SYARAT PERLU DAN SYARAT CUKUP MATRIKS CLEAN PADA M2(Z)
Miftakhul Rohmah1∗, Sri Gemawati2, Asli Sirait2
1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika
2 Dosen Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Binawidya Pekanbaru (28293), Indonesia
∗MiftaQyc8@gmail.com
ABSTRACT
An n× n matrix over a commutative ring with identity is clean if it is the sum of an idempotent matrix and unit. This paper discusses necessary and sufficient criteria for 2× 2 matrix A =
[ a b c d
]
, where a, b, c, d are integer numbers, to be clean.
Keywords: Clean matrix, idempotent matrix, unit matrix, Diophantine equation.
ABSTRAK
Sebuah matriks berukuran n× n atas ring komutatif dengan identitas, dikatakan clean jika matriks tersebut merupakan penjumlahan dari matriks idempoten dan matriks unit. Artikel ini membahas syarat perlu dan syarat cukup suatu matriks berukuran 2× 2, A =
[ a b c d
]
dengan a, b, c, d adalah bilangan bulat, untuk men- jadi clean.
Kata kunci: Matriks clean, matriks idempoten, matriks unit, persamaan Diophan- tine.
1. PENDAHULUAN
Salah satu teori yang dipelajari dalam ilmu Aljabar adalah matriks. Matriks banyak digunakan untuk menyelesaikan masalah-masalah persamaan linear. Matriks merupakan susunan segi empat siku-siku dari bilangan-bilangan. Bilangan-bilangan dalam susunan tersebut dinamakan entri dalam matriks [1, h.22]. Selain matriks, teori lain yang dipelajari dalam ilmu Aljabar yaitu ring. Ring merupakan suatu himpunan tak kosong dengan dua operasi, yaitu operasi penjumlahan dan operasi perkalian [2, h.174]. Suatu ring yang terhadap operasi perkalian bersifat komu- tatif dinamakan ring komutatif, dan suatu ring yang mempunyai elemen identitas terhadap operasi perkalian disebut ring dengan elemen satuan [2, h.178].
Sebuah matriks n× n atas ring komutatif dengan identitas dikatakan clean jika matriks tersebut merupakan penjumlahan matriks idempoten E dan matriks unit U . Matriks clean terbagi menjadi 2 bagian, yaitu 0-clean dan 1-clean. Nilai 0 dan 1 diperoleh berdasarkan nilai determinan dari matriks E.
Di dalam artikel ini dibuktikan mengenai syarat perlu dan cukup untuk matriks 2× 2, matriks A =
[ a b c d
]
dengan a, b, c, d adalah bilangan bulat, untuk menjadi clean. Artikel ini merupakan penjabaran dari jurnal yang berjudul ”A Note on Clean Matrices in M2(Z)”[5].
2. SYARAT PERLU DAN SYARAT CUKUP UNTUK MATRIKS CLEAN DI M2(Z)
Pada bagian ini, dibahas mengenai syarat perlu dan syarat cukup pada matriks clean 2× 2 dengan entri-entrinya adalah bilangan bulat (M2(Z)).
2.1 Matriks Idempoten
Definisi 1 (Matriks Idempoten) [3, h. 76] Sebuah matriks En×ndisebut matriks idempoten jika memenuhi En2×n= En×n.
Lema 2 (Matriks Idempoten) [5] Misalkan E =
[ x y w z
]
∈ M2(Z) merupakan matriks idempoten jika dan hanya jika merupakan salah satu dari bentuk matriks berikut
[ 0 0 0 0
] ,
[ 1 0 0 0
] ,
[ 0 0 0 1
] ,
[ 1 0 0 1
] ,
[ x y
x(1−x)
y 1− x
] y̸= 0,
[ x x(1y−x) y 1− x
] y̸= 0.
