PERAMALAN OUTFLOW TIAP PECAHAN UANG KARTAL DENGAN METODE ARIMAX, HYBRID ARIMAX-ANN, DAN VARI-X (Studi Kasus Bank Indonesia Regional Surabaya)

(1)

i

TESIS - SS14 2501

PERAMALAN OUTFLOW TIAP PECAHAN UANG KARTAL DENGAN METODE ARIMAX, HYBRID ARIMAX-ANN, DAN VARI-X

(Studi Kasus Bank Indonesia Regional Surabaya)

RENNY ELFIRA WULANSARI NRP. 1314 201 032

DOSEN PEMBIMBING Dr. Ir. Setiawan, MS.

Dr. Suhartono, M.Sc.

PROGRAM MAGISTER JURUSAN STATISTIKA PROGRAM PASCA SARJANA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER

SURABAYA 2017

(2)

ii

TESIS – SS14 2501

ARIMAX, HYBRID ARIMAX-ANN, AND VARI-X METHODS FOR FORECASTING EACH SHEET OF CURRENCY

OUTFLOW

(Case of Study Bank Indonesia Surabaya Region)

RENNY ELFIRA WULANSARI NRP. 1314 201 032

SUPERVISOR

Dr. Ir. Setiawan, MS.

Dr. Suhartono, M.Sc.

PROGRAM OF MAGISTER DEPARTEMENT OF STATISTICS

FACULTY OF MATHEMATICS AND NATURAL SCIENCE INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER

SURABAYA 2017

(3)

iii

(4)

iv

Peramalan Outflow Tiap Pecahan Uang Kartal

dengan Metode ARIMAX, Hybrid ARIMAX-ANN, dan VARI-X (Studi Kasus Bank Indonesia Regional Surabaya)

Nama mahasiswa : Renny Elfira Wulansari

NRP : 1314 201 032

Pembimbing : 1. Dr. Ir. Setiawan, MS 2. Dr. Suhartono, M.Sc

ABSTRAK

Tujuan dari penelitian ini adalah mendapatkan metode terbaik untuk meramalkan outflow tiap pecahan uang kartal berbentuk kertas di Bank Indonesia (BI) regional Surabaya. Peredaran uang kartal terbagi menjadi dua, yaitu arus uang masuk (inflow) dan arus uang keluar (outflow). Telah banyak penelitian yang fokus pada inflow dan outflow, maka penelitian ini akan mengulas lebih jauh peramalan outflow pecahan uang kertas Rp 100.000, Rp 50.000, Rp 20.000, Rp 10.000, dan Rp 5.000. Penelitian ini akan membandingkan hasil peramalan antara metode univariat yaitu ARIMAX dan hybrid ARIMAX-ANN setiap pecahan uang kartal kertas. Untuk melihat bagaimana pengaruh outflow pecahan uang kartal satu dengan yang lain, akan digunakan pula metode multivariat VARI-X pada penelitian ini.

ARIMAX yang digunakan adalah ARIMAX dengan efek hari raya Idul Fitri sebagai variabel eksogen variasi kalender, sedangkan ANN yang digunakan adalah RBFN.Periode data yang digunakan pada penelitian ini adalah Januari 2010 hingga Desember 2014 sebagai in-sample, dan Januari 2015 hingga Desember 2015 sebagai out-sample. Hasil RMSE out-sample menunjukkan model terbaik untuk pecahan Rp 100.000 dan Rp 20.000 adalah model hybrid ARIMAX-ANN.

Sedangkan untuk pecahan Rp 50.000 model terbaiknya dihasilkan oleh VARI-X.

Model ARIMAX merupakan model terbaik dalam peramalan pecahan Rp 10.000 dan Rp 5.000. Berdasarkan RMSE out-sample aditifnya, untuk outflow pecahan Rp 20.000, Rp 10.000, dan Rp 5.000, model VARI-X memberikan hasil peramalan yang jauh lebih baik dibanding 2 metode lainnya, akan tetapi hanya untuk peramalan 5 langkah (bulan) ke depan.

Kata kunci : Uang Kartal, Peramalan, ARIMAX, hybrid ARIMAX-ANN, VARI-X

(5)

v

(Halaman Ini Sengaja Dikosongkan)

(6)

vi

ARIMAX, Hybrid ARIMAX-ANN, and VARI-X Methods for Forecasting Each Sheet of Currency Outflow

(Case of Study Bank Indonesia in Surabaya Region)

Student Name : Renny Elfira Wulansari

NRP : 1314 201 032

Supervisor : 1. Dr. Ir. Setiawan, MS 2. Dr. Suhartono, M.Sc

ABSTRACT

The aim of this study is to find the best method for forecasting each sheet of currency outflow in Bank Indonesia (Surabaya Region). There are two kind of currency, such as inflow and outflow. There are many research which focus in inflow and outflow, so this research will give more detail analyze of each sheet of currency outflow such as Rp 100.000, Rp 50.000, Rp 20.000, Rp 10.000, and Rp 5.000. This study compare the forecasting models based on univariate method such as ARIMAX and hybrid ARIMAX-ANN. For observing how the impact of one currency outflow sheet with the other, VARI-X as multivariate method is used in this study. The exogen variable of ARIMAX method are the Eid al-Fitr as calendar variation dummy, and the RBFN as the ANN. The data period used in this study is from January 2010 until December 2014 as the in-sample data and January 2015 until December 2015 as the out-of-sample data. The result showed that, based on out-of-sample RMSE, hybrid ARIMAX-ANN method perfoms best on Rp 100.000 and Rp 20.000. VARI-X method perfoms best on Rp 50.000, and ARIMAX method perfoms best on forecasting currency outflow of Rp 10.000 and Rp 5.000. Based on the additive of out-of-sample RMSE, VARI-X method perform best on Rp 20.000, Rp 10.000, and Rp 5.000 than the others, but only for forecasting 5 steps (month) forward.

Keyword : Currency Outflow, Forecasting, ARIMAX, hybrid ARIMAX-ANN, VARI-X

(7)

vii

(8)

viii

KATA PENGANTAR

Alhamdulillah, segala puji syukur penulis panjatkan ke hadirat Allah SWT, karena berkat limpahan rahmat Allah SWT semata penulis dapat menyelesaikan Tesis yang berjudul: PERAMALAN OUTFLOW TIAP PECAHAN UANG KARTAL DENGAN METODE ARIMAX, HYBRID ARIMAX-ANN, DAN VARI-X (Studi Kasus Bank Indonesia Regional Surabaya). Tesis ini disusun sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains (M.Si), Jurusan Statistika, Institut Teknologi Sepuluh Nopember.

