Autoregressive Integrated Moving Average with Exogenous Input

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Tinjauan Time Series

2.1.2 Autoregressive Integrated Moving Average with Exogenous Input

Model ARIMAX adalah model ARIMA dengan tambahan variabel. Terdapat beberapa jenis tambahan variabel, misalnya variabel-variabel dummy untuk efek variasi kalender dan tren stokastik. Variasi kalender merupakan pola musiman dengan panjang periode yang bervariasi. Variasi kalender bisa disebabkan oleh adanya variasi hari kerja dan variasi hari besar suatu agama/kebudayaan tertentu dari bulan ke bulan hingga tahun ke tahun (Lee & Suhartono, 2010, hal. 353). Model ARIMAX dengan tren stokastik adalah sebagai berikut:

   

 : koefisien parameter variabel dummy variasi kalender,

11 2.1.3 Identifikasi Model ARIMAX

Terdapat beberapa tahap dalam melakukan identifikasi model. Langkah pertama dari identifikasi model adalah mengidentifikasi kestasioneran data.

Kemudian jika data telah stasioner, dilakukan identifikasi order ARIMAX berdasarkan Autocorrelation Function (ACF) dan Partial Autocorrelation Function (PACF).

Suatu data harus stasioner baik dalam mean maupun varian. Apabila data belum stasioner dalam varian, maka dilakukan transformasi data. Metode transformasi yang terkenal adalah transformasi Box-Cox yang ditampilkan pada Tabel 3.2 (Wei, 2006:85).

Tabel 2. 1 Bentuk Transformasi Box-Cox Nilai  Transformasi yang sesuai

-1,0

1/ Z

-0,5 1/ Z_t

ln( ) Z

0,5 Z_t

Z

Apabila data belum stasioner dalam rata-rata, maka dilakukan differencing.

Pengujian ketidakstasioneran dalam rata-rata menggunakan uji Augmented Dickey-Fuller (ADF). Uji ADF merupakan pengembangan dari uji Dickey-Dickey-Fuller (DF). Uji DF merupakan uji unit root yang menggunakan uji statistik tau (τ) dengan hipotesis:

H0 : δ = 0, H1 : δ ≠ 0.

Statistik uji yang digunakan dalam pengujian ini adalah:

 

ˆ SE ˆ

 

  .

Tolak H0 apabila nilai | τ | > τ tabel atau p-value < α yang menunjukkan bahwa data sudah stasioner dalam rata-rata. Ada tiga jenis pembanding τ , antara lain apabila persamaan uji ADF tanpa intercept / trend menggunakan statistik



_nc^*, apabila

persamaan melibatkan intercept menggunakan statistik



_c^*, dan apabila persamaan melibatkan intercept dan trend menggunakan statistik _tc^* . Nilai-nilai pembanding tersebut ditampilkan pada Tabel 2.2 (Gujarati, 2004:975).

Tabel 2. 2 Tabel Dicky-Fuller

Ukuran

Uji DF dilakukan dengan asumsi bahwa αt tidak berkorelasi. Ketika αt berkorelasi, uji DF dikembangkan menjadi uji ADF (Gujarati, 2004, hal. 817). Uji ADF dibagi menjadi uji ADF non-seasonal dan uji ADF seasonal. Persamaan regresi untuk uji ADF seasonal adalah (Enders, 2004):

1. Model Random Walk

2. Model dengan intercept atau trend

0 1

3. Model dengan intercept dan trend

0 1 1

Sedangkan uji ADF seasonal menggunakan model multiplikatif sebagai berikut (Dickey, Hasza, & Fuller, 1984).



¹^^^d^B^d



¹^^¹^B^^²^B²^{ }^^p^B^p



^Z^t ^^a^t ^(2.7)

Statistik uji ADF seasonal diperoleh dengan langkah:

1. Estimator awal ˆ

i dan taksiran residual

a ˆ

_t diperoleh dengan melakukan regresi

 untuk mendapatkan estimasi δ dan ˆ

i i

  .

Formula dari ACF untuk identifikasi order ARIMAX adalah sebagai berikut (Wei, 2006, hal. 10):

Sedangkan ACF yang digunakan dalam sampel adalah sebagai berikut (Wei, 2006, hal. 20):

dihilangkan. Formula dari PACF adalah sebagai berikut:

ˆ ˆ

Sedangkan PACF yang digunakan dalam sampel adalah sebagai berikut (Wei, 2006, hal. 22):

2.1.4 Estimasi ARIMAX dengan Conditional Least Square (CLS) 2.1.4.1 Estimasi Conditional Least Square untuk Model Autoregressive

Untuk model AR(1) dimana

0 1 0

dengan n observasi, residual yang dapat dijumlahkan hanya dari t = 2 hingga t = n.