Bukti: =⇒ Asumsikan bahwa matriks E =
[ x y w z
]
∈ M2(Z) adalah idempoten, menurut Definisi 1, maka ditunjukkan bahwa matriks E memenuhi bentuk sebagai berikut
[ x y w z
] [ x y w z
]
=
[ x y w z
]
, (1)
dari persamaan (1) diperoleh
x2 + yw = x (2)
xy + yz = y (3)
wx + zw = w (4)
wy + z2 = z. (5)
Pandang persamaan (2)-(5), jika salah satu dari y ̸= 0 atau w ̸= 0, maka persamaan (3) dan persamaan (4) menjadi
wx + zw = w =⇒ x + z = 1. (6)
Selanjutnya dari persamaan (2) dan (6) diperoleh x2+ yw = x
yw = xz. (7)
Jika y ̸= 0 pada persamaan (7), diperoleh w = x(1y−x). Jadi diperoleh matriks E
dengan bentuk [
x y
x(1−x)
y 1− x
] .
Selanjutnya untuk w ̸= 0 pada persamaan (7), diperoleh y = x(1w−x), yang mengaki- batkan matriks E berbentuk [
x x(1w−x) w 1− x
] .
Perhatikan jika koefisien dari y ̸= 0 dan w ̸= 0, maka matriks
[ x x(1w−x) w 1− x
]
berbentuk
[ x y
x(1−x)
y 1− x
]
dan begitu juga sebaliknya.
Andaikan koefisien y = 0 dan w = 0, maka peroleh [ x 0
0 z
] [ x 0 0 z
]
=
[ x 0 0 z
]
, (8)
dari hasil perkalian (8) diperoleh
x2 = x dan z2 = z,
memenuhi syarat idempoten yaitu E2 = E. Untuk itu E bisa mengikuti salah satu bentuk berikut
[ 0 0 0 0
] ,
[ 1 0 0 0
] ,
[ 0 0 0 1
] ,
[ 1 0 0 1
] .
⇐= Selanjutnya dibuktikan jika bentuk matriks E mengikuti salah satu bentuk yang diberikan pada Lema 2, maka matriks E adalah idempoten.
• Untuk E =
[ 0 0 0 0
]
, maka [ 0 0
0 0
] [ 0 0 0 0
]
=
[ 0 0 0 0
] .
• Untuk E =
[ 1 0 0 0
]
, maka [ 1 0
0 0
] [ 1 0 0 0
]
=
[ 1 0 0 0
] .
• Untuk E =
[ 0 0 0 1
]
, maka [ 0 0
0 1
] [ 0 0 0 1
]
=
[ 0 0 0 1
] .
• Untuk E =
[ 1 0 0 1
]
, maka [ 1 0
0 1
] [ 1 0 0 1
]
=
[ 1 0 0 1
] .
• Untuk E =
[ x y
x(1−x)
y 1− x
]
y̸= 0, maka
[ x y
x(1−x)
y 1− x
] [ x y
x(1−x)
y 1− x
]
=
[ x y
x(1−x)
y 1− x
] .
• Untuk E =
[ x x(1y−x) y 1− x
]
y̸= 0, maka [ x x(1−x)y
y 1− x
] [ x x(1−x)y y 1− x
]
=
[ x x(1−x)y y 1− x
] .
Bentuk matriks yang diberikan pada Lema 2 terbukti memenuhi E2 = E maka matriks-matriks pada Lema 2 adalah matriks idempoten.
Lema 3 [5] Untuk p̸= 0, matriks-matriks idempoten [ 1 p
0 0 ]
,
[ 1 0 p 0
] ,
[ 0 0 p 1
] ,
[ 0 p 0 1
] ,
mengikuti bentuk matriks
[ x y
x(1−x)
y 1− x
] atau
[ x x(1y−x) y 1− x
]
dengan y ̸= 0.
Bukti: Untuk matriks E =
[ 1 p 0 0
]
mengikuti bentuk matriks
[ x y
x(1−x)
y 1− x
]
dengan x = 1 dan y = p, maka matriksnya adalah sebagai berikut
[ x y
x(1−x)
y 1− x
]
=
[ 1 p
1(1−1)
y 1− 1
]
=
[ 1 p 0 0
] .
Untuk matriks E =
[ 1 0 p 0
]
mengikuti bentuk matriks
[ x x(1y−x) y 1− x
]
, maka matriksnya adalah sebagai berikut
[ x x(1y−x) y 1− x
]
=
[ 1 1(1y−1) p 1− 1
]
=
[ 1 0 p 0
] .