Dalam penyelesaian Tesis ini penulis banyak mendapatkan bantuan, bimbingan, dan dukungan dari berbagai pihak. Oleh karena itu penulis megucapkan terima kasih kepada:

1. Bapak Dr. Suhartono, M.Sc selaku Ketua Jurusan Statistika ITS Surabaya dan dosen pembimbing 2 atas pengarahan, saran, dan semangat untuk menyelesaikan tesis ini.

2. Bapak Dr. Ir. Setiawan, MS selaku dosen pembimbing 2 atas pengarahan, saran, dan semangat untuk menyelesaikan tesis ini.

3. Ibu Santi Puteri Rahayu M.Si, Ph.D dan Ibu Irhamah M.Si, Ph.D selaku dosen penguji yang memberikan masukan selama penulisan tesis ini.

4. Kedua orang tua dan adik-adik atas segala motivasi, doa, kesabaran, pengorbanan dan kasih sayang yang selalu diberikan kepada penulis.

5. Seluruh dosen Statistika ITS yang telah memberikan banyak ilmu, serta teman-teman Statistika ITS yang selalu memberikan semangat dalam proses perkuliahan hingga penyelesaian tesis.

6. Pihak-pihak lain yang mendukung dan membantu atas terselesaikannya tesis ini.

Penulis menyadari sepenuhnya bahwa penyusunan tesis ini masih jauh dari kesempurnaan, kritik dan saran yang sifatnya membangun diharapkan sebagai masukan dalam penelitian selanjutnya. Semoga penelitian ini dapat bermanfaat bagi pembaca.

Surabaya, Januari 2017 Penulis

(9)

ix

(10)

x DAFTAR ISI

Halaman HALAMAN JUDUL ... Error! Bookmark not defined.

LEMBAR PENGESAHAN ... Error! Bookmark not defined.

ABSTRAK ... iv

ABSTRACT ... vi

KATA PENGANTAR ...viii

DAFTAR ISI ... x

DAFTAR TABEL ... xiv

DAFTAR GAMBAR ... xvi

DAFTAR LAMPIRAN... xx

BAB I PENDAHULUAN ... 1

1.1 Latar Belakang ... 1

1.2 Rumusan Masalah ... 6

1.3 Tujuan Penelitian ... 6

1.4 Manfaat Penelitian ... 7

1.5 Batasan Masalah ... 7

BAB II TINJAUAN PUSTAKA ... 9

2.1 Tinjauan Time Series ... 9

2.1.1 Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA) ... 9

2.1.2 Autoregressive Integrated Moving Average with Exogenous Input (ARIMAX) ... 10

2.1.3 Identifikasi Model ARIMAX ... 11

2.1.4 Estimasi ARIMAX dengan Conditional Least Square (CLS) ... 14

2.1.4.1 Estimasi Conditional Least Square untuk Model Autoregressive ... 14

2.1.4.2 Estimasi Conditional Least Square untuk Model Moving Average ... 16

2.1.4.3 Estimasi Conditional Least Square untuk ARIMAX (Model Mixed) ... 16

(11)

xi

2.1.4.4 Asumsi pada Model ARIMAX ... 17

2.1.5 Vector Autoregressive Integrated with Exogenous Input (VARI-X) ... 18

2.1.5.1 Identifikasi Model VARI-X ... 24

2.1.5.2 Estimasi Parameter Model VARI-X ... 26

2.1.5.3 Pengujian Signifikansi Parameter Model VARI-X ... 28

2.1.5.4 Uji Kesesuaian Model VARI-X ... 30

2.1.6 Radial Basis Function Network (RBFN) ... 31

2.1.7 Pemodelan Hybrid ... 37

2.1.8 Uji Terasvirta ... 38

2.1.9 Pemilihan Model Terbaik ... 38

2.2 Tinjauan Umum ...39

2.2.1 Bank Indonesia ... 39

BAB III METODOLOGI PENELITIAN ... 41

3.1 Sumber Data ...41

3.2 Variabel Penelitian ...41

3.3 Langkah Analisis ...43

BAB IV ANALISIS DAN PEMBAHASAN ... 47

4.1 Karakteristik Outflow Regional Surabaya ...47

4.1.1 Statistika Deskriptif Outflow Pecahan Uang Kartal ... 47

4.1.2 Identifikasi Efek Variasi Kalender (Hari Raya Idul Fitri) ... 48

4.2 Pemodelan Outflow dengan ARIMAX ...53

4.2.1 Pemodelan Outflow Pecahan Rp 100.000 dengan ARIMAX ... 53

4.2.4 Pemodelan Outflow Pecahan Rp 10.000 dan Rp 5.000 dengan ARIMAX ... 65

4.3 Pemodelan Outflow dengan Hybrid ARIMAX-ANN ...68

4.4 Pemodelan Outflow Regional Surabaya dengan VARI-X...70

4.4.1 Analisis Korelasi Pada Tiap Pecahan Outflow Regional Surabaya ... 70

4.4.2 Stationeritas Data ... 71

4.4.3 Pemodelan dengan VARI-X ... 72

(12)

xii

4.5 Perbandingan Kebaikan Model ... 75

BAB V KESIMPULAN DAN SARAN... 89

5.1 Kesimpulan ... 89

5.2 Saran ... 90

DAFTAR PUSTAKA ... 91

LAMPIRAN ... 95

BIODATA PENULIS……… ... 127

(13)

xiii

(14)

xiv

DAFTAR TABEL

Halaman

Tabel 2. 1 Bentuk Transformasi Box-Cox ... 11

Tabel 2. 2 Tabel Dicky-Fuller ... 12

Tabel 3. 1 Variabel Dummy Hari Raya Idul Fitri ... 42

Tabel 4. 1 Statistika Deskriptif Outflow Pecahan Uang Kartal (Miliar)... 48

Tabel 4. 2 Hasil Pengujian ADF Pecahan Rp 100.000 ... 55

Tabel 4. 3 Uji Signifikansi Parameter ARIMAX Rp 100.000 ... 56

Tabel 4. 4 Uji Signifikansi Parameter ARIMAX Rp 100.000 Setelah Backward Elimination ... 57

Tabel 4. 5 Nilai RMSE Out-Sample dari Learning RBFN (Miliar) ... 69

Tabel 4. 6 Hasil Analisis Korelasi Pearson ... 71

Tabel 4. 7 Hasil Pengujian Stasioneritas Varians dengan Box-Cox ... 71

Tabel 4. 8 Hasil Uji Terasvirta ... 80

Tabel 4. 9 Perbandingan RMSE Aditif Ramalan k Langkah Pecahan Rp 100.000 dan Rp 50.000 ... 81

Tabel 4. 10 Perbandingan RMSE Aditif Ramalan k Langkah Pecahan Rp 20.000, Rp 10.000, dan Rp 5.000 ... 83