Fungsi dari conditional sum of square adalah sebagai berikut (Cryer & Chan, 2008, hal. 154):

μ0 dan ϕ diestimasi dari nilai masing-masing yang meminimumkan Sc(ϕ,μ0) dari nilai observasi Z1,Z2,…,Zn. Hasil meminimumkan dari penyelesaian μ0 adalah:

 

Sehingga, tanpa memperhatikan nilai ϕ, persamaan (2.16) tereduksi menjadi:

Perhitungan ini juga dapat digunakan dalam proses estimasi AR(p) lainnya secara umum (Cryer & Chan, 2008, hal. 155).

Sedangkan hasil meminimumkan dari penyelesaian 𝜙 adalah:

1 1

Sehingga solusi ϕ untuk adalah:

Untuk menggeneralisasi estimasi dari ϕ, model AR(2) dipertimbangkan. Dalam fungsi conditional sum of square, diganti menjadi, sehingga:

Maka hasil peminimumannya adalah:

1 1 2 2 1

yang dapat dituliskan sebagai berikut:

Jika kedua sisi dari persamaan (2.22) dibagi dengan ²

3( ) ,

t_ ZtZ



maka, kecuali

efek terakhir, yang diabaikan asumsi statisoneritas nya:

1 1 1 2

    . (2.23)

Dengan cara yang sama, untuk perhitungan _S_c_/_₂ ₀ menghasilkan:

2 1 1 2

    . (2.24)

Persamaan (2.23) dan (2.24) adalah contoh persamaan Yule-Walker untuk model AR(2). Untuk model stasioner AR(p) secara umum, estimasi conditional least square dari ϕ didapatkan dari penyelesaian persamaan Yule-Walker (Cryer &

Chan, 2008, hal. 156).

2.1.4.2 Estimasi Conditional Least Square untuk Model Moving Average Untuk model MA(1) dimana:

t t t 1

Z a a_ (2.25)

Model MA(1) dapat dituliskan menjadi sebuah model autoregressive dengan infinite order sebagai berikut:

2 3

1 2 3 ...

t t t t t

Z  



Z_ 



Z_ 



Z_  a

Sehingga, conditional least square dapat diaplikasikan lewat pemilihan nilai θ yang meminimumkan: model MA(q) secara umum, dibutuhkan algoritma optimasi numerik (Cryer &

Chan, 2008, hal. 157).

2.1.4.3 Estimasi Conditional Least Square untuk ARIMAX (Model Mixed) Untuk model ARMA(1,1):

Parameternya diestimasi lewat meminimumkan:

17 Untuk model umum ARMA(p,q):

1 1 2 2 meminimumkan secara numerik (Cryer & Chan, 2008, hal. 158).

2.1.4.4 Asumsi pada Model ARIMAX

Model ARIMAX yang baik adalah yang residualnya memenuhi asumsi white noise dan berdistribusi normal. Arti white noise sendiri adalah residual pada waktu t tidak memiliki korelasi dengan residual pada waktu t – k dimana k = 1,2,3,… . Kondisi white noise dapat diuji dengan pengujian Ljung-Box dengan hipotesis:

H0 :

 

₁

  

₂

... 

 0

Kenormalan dari residual dapat diperiksa dengan menggunakan uji Kolmogorov Smirnov dengan hipotesis:

H0 : Fn(at) = F0(at)

dimana Fn(at) adalah distribusi kumulatif dari residual dan F0(at) adalah distribusi kumulatif dari distribusi normal. H0 ditolak jika D lebih besar dari D(1-α,n) atau p-value > α.

2.1.5 Vector Autoregressive Integrated with Exogenous Input (VARI-X) Model time series yang paling sederhana yaitu model univariat Autoregressive (AR) yang pertama kali dirumuskan oleh Slutsky, Walker, Yaglom, dan Yule (De Gooijer & Hyndman, 2006, hal. 446). Model AR secara umum dapat dituliskan (Wei, 2006, hal. 33):

 

B Zt at

  dimana ^^p

 

^B ^{ }



¹ ^¹^B^^²^B²^{ }^^p^B^p



^(2.31)

Sehingga apabila diuraikan, bentuk persamaan model AR adalah:

1 1 2 2

t t t p t p t

t i t i t

Z Z Z Z a

Z Z a

  



