PEMODELAN REGRESI NONLINIER MENGGUNAKAN METODE GAUSS NEWTON PADA INDEKS HARGA SAHAM GABUNGAN LQ-45 TAHUN SKRIPSI

(1)

PEMODELAN REGRESI NONLINIER MENGGUNAKAN METODE GAUSS NEWTON PADA INDEKS HARGA

SAHAM GABUNGAN LQ-45 TAHUN 2015 - 2019

SKRIPSI

NURDIANA RAHMADANI HARAHAP 160803002

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN 2020

(2)

PEMODELAN REGRESI NONLINIER MENGGUNAKAN METODE GAUSS NEWTON PADA INDEKS HARGA

SKRIPSI

DIAJUKAN UNTUK MELENGKAPI TUGAS DAN MEMENUHI SYARAT MENCAPAI GELAR SARJANA SAINS

NURDIANA RAHMADANI HARAHAP 160803002

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN 2020

(3)

(4)

(5)

ABSTRAK

Metode numerik adalah suatu teknik untuk memformulasikan masalah matematika sehingga dapat diselesaikan dengan operasi aritmetika yang terdiri dari operasi tambah, kurang, kali dan bagi. Solusi yang dihasilkan adalah solusi pendekatan / hampiran (approxomation), solusi hampiran tidak sama dengan solusi sejati, sehingga ada selisih antara keduanya yang disebut galat atau error. Algoritma Gauss Newton atau disebut juga metode linierisasi adalah suatu prosedur iterasi yang digunakan untuk memecahkan masalah kuadrat terkecil (least squre) pada fungsi jumlah kuadrat untuk meminimumkan suatu fungsi dengan syarat orde pertama.

Dalam tulisan ini akan dibahas tentang penaksiran parameter regresi nonlinier menggunakan algoritma Gauss Newton. Dimulai dengan penduga fungsi ( ) ( ) dan dugaan awal parameter dan dan kuadrat terkecil . Perhitungan terus berulang sampai pada iterasi keenam diperoleh parameter dan dan kuadrat terkecil , sehingga pemodelan regresi nonlinier pada indeks harga saham gabungan LQ-45 tahun 2015-2019 adalah ( ) ( ).

Kata kunci: Regresi Nonlinier, Ordinary Least Squares , Gauss Newton

(6)

ABSTRACT

The numerical method is a technique for formulating mathematical problems so that it can be solved by arithmetic operations consisting of add, subtract, multiply and divide operations. The resulting solution is an approach / approximation solution, an approximation solution is not the same as a real solution, so there is a difference between the two which is called an error. Gauss Newton algorithm or also called linearization method is an iteration procedure that is used to solved the problem of the least squares in the function of the sum of square ton minimize a function with order conditions. In this paper we will discuss the estimation of nonlinear regression parameters using the Newton Gauss algorithm. Starting with the function estimator ( ) ( )and the initial estimate and and the smallest square is . The calculation keeps repeating until the sixth iteration is obtained the parameters and and the smallest square is , so that the nonlinear regression modeling of Indonesian composite indekx LQ-45 2015-2019 is ( ) ( ).

Keywords: Nonlinear Regression, Ordinary Least Squares, Gauss Newton.

(7)

(8)

DAFTAR ISI

Halaman

PERSETUJUAN i

PENGESAHAN SKRIPSI ii

ABSTRAK iii

ABSTRACT iv

PENGHARGAAN v

DAFTAR ISI vi

DAFTAR TABEL viii

DAFTAR LAMPIRAN ix

BAB 1 PENDAHULUAN 1

1.1 Latar Belakang 1.2 Rumusan Masalah 1.3 Batasan Masalah 1.4 Tujuan Penelitian 1.5 Manfaat Penelitian

1 3 3 4 4

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 5

2.1 Saham

2.2 Nilai Tukar Rupiah 2.3 Matriks

2.3.1 Transpose Matriks 2.3.2 Matriks Invers 2.4 Deret Taylor 2.5 Regresi Nonlinier

2.6 Ordinary Least Squares (OLS) 2.7 Gauss Newton

5 6 6 7 7 8 10 11 15

BAB 3 METODE PENELITIAN 18

3.1 Penelitian

3.1.1 Jenis Penelitian

3.1.2 Lokasi dan Waktu Penelitian

3.1.3 Jenis dan Teknik Pengumpulan Data 3.1.4 Variabel Penelitian

3.2 Analisis Data

3.3 Langkah-Langkah Analisis Data

18 18 18 18 19 19 19

(9)

BAB 4 HASIL DAN PEMBAHASAN 20 4.1 Menentukan Fungsi dan Dugaan Awal Parameter

4.2 Menghitung Penduga Nilai Fungsi Berdasarkan Nilai Awal 4.3 Menghitung Nilai Penyimpangan dari Hasil Penduga Nilai

Fungsi

21 22 24 4.4 Menghitung Penduga Kuadrat Terkecil ( )

4.5 Menghitung Turunan Parsial dari Fungsi Terhadap Parameter Berdasarkan Nilai Awal

25 27 4.6 Menghitung Nilai Awal ( ) pada Iterasi Pertama

4.7 Menghitung Penduga Kuadrat Terkecil ( ) pada Ietrasi Pertama

29 30 4.8 Proses Perhitungan Ulang 4.5 Mencari Penduga Kuadrat

Terkecil

32 4.9 Penduga Kuadrat Terkecil yang Konvergen 46

BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN 47

5.1 Kesimpulan 5.2 Saran

47 47

DAFTAR PUSTAKA 48

(10)

DAFTAR TABEL

Nomor Judul Halaman

Tabel

4.1 Data Penelitian 20

4.2 Penduga Nilai Fungsi Berdasarkan Nilai Awal 22 4.3 Nilai Penyimpangan dari Hasil Penduga Nilai Fungsi 24

4.4 Penduga Kuadrat Terkecil ( ) 26

4.5 Penduga Kuadrat Terkecil ( ) pada Iterasi Pertama 30 4.6 Penduga Kuadrat Terkecil ( ) pada Iterasi Kedua 33 4.7 Penduga Kuadrat Terkecil ( ) pada Iterasi Ketiga 36 4.8 Penduga Kuadrat Terkecil ( ) pada Iterasi Keempat 38 4.9 Penduga Kuadrat Terkecil ( ) pada Iterasi Kelima 41 4.10 Penduga Kuadrat Terkecil ( ) pada Iterasi Keenam 44

4.11 Hasil Iterasi dan SSE 46

(11)

DAFTAR LAMPIRAN

Nomor Judul Halaman

Lampiran

1. Data Nilai Tukar Rupiah dan Saham Gabungan LQ-45 Tahun 2015-2019

50 2. Nilai Tukar Rupiah dan Saham Gabungan LQ-45 Tahun 2015-

2019 dikali

51

3. Turunan Parsial dari Fungsi terhadap dan 53

9. Proses Mencari dengan Aplikasi R 63

(12)

BAB 1 PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Saham adalah surat berharga yang menunjukkan adanya kepemilikan seseorang atau badan hukum terhadap perusahaan penerbit saham. Misalnya seseorang memiliki saham perusahaan, ini merupakan bukti bahwa orang tersebut turut menyertakan modal terhadap perusahaan. Semakin tinggi harga saham sebuah perusahaan, maka terindikasi bahwa perusahaan memiliki kinerja saham yang baik. Hal ini akan menarik minat investor untuk membeli saham perusahaan. Harga suatu saham dipengaruhi oleh banyak faktor diantaranya faktor mikro ekonomi dan faktor makro ekonomi. Faktor mikro ekonomi meliputi kinerja perusahaan yang masih dapat dikendalikan perusahaan seperti rasio profitabilitas, rasio leverage, rasio pasar.

Faktor makro ekonomi berasal dari luar perusahaan yang tidak dapa dikendalikan oleh perusahaan seperti nilai tukar dan inflasi.

Nilai tukar atau kurs adalah nilai mata uang tertentu yang dapat ditukar terhadap satu unit mata uang lain. Nilai tukar rupiah terhadap mata uang lainnya berpengaruh terhadap laba suatu perusahaan, karena perusahaan yang menggunakan bahan produksi dari luar negeri akan mengalami peningkatan nilai hutang apabila nilai mata uang rupiah terhadap mata uang asing menurun atau terdepresiasi, nilai tukar juga sangat berpengaruh bagi perusahaan yang ingin melakukan investasi.

