm² = 73 cm²

(f) 0,1682 m × 8,2 m = 1,379 m² = 1,4 m² (g) ^{54, 5 J} 78,75 79

1, 2 s = = J/s (h) ^{180 N} ^{35 m} 1050^N.m

6 s s

× = =1000 N m/s = 1 × 10³ N m/s

(i)

( )

3

1

7, 500 10 kg 5,0 10 m 5,0 m 4 m

× =

× × × 0,075 × 10² kg/m³

= 0,1 × 10² kg/m³ = 1 × 10¹ kg/m³ 8. (a) (2,46 + 5,4) × 10³ g = 7,86 × 10³ g = 7,9 ×10³ g

(b) (5,80 × 10⁹) + (3,20 × 10⁹) = (5,80 + 0,320) × 10⁹ = 6,12 × 10⁹ s (c) (5,87 × 10^-6) + (2,83 × 10^-6) = 3,04 × 10^-6 m

(d) (8,12 × 10⁷) + (6,30 × 10⁶) = (8,12 – 0,630) × 10⁷ = 7,49 × 10⁷ g (e) (5,60 × 10^-7 m) : (2,8 × 10^-12 s) = 2,0 × 10⁵ m/s

(f) (9,2 × 10^-4 km)(1,5 × 10^-3 km) = 13,8 × 10^-7 km² = 1,4 × 10^-6 km²

(19)

9. 90 lembar = 1,35 cm; tebal kertas = ¹ 1, 35

90× cm = 0,015 cm = 1,50 × 10^-2 m 10. Sisi persegi, a = 15,300 cm

Keliling persegi = 4a = 4(15,300 cm) = 61,200 cm Luas persegi = a² = (15,300 cm)² = 234,09 cm² 11. ρ = ^m ^{4,500 10 g}₂ ³ ₃

V 7,0 10 cm

= × =

× 0,64 × 10¹ g/cm³ = 6,4 g/cm³

12. massa air dalam tangki = 51,7 kg – 3,66 kg = 48,04 kg = 48,0 kg 13. siswa yang hasil pengukuran panjangnya 63,58 cm

Data: 63,65 cm; 63,64 cn; 63,66 cm; 63,66 cm Li 63,65 63,64 63,66 63,66

L 63,65

N 4

Σ + + +

= = = cm

14. (a) ∆t = ½(0,5) = 0,25ºC

(b) t = 100ºC sehingga ^t ^0,25 100% 0, 25%

t 100

∆ = × =

(c) ketelitian = 100% - 0,25% = 99,75%

15. ∆t = ½(0,1) 0,05 sekon

(a) ketelitian 96% berarti kesalahan relatif ^t 100% 4%

∆ ×t = Jadi, ^0,05 100 4

t × = ; t = 1,25 s (b) ^t 100% 1%

∆ ×t = (dari 100% - 99% = 1%) 0,05 100%

t 1%

× = ; t = 5,00 s

16. Ketelitian 99% berarti kesalahan relatif ^d 100% 1%

∆ ×d = d kira-kira 25 mm → ∆d × 100 = 25 mm; ∆d = 0,25 mm mistar, ∆L = 0,5 cm = 5 mm

jangka sorong, ∆L = 0,5 mm

Jadi, jelas mistar mauoun jangka sorong tidak dapat digunakan untuk mengukur tebal papan.

17. R₁ = (28,4 ± 0,1); R2 = (4,25 ± 0,01); R3 = (56,605 ± 0,001); R4 = (90,75 ± 0,01) Empat resistor tersebut dirangkai secara seri

(20)

Ditanya: Rtotal berikut ketidakpastiannya = ….?

R = R1 + R2 + R3 + R4 = 180,005 Ω N = 4, N - 1 = 3

∆R = ∆R1 + ∆R2 + ∆R3 + ∆R4 = 0,121 Ω R 0,121

100% 0,07%

R 180,005

∆ = × = dekat dengan 1%, sehingga berhak atas 4 angka penting.

Rtotal = R + ∆R = (180,0 ± 0,121) Ω 18. Bola, diameter, d = (10,00 ± 0,05) mm

(a) V = ⁴

3πr³ = ⁴ 3π(^d

2)³ = ¹

6πd³; d = diameter

V d 0,05

3 3 0,0150

V d 10,00

∆ ∆  

= =  = =

  1,5%

(b) Ketidakpastian relatif 1,5% dekat dengan 1% sehingga berhak atas 3 angka penting.