Tabel 4. 11 Hasil Ramalan Outflow untuk Tahun 2016-2017 ... 85

(15)

xv

(16)

xvi

DAFTAR GAMBAR

Halaman

Gambar 2.1 Contoh arsitetur model RBFN ... 33

Gambar 2.2 Arsitektur model RBFN dengan 1 input, 2 hidden nodes, dan 1 output ... 34

Gambar 2.3 Arsitektur model RBFN dengan 1 input, 3 hidden nodes, dan 1 output ... 34

Gambar 2. 4 Arsitektur model RBFN dengan 2 input, 2 hidden nodes, dan 1 output ... 35

Gambar 2. 5 Arsitektur model RBFN dengan 2 input, 3 hidden nodes, dan 1 output ... 36

Gambar 3. 1 Langkah Analisis ... 45

Gambar 4. 1 Diagram Outflow Pecahan Rp 100.000 Tahun 2010-2014 ... 49

Gambar 4. 6 Diagram Batang Rata-Rata Outflow Menurut Hari Raya Idul Fitri Untuk Pecahan (a) Rp100.000 (b) Rp 50.000 (c) Rp 20.000 (d) Rp 10.000 dan (e) Rp 5.000 ... 52

Gambar 4. 7 Plot Time Series untuk Outflow Pecahan Rp 100.000 ... 54

Gambar 4. 8 Plot Box-Cox Outflow Pecahan Rp 100.000 ... 54

Gambar 4. 9 Plot ACF dan PACF Data Outflow Rp 100.000 ... 55

Gambar 4. 10 Plot ACF dan PACF Data Outflow Rp 100.000 Setelah Differencing 1 ... 56

Gambar 4. 11 Plot Time Series Data Asli dan Ramalan Outflow Rp 100.000 (a) In-sample Sebelum Re-transformasi (b) In-sample Setelah Re-transformasi (c) Out-sample Sebelum Re-transformasi (d) Out-sample Setelah Re- transformasi ... 58

(17)

xvii

Gambar 4. 12 RMSE Ramalan Outflow Rp 100.000 (a) Data In-sample (b) Data Out-sample ...59 Gambar 4. 13 Plot Time Series untuk Outflow Pecahan Rp 50.000 ...60 Gambar 4. 14 Plot ACF dan PACF Data Outflow Rp 50.000 setelah

Differencing 1 ...61 Gambar 4. 15 Plot Time Series Data Asli dan Ramalan Outflow

Rp 50.000 (a) In-sample Sebelum Re-transformasi (b) In-sample Setelah Re-transformasi (c) Out-sample Sebelum Re-transformasi (d) Out-sample Setelah Re-

transformasi ...62 Gambar 4. 16 RMSE Ramalan Outflow Rp 50.000 (a) Data In-sample

(b) Data Out-sample ...62 Gambar 4. 17 Plot Time Series untuk Outflow Pecahan Rp 20.000 ...64 Gambar 4. 18 Plot ACF dan PACF Data Outflow Rp 20.000 Setelah

Differencing 1 ...64 Gambar 4. 19 Plot Time Series untuk Outflow Pecahan (a) Rp 10.000

dan (b) Rp 5.000 ...66 Gambar 4. 20 Plot ACF dan PACF Data Outflow Rp 10.000 Setelah

Differencing 1 ...66 Gambar 4. 21 Plot ACF dan PACF Data Outflow Rp 5.000 Setelah

Differencing 1 ...67 Gambar 4. 22 Plot MCCF dan MPCCF Data Outflow Setelah di

Differencing ...72 Gambar 4. 23 Plot MCCF Residual Data ...75 Gambar 4. 24 Hasil RMSE Model-Model Outflow Pecahan Uang

Kartal (a) In-Sample dan (b) Out-Sample ...76 Gambar 4. 25 Plot Time Series In-Sample dan Out-Sample Pecahan

(a) Rp 100.000 (b) Rp 50.000 (c) Rp 20.000 (d) 10.000 dan (e) 5.000 ...79 Gambar 4. 26 Plot RMSE Aditif k Langkah Pecahan (a) Rp 100.000 dan

(b) Rp 50.000 ...82

(18)

xviii

Gambar 4. 27 Plot RMSE Aditif k Langkah Pecahan (a) Rp 20.000 dan (b) Rp 10.000 dan (c) Rp 5.000 ... 84 Gambar 4. 28 Plot Time Series Ramalan Outflow Pecahan (a) Rp 100.000,

(b) Rp 50.000, (c) Rp 20.000, (d) Rp 10.000 dan (e) Rp 5.000 ... 88

(19)

xix

(20)

xx

DAFTAR LAMPIRAN

Halaman

Lampiran A. Hasil Proses Pemodelan ARIMAX Rp 50.000 ... 95

Lampiran B. Hasil Proses Pemodelan ARIMAX Rp 20.000 ... 98

Lampiran C. Hasil Proses Pemodelan ARIMAX Rp 10.000 ... 100

Lampiran D. Hasil Proses Pemodelan ARIMAX Rp 5.000 ... 102

Lampiran E. Output SPSS Hasil Estimasi Parameter RBFN Residual ARIMAX Pecahan Rp 100.000 ... 104

Lampiran F. Output SPSS Hasil Estimasi Parameter RBFN Residual ARIMAX Pecahan Rp 50.000 ... 107

Lampiran G. Output SPSS Hasil Estimasi Parameter RBFN Residual ARIMAX Pecahan Rp 20.000 ... 110

Lampiran H. Output SPSS Hasil Estimasi Parameter RBFN Residual ARIMAX Pecahan Rp 10.000 ... 113

Lampiran I. Output SPSS Hasil Estimasi Parameter RBFN Residual ARIMAX Pecahan Rp 5.000 ... 116

Lampiran J. Output SAS Hasil Estimasi VARI-X Restrict ... 119

Lampiran K. Syntax SAS dan R ... 122

(21)

xxi

(22)

(23)

1 BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang

Analisis time series merupakan sebuah analisis dengan aktivitas yang luas saat ini. Time series atau deret waktu merupakan serangkaian urutan observasi yang dihimpun secara berurutan dalam kurun waktu tertentu (Box, Jenkins, & Reinsel, 2008). Time series muncul pada banyak bidang. Pada bidang pertanian, time series digunakan untuk meneliti harga dan produksi tahunan dari hasil pertanian. Pada bidang bisnis dan ekonomi, time series dapat digunakan untuk meneliti harga tutup saham harian, suku bunga bulanan, harga indeks bulanan, penjualan, dan pendapatan tahunan. Pada bidang teknik, time series dapat digunakan untuk mengobservasi suara sinyal elektrik, dan voltase. Dalam geofisika, pendeteksian turbulensi pada gelombang laut dan earth noise di suatu area juga dapat menggunakan time series. Untuk studi medis time series digunakan untuk mengukur deteksi aktivitas otak (electroencephalogram / EEG) dan deteksi detak jantung (electrocardiogram / EKG). Di bidang meteorologi, time series memonitor kecepatan angin tiap jam, temperatur harian, dan curah hujan harian. Di quality control, dalam memonitor proses sesuai dengan nilai target tertentu juga menggunakan time series. Sedang dalam bidang sosial, time series dapat digunakan untuk mempelajari tingkat kelahiran tahunan, tingkat kematian, tingkat kecelakaan, dan berbagai jenis tingkat kriminalitas (Wei, 2006). Berdasarkan jumlah variabel respon yang diamati, peramalan time series dibagi menjadi dua yaitu univariat dan multivariat. Berdasarkan linieritas data, analisis time series juga dibagi menjadi dua yaitu linier dan non linier (De Gooijer & Hyndman, 2006).