Untuk matriks
[ 0 0 p 1
]
mengikuti bentuk matriks
[ x x(1y−x) y 1− x
]
dan matriks [ 0 p
0 1 ]
mengikuti bentuk matriks
[ x y
x(1−x)
y 1− x
]
.
Selanjutnya untuk matriks
[ 1 0 w z
]
merupakan idempoten jika z = 0 dan w sebarang, dan jika z = 1 dan w = 0 maka matriks
[ 1 0 w z
]
mempunyai bentuk
sebagai berikut [
1 0 w 0
] ,
[ 1 0 0 1
] .
Demikian pula untuk matriks
[ 0 0 w z
]
merupakan idempoten jika z = 0 dan w = 0, dan jika z = 1 dan w sebarang, maka matriks
[ 0 0 w z
]
mempunyai bentuk
sebagai berikut [
0 0 w 1
] ,
[ 0 0 0 0
] .
Maka himpunan matriks idempoten mengikuti bentuk sebagai berikut X =
{[ 1 0 w 0
] ,
[ 1 0 0 1
] ,
[ 0 0 w 1
] ,
[ 0 0 0 0
]}
. (9)
2.2 Persamaan Diophantine
Persamaaan Diophantine terdiri dari persamaan Diophantine linear dan persamaan Diophantine nonlinear. Persamaan ini pertama kali ditulis oleh ”Diophantus”
(250 M). Persamaan Diophantine adalah persamaan polinomial yang penyelesaian- nya berupa bilangan bulat dan penyelesaiannya mempunyai solusi yang banyak.
Bentuk umum dari persamaan Diophantine yaitu
A′x2+ B′xy + C′y2+ D′x + E′y + F′ = 0, (10) dengan A′, B′, C′, D′, E′, F′ adalah konstanta. Ada beberapa kasus yang mungkin dalam mencari penyelesaian persamaan Diophantine (10), antara lain yaitu
• Kasus Linear A′ = B′ = C′ = 0.
• Kasus Simpel Hyperbolik A′ = C′ = 0, B′ ̸= 0.
• Kasus Elips B′2− 4A′C′ < 0.
• Kasus Parabolik B′2− 4A′C′ = 0.
• Kasus Hyperbolik B′2− 4A′C′ > 0.
Persamaan Diophantine yang akan dibahas pada tulisan ini adalah persamaan Diophantine berderajat dua dengan dua variabel sebagai berikut
(−b)x2+ (a− d)xy + (c)y2+ (b)x + (det(A)− a − 1)y = 0 (11) (−b)x2+ (a− d)xy + (c)y2+ (b)x + (det(A)− a + 1)y = 0. (12) Persamaan Diophantine pada (11) dan (12) memiliki solusi penyelesaian trivial dengan nilai x = 1, y = 0 dan x = 0, y = 0. Selain solusi trivial, persamaan Diophantine pada (11) dan (12) juga memiliki solusi penyelesaian nontrivial jika y ̸= 0 dan y|x(1 − x) (y habis membagi (1 − x)).
2.3 Syarat Perlu dan Syarat Cukup untuk Matriks Clean
Sebuah matriks n × n atas ring komutatif dengan identitas dikatakan matriks clean jika matriks tersebut merupakan jumlah dari matriks idempoten E dan sebuah unit U .
Definisi 4 [4] Misalkan e merupakan elemen idempoten di K. Suatu matriks M ∈ Mn(K) dapat ditulis sebagai E + U , untuk suatu E = E2 dengan det(E) = e dan suatu U ∈ GLn(K), dikatakan M adalah e-clean. Dalam bentuk khusus, untuk n = 1, element e-clean dari K = M1(K) hanya bentuk e + u dimana u∈ U(K).
Definisikan terdapat sebuah matriks A2×2 =
[ x y w z
]
dengan x, y, w, z adalah bilangan bulat dan asumsikan bahwa matriks A adalah matriks clean. Berdasarkan Definisi 4, jika matriks clean maka dapat dibentuk menjadi E + U dengan E adalah matriks idempoten. Jika det(E) = 1, maka matriks clean disebut dengan matriks 1−clean. Jika det(E) = 0, maka matriks clean disebut dengan matriks 0−clean.