(c) V = ¹

6(3,142)(10,00)³= 523,7 mm³

∆V = 0,0150V = 0,0150(523,7) = 7,855 mm³ Jadi, V = (524 ± 8) mm³

dalam 3 angka penting 19. T 2 ^m

= π k ; T = (0,0825 ± 0,0025) s; m = (15,02 ± 0,05) kg (a)

2 2

2

4 m 4 m

T ;k

k T

π π

= =

k m T

k m 2. T

k 0,05 0,0025

2. 0,0639 6, 39% 6, 4%

k 15,02 0,0825

∆ =∆ + ∆

→∆ = + = = =

(b) ^k k

∆ = 6,4% dekat dengan 10%, sehingga berhak atas 2 angka penting.

2 2 2 2

k= π4 mT⁻ =4(3,14) (15,02)(0,0825)⁻ =87032N/m

∆k = 6,4%k = 6,4%(87032) = 5570 N/m Jadi, k = (87032 ± 5570) N/m

(21)

= (87000 ± 5600) N/m

= (8,7 ± 0,6) × 10⁴ N/m dalam 2 angka penting.

20. R = 10 Ω; L1 = 60,52 cm; L2 = 39,49 cm; sL = 0,08 cm x = ¹

2

L R

L , dengan R dianggap konstanta.

2 2 2 2

L L 3

1 2

s s

x 0,08 0,08

1 1 2, 4 10

x L L 60,52 39, 49

    −

∆    

=  ×  + − ×  =   +  = ×

   

x 3

2, 4 10 x

∆ = × − × 100% = 0,24% dekat dengan 0,1% sehingga berhak atas 4 angka penting.

x = ^{60, 52}(10

39, 49 Ω) = 15,33 Ω

∆x = 2,4 × 10^-3(15,33) = 0,037 Ω

Jadi, x = (15,33 ± 0,04) Ω dalam 4 angka penting.

B. Besaran dan Satuan

21. x → meter (m); t → sekon (s); v dalam m/s; a dalam m/s² (a)

2 2

v (m / s) 2

m / s

x = m =

(b) ^x ^m ₂ s² s

a = m / s = = (c) ½at² = ½ 2( )²

m s m

s =

22. (a) 5,2 ton = 5,2 × 10³ kg = 5200 kg (b) 150 mg = 150 × 10^-6 kg = 1,5 ×10^-4 kg (c) 2500 g = 2500 × 10^-3 k = 2,5 kg (d) 0,5 hm² = 0,5 × 10⁴ m² = 5 × 10³ m² (e) 400 cm² = 400 × 10^-4 m² = 4 × 10^-2 m²

(f) 24 000 mm² = 24 000 × 10^-6 m² = 2,4 × 10^-2 m² (g) 5000 dm³ = 5000 × 10^-3 m³ = 5 m³

(h) 7500 cm³ = 7500 × 10^-6 m³ = 7,5 × 10^-3 m³

(22)

23. (a) 13,6 g/cm³ = 13,6

3

6 3

10 kg

13,6 10 10 m

−

 

= ×

 

  kg/m³

(b) 0,5 g/cm³ = 0,5 × 103 kg/m³ = 500 kg/m³ (c) 90 km/jam = 90 ^{1000 m} 25

3600 s

 

=

 

  m/s

(d) 135 km/jam = 135 ^{5 m} 37, 5 18 s

 

=

 

  m/s

(e) 0,08 N/cm² = 0,08 ^{1 N}₄ ₂ 800 10⁻ m

 

=

 

  N/m²

(f) 700 N/cm² = 700 ^{1 N}₄ ₂ 7 10⁶ 10⁻ m

 

= ×

 

  N/m²

(g) 700 N cm = 700(1 N × 10^-2 m) = 7 N m

(h) 1 kW jam = 1(1000 W)(3600 s) = 3,6 × 10⁶ Ws 24. (a) 1 tahun = 1(365)(24)(3600) s = 3,15 × 10⁷ s

(b) lama =

23 A 16

7

6, 2 10 molekul

N 1,97 10

v molekul 3,15 10 s

1 s 1 tahun

= × = ×

 × 

 

 

  

tahun ≈ 2 × 10¹⁶ tahun

25. (a) [Ep] = [massa][percepatan][tinggi]