Selama 25 tahun terakhir ini telah banyak para ilmuwan/peneliti yang mengembangkan peramalan time series (De Gooijer & Hyndman, 2006). Pada 25 tahun yang lalu, exponential smoothing merupakan metode ekstrapolasi pada time series univariat, dimana sering digunakan dalam bidang bisnis dan industri, namun perkembangannya tidak begitu bagus. Selanjutnya, perubahan awal dari time series ditunjukkan pada abad ke-19, dimana Yule (1927) memperkenalkan gagasan bahwa setiap time series dapat dianggap sebagai proses stokastik. Sejak saat itu,

(24)

2

berdasarkan gagasan sederhana tersebut, metode time series telah banyak dikembangkan. Slutsky, Walker, Yaglom, dan Yule merupakan peneliti yang pertama kali dalam merumuskan konsep model Autoregressive (AR) dan Moving Average (MA). Hingga sekarang sudah banyak modifikasi-modifikasi dari model AR dan MA, seperti ARIMA, ARIMA dengan tambahan exogenous input yang disebut ARIMAX, serta ARIMA yang digabungkan dengan metode-metode modern, dan sebagainya.

Kemudian, model Vector ARIMA (VARMA) merupakan generalisasi multi- variat dari univariat ARIMA. Model VARMA pertama kali dikenalkan oleh Quenouille (1957). Sejak model VARMA ini dapat menampung asumsi exogeneity dan hubungan kontemporer, model ini menawarkan tantangan baru bagi para ilmuwan time series. Pada tahun 2005, Cologni dan Manera melakukan penelitian tentang hubungan antara harga minyak, inflasi, dan suku bunga di Negara G-7 (Kanada, Perancis, Jerman, Italia, Jepang, UK, dan US) menggunakan model VAR.

Model VAR ini merupakan bentuk tereduksi dari model VARMA. Pada banyak penelitian dalam bidang ekonomi, umumnya dalam peramalan time series biasanya hanya menggunakan efek dari Autoregressive (AR). Hal tersebut dilakukan, karena dalam bidang ekonomi tidak hanya melakukan peramalan namun juga memprioritaskan interpretasi dari model. Sama halnya dengan model ARIMA, perkembangan model VAR juga dapat dipengaruhi oleh exogenous input yang disebut dengan VARX. Seperti yang kita ketahui kebanyakan data time series belum bersifat stasioner dalam rata-rata, sehingga data perlu distasionerkan menggunakan differencing. Maka muncullah model Vector Autoregressive Integrated with Exogenous Input (VARI-X). Model VARI-X pernah diteliti oleh Ulyah et al. (2014) pada peramalan volume penjualan total sepeda motor di Kabupaten Bojonegoro dan Lamongan.

Bank Indonesia (BI) merupakan bank sentral Republik Indonesia yang memiliki satu tujuan tunggal, yakni mencapai dan menjaga kestabilan nilai rupiah. BI merupakan lembaga negara yang independen dalam melaksanakan tugas dan wewenangnya, bebas dari campur tangan Pemerintah dan/atau pihak lain, kecuali untuk hal-hal yang secara tegas diatur dalam undang-undang Republik Indonesia.

BI mempunyai otonomi penuh dalam merumuskan dan melaksanakan setiap tugas

(25)

3

dan wewenangnya sebagaimana ditentukan dalam undang-undang tersebut (Bank Indonesia, 2013).

Dalam menetapkan kebijakan moneter Bank Indonesia, salah satu ilmu yang dapat diterapkan adalah ilmu statistika. Ada berbagai ilmu yang dapat diterapkan misalnya analisis data, matematika keuangan, manajemen resiko, dan time series.

Peredaran uang kartal merupakan segmen yang selalu dipantau oleh BI agar BI dapat menentukan kebijakan terhadap proses aliran uang kertas yang keluar dari Bank Indonesia kepada perbankan dan masyarakat (outflow), dan juga aliran uang masuk dari perbankan ke BI (inflow). Hal ini dilakukan dalam memenuhi tujuan tunggal BI. Pemantauan uang kartal tersebut salah satunya dengan melakukan peramalan uang kartal. Uang kartal sendiri merupakan uang kertas dan uang logam yang beredar di masyarakat yang dikeluarkan dan diedarkan oleh Bank Indonesia (Solikin & Suseno, 2002).

Penelitian tentang peramalan peredaran uang telah banyak dilakukan di berbagai negara dengan menggunakan metode statistika maupun ekonomi.

Dheerasinghe (2006) melakukan penelitian tentang pemodelan dan peramalan peredaran uang di Sri Lanka dengan data uang harian, mingguan, serta bulanan menggunakan metode ARMA dengan penambahan efek tren, musiman, dan komponen siklis. Adapula Luguterah, Anzagra, dan Nasiru (2013) melakukan pemodelan peredaran uang di Ghana menggunakan metode Regresi Dummy dengan pengaruh bulan. Selain itu, pemodelan dan peramalan peredaran uang sebagai manajemen likuiditas di Nigeria dilakukan oleh Ikoku (2014). Penelitian di Nigeria ini menggunakan berbagai metode antara lain AR(1), ARIMA, Seasonal ARIMA (SARIMA), Vector Autoregressive (VAR), dan Vector Error Correction (VEC).

Di negara Indonesia sendiri, Karomah et al. (2014) pernah meneliti tentang peramalan netflow uang kartal dengan model variasi kalender dan Autoregressive Distributed Lag (ARDL). Netflow merupakan selisih antara outflow dengan inflow.

Hasil penelitian dari Karomah menyatakan bahwa model variasi kalender memberikan peramalan yang lebih baik dibandingkan dengan model ARDL. Pada tahun yang sama, Wulansari et al. (2014) melakukan peramalan netflow uang kartal dengan metode ARIMAX dan Radial Basis Function Network (RBFN) yang juga memberikan hasil yang sama, yakni model ARIMAX menghasilkan peramalan

(26)

4

yang lebih baik. Pada tahun 2015, Hanim et al melakukan penelitian mengenai peramalan inflow dan outflow di tingkat Nasional, Provinsi DKI Jakarta, dan Provinsi Jawa Timur menggunakan berbagai metode peramalan yaitu ARIMA, Regresi Time Series dan ARIMAX. Hasil dari penelitian Hanim menghasilkan bahwa pada metode ARIMAX memberikan hasil peramalan yang lebih baik.