Teorema 5 [5] A merupakan 1− clean jika dan hanya jika det(A)-T r(A) = 0 atau det(A)-T r(A) =−2.
Bukti: =⇒ Asumsikan jika matriks A adalah 1 − clean, maka det(A) - T r(A) = 0 atau det(A)-T r(A) =−2. Berdasarkan Definisi 4, pilih matriks E =
[ 1 0 0 1
] pada Lema 2 yang memiliki det(E) = 1, karena matriks E adalah matriks identitas, maka dapat ditulis sebagai berikut
A = I + U, dapat dijabarkan sebagai berikut
[ x y w z
]
−
[ 1 0 0 1
] = ±1 det(A)− T r(A) = 0 atau − 2,
terbukti jika A adalah 1− clean, maka det(A)-T r(A) = 0 atau det(A)-T r(A) = −2.
=⇒ Selanjutnya dibuktikan bahwa det(A)-T r(A) = 0 atau −2 adalah 1 − clean, sebagai berikut
det(A)− T r(A) = 0 atau − 2, dapat dijabarkan menjadi
(xz− yw) − (x + z) + 1 = 0 atau − 2 [
x y w z
]
−
[ 1 0 0 1
] = ±1, dapat disederhanakan menjadi
A− E = U.
Karena A memenuhi bentuk A = E + U maka A adalah clean, dan det(E) = 1 maka terbukti A adalah 1− clean.
Berikut diberikan beberapa matriks E yang bisa menjadi unit.
Lema 6 [5] Misalkan matriks A =
[ a b c d
]
dengan a, b, c, d adalah bilangan bulat, maka matriks E sebagai berikut
1. Jika E =
[ 0 0 0 0
]
maka A− E adalah unit ⇐⇒ A adalah unit.
2. Jika E =
[ 1 0 w 0
]
maka A− E adalah unit ⇐⇒ det(A) − d + bw = ±1.
3. Jika E =
[ 0 0 w 1
]
maka A− E adalah unit ⇐⇒ det(A) − a + bw = ±1.
4. Jika E =
[ 1 w 0 0
]
maka A− E adalah unit ⇐⇒ det(A) − d + cw = ±1.
5. Jika E =
[ 0 w 0 1
]
maka A− E adalah unit ⇐⇒ det(A) − a + cw = ±1.
Bukti:
1. Untuk matriks E =
[ 0 0 0 0
] .
=⇒ Asumsikan jika A − E adalah unit maka dibuktikan A adalah unit.
A− E =
[ a b c d
]
−
[ 0 0 0 0
]
= A, karena A− E adalah unit, maka terbukti A adalah unit.
⇐= Jika A adalah unit maka dibuktikan bahwa A − E adalah unit sebagai berikut
A− E =
[ a b c d
]
−
[ 0 0 0 0
]
= A, karena A diketahui adalah unit, maka A− E adalah unit.
2. Untuk matriks E =
[ 1 0 w 0
] .
=⇒ Asumsikan jika A − E adalah unit maka membentuk persamaan det(A)− d + bw = ±1
A− E =
[ a− 1 b c− w d
]
det(A− E) = det(A) − d + bw = ±1, terbukti untuk A− E unit diperoleh det(A) − d + bw = ±1.
⇐= Selanjutnya dari persamaan det(A)−d+bw = ±1 dibuktikan bahwa A−E adalah unit.
det(A)− d + bw = ±1 A− E =
[ a b c d
]
−
[ 1 0 w 0
] .
Dari persamaan det(A)− d + bw = ±1 diperoleh matriks A − E.
3. Untuk matriks E =
[ 0 0 w 1
] .
=⇒ Asumsikan jika A − E adalah unit maka membentuk persamaan det(A)− a + bw = ±1
A− E =
[ a b
c− w d − 1 ]
det(A− E) = det(A) − a + bw = ±1, terbukti untuk A− E unit diperoleh det(A) − d + bw = ±1.
⇐= Selanjutnya dari persamaan det(A)−d+bw = ±1 dibuktikan bahwa A−E adalah unit.
det(A)− a + bw = ±1 A− E =
[ a b c d
]
−
[ 0 0 w 1
] .
Dari persamaan det(A)− a + bw = ±1 diperoleh matriks A − E.