Sehingga jika kondisi nilai tukar rupiah diperkirakan buruk, maka kemungkinan besar refleksi pada indeks harga saham yang akan menurun. Hal ini karena pelemahan nilai tukar rupiah terhadap mata uang asing merupakan sinyal negatif bagi investor sehingga akan mempengaruhi harga saham tersebut. Nilai tukar rupiah merupakan salah satu variabel yang paling dominan yang dapat mempengaruhi indeks harga saham dan diperhatikan oleh investor untuk menempatkan dananya di pasar modal karena adanya capital gain dalam jangka pendek yang hendak diraih oleh investor.

(13)

Metode Numerik adalah teknik di mana masalah matematika diformulasikan sedemikian rupa sehingga dapat diselesaikan oleh pengoperasian aritmetika , metode numerik adalah teknik-teknik yang digunakan untuk merumuskan masalah matematika agar dapat diselesaikan hanya dengan operasi hitungan, yang terdiri dari operasi tambah, kurang, kali dan bagi. Terdapat banyak jenis metode numerik, namun pada dasarnya, masing -masing metode tersebut memiliki karakteristik umum, yaitu selalu mencakup sejumlah kalkulasi aritmetika. Jadi metode numerik adalah suatu teknik untuk memformulasikan masalah matematika sehingga dapat diselesaikan dengan operasi aritmetika yang terdiri dari operasi tambah, kurang, kali dan bagi.

Metode numerik dalam menyelesaikan persamaan nonlinier adalah metode Newton Raphson, Secant, Gauss Newton dan lainya. Setiap metode memiliki kelebihan dan kekurangan. Metode Newton Raphson untuk turunan persamaan cukup sulit untuk diperoleh, metode Secant pada kecepatan konvergennya lebih lambat dari metode Newton Rapshon. Metode Gauss Newton merupakan sebuah modifikasi metode Newton Raphson untuk mengoptimalakan sebuah fungsi.

Penggunaan metode Gauss Newton pada penelitian karena metode Gauss Newton merupakan modifikasi dari Newton Raphson sehingga metode ini lebih baik dari sebelumnya dan turunan persamaannya dibatasi pada turunan pertama.

Metode Gauss Newton merupakan metode iteratif yang sangat efesien yang digunakan untuk menyelesaikan masalah least squares. Metode Gauss Newton dapat meminimumkan jumlah kuadrat galat. Konsep yang mendasari teknik tersebut adalah uraian deret Taylor yang digunakan untuk menyatakan persamaan nonlinier. Dengan demikian, teori kuadrat terkecil dapat digunakan untuk memperoleh taksiran-taksiran baru dari parameter yang bergerak kearah yang meminimumkan galat tersebut.

Nurul Hidayat (2019) meneliti pengaruh nilai tukar mata uang rupiah dengan US Dollar terhadap harga saham di Bursa Efek Indonesia (BEI) setelah Intial Public Offering. Berdasarkan hasil pengujian hipotesis simultan menunjukkan bahwa secara simultan model terbentuk memprediksi nilai tukar mempengaruhi harga saham dan menunjukkan pertukaran individu memiliki pengaruh signifikan terhadap harga saham.

(14)

Jaya et al., (2017) meneliti pemodelan distribusi temperature kedalaman laut di selatan pulau Jawa dengan metode Gauss Newton. Hasil penelitian ini menunjukkan bahwa model terbaik untuk pemodelan distribusi temperature kedalaman laut pada deret Gaussian orde 2 dan 3.

Suwanti et al., (2016) meneliti pemodelan variasi nilai percepatan gravitasi di daerah khatulistiwa dengan menggunakan metode Gauss Newton. Hasil penelitian ini menunjukkan model berupa sebuah persamaan fungsi variasi gravitasi pada deret Fourier orde 8.

Berdasarkan uraian tersebut maka penulis tertarik untuk meneliti dengan judul penelitian “Pemodelan Regresi Nonlinier Menggunakan Metode Gauss Newton pada Indeks Harga Saham Gabungan LQ-45 Tahun 2015-2019 di Indonesia”.

1.2 Rumusan Masalah

Permasalahan yang akan dibahas dalam penulisan tugas akhir ini adalah indeks LQ- 45 merupakan gabungan harga saham yang berkapitalisasi besar. Harga saham tidak menetap pada nilai yang sama, sehingga investor yang ingin berinvestasi akan sangat efisien jika dapat memprediksi harga saham untuk mempersiapkan modalnya pada pasar saham. Metode Gauss Newton dapat memberikan pemodelan indeks LQ-45 yang diharapkan dapat memprediksi harga saham.

1.3 Batasan Masalah

Berdasarkan rumusan masalah diatas maka batasan dari penulisan tugas akhir ini adalah:

a. Data yang digunakan adalah nilai tukar rupiah tahun 2015-2019 dan indeks harga saham gabungan LQ-45 tahun 2015-2019 di Indonesia.

b. Metode yang digunakan adalah Ordinary Least Squares (OLS), Deret Taylor dan Gauss Newton.

c. Model regresi nonlinier yang digunakan adalah fungsi eksponensial.

(15)

1.4 Tujuan Penelitian

Berdasarkan perumusan masalah yang ada, maka tujuan dari penulisan tugas akhir ini adalah mengetahui pemodelan regresi nonlinier menggunakan metode Gauss Newton pada indeks harga saham gabungan LQ-45 tahun 2015-2019.

1.5 Manfaat Penelitian

Manfaat dari penulisan tugas akhir ini adalah :

a. Mamperoleh suatu model persamaan regresi nonlinier yang mempermudah prediksi harga saham berdasarkan nilai tukar rupiah.

b. Bagi penulis penelitian ini diharapkan dapat memberikan pengalaman dan sebagai pengaplikasian ilmu yang telah diperoleh selama kuliah.

(16)

BAB 2

TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Saham

Menurut Pandji Anoraga dan Piji Pakarti (2001:54) saham merupakan surat tanda penyertaan atau pemilikan seseorang atau badan terhadap perusahaan yang menerbitkan saham tersebut. Saham merupakan salah satu instrumen pasar modal yang paling diminati investor karena memberikan tingkat keuntungan yang menarik.

Saham dapat didefinisikan sebagai tanda kepemilikan modal seorang atau sepihak (badan usaha) dalam suatu perusahaan atau perseroan terbatas. Dengan menyertakan modal tersebut, maka pihak tersebut memiliki klaim atas pendapatan perusahaan, klaim atas aset perusahaan, dan berhak hadir dalam rapat umum pemegang saham.

Harga saham merupakan harga penutupan pasar saham selama periode pengamatan untuk tiap-tiap jenis saham yang dijadikan sampel dan pergerakannya senantiasa diamati oleh para investor. Sartono Agus (2008:70) menyatakan bahwa

“Harga saham terbentuk melalui mekanisme permintaan dan penawaran di pasar modal. Apabila suatu saham mengalami kelebihan permintaan, maka harga saham cenderung naik. Sebaliknya, apabila kelebihan penawaran maka harga saham cenderung turun”.

Pasar modal, secara sederhana adalah pasar tempat bertemunya pihak yang butuh modal dengan pihak yang ingin berinvestasi pada produk keuangan. Setiap negara tentunya memiliki pasar modal. Pasar modal di Indonesia adalah PT. Bursa Efek Indonesia (BEI). BEI memiliki indeks saham yang dinamakan IHSG (Indeks HargaSaham Gabungan). Indeks saham adalah sebuah indikator yang menunjukkan pergerakan harga sekelompok saham. Di Indonesia ada 16 jenis indeks saham yang resmi diakui di Bursa Efek, salah satunya indeks LQ-45. Indeks LQ-45 merupakan indeks yang terbentuk hanya dari 45 jenis saham terpilih berdasarkan likuiditas pasar dan kapitalisasinya. Pergerakan IHSG secara signifikan dapat dipengaruhi oleh

(17)

indeks harga saham LQ-45 karena indeks LQ-45 merupakan gabungan harga saham yang berkapitalisasi besar.