Pada Wulansari et al (2014), Karomah et al (2014) dan Hanim et al (2015), peredaran uang kartal yang diramalkan adalah keseluruhan netflow, inflow, maupun outflow. Metode ARIMAX yang digunakan pada ketiga penelitian ini merupakan ARIMAX yang salah satu variabel eksogen utamanya adalah momen Idul Fitri.

Diketahui negara Indonesia merupakan negara dengan mayoritas penduduknya beragama Islam, sehingga momen Idul Fitri merupakan momen besar yang dapat mempengaruhi pola perekonomian Indonesia. Pada penelitian ketiganya menunjukkan bahwa Idul Fitri memberikan pengaruh yang signifikan pada peredaran uang kartal di Indonesia. Fokus dari penelitian kali ini adalah pada peramalan outflow pecahan uang kartal yakni pecahan uang kartal kertas Rp 100.000, Rp 50.000, Rp 20.000, Rp 10.000, dan Rp 5.000. Dengan adanya berbagai macam pecahan uang kartal tersebut, dalam penyediaan stok uang kartal yang akan diedarkan ke masyarakat tentunya dibutuhkan perdiksi besar nilai tiap-tiap pecahan tersebut agar BI dapat menyiapkan stok uang kartal yang akan dikeluarkan dengan baik. Maka dari itu penelitian ini akan melakukan peramalan akan besar outflow setiap pecahan uang kartal tersebut. Melihat performa yang baik dari ARIMAX dengan Idul Fitri sebagai variabel eksogen pada penelitian-penelitian sebelumnya, maka pada penelitian ini salah satu yang digunakan adalah ARIMAX dengan Idul Fitri sebagai variabel eksogen.

Walaupun pada penelitian-penelitian sebelumnya metode ARIMAX telah memberikan hasil peramalan yang lebih baik, akan tetapi akurasi peramalan ARIMAX sendiri masih harus ditingkatkan. Salah satu cara untuk meningkatkan performa ARIMAX ini adalah dengan menggunakan model hybrid. Model ini mengkombinasikan keuntungan dari model linier dan non-linier. Seperti yang kita tahu, model linier seperti ARIMAX memiliki keuntungan dengan mudahnya ia diinterpretasikan. Di sisi lain, non-linier model diketahui memiliki tingkat akurasi yang tinggi, biasanya untuk data training, akan tetapi sulit untuk diinterpretasikan.

(27)

5

Model hybrid dikenalkan oleh Zhang (2003) dimana ia mengkombinasikan ARIMA sebagai komponen linier dan Artificial Neural Network (ANN) sebagai komponen non-liniernya. Hasil penelitian dari Zhang menunjukkan bahwa hybrid ARIMA-ANN dapat meningkatkan tingkat akurasi peramalan dibandingkan dengan hasil dari peramalan ARIMA saja atau ANN saja secara terpisah. Maka metode hybrid ARIMAX-ANN juga akan digunakan pada penelitian ini untuk melihat apakah tingkat akurasi dari outflow tiap pecahan uang kartal juga dapat menjadi lebih baik ketika menggunakan metode ini. Bukan tidak mungkin struktur data time series tertentu terbentuk dari struktur linier dan non-linier sekaligus (Zhang, 2003). Pada data seperti ini, model ARIMAX hanya dapat menangkap hubungan linier, sehingga komponen non-linier masih ada pada error. Berdasarkan prosedur model hybrid, residual butuh untuk dimodelkan dengan model non-linier.

ANN merupakan model yang dapat membentuk berbagai jenis data non-linier.

Keuntungan menggunakan ANN adalah tidak ada spesifikasi/asumsi khusus yang harus digunakan sebelum membentuk model (Zhang & Berardi, 1998). ANN telah banyak digunakan pada peramalan data time series, seperti pada penelitian Faraway dan Chatfield (1998), juga Prayoga et al (2015).

Pada penelitian-penelitian sebelumnya, metode yang digunakan masih merupakan metode peramalan univariat untuk netflow, outflow, maupun inflow.

Akan tetapi, seperti yang kita tahu bisa saja terdapat hubungan antara outflow uang pecahan yang satu terhadap uang pecahan yang lain. Misalnya, ketika terjadi penambahan outflow uang kartal pecahan Rp 10.000 menjelang hari raya Idul Fitri, outflow uang kartal pecahan Rp 5.000 juga akan mengalami kenaikan, atau malah menurunkan outflow-nya. Secara empiris, didapatkan hasil bahwa antara outflow tiap pecahan uang kartal memang terdapat korelasi atau hubungan yang signifikan pada alpha maksimal 10%. Maka dari itu, penelitian kali ini juga akan melakukan peramalan outflow uang kartal secara multivariat menggunakan metode Vector Autoregressive Integrated with Exogenous Input (dengan Idul Fitri sebagai variabel eksogennya) atau VARI-X. Yang menjadi variabel respon pada metode VARI-X ini adalah outflow pecahan uang kartal Rp 100.000, Rp 50.000, Rp 20.000, Rp 10.000, dan Rp 5.000.

(28)

6

Berdasarkan yang telah diuraikan pada paragraf-paragraf sebelumnya, penelitian kali ini akan melakukan pemodelan dan peramalan outflow beberapa pecahan uang kartal Bank Indonesia mengunakan metode univariat ARIMAX dan hybrid ARIMAX-ANN, juga metode multivariat VARI-X. Penelitian ini dilakukan untuk outflow uang kartal regional Surabaya.

1.2 Rumusan Masalah

Berdasarkan pada latar belakang yang telah diuraikan, adapun lima rumusan masalah yang akan dibahas.

1. Bagaimana deskripsi data outflow uang kartal kertas pecahan Rp 100.000, Rp 50.000, Rp 20.000, Rp 10.000, dan Rp 5.000 yang beredar di Indonesia?

2. Bagaimana pemodelan data outflow uang kartal kertas pecahan Rp 100.000, Rp 50.000, Rp 20.000, Rp 10.000, dan Rp 5.000 yang beredar di Indonesia menggunakan metode ARIMAX?

3. Bagaimana pemodelan data outflow uang kartal kertas pecahan Rp 100.000, Rp 50.000, Rp 20.000, Rp 10.000, dan Rp 5.000 yang beredar di Indonesia menggunakan metode hybrid ARIMAX-ANN?

4. Bagaimana pemodelan data outflow uang kartal kertas pecahan Rp 100.000, Rp 50.000, Rp 20.000, Rp 10.000, dan Rp 5.000 yang beredar di Indonesia menggunakan metode VARI-X?