= M(LT^-2)(L) = ML²T^-2

(b) [Daya] = [gaya][ jarak]

(

M LT ²

)

^{( )}L 2 3

M L T

[w aktu] T

−

= = −

(c) [Ek] = ½[massa][kelajuan]2 = M(LT^-1)² = ML²T^-2 (d) [momen inersia] = [massa][jarak]² = M(L)² = ML² 26. v = Pt + Qt² +Rt³; LT-1 = [P]T + [Q]T² + [R]T³

[P] =

1

LT 2

T LT

− = − satuan m s^-2

[Q] =

1 3 2

LT LT

T

[R] =

1 4 3

LT LT

T

27. (a)

3

3 1

[volume] L [menit] T L T

= = −

(23)

(b) [perpindahan] L₂ ² [percepatan] =LT⁻ =T

(c) [gaya][volume]=

(

M LT⁻²

)( )

L³ =M L T⁴ ⁻²

(d) [massa jenis][kelajuan]²=

(

M L⁻³

)(

LT⁻¹

)

²=M L T⁻¹ ⁻² 28. Dimensi T = [T]

T = 2 ^g

π L → [T] ….

1 2 2

LT 1

;T T L

− −

 

≠

 

  (salah)

T = 2 ^L

π g → [T] ….

1 2 2

L ;T T LT⁻

 

=

 

  (benar)

Jadi, rumus yang benar adalah T = 2 ^L π g . 29. Dimensi v_o = LT^-1

(a) v_o ^2g

= h → (LT^-1) …

1 2 2

1 1

LT ;LT T

L

− − −

 

≠

 

  (salah)

(b) v_o ^2h

= g → (LT^-1) …

1

2 1

2

L ;LT T

LT

−

 

≠

 

  (salah)

(c) v_o = 2gh→ (LT^-1) …

(

^{LT (L )}⁻²

)

¹²^;LT⁻¹^≠^LT⁻¹^(benar)

Jadi, rumus yang benar adalah v_o= 2gh. 30. T = 2 ^m

π k → T² =

2 2

2

4 m 4 m

k ;k T

π = π

2

2 2

[m] M

[k] M T

[T] T

= = = −

31. (i)

(24)

(ii)

(a) (b)

(c) (d)

(e) (f)

32. (a) C + B = A, karena vektor A yang menutup (b) Ralat soal: vektor diberi nama

(25)

G + D + E = F, karena vektor F yang menuturp.

(c) L + M + N + P = Q, sebab Q yang menutup.

(d)

Mulai dari A memutar searah dengan jarum, lalu kembali ke titik A W + V – U + T + S + X = 0

U = W + V + T + S + X

33. (a) A_x = 20 cos 37º = 20(0,8) = 16 m; Ay = 20 sin 37º = 20(0,6) = 12 m (b) Bx = 30 cos 60º = 15 m; By = 30 sin 60º = 15√3 m

(c) C_x = 40 cos 150º = 40(-½√3 ) = -20√3 m; C_y = 40 sin 150º = 40(0,5) = 20 m (d) Dx = 10 cos 217º = 10 cos (180 + 37) = 10(-cos 37º) = 10(-0,8) = -8 m

Dy = 10 sin 217º = 10 (-sin 37º) = 10(-0,6) = -6 m (e) Ex = 50 cos (-45º) = 50(½√2) = 25√2 m

Ey = 50 sin (-45º) = 50(-½√2) = -25√2 m

(f) Fx = 36 cos (330º) = 36 cos (360 - 30) = 36 cos 30º = 36(½√3) = 18√3 m Fy = 36 sin (330º) = 36(-sin 30º) = 36(-½) = -18 m

34.

(a) ∠(C, D) = θ = 120º; cos θ = cos 120º = -½ Besar

(26)

R = C + D

R = 4 +5² ² 2(4)(5)( ¹) 21

+ −2 =

Arah

C R 4 21

sin sin D sin sin 60 4 1 3

2 3 2 sin 2

21 21 7

= → =

α α

 

 

 

α = = =

→ α = 49º

Arah terhadap sumbu X+, yaitu θR = 270 – α = 270 – 49 = 221º (b) S = C – D; ∠(C, -D) = 60º;