2.2 Nilai Tukar

Kurs atau nilai tukar digunakan untuk menyesuaikan perbedaan nilai mata uang domestik terhadap mata uang asing dalam melakukan transaksi internasional.

Dengan kata lain, kurs atau nilai tukar berperan penting dalam mendukung kelancaran transaksi internasioal, baik perdagangan barang dan aset-aset finansial yang dilakukan antar negara maupun multi negara.

Menurut Adiningsih, dkk (1998:155) nilai tukar rupiah adalah harga rupiah terhadap mata uang negara lain. Jadi, nilai tukar rupiah merupakan nilai mata uang rupiah yang ditranslasikan ke dalam mata uang negara lain. Nilai tukar mencerminkan kesimbangan permintaan dan penawaran terhadap mata uang dalam negeri maupun mata uang asing atau dolar. Merosotnya nilai tukar rupiah merefleksikan menurunnya permintaan masyarakat terhadap mata uang rupiah karena menurunnya peran ekonomi nasional atau karena meningkatnya permintaan mata uang dolar sebagai alat pembayaran internasional.

Penurunan kurs antara rupiah dan dolar berarti dollar menjadi lebih mahal dalam nilai rupiah. Ini mencerminkan bahwa nilai dollar naik karena jumlah rupiah yang diperlukan untuk membeli dollar meningkat. Dengan kata lain, dollar mengalami apresiasi terhadap rupiah. Dari sisi lain, rupiah menjadi lebih murah dinilai dalam dollar, artinya rupiah mengalami depresiasi terhadap dollar.

2.3 Matriks

Matriks adalah himpunan skalar (berupa bilangan real atau kompleks) yang tersaji secara persegi panjang atau persegi menurut sajian baris dan kolom.

Secara umum, matriks dapat disajikan dengan notasi sebagai berikut:

( )

(18)

Indeks ke- menyatakan komponen baris (horizontal) dan indeks ke- menyatakan komponen kolom (vertikal). Secara lengkap dan teknis, matriks dapat dinyatakan sebagai berikut:

⌈

⌈⌈

⌉⌉⌉⌉⌉⌉

Khusus untuk matriks persegi (jumlah baris sama dengan jumlah kolom) dengan elemen-elemen dinamakan elemen-elemen diagonal utama dari matriks persegi.

2.3.1 Transpose Matriks

Transpos (Transpose) suatu matriks adalah perubahan elemen-elemen baris ke- menjadi elemen-elemen kolom ke- atau sebaliknya. Notasi transpos adalah

(T,t,’ dibaca transpose).

*

+ matriks A berordo

*

+ matriks A berordo

2.3.2 Matriks Invers

Suatu matriks Bujur Sangkar A dan B yang merupakan matriks Non Singular dan mempunyai sifat merupakan matriks Identitas. Bila sifat tersebut dipenuhi, maka dapat dikatakan matriks atau .

Bila diketahui matriks Bujur Sangkar Non Singular A dengan nilai tertentu, sehingga ada matriks yang memenuhi hubungan berikut:

(2.1)

(19)

maka matriks disebut matriks Invers dari A.

Syarat suatu matriks bujur Sangkar mempunyai matriks Invers yaitu matriks tersebut harus merupakan matriks Non Singular atau dengan kata lain, matriks tersebut nilai determinannya harus tidak sama dengan nol. Bila suatu matriks nilai determinannya sama dengan nol maka matriks tersebut tidak mempunyai matriks invers.

Untuk proses perhitungan matriks Invers, terlebih dahulu harus dilakukan pengecekan berkaitan dengan nilai determinannya. Bila nilai determinannya sama dengan nol, maka proses perhitungannya berhenti atau matriks tidak mempunyai matriks Invers. Bila suatu matriks nilai determinannya tidak sama dengan nol, maka proses perhitungan dapat dilanjutkan.

Untuk pembuktian hasil perhitungan dapat dilakukan demgan perkalian matriks asal dengan matriks hasil perhitungan dan harus menghasilkan matriks Identitas.

Perhitungan matriks Ordo : Misalkan matriks A ordo , * +, maka matriks Invers sebagai berikut:

*

+ (2.2)

2.4 Deret Taylor

Deret Taylor adalah representasi fungsi matematika sebagai jumlahan tak hingga dari suku-suku yang nilainya dihitung dari turunana fungsi tersebut di suatu titik. Salah satu fungsi deret Taylor yaitu memberikan solusi hampiran dari suatu fungsi ( ) dalam bentuk polinom, sehingga nilai akar dari fungsi dapat didekati.

Teorema 2.4 (Varberg dkk, 2011) : Andaikan adalah fungsi kontinu dimana turunan ke ( ) dalam interval terbuka I yang mengandung . Maka untuk masing-masing dalam I, terdapat diantara dan .

(20)

( ) ( ) ( )( ) ^{( )}

( ) ^{( )}

( )

( )( )

( ) ( )

(2.3)

dengan sisa ( ) yang dinyatakan oleh ( ) ^{( )}^{( )}

( ) ( )^{( )} (2.4)

dengan indeks menyatakan aproksimasi orde ke dan adalah nilai dalam selang interval dan .

Formula 2.3 diperoleh dari sebuah teorema yang dikenalkan oleh Brook Taylor yang digunakan untuk merepresentasi fungsi matematika sebagai jumlah tak hingga dari suku-suku yang nilainya dihitung dari turunan fungsi tersebut di suatu titik. Teorema tersebut sebagai berikut:

Teorema 2.4.1: Untuk fungsi ( ) yang diferensiabel di titik c, maka hanya akan terdapat satu fungsi yang memenuhi kondisi berikut:

( ) ( ) ( ) ( ) (2.5) persamaan (2.5) diturunkan terhadap , hasilnya ditunjukkan sebagai berikut:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

kemudian, pada fungsi awal dan fungsi-fungsi turunan tersebut, jika kita menetapkan , maka:

( ) ( )

( )

(21)

( )

dengan mensubsitusikan nilai ke dalam persamaan (2.5) maka Deret Taylor terbukti sebagai berikut:

( ) ( ) ( )( ) ^{( )}

( ) ^{( )}

( )

( )( )

( ) ^{( )}^{( )}

( ) ( )^{( )}

Teorema deret Taylor berlaku untuk setiap fungsi yang dapat diturunkan, dengan hampiran untuk diantara dan .

2.5 Regresi Nonlinier

Analisis regresi merupakan metode dalam statistika yang digunakan untuk mengetahui pola hubungan antara variabel bebas dan variabel terikat. Menurut Hasan (1999) suatu model disebut model regresi nonlinear apabila variabel-variabelnya ada yang berpangkat.

Menurut Montgomery dkk (1992) model regresi nonlinier dalam parameter adalah suatu model apabila dideferensialkan hasilnya masih merupakan fungsi dalam parameter tersebut. Model regresi nonlinier dalam parameter dapat ditulis sebagai berikut:

( ) (2.6)

dimana,

= variabel dependen = variabel independen

= parameter yang tidak diketahui = error, dimana ( )

model ini dapat dituliskan dalam bentuk matriks sebagai berikut:

(22)

[ ] [

( ) ( ) ( )

] [ ]

sehingga dari persamaan dapat disederhanakan sebagai berikut:

( ) (2.7)

Berikut contoh model regresi nonlinier dalam parameter sebagai berikut:

, karena

merupakan fungsi dalam maka model ini merupakan model nonlinier dalam parameter. Estimasi pada regresi nonlinier dilakukan untuk menentukan estimator parameter pada regresi.

Model nonlinear dapat dibagi menjadi dua yaitu model nonlinear secara intrinsik linear dan nonlinear secara intrinsik nonlinear. Model yang secara intrinsik linear adalah model nonlinear yang dapat ditransformasi menjadi bentuk linear sedangkan model yang secara intrinsik nonlinear yaitu model yang tidak bisa ditransformasi menjadi bentuk linear (Draper dan Smith, 1981). Beberapa fungsi, seperti fungsi eksponensial atau logaritmik, dapat diubah sehingga menjadi linier.