  





    





 ^(2.32)

dengan:

Zt : deret output pada waktu ke-

t

, dengan Z_t  Z_t



, dimana  adalah rata - rata dari deret output,

Zt_ : deret input pada waktu ke- t – 1,

Zt_ : deret input pada waktu ke- t – 2,

Zt p_ : deret input pada waktu ke- t – p,



1 : parameter Autoregressive (AR) orde 1,



2 : parameter Autoregressive (AR) orde 2,



p : parameter Autoregressive (AR) orde p,

a

t : nilai residual pada waktu ke-

t

, dengan rata-rata 0 dan varians



_a²

Sementara generalisasi dari model AR yaitu model multivariat Vector Auto- regressive (VAR). Model umum untuk VAR(p) dapat dituliskan (Wei, 2006, hal.

394):

 

p B Zt at

 dimana

  

1 2 ²



p B  I B B   pB

    (2.33)

Maka apabila diuraikan, bentuk dari persamaan model VAR(p) adalah:

1 1 2 2

Untuk bentuk matriks adalah:

1,11 1,12 1,1 2,11 2,12 2,1 dimana  adalah vektor rata-rata dari deret output,

t1

Untuk deret output sebanyak m3 dan orde AR adalah p2 akan dihasilkan persamaan model VAR(2) dalam bentuk matriks yaitu:

1 1 2 2

Sehingga didapatkan persamaan untuk setiap model deret output sebagai berikut:

1,t 1,11 1, 1t 1,12 2, 1t 1,13 3, 1t 2,11 1,t 2 2,12 2,t 2 2,13 3,t 2 1t

Selanjutnya pada penelitian ini, model VAR akan dimodelkan dengan penam-bahan deret input dari variabel dummy. Model tersebut dikenal dengan istilah Vector Autoregressive with Exogenous Input (VARX). Model VARX(p,s*) secara umum dapat dituliskan (Akal, 2015, hal. 106):

 

^**

 

p B Zt s B Xtat

  dimana ^^*^s^*

 

^B ^



^{ }^*⁰^ ^*¹^B^^^*²^B²^{ }^^*^s^*^B^s^*



^(2.36)

Sehingga apabila diuraikan, bentuk dari persamaan model VARX(p,s*) adalah:

* * *

Untuk bentuk matriks adalah:

1,11 1,12 1,1 2,11 2,12 2,1

r : banyak exogenous input,

X

t : vektor exogenous input berukuran r × 1 pada waktu ke- t,

0 : matriks parameter exogenous input orde 0 (waktu ke-t) berukuran m × r,

* adalah p = 2, dan orde exogenous input adalah s* = 1 akan dihasilkan persamaan model VARX(2,1) dalam bentuk matriks yaitu:

* *

1,31 1,32 1,33 2,31 2,32 2,33

3, 3, 1 3,

Sehingga didapatkan persamaan untuk setiap model deret output sebagai berikut:

Kemudian apabila data time series yang digunakan belum bersifat stasioner dalam rata-rata, maka data dapat distasionerkan menggunakan differencing. Model VARX dengan tambahan differencing disebut dengan model VARI-X. Model VARI-X(p,d,s*) secara umum dapat dituliskan (Wei, 2006, hal. 400):

 

^* ^**

 

dengan d merupakan orde dari differencing. Orde differencing hanya dibatasi hingga orde 1. Kemudian model VARI-X(p,1,s*) apabila diuraikan persamaannya adalah: adalah p = 2, dan orde exogenous input adalah s* = 1, serta differencing sebanyak d = 1 akan dihasilkan persamaan VARI-X(2,1,1) dalam bentuk matriks yaitu:

1,31 1,32 1,33 2,31 2,32 2,33

3, 3, 1

1,31 1,32 1,33 2,31 2,32 2,33

3, 3, 1

24 2.1.5.1 Identifikasi Model VARI-X

Dalam analisis time series, tahap yang paling krusial yaitu mengidentifikasi dan membuat model yang sesuai dengan pola data. Identifikasi model pada model univariat menggunakan plot Autocorrelation Function (ACF) dan Partial Auto- correlation Function (PACF), sementara untuk model multivariat dapat dilihat dari Matrix Cross Correlation Function (MCCF) dan Matrix Partial Cross Correlation Function (MPCCF). Menggunakan vektor time series sebanyak n data,

,

, ,

Z Z Z

, maka dapat menghitung MCCF seperti:

 

^k _{ }^^lij

 

^k ^_

l (2.42)

dimana, l_ij

 

k merupakan sample cross-correlations untuk komponen series pada level ke-i dan j yaitu:

dengan Z_i dan Z_j merupakan rata-rata sampel dari komponen series yang berse- suaian (Wei, 2006, hal. 401-405). Barlett (1996) dan Wei (2006) telah menurunkan varians dan kovarians dari besaran korelasi silang yang diperoleh dari sampel.