S = 4 +5² ² 2(4)(5)( )¹ 61

+ 2 = m

( )

o

s s

o

s s

C R 4 61

sin sin 180 60 sin 1 3 2 2 3

sin 26

61

= → =

α − α

α = → α =

Arah θs = 90º + αs = 90 + 26 = 116º (c) T = D + C

Dengan cara yang sama dengan (a) dan (b): T = √61 m; θ_s = 296,33º 35. A = 3 m; B = 4 m

R = A + B; besar dan arah R

(a) α = 0º → R = A + B = 7 m, arah θ = 0º (b) α = ∠(A, B) = 60º; cos α = cos 60° = ½

R = A +B² ²+2A Bcosα

(27)

R = 3 +4² ² 2(3)(4)( )¹ 37

+ 2 =

o

4 1 3

B R sin Bsin 4sin 60 2 35

sin sin R 37 37

 

 

α  

= → θ = = = → θ =

θ α

(c) Dengan cara yang sama, R = 5 m; θ = 53º (d) Dengan cara yang sama, R = √13 m; θ = 74º (e) Dengan cara yang sama, R = -1 m; θ = 180º 36. B = 2A; |A + B| = ½√6|A - B|; cos θ = ….?

2 2

A +B +2A Bcosα = ½√6 A +B² ²−2A Bcosα

2 2

A +4A +2A (2A )cosα= ⁶₄

(

^{A +4A}² ²⁻^{4A cos}² ^α

)

( ) ( )

2 3 2

A 5 + 4 cos A 5 - 4 cos 2

10 8 cos 15 12 cos

θ = θ

+ θ = − θ

20 cos θ = 5; cos θ = ¼

37. Misalnya dua vektor tersebut adalah A dan B, maka A = B = 5 m; θ = …?

(a) R = 5√3 m R = A + B

2 2 2

R =A +B +2A Bcosα

25(3) = 52 + 52 + 2(5)(5) cos α;

cos α = ^{75 50} ¹ 50 2

− = → α = 60º

(b) R = 5 m, dengan cara yang sama, α = 120°

(c) R = 3√10 m, dengan cara yang sama, α = 37°

(d) R = 5√2 m, dengan cara yang sama, α = 90°

38. R = P + Q, S = P – Q, Buktikan bahwa R² + S² = 2(P² + Q²) Misalkan

P = Px, Py

(28)

Q = Qx, Qy

Rx = Px + Qx; Ry = Py + Qy; Sx = Sx - Sx; Sy = Sy - Sy

R² + S² = (Rx2

+ Ry2

) + (Sx2

+ Sy2

)

= (Px + Qx)² + (Py + Qy)² + (Px - Qx)² + (Py – Qy)² = (Px2

+ Qx2

+ 2PxQx) + (Py2

+ Qy2

+ 2PyQy) + (Px2

+ Qx2

- 2PxQy) + (Py2

+ Qy2

- 2PyQy) = (Px2

+ Py2

) + (Qx2

+ Qy2

) + (Px2

+ Py2

) + (Qx2

+ Qy2

) = P² + Q² + P² + Q²

R² + S² = 2(P² + Q²) terbukti

39. Misal, ketiga vektor yang besarnya 3 N itu adalah A, B, dan C. Jadi, A = B = C = 3 N. R = A + B + C

(a) R terbesar, jika A, B, dan C searah, sehingga R_maks = 3 + 3 + 3 = 9 N

(b) Nilai terkecil, Rmin = 0, yaitu jika ∠(A, B) =∠(B, C) = ∠(C, A) = 120º

(c) R = 3, jika dua vektor dan vektor ketiga berlawanan arah

40. A = 30 N; B = 40 N; R = A + B (a) Rmaks = 30 + 40 = 70 N (b) R_min = 40 - 30 = 10 N

(c) (i) 30 N + 5 N ≥ 40 N, salah → tidak dapat seimbang

(29)

(ii) 30 N + 10 N ≥ 40 N, benar → dapat seimbang (iii) 30 N + 30 N ≥ 40 N, benar → dapat seimbang (iv) 30 N + 40 N ≥ 50 N, benar → dapat seimbang (v) 30 N + 40 N ≥ 70 N, benar → dapat seimbang (vi) 30 N + 40 N ≥ 75 N, salah → tidak dapat seimbang 41. (a) Besar, A = A + A²_x ²_y = −6 + 8² ² =10m