4. Untuk matriks E =
[ 1 w 0 0
] .
=⇒ Asumsikan jika A − E adalah unit maka membentuk persamaan det(A)− d + cw = ±1
A− E =
[ a− 1 b − w
c d
]
det(A− E) = det(A) − d + cw = ±1,
terbukti untuk A− E unit diperoleh det(A) − d + cw = ±1.
⇐= Selanjutnya dari persamaan det(A) − d + cw = ±1 dibuktikan bahwa A− E adalah unit.
det(A)− d + cw = ±1 A− E =
[ a b c d
]
−
[ 1 w 0 0
] .
Dari persamaan det(A)− d + cw = ±1 diperoleh matriks A − E.
5. Untuk matriks E =
[ 0 w 0 1
] .
=⇒ Asumsikan jika A − E adalah unit maka membentuk persamaan det(A)− a + cw = ±1
A− E =
[ a b− w c d− 1
]
det(A− E) = det(A) − a + cw = ±1, terbukti untuk A− E unit diperoleh det(A) − a + cw = ±1.
⇐= Selanjutnya dari persamaan det(A) − a + cw = ±1 dibuktikan bahwa A− E adalah unit.
det(A)− a + cw = ±1 A− E =
[ a b c d
]
−
[ 0 w 0 1
] .
Dari persamaan det(A)− a + cw = ±1 diperoleh matriks A − E.
Matriks E yang diberikan adalah unit jika dilakukan operasi A− E. Pemilihan bentuk matriks E merupakan hal yang penting karena E merupakan syarat perlu untuk matriks clean. Begitu juga untuk A − E haruslah unit karena merupakan syarat cukup untuk matriks clean.
Teorema 7 [5] Diberikan E merupakan sebuah matriks idempoten dengan det(E) = 0 dan E /∈ X, dimana X merupakan himpunan matriks pada persamaan (9). Maka A− E merupakan unit jika dan hanya jika mengikuti salah satu bentuk persamaan Diophantine berikut
(−b)x2+ (a− d)xy + (c)y2+ (b)x + (det(A)− a − 1)y = 0 (13) (−b)x2+ (a− d)xy + (c)y2+ (b)x + (det(A)− a + 1)y = 0, (14) mempunyai solusi (x, y) dengan x ̸= 0, 1 , y ̸= 0 dan y|x(1 − x).
Bukti: Diketahui matriks A =
[ a b c d
]
. X merupakan himpunan matriks seperti pada persamaan (9). Jika E /∈ X, maka berdasarkan Lema 2 Et = E. Ambil
E =
[ x y
x(1−x)
y 1− x
]
dari Lema 2.
=⇒ Asumsikan jika A − E adalah unit, maka membentuk persamaan Diophantine.
A− E =
[ a b c d
]
−
[ x y
x(1−x)
y 1− x
]
det(A− E) =
a− x b− y c− x(1y−x) d− 1 + x
= ±1
det(A− E) =(a − x)(d − 1 + x) − (b − y)(c −x(1− x)
y ) =±1, (15) dari persamaan (15), diperoleh persamaan diophantine sebagai berikut
det(A− E) = (−b)x2+ (a− d)xy + (c)y2+ (b)x + (det(A)− a ± 1)y = 0. (16)
⇐= Selanjutnya jika terdapat persamaan Diophantine, maka dibuktikan bahwa A− E adalah unit.
(−b)x2+ (a− d)xy + (c)y2+ (b)x + (det(A)− a ± 1)y = 0 (a− x)(d − 1 + x) − (b − y)(c − x(1− x)
y ) = ±1 a− x b− y
c− x(1y−x) d− 1 + x
= ±1
det(A− E) = ±1.
Dari persamaan Diophantine terbentuk matriks det(A − E) = ±1, dimana ±1 merupakan nilai unit. Jadi, dapat disimpulkan bahwa persamaan Diophantine adalah unit.
Teorema 8 [5] Diberikan matriks A =
[ a b c d
]
merupakan 0−clean jika dan hanya jika memenuhi salah satu syarat berikut
1. A merupakan unit.
2. det(A)− d + bw = ±1 untuk setiap w.
3. det(A)− a + bw = ±1 untuk setiap w.