Apabila hipotesis menyatakan tidak ada korelasi antara

Z

_i dan Z_j maka Barlett

Selanjutnya, ketika deret

Z

_i dan Z_j merupakan deret white noise diperoleh:

  



¹ ^,

Untuk ukuran sampel yang besar, (n − k) pada persamaan (2.46) seringkali diganti dengan n.

Tiao dan Box (1981) menggunakan simbol “+”,“-”, dan “.” Untuk merepresentasikan nilai koefisien korelasi dan matriks cross correlation dengan keterangan sebagai berikut:

1. Simbol “+” merepresentasikan nilai koefisien korelasi yang lebih besar atau sama dengan dari 2 kali estimasi standard error,

2. Simbol “-” merepresentasikan nilai koefisien korelasi yang lebih kecil atau sama dengan dari -2 kali estimasi standard error,

3. Simbol “.” merepresentasikan nilai koefisien korelasi diantara -2 kali estimasi standard error dan 2 kali estimasi standard error (didalam interval),

dengan nilai standard error adalah 1 / n (Tsay, 2005, hal. 344).

Selanjutnya, suatu perhitungan yang berguna untuk mengidentifikasi orde dari model univariat AR adalah Partial Autocorrelation Function (PACF). Matrix Partial Cross Correlation Function (MPCCF) digunakan untuk mengidentifikasi orde model multivariat AR pada lag k dengan notasi ( )k . Persamaan untuk

Apabila model yang terbentuk AR(p), maka ( )k dapat didefinisikan pada persamaan (2.49): persa-maan (2.47) dengan matriks kovarians sampel yaitu (Wei, 2006, hal. 405):

2.1.5.2 Estimasi Parameter Model VARI-X

Estimasi parameter pada model VARI-X identik dengan estimasi parameter model VAR. Menggunakan data time series dengan banyak data (sampel) sebanyak n untuk masing-masing variabel sebanyak m, kita dapat mendefinisikan beberapa notasi sebagai berikut (Lutkepohl, 2005, hal. 69).

Misal VAR(p):

27 pada persamaan (2.34) dapat dituliskan:

ZLA E ,

^vec

 

^Z ^^vec

 

^LA ^^vec

 

^E ^



^A^T ^^^m



^vec

^{ }

^L ^^vec

^{ }

^E ^,



^T m



  

z A C e . (2.53)

Kovarians dari matriks e yaitu:

Σ

 

 

_e , (2.54)

sehingga estimasi Least Square (LS) multivariat disebut Generalized Least Square (GLS) dari C berarti memilih estimator dan meminimalkan ^{S C}

 

^dimana:

 

C e^T



n_e



^¹e

Persamaan (2.55) diminimalkan maka:

 

^C ^^z^T



^ⁿ^^^^e¹



^z^^C^T

^

^A^^^m

^ 

^ⁿ^^^e^¹



^A^T^^^m



^C Dalam meminimalkan S(C) terdapat syarat yaitu turunan pertama bernilai nol dan turunan kedua merupakan matriks definit positif. Oleh karena itu persamaan (2.56) diturunkan terhadap C dan didapatkan hasil:

^^S_

 

^C ^²



^AA^T ^^^e^¹



^C^²



^A^^^^e¹



C ^. ^(2.57)

Persamaan (2.57) disamadengankan nol, sehingga didapatkan persamaan normal yaitu:



^AA^T^^^^e¹

 

^C^ˆ ^ ^A^^^^e¹



^z^. ^(2.58)

dan diperoleh estimasi parameter C^ˆ sebagai berikut.

 

Hessian tersebut merupakan matriks definit positif yang mengkonfirmasi bahwa

ˆC

meminimalkan vektor.



_e merupakan residual least square multivariat dengan ukuran m × m.

Dengan cara yang sama, estimasi parameter model VARI-X diperoleh menggunakan tahapan yang sama dengan VAR. Perlu diperhatikan bahwa apabila model linier multivariat mempunyai variabel eksogen yang berbeda untuk setiap variabel dependennya (deret output), maka estimasi regresinya menggunakan Seemingly Unrelated Regression (SUR).