Arah, tan θ = ^y

x

A 8

A = 6

− (Kuadran II) θ = (180 – 53) = 127°

(b) Dengan cara yang sama, B = 10 m; θ = 330°

(c) Dengan cara yang sama, C = 16 m; θ = 60°

(d) Dengan cara yang sama, D = 6√2 m; θ = 225°

42. Lihat gambar di soal;

A_x = -12 m; A_y = 0

Bx = 18 cos 37° = 18(0,8) = 14,4 m; By = 18 sin 37° = 18(0,6) = 10,8 m (a) R = A + B; Rx = -12 + 14,4 = 2,4 m; Ry = 0 + 10,8 = 10,8 m

Besar, R = R + R²x ²y = ( ) (2, 4 + 10,8² )² =1, 2 85m Arah, tan α = ^10,8

2, 4 (Kuadran I)→ α = 77,5°

(b) S = A - B; Sx = -12 - 14,4 = -26,4 m; Sy = 0 - 10,8 = -10,8 m Besar, S = S + Sx² ²y = −( 26, 4 + -10,8) (² )² =1, 2 565m Arah, tan α = ^10,8

26, 4

−

− (Kuadran III)→ α = (180 + 22,2)° = 202,2º 43. Harus menggunakan metode vektor komponen

(a) A = 8 N; ∠A = 90° → A_x = 0; A_y = -8 B = 10 N; ∠B = 0° → Bx = 10; By = 0

C = 20 N; ∠C = 53° → Cx = 20 cos 53° = 12 N; Cy = 20 sin 53° = 16 N R = A + B + C

R_x = 0 + 10 + 12 = 22 N; R_y = -8 + 0 + 16 = 8 N R = R + R²x ²y = ( ) ( )22 + 8² ² =2 137N

(30)

tan θ_R = ⁸

22(Kuadran I)→ θ_R = 20°

(b) Dengan cara yang sama (a)

A = 18 N; ∠A = 0° → Ax = 18 N; Ay = 0 B = 30 N; ∠B = 143° atau 37° (Kuadran II) → B_x = -30 cos 37° = -(30)(0,8) = -24 N;

By = 30 sin 37° = (30)(0,6) = 18 N

C = 24 N; ∠C = 270° → Cx = 0; Cy = -24 N Rx = 18 + -24 + 0 = -6 N

Ry = 0 + 18 + -24 = -6 N

R = R + Rx² ²y = −( ) ( )6 + -6² ² =6 2N tan θ_R = ⁶

6

−

− (Kuadran III)→ θ_R = (180 + 45)° = 225°

(c) A = 7 N; _∠A = 180° → A_x = -7 N; A_y = 0 B = 18 N; ∠B = 60° → Bx = 7 cos 60° = ⁷

2N; By = 7 sin 60° = ^{7 3} 2 N C = 7 N; ∠A = -60° → Cx = 7 cos (-60°) = ⁷

2N; Cy = 7 sin (-60°) = -^{7 3} 2 N Rx = -7 + ⁷

2 + ⁷ 2 = 0 R_y = 0 + ^{7 3}

2 + -^{7 3} 2 = 0 R = 0

(d) Dengan cara yang sama pada (a), (b), dan (c), R = 80√3 N; θR = 0º 44.

(31)

Ax = 40 cos 60° = 20 km; Ay = 40 sin 60º = 20√3 km Bx = 10 km; By = 0

Cx = 0; Cy = -10√3 km Rx = 20 + 10 + 0 = 30 km

R_y = 20√3 + 0 - 10√3 = 10√3 km

R = ^{R + R}²^x ²^y ⁼ ( )^{30 + 10 3}²

( )

² ⁼^{20 3}^km

tan θR = ^{10 3} ³

3 = 3 (Kuadran I)→ θR = 30°

45.

R = A + B + C + D A_x = 100 m; A_y = 0

Bx = 120 cos 60º = 60 km; By = 120 sin 60° = 60√3 m Cx = 100 cos 120° = -50 m; Cy = 100 sin 120° = 50√3 m Dx = -60 cos 60° = -30 m; Dy = -60 sin 60° = -30√3 m Rx = 100 + 60 + (-50) + (-30) = 80 km

R_y = 0 + 60√3 + 50√3 + (-30√3) = 80√3 m Besar, R = ^{R + R}²^x ²^y ⁼ ( )^{80 + 80 3}²

( )

² ⁼¹⁶⁰^m

(32)

Arah, tan θR = ^{80 3}

80 (Kuadran I)→ θR = 60°

Tingkat II Soal Tantangan

46. t = 1 tahun = 3,15 x 10⁷ s (baca jawaban nomor 24) 1 tahun cahaya = (3,15 x 10⁷ s)(kecepatan cahaya)