Terdapat banyak kasus dalam rekayasa dimana model-model nonlinier harus dicocokkan pada data. Dalam konteks ini model-model didefenisikan sebagai model yang mempunyai ketergantungan nonlinier pada parameter-parameternya. Seperti pada kuadrat terkecil, regresi nonlinier didasarkan pada penentuan nilai-nilai parameter yang meminimumkan jumlah kuadrat galatnya. Namun pada kasus nonlinier, penyelesaian harus berjalan dengan cara iterasi dan bergantung pada nilai- nilai dugaan awal.

2.6 Ordinary Least Squares (OLS)

Menurut Hasan (2003) berkaitan dengan model regresi, Gauss telah membuat asumsi mengenai variabel sebagai berikut:

1. Nilai rata-rata atau harapan dari adalah sama dengan nol atau

( ) (2.8)

dengan, adalah vektor kolom dan adalah vektor nol.

(23)

[ ] [ ( ) ( ) ( )

] * +

2. Tidak terdapat korelasi serial atau autokorelasi antar variabel untuk setiap observasi. Dengan demikian dianggap bahwa tidak terdapat hubungan yang positif atau negative anatara dan , dan tidak terdapat heteroskedasitas antar variabel untuk setiap observasi, atau dikatakan bahwa setiap variabel memenuhi syarat homoskedastisitas. Artinya variabel mempunyai varian yang positif dan konstan yang nilainya , sebagai berikut:

( ) {

(2.9)

sehingga asumsi di atas dapat dituliskan dalam bentuk sebagai berikut:

( ) *( ( ))( ( )) + ( )

(2.10)

dalam matriks varian kovarian sebagai berikut:

( ) ([ ] [ ])

(* +)

[

( ) ( ) ( )

]

[

⌈

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ]⌉⌉

[

]

(24)

*

+

3. Variabel dan variabel adalah saling tidak tergantung untuk setiap observasi sehingga

( ) [( ( ))( ( ))]

[( ̅)( )]

[( ̅) ] ( ̅) ( )

dari ketiga asumsi maka diperoleh sebagai berikut:

1. ( ) Bukti:

, maka

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

(2.11)

2. ( ) Bukti:

( ) *( ( ))( ( )) + ( ) [( )( ) ]

( ) [ ] ( )

(2.12)

Kuadarat terkecil biasa (OLS) adalah jenis metode kuadrat terkecil linier untuk memperkirakan parameter yang tidak diketahui dalam model regresi linier.

OLS memilih parameter fungsi linier dengan perinsip kuadrat terekecil yaitu meminimumkan . Untuk tujuan ini maka perlu memilih parameter sehingga nilai fungsinya adalah sebagai berikut:

(25)

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

(2.13)

untuk meminimumkan fungsi tersebut, maka dilakukan turunan pertama terhadap adalah sebagai berikut:

( ( ) )

⁽ ⁾

( )

(⁽ ⁾

) ( )

( )

(2.14)

kemudian persamaan (2.14) disama dengankan dengan nol sebagai berikut:

( ) ( )

(2.15)

Hasil estimasi parameter diperoleh dengan menyamakan hasil turunan ini dengan nol, sehingga pada saat hasil turunan jumlah kuadrat error disamakan dengan nol parameter menjadi ̂, maka diperoleh sebgai berikut:

( ̂) ( ̂)

̂

( ) ̂ ( ) ̂ ( )

(2.16)

(26)

2.7 Gauss Newton

Metode Gauss Newton adalah metode yang sangat efisien dan sederhana yang digunakan untuk menyelesaikan masalah kuadrat terkecil. Metode Gauss Newton adalah salah satu algoritma untuk meminimalkan jumlah kuadrat dari residu antara data dan persamaan nonlinear, dimana dalam penyelesaiannya tidak memerlukan perhitungan atau estimasi dari turunan kedua dari fungsi karena secara numerik lebih efisisen dengan proses langsung atau iteratif. Konsep yang mendasari tekniknya adalah deret Taylor yang digunakan untuk mengekspresikan persamaan nonlinier sebenarnya dalam bentuk perkiraan linier.

Misalkan hubungan antara persamaan nonlinear dan data dinyatakan dalam persamaan berikut:

( ) (2.17)

dimana menyatakan nilai terukur (measured value) dari variabel dependen, sementara ( ) adalah persamaan yang merupakan suatu fungsi dari variabel independen dan suatu fungsi tak linear dari parameter-parameter ,

, ..., dan menyatakan suatu error acak (random error).

Persamaan (2.17) dapat dinyatakan lebih ringkas lagi dengan bentuk persamaan tanpa melibatkan parameter-parameternya sebagai berikut:

( ) (2.18)

dengan kuadrat terkecil adalah

∑[ ( )] (2.19)

Langkah awal adalah menentukan nilai awal terlebih dahulu, kemudian dihampiri pada ( ) untuk pengamatan oleh bentuk linier menggunakan perluasan deret Taylor yang dibatasi pada turunan pertama disekitar nilai awal . Metode Gauss Newton dimulai dengan nilai awal untuk parameter regresi yaitu dan dalam penaksirannya menjadi yaitu . Nilai awal merupakan taksiran kasar atau berdasarkan informasi yang tersedia. Nilai awal diharapkan dapat diperbaiki dalam proses iterasi.

( ) ( ) ∑ *⁽⁾

+

̂ ( )

, dan (2.20)

(27)

[⌈

⌈⌈

]⌉

⌉⌉

Persamaan (2.19) akan disederhanakan dengan notasi sebagai berikut:

( ) ∑ (2.21)

dimana, ( ) ; ; *⁽⁾

+

̂

Persamaan (2.21) dapat disubstitusi ke dalam persamaan (2.18), sehingga diperoleh persamaan

∑ (2.22) Karena dan merupakan initial guess, adalah prediksi sehingga berdasarkan persamaan (2.21) dapat dinyatakan dalam bentuk matriks sebagai berikut.

(2.23)

di mana merupakan matriks turunan parsial dari suatu fungsi yang dievaluasi pada initial guess , yakni

( )

[

⌈

]

⌉

(2.24)

di mana menyatakan jumlah data dan

menyatakan turunan parsial dari fungsi terhadap parameter ke- yang dievaluasi pada data ke- . Kemudian vektor berisi nilai selisih antara nilai pengukuran dan nilai fungsi, yakni

[⌈

⌈⌈

]⌉⌉⌉

(2.25)

(28)

dan vektor berisi perubahan nilai-nilai parameter

( )

[

⌈⌈

⌈

]

⌉⌉

⌉

(2.26)

dengan menerapkan teori linear least squares terhadap (2.23), maka akan menghasilkan persamaan normal (normal equation) seperti pada persamaan (2.16)

( ) (2.27)

Jadi, berdasarkan (2.27) akan diselesaikan untuk , yakni diperoleh nilai perbaikan untuk parameter-parameter, yakni

, dan (2.28)

(2.29)

prosedur tersebut diulang sampai diperoleh solusi konvergen, yakni sampai nilai memenuhi kriteria berhenti yang ditentukan.

Dalam menyelesaikan masalah nonlinier, algoritma Gauss Newton tersebut merupakan modifikasi dari metode Newton untuk menemukan nilai minimum dari satu fungsi. Gauss Newton merupakan hal penting untuk konvergensi yang cepat dengan solusi, tapi seperti metode Newton efisiensi tergantung pada nilai awal yang akurat.

(29)

BAB 3

METODE PENELITIAN

3.1 Penelitian 3.1.1 Jenis Penelitian

Jenis penelitian ini merupakan penelitian statististik deskriptif kuantitatif. Menurut Sugiyono (2012:206) pengertian statistik deskriptif adalah statistik yang digunakan untuk menganalisis data dengan cara mendeskripsikan atau menggambarkan data yang telah terkumpul sebagaimana adanya tanpa bermaksud membuat kesimpulan yang berlaku untuk umum atau generalisasi.

Penelitian kuantitatif adalah penelitian dengan memperoleh data yang berbentuk angka atau data kulatitatif yang diangkakan. Jadi, berdasarkan teori tersebut di atas, maka penelitian ini merupakan penelitian statistic deskriptif kuantitatif dimana data yang diperoleh dari sampel populasi penelitian dianalisis sesuai dengan metode statistik yang digunakan kemudian diinterprestasikan.