2.1.5.3 Pengujian Signifikansi Parameter Model VARI-X

Setelah didapatkan estimasi parameter dari model VARI-X, maka parameter tersebut harus dilakukan pengecekan terhadap signifikansi parameter menggunakan kriteria uji t (Lutkepohl, 2005, hal. 80). Hipotesis yang digunakan untuk pengujian signifikansi parameter orde AR pada model VARI-X adalah:



i jk : parameter Autoregressive orde ke-i dengan deret output ke-jk p : orde Autoregressive

m : banyak deret output

Statistik uji untuk parameter adalah:

 

^{i jk}^, ^,

Untuk hipotesis yang digunakan pada pengujian signifikansi parameter exogenous input yaitu:

s* : orde deret exogenous input m : banyak deret output

r : banyak deret exogenous input Statistik uji untuk parameter yaitu:

 

estimasi parameter, n merupakan jumlah pengamatan, np merupakan jumlah parameter yang ditaksir, sementara ^SE

 

^ merupakan nilai standard error dari

estimasi parameter ϕ, dan ^SE

 

^^* merupakan nilai standard error dari estimasi parameter θ^*.

2.1.5.4 Uji Kesesuaian Model VARI-X

Untuk mendapatkan model VARI-X terbaik, setelah mengestimasi dan menguji semua parameter, adapula asumsi yang harus dipenuhi terhadap vektor residual yaitu uji white noise dan uji distribusi normal multivariat.

1. Uji Asumsi White Noise

Pengujian asumsi white noise ini bertujuan untuk mengetahui signifikansi secara keseluruhan pada autokorelasi vektor residual. Uji yang digunakan dapat diperoleh berdasarkan hasil MCCF dari residual VARI-X dengan perhitungan MCCF seperti pada Subbab 2.1.5.1 sebelumnya.

2. Uji Asumsi Distribusi Normal Multivariat

Uji asumsi distribusi normal multivariat dilakukan untuk mengetahui apakah vektor residual berdistribusi normal multivariat atau tidak. Pengujian dilakukan menggunakan uji normalitas multivariat Shapiro-Wilk (Alva & Estrada, 2009, hal.

1872). Jika diberikan

e e

₁

, ,

₂

, e

_n merupakan vektor residual yang independen dan identik dalam R^m, m1. Misalkan Nm



0^,_e



merupakan densitas normal m-variate dengan vektor mean 0 dan matriks kovarians



_e. Ketika

e e

₁

, ,

₂

, e

mengikuti Nm



0^,_e



maka i S^^1/2



eie





0^,_e



dengan S^^{1/ 2}

merupakan akar kuadrat dari matriks definit positif S^¹. Sehingga, hipotesis yang akan digunakan yaitu:

:

H

Vektor residual merupakan sampel dari distribusi Nm



0^,_e



:

H

Vektor residual bukan merupakan sampel dari distribusi Nm



0^,_e



. Statistik uji yang digunakan dalam pengujian ini yaitu:

W W

m _





^ ^,

31 dengan

W_i merupakan statistik Shapiro-Wilk pada level ke-i dari observasi yang telah ditransformasi

 

_i₁

,

_i₂

, , 

_in, i1, 2, ,m.

Tolak H0 apabila nilai W^*c__;__{n m}_, _ atau p-value < α yang menunjukkan bahwa vektor residual tidak memenuhi asumsi distribusi normal multivariat.

2.1.6 Radial Basis Function Network (RBFN)

Artificial Neural Network (ANN) atau jaringan saraf tiruan adalah sebuah system proses informasi yang memiliki karakteristik performa tertentu dalam jaringan saraf biologis. ANN telah dikembangkan sebagai generalisasi model matematis dari kesadaran manusia atau saraf biologi, berdasarkan asumsi-asumsi sebagai berikut:

1. Pemrosesan informasi terjadi pada banyak simple element yang disebut neuron.

2. Sinyal dilewatkan di antara neuron di atas connection links.

3. Masing-masing connection link memiliki bobot yang dikalikan dengan sinyal yang ditransmisi.

4. Masing-masing neuron menggunakan fungsi aktivasi (biasanya nonlinier) pada net input (jumlahan sinyal input terboboti) untuk menentukan sinyal output.

Sebuah neural network digolongkan berdasarkan pola connection di antara neuron (disebut juga arstitektur), metode dalam mentukan bobot dari connection (disebut training, learning, atau algoritma), dan fungsi aktivasi (Fausett, 1994, hal.

3).