= (3,15 x 10⁷ s)( 3 x 10⁸ m/s) = 9,45 x 10¹⁵ m

Jarak Gomeisa = 250 tahun cahaya

= 250(9,45 x 10¹⁵)(10^-3 km)

= 2362,5 x 10¹² km

= 2,36 x 10¹² km

47. R = 6,38 x 10⁶ m sehingga ambil π = 3,142 V = ⁴ R³ ⁴(3,142)(6, 38 10 )^{6 3}

3π =3 × = 1087 x 10¹⁸ m³

= 1,09 x 10²¹ m³

48. 1 kmol = 6 x 10²⁶ atom; massa 1 atom karbon = 2,0 × 10-26 kg Massa 5 mol atom karbon = (5 mol) ^{12,0 kg}

1 kmol =60 x 10^-3

= 6,0 x 10^-2 kg (dalam 2 angka penting) 49. v_L = G^xM^yR^z; [G] = ²

(

²

)( )

² 1 3 2

2 2

M LT L

N m M L T

kg M

−

− −

 

= =

 

 

LT^-1 = (M^-1L³T^-2)^xM^yL^z M⁰L¹T^-1 = M^{-x + y}L^{3x + z}T^-2x Pangkat T → -1 = -2x → x = ½

Pangkat M → 0 = -x + y → 0 = -½ + y → y = ½ Pangkat L → 1 = 3x + z; 1 = ³

2 + z; z = -½ Persamaannya yaitu vL = G^½M^½R^-½ = (GMR^-1)^½ vL = k ^GM

R

(33)

50. µ = ^massa ^M M L¹ panjang L

= = − ; panjang kawat, L F = gaya tegang = MLT^-2; Periode, To

To = kµ^xL^yF^z

T = (ML^-1)^xL^y(MLT^-2)^z M⁰L⁰T¹ = M^{x + z}L^{-x + y + z}T^-2z Pangkat T → 1 = -2z → z = -½

Pangkat M → 0 = x + z → 0 = x - ½ → x = ½ Pangkat L → 0 = -x + y + z; 0 = -½ + y - ½; y = 1 Persamaan periode, To = kµ^½L¹F^-½ → To = kL

F µ

51. v = kp^xρ^y; [v] = LT^-1; [p] = ¹

2

2 2

F M LT

M L T

A L

− −

= = − ; [ρ] =^m ^M₃ M L³

V L

= = −

LT^-1 = (ML^-1T^-2)^x(ML^-3)^y M⁰L¹T^-1= M^{x + y}L^{-x – 3y}T^-2x Pangkat T → -1= -2x → x = ½ Pangkat M → 0 = ½ + y → y = -½

Persamaannya adalah v = kp^½ρ^-½ → v = k ^p ρ 52. Lihat gambar di soal

Dx = 0; Dy = 3;

Cx = 3 cos 30º = 3(½√3) = ³ 3

2 ; Cy = 3 sin 30º = ³ 2 (a) R = 2C + D

R_x = 2C_x + D_x = 3√3 + 0 = 3√3 Ry = 2Cy + Dy = 3 + 3 = 6

( )

² ^{( )}²

2 2

x y

R= R +R = 3 3 + 6 =3 7m (Kunci jawaban diralat)

Arah tan θ = ^y

x

R 6 2

R =3 3 = 3→ θ = 49º

(34)

(b) S = 2C – D

Sx = 2Cx - Dx = 3√3 - 0 = 3√3 Sy = 2Cy - Dy = 3 - 3 = 0 Besar

S = ^{S +S}²^x ²^y ⁼

( )

^{3 3} ²⁺⁰⁼^{3 3}

Arah, tan θ = ^y

x

S 0

S =3 3→ θ = 0°

(c) T = C + 2D

Tx = Cx + 2Dx = ³ 3

2 - 0 = ³ 3 2 Ty = Cy + 2Dy = ³

2 + 6 = ¹⁵ 2

2 2

x y

3 15

T T +T 3 + 3 7

2 2

   

= =     =

    (kunci jawaban diganti)

Arah, tan θ = ^y

x

15

T 2 5

T 3 3 3

2

= = → θ = 71°

(d) U = C – 2D

Ux = Cx - 2Dx = ³ 3

2 - 0 = ³ 3 2 Uy = Cy - 2Dy = ³

2 - 6 = -⁹ 2

2 2

x y

3 9

U U +U 3 + 3 3

2 2

   