5. Bagaimana perbandingan kebaikan peramalan data outflow uang kartal kertas pecahan Rp 100.000, Rp 50.000, Rp 20.000, Rp 10.000, dan Rp 5.000 yang beredar di Indonesia?

1.3 Tujuan Penelitian

Berdasarkan rumusan masalah, maka ada lima tujuan penelitian yang akan dicapai.

1. Menganalisa statistika destkriptif dari data outflow tiap pecahan uang kartal kertas yang beredar di Indonesia.

2. Mendapatkan model univariat ARIMAX dengan Idul Fitri sebagai efek variasi kalender pada data outflow tiap pecahan uang kartal kertas yang beredar di Indonesia.

(29)

7

3. Memodelkan data outflow tiap pecahan uang kartal kertas menggunakan metode univariat hybrid ARIMAX-ANN.

4. Membentuk model data outflow pecahan uang kartal kertas secara multivariat dengan metode VARI-X.

5. Mengevaluasi kebaikan peramalan dari setiap model dengan membandingkan akurasi out-sampel setiap model.

1.4 Manfaat Penelitian

Manfaat dari penelitian ini adalah memberikan salah satu alternatif metode peramalan dalam permasalahan peredaran uang kartal di Indonesia. Hasil ramalan tersebut dapat menjadi salah satu cara untuk mengontrol persiapan pencetakan uang kartal oleh Bank Indonesia.

1.5 Batasan Masalah

Dalam penelitian ini hanya akan diramalkan outflow uang kartal dalam bentuk uang kertas senilai pecahan Rp 100.000, Rp 50.000, Rp 20.000, Rp 10.000, dan Rp 5.000. Data ini berupa data outflow bulanan Bank Indoensia regional Surabaya periode Januari 2010 hingga Desember 2015. Variabel prediktor yang dilibatkan hanya variabel dummy hari raya Idul Fitri. ANN yang digunakan di penelitian ini adalah Radial Basis Function Network (RBFN) dengan fungsi aktivasi pada hidden layer nya adalah fungsi Gaussian. Learning pada RBFN dibatasi dengan menggunakan 1 hingga 5 neuron pada hidden layer.

(30)

8

(halaman ini sengaja dikosongkan)

(31)

9 BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

Pada tinjauan pustaka akan dibagi menjadi dua bagian, yaitu bagian tinjauan statistika yang menjelaskan metode yang akan digunakan untuk menunjang penelitian dan bagian tinjauan umum yang menjelaskan studi kasus yang akan diteliti.

2.1 Tinjauan Time Series

Tinjauan time series yang digunakan pada penelitian ini meliputi model Auto- regressive Integrated Moving Average (ARIMA), ARIMA with Exogenous Input (ARIMAX), Vector Autoregressive Integrated with Exogenous Input (VARI-X), Artificial Neural Network (ANN), Pemodelan hybrid, dan pemilihan model terbaik.

2.1.1 Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA)

Metode Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA) merupakan penggabungan antara model Autoregressive (AR) dan Moving Average (MA) serta proses differencing (orde d untuk data non musiman, orde D untuk data musiman) terhadap data time series (Wei, 2006, hal. 72).

Secara umum, model ARIMA non musiman dapat dituliskan sebagai ARIMA (p,d,q) dengan model matematis sebagai berikut:

( )(1 )^d 0 ( )

p B B Zt q B at

     (2.1)

dengan,

(p, d , q) : orde AR (p), differencing (d), MA (q) untuk pola non musiman, )

p(B

 : koefisien komponen AR non musiman dengan derajat p, dengan

2

1 2

( ) (1 ... ^p)

p B B B pB

      )

q(B

 : koefisien komponen MA non musiman dengan derajat q, dengan

2

1 2

( ) (1 ... ^q)

q B B B qB

     

a

t : nilai residual pada waktu ke-t, dengan rata-rata 0 dan varians



_a²,

(32)

10

Sedangkan model ARIMA musiman dapat dituliskan sebagai ARIMA (P,D,Q)^S dengan model matematis berikut (Wei, 2006, hal. 166):

( ^s) ( )(1 ) (1^d ^{s D}) ( ) ( ^s)

p B p B B B Zt q B Q B at

     , (2.2)

dengan:

(P,D,Q)^S : orde AR (P), differencing (D), MA (Q) untuk pola musiman, )

( ^S

p B

 : koefisien komponen AR musiman S ) ...

1 ( )

( ^S ₁ ^S ₂ ²^S _p ^PS

p B   B  B   B



( ^S)

Q B

 : koefisien komponen MA musiman S ) ...

1 ( )

( ^S ₁ ^S ₂ ²^S _Q ^QS

Q B   B  B   B



B)d

1 ( 

: operator untuk differencing orde d,

D

B )S

1

(  : operator untuk differencing musiman S orde D,

2.1.2 Autoregressive Integrated Moving Average with Exogenous Input (ARIMAX)

Model ARIMAX adalah model ARIMA dengan tambahan variabel. Terdapat beberapa jenis tambahan variabel, misalnya variabel-variabel dummy untuk efek variasi kalender dan tren stokastik. Variasi kalender merupakan pola musiman dengan panjang periode yang bervariasi. Variasi kalender bisa disebabkan oleh adanya variasi hari kerja dan variasi hari besar suatu agama/kebudayaan tertentu dari bulan ke bulan hingga tahun ke tahun (Lee & Suhartono, 2010, hal. 353). Model ARIMAX dengan tren stokastik adalah sebagai berikut:

   

    ^ ^  

1 1, 2 2, ... ,

1 1

S

q Q

t t t k k t S d S D t

p

B B

Z V V V a

B B B B

   



     

   , (2.3)

dengan:

t

Vk_, : variabel dummy untuk efek variasi kalender ke-k,

 : koefisien parameter variabel dummy variasi kalender,

(33)

11 2.1.3 Identifikasi Model ARIMAX

Terdapat beberapa tahap dalam melakukan identifikasi model. Langkah pertama dari identifikasi model adalah mengidentifikasi kestasioneran data.

Kemudian jika data telah stasioner, dilakukan identifikasi order ARIMAX berdasarkan Autocorrelation Function (ACF) dan Partial Autocorrelation Function (PACF).

Suatu data harus stasioner baik dalam mean maupun varian. Apabila data belum stasioner dalam varian, maka dilakukan transformasi data. Metode transformasi yang terkenal adalah transformasi Box-Cox yang ditampilkan pada Tabel 3.2 (Wei, 2006:85).

Tabel 2. 1 Bentuk Transformasi Box-Cox Nilai  Transformasi yang sesuai

-1,0

1/ Z

_t

-0,5 1/ Z_t

0

ln( ) Z

_t

0,5 Z_t

1

Z

_t

Apabila data belum stasioner dalam rata-rata, maka dilakukan differencing.