4. Persamaan Diopantine (−b)x2+ (a−d)xy +(c)y2+ (b)x + (det(A)−a−1)y = 0 memiliki solusi non-trivial.
5. Persamaan Diopantine (−b)x2+ (a−d)xy +(c)y2+ (b)x + (det(A)−a+1)y = 0 memiliki solusi non-trivial.
3. CONTOH Diberikan matriks A =
[ 7 11 1 3
]
tunjukkan bahwa A adalah clean dan memenuhi 0-clean dan 1-clean.
Penyelesaian:
Menurut Definisi 4 matriks dikatakan clean jika memenuhi A = E + U . Matriks E diperoleh dengan menggunakan Teorema 7, dengan mensubstitusikan nilai A ke persamaan Diophantine (16) dan (14), diperoleh persamaan sebagai berikut
(−b)x2+ (a− d)xy + (c)y2+ (b)x + (det(A)− a ± 1)y = 0
− 11x2+ (7− 3)xy + (1)y2+ (11)x + (7· 3 − 11 · 1 − 7 ± 1)y = 0
− 11x2+ 4xy + y2+ 11x + (3± 1)y = 0. (17) Diperoleh nilai A′ = −11, B′ = 4, C′ = 1, D′ = 11, E′ = 3 ± 1, dan F′ = 0, kemudian substitusikan sebagai berikut
B′2− 4A′C′ = 16− 4 · (−11)11 = 500 > 0,
karena nilai B′2−4A′C′ > 0 menurut (16), ini merupakan kasus Hiperbolik. Dengan menggunakan kasus Hiperbolik dengan x = 0 dan y = −2, dan merupakan solusi nontrivial dengan y ̸= 0.
Selanjutnya dengan mensubstitusikan nilai x dan y, diperoleh matriks E sebagai
berikut [
x y
x(1−x)
y 1− x
]
=
[ 0 −2 0 1
]
. (18)
Selanjutnya dibuktikan bahwa matriks (18) adalah idempoten, sebagai berikut [ 0 −2
0 1 ]
×
[ 0 −2 0 1
]
=
[ 0 −2 0 1
] [ 0 −2
0 1 ]
=
[ 0 −2 0 1
] .
Bentuk matriks pada (18) adalah bentuk matriks seperti pada Lema 6 di bagian [5].
Pada Lema 6 sudah di buktikan bahwa A− E adalah unit. Maka nilai unit adalah sebagai berikut [
7 11 1 3
]
−
[ 0 −2 0 1
]
=
[ 7 13 1 2
] .
Karena matriks A dapat dibentuk menjadi E + U , maka matriks A adalah matriks clean.
Selanjutnya untuk mencari 0-clean, maka det(E) = 0 sebagai berikut [ 0 −2
0 1 ]
= 0− 0 = 0,
karena det(E) = 0, maka matriks A adalah 0-clean dengan bentuk matriks sebagai
berikut [
7 11 1 3
]
=
[ 0 −2 0 1
] +
[ 7 13 1 2
] .
Selanjutnya akan diperiksa apakah matriks A memiliki bentuk 1-clean. Berdasarkan Teorema 5, dikatakan 1-clean jika A = I + U atau A− I = U sebagai berikut
[ 7 11 1 3
]
−
[ 1 0 0 1
]
=
[ 6 11 1 2
] .
DAFTAR PUSTAKA
[1] Anton, H. 1987. Aljabar Linear Elementer, Edisi Kelima. Terj. dari Elementary Linear Agebra, Fifth Edition, oleh Silaban, Ph. D. & Susila, I . N. Erlangga, Jakarta.
[2] Gilbert, J. & L. Gilbert. 1991. Elements of Modern Algebra, Third Edition.
PWS-KENT Publishing Company, Boston.
[3] Jacob, B. 1989. Linear Algebra. W.H. Freeman and Company, New York.
[4] Khurana, D. & T.Y. Lam. 2004. Clean Matrices and Unit Regular Matrices.
Journal of Algebra, 280 (2004). h. 683–698.
[5] Rajeswari, K.N. & R. Aziz. 2009. A Note On Clean Matrices in M2(Z). Inter- national Journal of Algebra, 3, 2009. no. 5, h. 241–248.