3.1.2 Lokasi dan Waktu Penelitian

Penelitian ini bertempat di Bursa Efek Indonesia dengan mengambil dari 2 (dua) situs yaitu: https://m.id.investing.com/currencies/usd-idr-historical-data dan https://m.id.investing.com/indices/jakarta-lq45-historical-data. Penelitian ini dimulai

pada bulan Maret 2020 sampai dengan Juli 2020.

3.1.3 Jenis dan Teknik Pengumpulan Data

Jenis data yang digunakan dalam penelitian ini adalah jenis data sekunder (menurut cara memperolehnya). Data sekunder adalah sumber data penelitian yang diperoleh melalui media perantara atau secara tidak langsung yang berupa buku, catatan, bukti yang telah ada, atau arsip baik yang dipublikasikan secara umum. Dengan kata lain peneliti membutuhkan pengumpulan data dengan cara berkunjung ke perpustakaan, pusat kajian, pusat arsip atau membaca banyak buku yang berhubungan dengan penelitian.

(30)

3.1.4 Variabel Penelitian

Variabel adalah sesuatu yang dapat membedakan atau mengubah variasi pada nilai.

Variabel penelitian adalah segala sesuatu yang berbentuk apa saja yang ditetapkan oleh peneliti untuk dipelajari sehingga diperoleh informasi tentang hal tersebut, kemudian ditarik kesimpulannya. Variabel yang digunakan dalam penelitian ini adalah nilai tukar rupiah tahun 2015-2019 sebagai variabel independen dan saham gabungan LQ-45 tahun 2015-2019 sebagai variabel dependen.

3.2 Analisis Data

Menurut Patton (1980) Analisis data adalah proses mengatur data, mengoordinasikannya kedalam suatu pola kategori, dan satuan uraian dasar. Metode analisis yang digunakan dalam mencari model nonlinier pada harga saham gabungan LQ-45 tahun 2015-2019 adalah teknik analisis dengan metode Gauss Newton, dilakukan dengan bantuan aplikasi komputer (software) yaitu Microsof Excel 2007 dan program R.

3.3 Langkah-Langkah Analisis Data

1. Menentukan fungsi dan dugaan awal parameter

2. Menghitung penduga nilai fungsi berdasarkan nilai awal

3. Menghitung nilai penyimpangan dari hasil penduga nilai fungsi 4. Menghitung penduga kuadrat terkecil

5. Menghitung turunan parsial dari fungsi terhadap parameter berdasarkan nilai awal

6. Menghitung nilai awal baru

7. Menghitung penduga kuadrat terkecil yang lebih baik

8. Proses perhitungan ulang dari langkah ke-5 untuk mencari kuadrat terkecil yang lebih baik

9. Penduga Kuadrat Terkecil yang Konvergen

(31)

BAB 4

HASIL DAN PEMBAHASAN

Data penelitian yaitu nilai tukar rupiah tahun 2015-2019 dan saham LQ-45 tahun 2015-2019 yang digunakan diubah dengan dikalikan , sebagai berikut:

Tabel 4.1 Data Penelitian

Bulan-Tahun

Data Awal Data dikali Nilai

Tukar Rupiah terhadap US Dollar

Saham LQ-45

Nilai Tukar Rupiah terhadap US Dollar

Saham LQ-45 Desember 2019 13.882,50 1.014,47 0,138825 0,0101447 November 2019 14.105,00 956,82 0,14105 0,0095682 Oktober 2019 14.037,00 984,84 0,14037 0,0098484 September 2019 14.195,00 968,15 0,14195 0,0096815 Agustus 2019 14.185,00 995,76 0,14185 0,0099576 Juli 2019 14.017,00 1.022,43 0,14017 0,0102243 Juni 2019 14.127,50 1.013,96 0,141275 0,0101396 Mei 2019 14.275,00 982,88 0,14275 0,0098288 April 2019 14.250,00 1.019,33 0,1425 0,0101933 Maret 2019 14.240,00 1.019,03 0,1424 0,0101903 Februari 2019 14.065,00 1.006,10 0,14065 0,010061 Januari 2019 13.972,50 1.038,97 0,139725 0,0103897 Desember 2018 14.380,00 982,73 0,1438 0,0098273 November 2018 14.302,50 966,46 0,143025 0,0096646 Oktober 2018 15.202,50 922,72 0,152025 0,0092272 September 2018 14.901,50 946,15 0,149015 0,0094615 Agustus 2018 14.730,00 951,88 0,1473 0,0095188 Juli 2018 14.420,00 933,89 0,1442 0,0093389 Juni 2018 14.330,00 908,97 0,1433 0,0090897 Mei 2018 13.895,00 953,59 0,13895 0,0095359 April 2018 13.912,50 958,41 0,139125 0,0095841 Maret 2018 13.765,00 1.005,68 0,13765 0,0100568 Februari 2018 13.745,00 1.100,28 0,13745 0,0110028 Januari 2018 13.388,50 1.105,76 0,133885 0,0110576 Desember 2017 13.567,50 1.079,38 0,135675 0,0107938

(32)

November 2017 13.526,00 992,16 0,13526 0,0099216 Oktober 2017 13.562,50 992,22 0,135625 0,0099222 September 2017 13.471,50 979,44 0,134715 0,0097944 Agustus 2017 13.343,00 977,33 0,13343 0,0097733 Juli 2017 13.325,00 974,08 0,13325 0,0097408 Juni 2017 13.327,50 977,62 0,133275 0,0097762 Mei 2017 13.322,50 957,7 0,133225 0,009577 April 2017 13.329,00 940,76 0,13329 0,0094076 Maret 2017 13.325,50 921,53 0,133255 0,0092153 Februari 2017 13.336,00 892,7 0,13336 0,008927 Januari 2017 13.352,00 877,35 0,13352 0,0087735 Desember 2016 13.352,00 884,62 0,13352 0,0088462 November 2016 13.552,50 857,25 0,135525 0,0085725 Oktober 2016 13.048,00 927,1 0,13048 0,009271 September 2016 13.051,00 922,2 0,13051 0,009222 Agustus 2016 13.267,50 924,96 0,132675 0,0092496 Juli 2016 13.098,50 892,8 0,130985 0,008928 Juni 2016 13.212,50 860,72 0,132125 0,0086072 Mei 2016 13.660,00 820,01 0,1366 0,0082001 April 2016 13.185,00 832,51 0,13185 0,0083251 Maret 2016 13.260,00 840,35 0,1326 0,0084035 Februari 2016 13.372,00 834,74 0,13372 0,0083474 Januari 2016 13.775,00 799,99 0,13775 0,0079999 Desember 2015 13.787,50 792,03 0,137875 0,0079203 November 2015 13.835,00 755,46 0,13835 0,0075546 Oktober 2015 13.687,50 759,73 0,136875 0,0075973 September 2015 14.650,00 704,98 0,1465 0,0070498 Agustus 2015 14.050,00 770,81 0,1405 0,0077081 Juli 2015 13.527,50 813,1 0,135275 0,008131 Juni 2015 13.332,50 839,14 0,133325 0,0083914 Mei 2015 13.224,00 904,13 0,13224 0,0090413 April 2015 12.962,50 869,44 0,129625 0,0086944 Maret 2015 12.962,50 961,93 0,129625 0,0096193 Februari 2015 12.925,00 946,88 0,12925 0,0094688 Januari 2015 12.667,50 912,05 0,126675 0,0091205

4.1 Menentukan Fungsi dan Dugaan Awal Parameter

Fungsi yang digunakan ( ) ( ) merupakan fungsi eksponensial, fungsi yang memiliki ketergantungan nonlinier pada parameter-parameternya. Misalkan

(33)

dan merupakan tebakan awal (initial guesses) untuk kedua parameter tersebut. Nilai awal merupakan taksiran kasar dan diharapkan dapat diperbaiki dalam proses iterasi.