Beberapa jenis desain neural networks antara lain back-propagation (feed forward), recurrent network, self-organizing map, radial basis function network, dan sebagainya. Terdapat beberapa komponen yang harus dipertimbangkan dalam metode ANN modeling, yaitu neuron, layer, fungsi aktivasi, dan bobot. Komponen-komponen ini akan sangat mempengaruhi dalam menentukan model ANN karena pembentukan model ANN didasarkan pada jumlah neuron dalam input layer, hidden layer, dan output layer serta fungsi aktivasi (Kusumadewi, 2004).

Secara umum Radial Basis Function Network (RBFN) memiliki komponen yang sama dengan ANN lainnya, yaitu memiliki neuron, fungsi aktivasi, dan bobot (weight). Pemodelan RBFN dilihat pada bentuk jaringan yang terdiri dari jumlah neuron pada input layer, jumlah neuron pada hidden layer, jumlah output pada output layer, serta fungsi aktivasi yang digunakan. Pada tiap node di hidden layer RBFN menggunakan Radial Basis Function (RBF) yang dilambangkan dengan

)

(r . Fungsi aktivasi ini merupakan fungsi aktivasi nonlinier. RBFN dapat mencapai solusi optimal yang global dengan menyesuaikan bobot dalam nilai MSE minimum menggunakan metode optimasi linier. Contoh pencarian output dari arsitektur RBFN pada gambar 2.1 dihasilkan dari persamaan berikut (Swammy, 2006, hal. 252).

( ) (|| ||)

m i i

F w





 

x (2.62)

dengan: F( )x Z_t = output RBFN

w

i = bobot (weight) dari hidden unit ke-i menuju output unit

||.|| = Euclidean Norm

)

(r = Fungsi Aktivasi

Fungsi aktivasi yang biasa digunakan dalam RBFN adalah fungsi Gaussian, yaitu:

 

2 2

x c

x e 2

i i





 

 (2.63)

dengan ci merupakan center dari hidden unit ke-i, yang pada penelitian ini menggunakan rata-rata dari data.

33 x2

Input Layer (lag dependent var.)

Output Layer (dependent var.)

Hidden Layer

w (weight) φ0 =1 (bias)

Gambar 2.1 Contoh arsitektur model RBFN

Berikut adalah ulasan lebih lanjut tentang contoh-contoh arsitektur dari RBFN.

Gambar 2.2 merupakan contoh arsitektur model RBFN dengan 1 input, 2 hidden nodes, dan 1 output. Persamaan matematis dari arsitektur RBFN pada gambar 2.2 adalah sebagai berikut:

 

² 0 2 2

(|| ||) 1 1( ) ( )

F x wi w w w





      ^(2.64)

dengan

2 2

1, 1,1 1, 1,2

2 2 2

1, 1

1 1,2

( ) exp dan ( ) exp

2 2

i i

x x x x

  



       

     

     

     

   

   

34 x1

φ1

φ2

Input Layer (lag dependent var.)

Output Layer (dependent var.) Hidden Layer

w (weight) φ0 =1 (bias)

Gambar 2.2 Arsitektur model RBFN dengan 1 input, 2 hidden nodes, dan 1 output

φ1

φ2

φ3

Input Layer (lag dependent var.)

Output Layer (dependent var.)

Hidden Layer

w (weight) φ₀ =1 (bias)

w₀ w₁

w₂

Gambar 2.3 Arsitektur model RBFN dengan 1 input, 3 hidden nodes, dan 1 output

Gambar 2.3 merupakan contoh arsitektur model RBFN dengan 1 input, 3 hidden nodes, dan 1 output. Persamaan matematis dari arsitektur RBFN pada gambar 2.3 adalah sebagai berikut:

Gambar 2.4 merupakan contoh arsitektur model RBFN dengan 2 input, 2 hidden nodes, dan 1 output. Persamaan matematis dari arsitektur RBFN pada gambar 2.4 adalah sebagai berikut:

Gambar 2. 4 Arsitektur model RBFN dengan 2 input, 2 hidden nodes, dan 1 output

Dan Gambar 2.5 merupakan contoh arsitektur model RBFN dengan 2 input, 3 hidden nodes, dan 1 output. Persamaan matematis dari arsitektur RBFN pada gambar 2.5 adalah sebagai berikut:

 

² 0 1 1 2 2 3 3

Gambar 2. 5 Arsitektur model RBFN dengan 2 input, 3 hidden nodes, dan 1 output

37 2.1.7 Pemodelan Hybrid

ARIMA dan ARIMAX adalah model linier, sehingga model-model ini tidak dapat membaca pola data non-linier, tetapi kedua model ini mudah untuk diinterpretasikan. Sebaliknya, ANN adalah salah satu model non-linier yang baik, akan tetapi hasilnya sulit untuk diinterpretasikan. Pemodelan Hybrid ini dimaksudkan untuk menambah keakuratan peramalan data dari model linier yang mudah diinterpretasikan dengan mengkombinasikan model linier dengan model non-linier. Struktur dari pemodelan hybrid ini adalah

t t t

Z  L R (2.68)

Dimana Lt adalah komponen linier dan Rt adalah komponen non-linier (Zhang G.