= =   −  =

   

Arah, tan θ = ^y

x

9

U 2 3 1

U 3 3 3 3

2

− − −

= = = (Kuadran IV) θ = -60°

53. R = P + Q; 2R = P + 2Q; 2R = P - Q Bukti, ∠(P, Q) = ∠(P, 2Q) = α R = P + Q

2 2 2

R =P +Q +2PQ cos α………(1) 2R = P + 2Q

(35)

( )^2R ²=^{P + 2Q}² ( )²+2P 2Q cos ( ) α

2 2 2

4R =P + 4Q +4PQ cos α………..(2) Eliminasi persamaan (1) dan (2)

2 2 2

4R =P + 4Q +4PQ cos α (dikalikan 1) → 4R²=P + 4Q +4PQ cos ² ² α

2 2 2

R =P +Q +2PQ cos α (dikalikan 2) → 2R²=2P +2Q +4PQ cos ² ² α

2R² = -P² + 2Q² ………(3) 2R = P – Q

( )^2R ²⁼^{P + Q}² ( )²^{- 2PQ cos}^α

2 2 2

4R =P + Q - 2PQ cos α……….(4) Eliminasi antara persamaan (4) dan (1)

2 2 2

4R =P + Q - 2PQ cos α

2 2 2

R =P +Q + 2PQ cos α

2 2 2

5R =2P + 2Q ……….(5) Eliminasi antara persamaan (5) dan (3)

2 2 2

5R =2P + 2Q 2R² = -P² + 2Q²

2 2

3R =3P R = P

Substitusi ke persamaan (3)

2R² = -P² + 2Q² ; 2R² = -R² + 2Q²; 3R² = 2Q²; Q = ^{R 3} 2

Jadi, P : Q : R = R : ^{R 3}

2 : R = 1 : ³

2: 1 = √2 : √3 : √2 (ralat kunci jawaban) 54. Ambil sudut terhadap sumbu X+

A = 100∠A = 0° → A_x = 100; A_y = 0 B = 300∠B = -90° → Bx = 0; By = -300

C = 150∠C = (180 + 30)° → Cx = -150 cos 30° = -75√3;

Cy = -150 sin 30° = -75

-

+

-

(36)

D = 200 ∠D = (180 – 60)° → Dx = -200 cos 60° = -100; Ay = +200 sin 60° = 100√3 Resultan

R = A + B + C + D

S = -R dengan S adalah perpindahan kelima yang mengembalikan ke titik berangkatnya.

Rx = 100 + 0 - 75√3 – 100 = -75√3

Ry = 0 - 300 - 75 + 100√3 = -375 + 100√3

( ) (

²

)

²

2 2 2

x y

R= R +R = −75 3 + -375+100 3 = 16(875) ( 201,8)+ − =240 m S = R = 240 m

S_x = -R_x = 75√3;

Sy = -Ry = 375 - 100√3 Arah, tan θ = ^y

x

S 375 100 3

S 75 3

= − → θ = 57°

55. Ambil sudut terhadap sumbu X+ sebagai acuan

A = 6 N∠A = 60° → Ax = 6 cos 60° = 3 N; Ay = 6 sin 60° = 3√3 N B = 3 N∠B = -θ → Bx = 3 cos θ; By = -3 sin θ

C = 4 N∠C = -90° → C_x = 0; C_y = -4 N D = 7 N∠D = 180° → D_x = -7 N; D_y = 0 (a) R = A + B + C + D; θR = 180º; sin θ = ….?

Rx = 3 + 3 cos θ + 0 + (-7) = -4 + 3 cos θ Ry = 3√3 – 3 sin θ - 4 + 0 = 3√3 – 4 – 3 sin θ

Jadi, 3√3 – 4 – 3 sin θ = 0; sin θ = ^{3 3} ⁴ 3 ⁴

3− = −3(ralat kunci jawaban) (b) R = ….?

Di sini θ telah ditetapkan sebagai sudut lancip, sehingga cos θ = +

2

2 4

1 sin 1 3 0,917

3

 

− θ = − −  =

 

(37)

Rx = -4 + 3(0,917) = -1,25

Resultan R = |Rx| = 1,25 N (ralat kunci jawaban)