4.2 Menghitung Penduga Nilai Fungsi Berdasarkan Nilai Awal

Menghitung penduga nilai fungsi atau dengan nilai awal dan pada fungsi ( ) ( ) sebagai berikut :

( ) ( )

Periode penelitian 2015 - 2019 ( ) karena data yang diperoleh perbulan dalam 5 tahun. Perhitungan penduga nilai fungsi berdasarkan nilai awal selengkapnya atau 59 data lainnnya menggunakan bantuan Microsoft Excel dapat dilihat pada table dibawah ini.

Tabel 4.2 Penduga Nilai Fungsi Berdasarkan Nilai Awal

X y model

0,138825 0,0101447 0,0129620 0,14105 0,0095682 0,0131554 0,14037 0,0098484 0,0130963 0,14195 0,0096815 0,0132335 0,14185 0,0099576 0,0132249 0,14017 0,0102243 0,0130790 0,141275 0,0101396 0,0131749 0,14275 0,0098288 0,0133029 0,1425 0,0101933 0,0132812 0,1424 0,0101903 0,0132726 0,14065 0,010061 0,0131207 0,139725 0,0103897 0,0130403 0,1438 0,0098273 0,0133939 0,143025 0,0096646 0,0133268 0,152025 0,0092272 0,0141033 0,149015 0,0094615 0,0138444 0,1473 0,0095188 0,0136965 0,1442 0,0093389 0,0134285 0,1433 0,0090897 0,0133506 0,13895 0,0095359 0,0129728 0,139125 0,0095841 0,0129881 0,13765 0,0100568 0,0128596

(34)

0,13745 0,0110028 0,0128422 0,133885 0,0110576 0,0125309 0,135675 0,0107938 0,0126874 0,13526 0,0099216 0,0126511 0,135625 0,0099222 0,0126830 0,134715 0,0097944 0,0126035 0,13343 0,0097733 0,0124911 0,13325 0,0097408 0,0124754 0,133275 0,0097762 0,0124776 0,133225 0,009577 0,0124732 0,13329 0,0094076 0,0124789 0,133255 0,0092153 0,0124758 0,13336 0,008927 0,0124850 0,13352 0,0087735 0,0124990 0,13352 0,0088462 0,0124990 0,135525 0,0085725 0,0126743 0,13048 0,009271 0,0122326 0,13051 0,009222 0,0122352 0,132675 0,0092496 0,0124250 0,130985 0,008928 0,0122769 0,132125 0,0086072 0,0123769 0,1366 0,0082001 0,0127681 0,13185 0,0083251 0,0123528 0,1326 0,0084035 0,0124185 0,13372 0,0083474 0,0125165 0,13775 0,0079999 0,0128684 0,137875 0,0079203 0,0128792 0,13835 0,0075546 0,0129206 0,136875 0,0075973 0,0127921 0,1465 0,0070498 0,0136274 0,1405 0,0077081 0,0131076 0,135275 0,008131 0,0126524 0,133325 0,0083914 0,0124819 0,13224 0,0090413 0,0123869 0,129625 0,0086944 0,0121575 0,129625 0,0096193 0,0121575 0,12925 0,0094688 0,0121246 0,126675 0,0091205 0,0118980

(35)

4.3 Menghitung Nilai Penyimpangan dari Hasil Penduga Nilai Fungsi

Menghitung nilai penyimpangan dari hasil penduga nilai fungsi dengan mengurangi nilai dengan model sebagai berikut:

Perihitungan penyimpangan dari hasil penduga nilai fungsi yang lain menggunakan rumus yang sama, dengan menggunakan bantuan Microsoft Excel dapat dilihat pada table dibawah ini.

Tabel 4.3 Nilai Penyimpangan dari Hasil Penduga Nilai Fungsi

X y model = y- model

0,138825 0,0101447 0,0129620 -0,0028173 0,14105 0,0095682 0,0131554 -0,0035872 0,14037 0,0098484 0,0130963 -0,0032479 0,14195 0,0096815 0,0132335 -0,0035520 0,14185 0,0099576 0,0132249 -0,0032673 0,14017 0,0102243 0,0130790 -0,0028547 0,141275 0,0101396 0,0131749 -0,0030353 0,14275 0,0098288 0,0133029 -0,0034741 0,1425 0,0101933 0,0132812 -0,0030879 0,1424 0,0101903 0,0132726 -0,0030823 0,14065 0,010061 0,0131207 -0,0030597 0,139725 0,0103897 0,0130403 -0,0026506 0,1438 0,0098273 0,0133939 -0,0035666 0,143025 0,0096646 0,0133268 -0,0036622 0,152025 0,0092272 0,0141033 -0,0048761 0,149015 0,0094615 0,0138444 -0,0043829 0,1473 0,0095188 0,0136965 -0,0041777 0,1442 0,0093389 0,0134285 -0,0040896 0,1433 0,0090897 0,0133506 -0,0042609 0,13895 0,0095359 0,0129728 -0,0034369 0,139125 0,0095841 0,0129881 -0,0034040 0,13765 0,0100568 0,0128596 -0,0028028 0,13745 0,0110028 0,0128422 -0,0018394 0,133885 0,0110576 0,0125309 -0,0014733 0,135675 0,0107938 0,0126874 -0,0018936 0,13526 0,0099216 0,0126511 -0,0027295

(36)

0,135625 0,0099222 0,0126830 -0,0027608 0,134715 0,0097944 0,0126035 -0,0028091 0,13343 0,0097733 0,0124911 -0,0027178 0,13325 0,0097408 0,0124754 -0,0027346 0,133275 0,0097762 0,0124776 -0,0027014 0,133225 0,009577 0,0124732 -0,0028962 0,13329 0,0094076 0,0124789 -0,0030713 0,133255 0,0092153 0,0124758 -0,0032605 0,13336 0,008927 0,0124850 -0,0035580 0,13352 0,0087735 0,0124990 -0,0037255 0,13352 0,0088462 0,0124990 -0,0036528 0,135525 0,0085725 0,0126743 -0,0041018 0,13048 0,009271 0,0122326 -0,0029616 0,13051 0,009222 0,0122352 -0,0030132 0,132675 0,0092496 0,0124250 -0,0031754 0,130985 0,008928 0,0122769 -0,0033489 0,132125 0,0086072 0,0123769 -0,0037697 0,1366 0,0082001 0,0127681 -0,0045680 0,13185 0,0083251 0,0123528 -0,0040277 0,1326 0,0084035 0,0124185 -0,0040150 0,13372 0,0083474 0,0125165 -0,0041691 0,13775 0,0079999 0,0128684 -0,0048685 0,137875 0,0079203 0,0128792 -0,0049589 0,13835 0,0075546 0,0129206 -0,0053660 0,136875 0,0075973 0,0127921 -0,0051948 0,1465 0,0070498 0,0136274 -0,0065776 0,1405 0,0077081 0,0131076 -0,0053995 0,135275 0,008131 0,0126524 -0,0045214 0,133325 0,0083914 0,0124819 -0,0040905 0,13224 0,0090413 0,0123869 -0,0033456 0,129625 0,0086944 0,0121575 -0,0034631 0,129625 0,0096193 0,0121575 -0,0025382 0,12925 0,0094688 0,0121246 -0,0026558 0,126675 0,0091205 0,0118980 -0,0027775

4.4 Menghitung Penduga Kuadrat Terkecil ( )

Menghitung penduga kuadrat terkecil atau sum of squared errors (SSE) dengan menguadratkan nilai penyimpangan ( ) sebagai berikut:

(37)

, dan berikut perhitungannya:

Perihitungan penduga kuadrat terkecil yang lain menggunakan rumus yang sama, dengan menggunakan bantuan Microsoft Excel dapat dilihat pada table dibawah ini.