P., 2003).

Estimasi model ini dilakukan dengan dua tahap. Pertama, memodelkan komponen linier sehingga residual dari model linier ini hanya akan mengandung hubungan non-linier. Dengan αt merupakan residual pada waktu ke- t dari model linier, maka

t t t

a  Z L (2.69)

Dimana ˆ

Lt adalah nilai peramalan dari model linier pada waktu ke- t. Langkah selanjutnya adalah memodelkan αt dengan ANN. Residual dari model linier ini adalah



1, 2, ,



t t t t k t

t t

a f a a a



  

 

(2.70)

Dimana f adalah fungsi non-linier yang didapatkan dari ANN dan ˆ

Rt adalah hasil peramalan dari ANN pada waktu ke- t. Sehingga, model dari hybrid ARIMAX-ANN adalah

t t ˆt t

Z   L R  (2.71)

38 2.1.8 Uji Terasvirta

Uji non linieritas data dapat digunakan dengan Uji Terasvirta. Uji Terasvirta termasuk dalam kelompok uji Lagrange Multiplier (LM) dengan pendekatan ekspansi Taylor yang menggunakan statistik uji χ² dengan derajat bebas v. Prosedur uji Terasvirta dijelaskan sebagai berikut (Terasvirta, Lin, & Granger, 1993):

A. Meregresikan Yt pada 1, Yt-1, …, Yt-p dan menghitung nilai-nilai residual

u ˆ

_t _.

B. Meregresikan

u ˆ

_t pada 1, Yt-1, …, Yt-p dan v prediktor tambahan suku kuadratik dan kubik yang memrupakan hasil dari pendekatan ekspansi Taylor.

C. Meghitung koefisien determinasi (R²) dari regresi pada langkah sebelumnya.

D. Menghitung statistik uji χ² = nR² dengan n adalah jumlah pengamatan.

Hipotesis yang digunakan adalah sebagai berikut:

H0 : model linier H1 : model non-linier

Statistik uji χ² mengikuti distribusi



_v², keputusan tolak H0 jika p-value dari statistik uji χ² kurang dari taraf nyata / alpha.

2.1.9 Pemilihan Model Terbaik

Pemilihan model terbaik menggunakan kriteria in-sample dan out-sample dengan membandingkan nilai Root Mean Squared Error (RMSE). Formula dari perhitungan RMSE adalah sebagai berikut:

 

RMSE 1





^N ^Z^t^Z^t

N t (2.72)

dengan:

Z

t = vektor deret output pada waktu ke-

t

Zt = vektor estimasi deret output pada waktu ke-

t

, N = jumlah ramalan yang dilakukan.

39 2.2 Tinjauan Umum

Tinjauan umum yang akan dibahas pada penelitian ini menjelaskan mengenai peran dan fungsi dari Bank Indonesia.

2.2.1 Bank Indonesia

Bank Indonesia merupakan bank sentral Republik Indonesia. Bank Indonesia mempunyai satu tujuan tunggal yaitu mencapai dan menjaga kestabilan nilai Rupiah. Bank Indonesia mempunyai kewenangan dalam mengeluarkan dan menge- darkan uang dengan pencapaian pemenuhan kebutuhan akan uang kartal di masya-rakat dengan nominal yang cukup, jenis pecahan yang sesuai, tepat waktu, dan da- lam kondisi yang layak edar (clean money policy) (Bank Indonesia, 2013). Dalam pengelolaan pengedaran uang ini, salah satunya dapat dilakukan dengan peramalan peredaran uang kartal. Peredaran uang kartal ini dibagi menjadi dua sebagai berikut:

1. Inflow merupakan informasi mengenai aliran uang kertas dan uang logam yang masuk dari perbankan dan masyarakat ke Bank Indonesia, terdiri dari setoran bank umum, setoran non-bank, kas keliling dalam rangka hasil penukaran, penyetoran dalam rangka kas titipan di bank umum, dan penyetoran lainnya.