Pengujian ketidakstasioneran dalam rata-rata menggunakan uji Augmented Dickey- Fuller (ADF). Uji ADF merupakan pengembangan dari uji Dickey-Fuller (DF). Uji DF merupakan uji unit root yang menggunakan uji statistik tau (τ) dengan hipotesis:

H0 : δ = 0, H1 : δ ≠ 0.

Statistik uji yang digunakan dalam pengujian ini adalah:

 

ˆ SE ˆ

 

  .

Tolak H0 apabila nilai | τ | > τ tabel atau p-value < α yang menunjukkan bahwa data sudah stasioner dalam rata-rata. Ada tiga jenis pembanding τ , antara lain apabila persamaan uji ADF tanpa intercept / trend menggunakan statistik



_nc^*, apabila

(34)

12

persamaan melibatkan intercept menggunakan statistik



_c^*, dan apabila persamaan melibatkan intercept dan trend menggunakan statistik _tc^* . Nilai-nilai pembanding tersebut ditampilkan pada Tabel 2.2 (Gujarati, 2004:975).

Tabel 2. 2 Tabel Dicky-Fuller

Ukuran Sampel

*



nc



_c^* _tc^*

1% 5% 1% 5% 1% 5%

25 -2.66 -1.95 -3.75 -3.00 -4.38 -3.60

50 -2.62 -1.95 -3.58 -2.93 -4.15 -3.50

100 -2.60 -1.95 -3.51 -2.89 -4.04 -3.45

250 -2.58 -1.95 -3.46 -2.88 -3.99 -3.43

500 -2.58 -1.95 -3.44 -2.87 -3.98 -3.42

-2.58 -1.95 -3.43 -2.86 -3.96 -3.41

Uji DF dilakukan dengan asumsi bahwa αt tidak berkorelasi. Ketika αt berkorelasi, uji DF dikembangkan menjadi uji ADF (Gujarati, 2004, hal. 817). Uji ADF dibagi menjadi uji ADF non-seasonal dan uji ADF seasonal. Persamaan regresi untuk uji ADF seasonal adalah (Enders, 2004):

1. Model Random Walk

1 1 p

t t i t i t

i

Z Z_  Z_ a



  



  ^(2.4)

2. Model dengan intercept atau trend

0 1

1 p

t t i t i t

i

Z  Z_  Z_ a



   



  ^(2.5)

3. Model dengan intercept dan trend

0 1 1

1 p

t t i t i t

i

Z  tr Z_  Z_ a



    



  ^(2.6)

Sedangkan uji ADF seasonal menggunakan model multiplikatif sebagai berikut (Dickey, Hasza, & Fuller, 1984).



¹^^^d^B^d



¹^^¹^B^^²^B²^{ }^^p^B^p



^Z^t ^^a^t ^(2.7)

(35)

13

Statistik uji ADF seasonal diperoleh dengan langkah:

1. Estimator awal ˆ

i dan taksiran residual

a ˆ

_t diperoleh dengan melakukan regresi

d

Zt

 dengan ^dZ_t_₁, ,^dZ_{t p}_ .

2. Melakukan regresi

a ˆ

_t dengan



¹^^^ˆ¹^B^^^ˆ²^B²^ ^^^ˆ^p^B^p



^Z^{t d}^ ^, ^^d^Z^t^¹^{, …,}

d

Zt p_

 untuk mendapatkan estimasi δ dan ˆ

i i

  .

Formula dari ACF untuk identifikasi order ARIMAX adalah sebagai berikut (Wei, 2006, hal. 10):

Cov(Z , Z ) Var(Z ) Var(Z )

t t k

k

t t k

 ^



 , (2.8)

dimana:

ρk : autokorelasi pada lag ke - k, k : 1,2,3,...

Cov(Z , Z ) E(Z

_t _{t k}_



_t

  )(Z

_{t k}_

  )

Var( ) Var( Z

_t

 Z

_{t k}_

)

.

Sedangkan ACF yang digunakan dalam sampel adalah sebagai berikut (Wei, 2006, hal. 20):

  

 

1

2

1

ˆ

n k

t t k

t

k n

t t

Z Z Z Z

Z Z









 







^. ^(2.9)

PACF adalah korelasi antara Zt dan Zt-k setelah pengaruh Zt+1, Zt+2, …, Zt+k-1

dihilangkan. Formula dari PACF adalah sebagai berikut:

ˆ ˆ

Cov[( ), ( )]

ˆ ˆ

Var( ) Var( )

t t t k t k

k

t t t k t k

Z Z Z Z

 ^ ^

 

 

   . (2.10)

(36)

14

Sedangkan PACF yang digunakan dalam sampel adalah sebagai berikut (Wei, 2006, hal. 22):

1 1

1 1, 1

1

ˆ ˆ ˆ

ˆ

1 ˆ ˆ

k

k kj k j

j

k k k

kj j j

  



 

  



 











^, ^(2.11)

dan

1, 1, 1 , 1

ˆ_k _j ˆ_kj ˆ_k _k ˆ_{k k} _j, j 1, 2,..., .k



_  

 

_{ }



_{ }  (2.12)

2.1.4 Estimasi ARIMAX dengan Conditional Least Square (CLS) 2.1.4.1 Estimasi Conditional Least Square untuk Model Autoregressive

Untuk model AR(1) dimana

0 1 0

( )

( ) ( ).

t t t

Z Z a

a Z Z

  



   

    (2.13)

dengan n observasi, residual yang dapat dijumlahkan hanya dari t = 2 hingga t = n.

Fungsi dari conditional sum of square adalah sebagai berikut (Cryer & Chan, 2008, hal. 154):

 

²

0 0 1 0

2

( , ) ( ) (Z )

n

c t t

t

S   Z   _ 





   ^, ^(2.14)

μ0 dan ϕ diestimasi dari nilai masing-masing yang meminimumkan Sc(ϕ,μ0) dari nilai observasi Z1,Z2,…,Zn. Hasil meminimumkan dari penyelesaian μ0 adalah:

 

0

0 1 0

0 2

( , )

2 ( ) ( ) ( 1 ) 0

n c

t t

t

S   Z   Z  

  ^

       





^. ^(2.15)

Solusi untuk μ0 adalah:

0 1

2 2

1 ( 1)(1 )

n n

t t

Z Z

 n 

   ^

 

   







^. ^(2.16)

Untuk n besar,

1

2 2

1 1

n n

t t

Z Z Z

n _  n _ ^ 









^.

(37)

15

Sehingga, tanpa memperhatikan nilai ϕ, persamaan (2.16) tereduksi menjadi:

0

ˆ 1

1 Z Z Z

 

^ ^

     ^. ^(2.17)

Perhitungan ini juga dapat digunakan dalam proses estimasi AR(p) lainnya secara umum (Cryer & Chan, 2008, hal. 155).