Tabel 4.4 Penduga Kuadrat Terkecil ( )

0,138825 0,0101447 0,0129620 -0,0028173 0,0000079 0,14105 0,0095682 0,0131554 -0,0035872 0,0000129 0,14037 0,0098484 0,0130963 -0,0032479 0,0000105 0,14195 0,0096815 0,0132335 -0,0035520 0,0000126 0,14185 0,0099576 0,0132249 -0,0032673 0,0000107 0,14017 0,0102243 0,0130790 -0,0028547 0,0000081 0,141275 0,0101396 0,0131749 -0,0030353 0,0000092 0,14275 0,0098288 0,0133029 -0,0034741 0,0000121 0,1425 0,0101933 0,0132812 -0,0030879 0,0000095 0,1424 0,0101903 0,0132726 -0,0030823 0,0000095 0,14065 0,010061 0,0131207 -0,0030597 0,0000094 0,139725 0,0103897 0,0130403 -0,0026506 0,0000070 0,1438 0,0098273 0,0133939 -0,0035666 0,0000127 0,143025 0,0096646 0,0133268 -0,0036622 0,0000134 0,152025 0,0092272 0,0141033 -0,0048761 0,0000238 0,149015 0,0094615 0,0138444 -0,0043829 0,0000192 0,1473 0,0095188 0,0136965 -0,0041777 0,0000175 0,1442 0,0093389 0,0134285 -0,0040896 0,0000167 0,1433 0,0090897 0,0133506 -0,0042609 0,0000182 0,13895 0,0095359 0,0129728 -0,0034369 0,0000118 0,139125 0,0095841 0,0129881 -0,0034040 0,0000116 0,13765 0,0100568 0,0128596 -0,0028028 0,0000079 0,13745 0,0110028 0,0128422 -0,0018394 0,0000034 0,133885 0,0110576 0,0125309 -0,0014733 0,0000022 0,135675 0,0107938 0,0126874 -0,0018936 0,0000036 0,13526 0,0099216 0,0126511 -0,0027295 0,0000075 0,135625 0,0099222 0,0126830 -0,0027608 0,0000076 0,134715 0,0097944 0,0126035 -0,0028091 0,0000079 0,13343 0,0097733 0,0124911 -0,0027178 0,0000074 0,13325 0,0097408 0,0124754 -0,0027346 0,0000075

(38)

4.5 Menghitung Turunan Parsial dari Fungsi Terhadap Parameter Berdasarkan Nilai Awal

Fungsi diturunkan secara parsial terhadap parameter dan sebagai berikut.

( ( ) )

0,133275 0,0097762 0,0124776 -0,0027014 0,0000073 0,133225 0,009577 0,0124732 -0,0028962 0,0000084 0,13329 0,0094076 0,0124789 -0,0030713 0,0000094 0,133255 0,0092153 0,0124758 -0,0032605 0,0000106 0,13336 0,008927 0,0124850 -0,0035580 0,0000127 0,13352 0,0087735 0,0124990 -0,0037255 0,0000139 0,13352 0,0088462 0,0124990 -0,0036528 0,0000133 0,135525 0,0085725 0,0126743 -0,0041018 0,0000168 0,13048 0,009271 0,0122326 -0,0029616 0,0000088 0,13051 0,009222 0,0122352 -0,0030132 0,0000091 0,132675 0,0092496 0,0124250 -0,0031754 0,0000101 0,130985 0,008928 0,0122769 -0,0033489 0,0000112 0,132125 0,0086072 0,0123769 -0,0037697 0,0000142 0,1366 0,0082001 0,0127681 -0,0045680 0,0000209 0,13185 0,0083251 0,0123528 -0,0040277 0,0000162 0,1326 0,0084035 0,0124185 -0,0040150 0,0000161 0,13372 0,0083474 0,0125165 -0,0041691 0,0000174 0,13775 0,0079999 0,0128684 -0,0048685 0,0000237 0,137875 0,0079203 0,0128792 -0,0049589 0,0000246 0,13835 0,0075546 0,0129206 -0,0053660 0,0000288 0,136875 0,0075973 0,0127921 -0,0051948 0,0000270 0,1465 0,0070498 0,0136274 -0,0065776 0,0000433 0,1405 0,0077081 0,0131076 -0,0053995 0,0000292 0,135275 0,008131 0,0126524 -0,0045214 0,0000204 0,133325 0,0083914 0,0124819 -0,0040905 0,0000167 0,13224 0,0090413 0,0123869 -0,0033456 0,0000112 0,129625 0,0086944 0,0121575 -0,0034631 0,0000120 0,129625 0,0096193 0,0121575 -0,0025382 0,0000064 0,12925 0,0094688 0,0121246 -0,0026558 0,0000071 0,126675 0,0091205 0,0118980 -0,0027775 0,0000077

SSE 0,000794

(39)

(4.1)

( ( ) )

(4.2)

Dari persamaan (4.1) dan (4.2), dibentuk matriks sebagai berikut.

[

⌈

]

⌉

Berdasarkan persamaan (4.1), berikut contoh perhitungan untuk memperoleh nilai baris 1 dan kolom 1, yakni .

( )( )

( )( ) ( )( )

(40)

4.6 Menghitung Nilai Awal ( ) pada Iterasi Pertama 4.6.1 Perhitungan

* + [

]

* + *

+ 4.6.2 Perhitungan Invers dari Matriks

* +

* + 4.6.3 Perhitungan

Misalakna vektor merupakan selisih antara dan , sehingga

* + [

]

* + *

+ 4.6.4 Perhitungan Nilai Awal ( ) pada Iterasi Pertama

(41)

*

+ * + *

+

Berdasarkan persamaan (2.28) dan persamaan (2.29) diselesaikan maka diperoleh nilai awal baru, sebagai berikut:

[

] *+ *

+ * + Maka pada iterasi pertama adalah dan .

4.7 Menghitung Penduga Kuadrat Terkecil ( ) pada Iterasi Pertama

Diketahui penduga nilai awal baru dan , untuk menghitung penduga kuadrat terkecil yang lebih baik maka harus mengulang perhitungan 4.4 dengan penduga nilai yang baru dan fungsi yang sama ( ) ( ) sebagai berikut:

Tabel 4.5 Penduga Kuadrat Terkecil ( ) pada Iterasi Pertama

0,138825 0,0101447 -0,4104444 0,4205891 0,1768952 0,14105 0,0095682 -0,4139129 0,4234811 0,1793363 0,14037 0,0098484 -0,4128597 0,4227081 0,1786821 0,14195 0,0096815 -0,4152978 0,4249793 0,1806074 0,14185 0,0099576 -0,4151445 0,4251021 0,1807118 0,14017 0,0102243 -0,4125488 0,4227731 0,1787371 0,141275 0,0101396 -0,4142601 0,4243997 0,1801151 0,14275 0,0098288 -0,4165202 0,4263490 0,1817735 0,1425 0,0101933 -0,4161391 0,4263324 0,1817593 0,1424 0,0101903 -0,4159864 0,4261767 0,1816266 0,14065 0,010061 -0,4132941 0,4233551 0,1792295 0,139725 0,0103897 -0,4118551 0,4222448 0,1782907 0,1438 0,0098273 -0,4181123 0,4279396 0,1831323 0,143025 0,0096646 -0,4169385 0,4266031 0,1819902 0,152025 0,0092272 -0,4301149 0,4393421 0,1930215

(42)