2. Outflow merupakan informasi mengenai aliran uang kertas dan uang logam yang keluar dari Bank Indonesia kepada perbankan dan masyarakat, terdiri dari penarikan bank umum, penarikan non-bank, kas keliling dalam rangka penukaran, penarikan dalam rangka kas titipan di bank umum, dan penarikan lainnya.

(Halaman Ini Sengaja Dikosongkan)

41 BAB III

METODOLOGI PENELITIAN 3.1 Sumber Data

Data yang digunakan dalam penelitian ini merupakan data sekunder berupa data bulanan outflow tiap pecahan uang kartal dari Surabaya, mulai tahun 2010 hingga 2015, yang diperoleh dari Bank Indonesia. Data yang digunakan dibagi menjadi dua bagian yaitu data bulan Januari 2010 hingga Desember 2014 sebagai data in-sample (60 data) dan data bulan Januari 2015 hingga Desember 2015 sebagai data out-sample (12 data).

3.2 Variabel Penelitian

Berdasarkan tujuan penelitian, maka variabel penelitian yang digunakan ada dua macam sebagai berikut:

1. Variabel Respon

Z1,t = Outflow uang kartal pecahan Rp 100.000 pada bulan ke-t Z2,t = Outflow uang kartal pecahan Rp 50.000 pada bulan ke-t Z3,t = Outflow uang kartal pecahan Rp 20.000 pada bulan ke-t Z4,t = Outflow uang kartal pecahan Rp 10.000 pada bulan ke-t Z5,t = Outflow uang kartal pecahan Rp 5.000 pada bulan ke-t 2. Variabel Prediktor

Variabel prediktor / eksogen yang terlibat pada penelitian ini hanyalah variabel eksogen non-matriks berupa dummy hari raya Idul Fitri sebagai berikut.

, 1

Vi t_ = Variabel dummy bernilai 1 pada satu bulan sebelum hari raya Idul Fitri dan bernilai 0 pada bulan lainnya pada minggu ke-i.

(dinamakan Vi,t– pada model VARI-X)

Vi t = Variabel dummy bernilai 1 pada bulan hari raya Idul Fitri dan bernilai 0 pada bulan lainnya pada minggu ke-i.

, 1

Vi t_ = Variabel dummy bernilai 1 pada satu bulan setelah hari raya Idul Fitri dan bernilai 0 pada bulan lainnya pada minggu ke-i.

(dinamakan Vi,t+ pada model VARI-X) ke-3, tanggal 15 hingga 21 ke-4, tanggal 22 hingga 31

Akan tetapi, mulai tahun 2010 hingga 2015 tidak terdapat hari raya yang terjadi pada minggu ke-1. Sehingga didapatkan variabel dummy hari raya Idul Fitri pada tahun 2010 hingga 2015 yang ditampilkan pada Tabel 3.1.

Tabel 3.1 Variabel Dummy Hari Raya Idul Fitri

Tahun Idul Fitri Variabel Dummy Tahun Idul Fitri Variabel Dummy

2010

bulan lainnya bulan lainnya

V2,t ^1,

bulan lainnya bulan lainnya

2, 1t

bulan lainnya bulan lainnya

2011

bulan lainnya bulan lainnya

V4,t ^1,

bulan lainnya bulan lainnya

4, 1t

bulan lainnya bulan lainnya

2012

bulan lainnya bulan lainnya

V3,t ^1,

bulan lainnya bulan lainnya

3, 1t

bulan lainnya bulan lainnya

Variabel eksogen yang dimasukkan pada VARI-X cukup variabel Vi,t–1 saja (Vi,t–

), karena dengan menggunakan orde 2 untuk orde variabel eksogennya (s*=2), akan memunculkan pengaruh bulan hari raya Idul Fitri (Vi,t) dan 1 bulan setelah hari raya Idul Fitri (Vi,t+).

43 3.3 Langkah Analisis

Langkah-langkah analisis yang dilakukan untuk mencapai tujuan dari penelitian ini sebagai berikut:

1. Untuk menjawab tujuan pertama, melakukan analisis deskriptif terhadap seluruh data uang kartal kertas pecahan Rp 100.000, Rp 50.000, Rp 20.000,

Dalam dokumen PERAMALAN OUTFLOW TIAP PECAHAN UANG KARTAL DENGAN METODE ARIMAX, HYBRID ARIMAX-ANN, DAN VARI-X (Studi Kasus Bank Indonesia Regional Surabaya) (Halaman 32-0)