Sedangkan hasil meminimumkan dari penyelesaian 𝜙 adalah:

1 1

2

( , )

2 ( ) ( ) ( ) 0

n c

t t t

t

S Z

Z Z Z Z Z Z

 

 _ ^ ^

  



       ^. ^(2.18)

Sehingga solusi ϕ untuk adalah:

1 2

2 1 2

(Z )( )

ˆ

( )

n

t t

t n

t t

Z Z Z

Z Z

 ^ ^





 







^. ^(2.19)

Untuk menggeneralisasi estimasi dari ϕ, model AR(2) dipertimbangkan. Dalam fungsi conditional sum of square, diganti menjadi, sehingga:

2

1 2 1 1 2 2

3

( , , ) ( ) ( ) ( )

n

c t t t

t

S   Z Z Z  Z_ Z  Z_ Z



 





       ^. ^(2.20)

Maka hasil peminimumannya adalah:

1 1 2 2 1

1 3

2 ( ) ( ) ( ) ( ) 0

n c

t t t t

t

S Z Z  Z Z  Z Z Z Z

  ^ ^ ^

           





. (2.21)

yang dapat dituliskan sebagai berikut:

2

1 1 1

3 3

1 2 2

3

( )( ) ( )

( )( ) .

n n

t t t

t t

n

t t

t

Z Z Z Z Z Z

Z Z Z Z



 

 

 



 

    

 

 

  

 

 

 



(2.22)

Jika kedua sisi dari persamaan (2.22) dibagi dengan ²

3( ) ,

n

t_ ZtZ



maka, kecuali

efek terakhir, yang diabaikan asumsi statisoneritas nya:

1 1 1 2

    . (2.23)

(38)

16

Dengan cara yang sama, untuk perhitungan _S_c_/_₂ ₀ menghasilkan:

2 1 1 2

    . (2.24)

Persamaan (2.23) dan (2.24) adalah contoh persamaan Yule-Walker untuk model AR(2). Untuk model stasioner AR(p) secara umum, estimasi conditional least square dari ϕ didapatkan dari penyelesaian persamaan Yule-Walker (Cryer &

Chan, 2008, hal. 156).

2.1.4.2 Estimasi Conditional Least Square untuk Model Moving Average Untuk model MA(1) dimana:

t t t 1

Z a a_ (2.25)

Model MA(1) dapat dituliskan menjadi sebuah model autoregressive dengan infinite order sebagai berikut:

2 3

1 2 3 ...

t t t t t

Z  



Z_ 



Z_ 



Z_  a

Sehingga, conditional least square dapat diaplikasikan lewat pemilihan nilai θ yang meminimumkan:

2 2 3 2

1 2 3

( ) ...

c t t t t t

t t

S  



a 



Z Z_  Z_  Z_   ^(2.26) dimana αt = αt (θ) adalah fungsi series dan parameter θ yang tidak diketahui. Untuk model MA(q) secara umum, dibutuhkan algoritma optimasi numerik (Cryer &

Chan, 2008, hal. 157).

2.1.4.3 Estimasi Conditional Least Square untuk ARIMAX (Model Mixed) Untuk model ARMA(1,1):

1 1

t t t t

Z Z a a

a Z Z a

 

 

  

   (2.27)

Parameternya diestimasi lewat meminimumkan:

2 2

( , )

n

c t

t

S   a





(39)

17 Untuk model umum ARMA(p,q):

1 1 2 2

...

t t t t p t p

t t q t q

a Z Z Z Z

a a a

  

  

  

    

    (2.28)

dengan a_p a_p_₁ ... a_p_{ }₁ _q 0. Semua parameter dapat diperoleh dengan meminimumkan secara numerik (Cryer & Chan, 2008, hal. 158).

2.1.4.4 Asumsi pada Model ARIMAX

Model ARIMAX yang baik adalah yang residualnya memenuhi asumsi white noise dan berdistribusi normal. Arti white noise sendiri adalah residual pada waktu t tidak memiliki korelasi dengan residual pada waktu t – k dimana k = 1,2,3,… . Kondisi white noise dapat diuji dengan pengujian Ljung-Box dengan hipotesis:

H0 :

 

₁

  

₂

... 

_K

 0

H1 : paling tidak ada satu



_k

 0

dimana k = 1, 2,..., K.

Dengan satistik uji:

   

1 ²

2 ˆ

K k K

k

Q n n

n k





 



 ^(2.29)

H0 ditolak jika QK lebih besar nilainya dari _²_{;K p q}_{ } atau p-value > α (Tsay, 2005, hal. 27).

Kenormalan dari residual dapat diperiksa dengan menggunakan uji Kolmogorov Smirnov dengan hipotesis:

H0 : Fn(at) = F0(at) H1 : Fn(at) ≠ F0(at).

Statistik ujinya adalah:

 

0

 

sup

t

n t t

a

D F a F a (2.30)

dimana Fn(at) adalah distribusi kumulatif dari residual dan F0(at) adalah distribusi kumulatif dari distribusi normal. H0 ditolak jika D lebih besar dari D(1-α,n) atau p- value > α.

(40)

18

2.1.5 Vector Autoregressive Integrated with Exogenous Input (VARI-X) Model time series yang paling sederhana yaitu model univariat Autoregressive (AR) yang pertama kali dirumuskan oleh Slutsky, Walker, Yaglom, dan Yule (De Gooijer & Hyndman, 2006, hal. 446). Model AR secara umum dapat dituliskan (Wei, 2006, hal. 33):

p

 

B Zt at

  dimana ^^p

 

^B ^{ }



¹ ^¹^B^^²^B²^{ }^^p^B^p



^(2.31)

Sehingga apabila diuraikan, bentuk persamaan model AR adalah:

1 1 2 2

1

t t t p t p t

p

t i t i t

i

Z Z Z Z a

Z Z a

  



  





    





 ^(2.32)

dengan:

Zt : deret output pada waktu ke-

t

, dengan Z_t  Z_t



, dimana  adalah rata - rata dari deret output,

1

Zt_ : deret input pada waktu ke- t – 1,

2

Zt_ : deret input pada waktu ke- t – 2,

Zt p_ : deret input pada waktu ke- t – p,



1 : parameter Autoregressive (AR) orde 1,



2 : parameter Autoregressive (AR) orde 2,



p : parameter Autoregressive (AR) orde p,

a

t : nilai residual pada waktu ke-

t

, dengan rata-rata 0 dan varians



_a²

Sementara generalisasi dari model AR yaitu model multivariat Vector Auto- regressive (VAR). Model umum untuk VAR(p) dapat dituliskan (Wei, 2006, hal.

394):

 

p B Zt at

 dimana

  

1 2 ²



p

p B  I B B   pB

    (2.33)