0,149015 0,0094615 -0,4258172 0,4352787 0,1894676 0,1473 0,0095188 -0,4233201 0,4328389 0,1873495 0,1442 0,0093389 -0,4187151 0,4280540 0,1832303 0,1433 0,0090897 -0,4173559 0,4264456 0,1818558 0,13895 0,0095359 -0,4106410 0,4201769 0,1765486 0,139125 0,0095841 -0,4109158 0,4204999 0,1768202 0,13765 0,0100568 -0,4085868 0,4186436 0,1752624 0,13745 0,0110028 -0,4082687 0,4192715 0,1757886 0,133885 0,0110576 -0,4025107 0,4135683 0,1710388 0,135675 0,0107938 -0,4054232 0,4162170 0,1732366 0,13526 0,0099216 -0,4047518 0,4146734 0,1719540 0,135625 0,0099222 -0,4053424 0,4152646 0,1724447 0,134715 0,0097944 -0,4038666 0,4136610 0,1711154 0,13343 0,0097733 -0,4017635 0,4115368 0,1693626 0,13325 0,0097408 -0,4014671 0,4112079 0,1690920 0,133275 0,0097762 -0,4015083 0,4112845 0,1691550 0,133225 0,009577 -0,4014259 0,4110029 0,1689234 0,13329 0,0094076 -0,4015330 0,4109406 0,1688722 0,133255 0,0092153 -0,4014754 0,4106907 0,1686668 0,13336 0,008927 -0,4016483 0,4105753 0,1685721 0,13352 0,0087735 -0,4019115 0,4106850 0,1686622 0,13352 0,0088462 -0,4019115 0,4107577 0,1687219 0,135525 0,0085725 -0,4051808 0,4137533 0,1711918 0,13048 0,009271 -0,3968498 0,4061208 0,1649341 0,13051 0,009222 -0,3969004 0,4061224 0,1649354 0,132675 0,0092496 -0,4005174 0,4097670 0,1679090 0,130985 0,008928 -0,3976995 0,4066275 0,1653459 0,132125 0,0086072 -0,3996047 0,4082119 0,1666369 0,1366 0,0082001 -0,4069113 0,4151114 0,1723175 0,13185 0,0083251 -0,3991467 0,4074718 0,1660333 0,1326 0,0084035 -0,4003932 0,4087967 0,1671147 0,13372 0,0083474 -0,4022401 0,4105875 0,1685821 0,13775 0,0079999 -0,4087456 0,4167455 0,1736768 0,137875 0,0079203 -0,4089439 0,4168642 0,1737758 0,13835 0,0075546 -0,4096956 0,4172502 0,1740978 0,136875 0,0075973 -0,4073515 0,4149488 0,1721825 0,1465 0,0070498 -0,4221430 0,4291928 0,1842065 0,1405 0,0077081 -0,4130615 0,4207696 0,1770471 0,135275 0,008131 -0,4047761 0,4129071 0,1704923 0,133325 0,0083914 -0,4015907 0,4099821 0,1680853 0,13224 0,0090413 -0,3997958 0,4088371 0,1671478

(43)

0,129625 0,0086944 -0,3954030 0,4040974 0,1632947 0,129625 0,0096193 -0,3954030 0,4050223 0,1640431 0,12925 0,0094688 -0,3947652 0,4042340 0,1634051 0,126675 0,0091205 -0,3903316 0,3994521 0,1595620

SSE 10,428067

Penduga kuadrat yang baru tidak lebih baik dari penduga kuadrat awal, maka peroses perhitungan diulang dari langkah 4.5 untuk mencari nilai awal baru dengan penduga kuadrat kecil yang lebih baik atau konvergen.

4.8 Proses Perhitungan Ulang 4.5 Mencari Penduga Kuadrat Terkecil

Mencari kuadrat terkecil maka proses perhitungan langkah 4.5 diulang sampai perhitungan 4.7. Berikut rangkuman proses perhitungan berulang sampai diperoleh penduga kuadrat terkecil yang lebih baik dengan nilai awal baru.

4.8.1 Perulangan Mencari Penduga Kuadrat Terkecil Kedua

4.8.1.1 Menghitung Turunan Parsial dari Fungsi Terhadap Parameter Berdasarkan

dan

[

⌈

]

⌉

4.8.1.2 Menghitung Nilai Awal ( ) pada Iterasi Kedua

[

] *+

(44)

* +

[

] *

+ *

4.8.1.3 Menghitung Ulang Penduga Kuadrat Terkecil ( ) pada Iterasi Kedua Tabel 4.6 Penduga Kuadrat Terkecil ( ) pada Iterasi Kedua

0,138825 0,0101447 0,0067966 0,0033481 0,0000112 0,14105 0,0095682 0,0068545 0,0027137 0,0000074 0,14037 0,0098484 0,0068369 0,0030115 0,0000091 0,14195 0,0096815 0,0068776 0,0028039 0,0000079 0,14185 0,0099576 0,0068751 0,0030825 0,0000095 0,14017 0,0102243 0,0068317 0,0033926 0,0000115 0,141275 0,0101396 0,0068603 0,0032793 0,0000108 0,14275 0,0098288 0,0068980 0,0029308 0,0000086 0,1425 0,0101933 0,0068917 0,0033016 0,0000109 0,1424 0,0101903 0,0068891 0,0033012 0,0000109 0,14065 0,010061 0,0068442 0,0032168 0,0000103 0,139725 0,0103897 0,0068201 0,0035696 0,0000127 0,1438 0,0098273 0,0069246 0,0029027 0,0000084 0,143025 0,0096646 0,0069050 0,0027596 0,0000076 0,152025 0,0092272 0,0071252 0,0021020 0,0000044 0,149015 0,0094615 0,0070534 0,0024081 0,0000058 0,1473 0,0095188 0,0070116 0,0025072 0,0000063 0,1442 0,0093389 0,0069347 0,0024042 0,0000058 0,1433 0,0090897 0,0069120 0,0021777 0,0000047 0,13895 0,0095359 0,0067999 0,0027360 0,0000075 0,139125 0,0095841 0,0068044 0,0027797 0,0000077 0,13765 0,0100568 0,0067656 0,0032912 0,0000108 0,13745 0,0110028 0,0067603 0,0042425 0,0000180

(45)

0,133885 0,0110576 0,0066641 0,0043935 0,0000193 0,135675 0,0107938 0,0067128 0,0040810 0,0000167 0,13526 0,0099216 0,0067015 0,0032201 0,0000104 0,135625 0,0099222 0,0067114 0,0032108 0,0000103 0,134715 0,0097944 0,0066868 0,0031076 0,0000097 0,13343 0,0097733 0,0066517 0,0031216 0,0000097 0,13325 0,0097408 0,0066467 0,0030941 0,0000096 0,133275 0,0097762 0,0066474 0,0031288 0,0000098 0,133225 0,009577 0,0066460 0,0029310 0,0000086 0,13329 0,0094076 0,0066478 0,0027598 0,0000076 0,133255 0,0092153 0,0066469 0,0025684 0,0000066 0,13336 0,008927 0,0066498 0,0022772 0,0000052 0,13352 0,0087735 0,0066541 0,0021194 0,0000045 0,13352 0,0088462 0,0066541 0,0021921 0,0000048 0,135525 0,0085725 0,0067087 0,0018638 0,0000035 0,13048 0,009271 0,0065697 0,0027013 0,0000073 0,13051 0,009222 0,0065705 0,0026515 0,0000070 0,132675 0,0092496 0,0066309 0,0026187 0,0000069 0,130985 0,008928 0,0065839 0,0023441 0,0000055 0,132125 0,0086072 0,0066157 0,0019915 0,0000040 0,1366 0,0082001 0,0067376 0,0014625 0,0000021 0,13185 0,0083251 0,0066080 0,0017171 0,0000029 0,1326 0,0084035 0,0066288 0,0017747 0,0000031 0,13372 0,0083474 0,0066596 0,0016878 0,0000028 0,13775 0,0079999 0,0067682 0,0012317 0,0000015 0,137875 0,0079203 0,0067715 0,0011488 0,0000013 0,13835 0,0075546 0,0067841 0,0007705 0,0000006 0,136875 0,0075973 0,0067449 0,0008524 0,0000007 0,1465 0,0070498 0,0069920 0,0000578 0,0000000 0,1405 0,0077081 0,0068403 0,0008678 0,0000008 0,135275 0,008131 0,0067020 0,0014290 0,0000020 0,133325 0,0083914 0,0066488 0,0017426 0,0000030 0,13224 0,0090413 0,0066188 0,0024225 0,0000059 0,129625 0,0086944 0,0065456 0,0021488 0,0000046 0,129625 0,0096193 0,0065456 0,0030737 0,0000094 0,12925 0,0094688 0,0065349 0,0029339 0,0000086 0,126675 0,0091205 0,0064610 0,0026595 0,0000071

SSE 0,000431

(46)

Penduga kuadrat terkecil yang baru lebih baik yaitu 0,000431 dari penduga kuadrat terkecil awal 10,428067 tetapi belum tentu menjadi titik awal yang konvergen, sehingga diperlukan perbandingan lain untuk menjadi penduga nilai awal atau titik minimum pada pemodelan non linier.

4.8.2 Perulangan Mencari Penduga Kuadrat Terkecil Ketiga

4.8.2.1 Menghitung Turunan Parsial dari Fungsi Terhadap Parameter Berdasarkan Nilai Awal

[

⌈

]

⌉

4.8.2.2 Menghitung Nilai Awal ( ) pada Iterasi Ketiga

[

] * + *

+

[

] *

+ *