BAB III DESAIN DAN PENGENDALIAN SISTEM LAMPU LALULINTAS

BAB III

D ^ESAIN D ^AN P ENGENDALIAN S ^ISTEM L ^AMPU L ^ALULINTAS

Lampu lalu lintas dimodelkan dengan bi-directed graph seperti pada gambar berikut:

S

i2

S

i

S

i1

S

i3

S

i4

φ

i

φ

i1

φ

i2

φ

i3

φ

i 4

ε

i1

ε

i2

ε

i3

ε

i4

ε

1i

ε

2i

ε

3i

ε

4i

Gambar 2. Model Signal Network

PersimpanganS mempengaruhi dan dipengaruhi oleh persimpangan tetangganya, _i yaitu persimpangan S , _i1 S , _i2 S , dan_i3 S . Setiap persimpangan dilambangkan _i4 dengan node S_i(1≤i≤N), dan tetangga dari sinyal S adalah _i S yang memiliki index _ij sinyalnya sendiri yaitu S . _j

φ

i menyatakan fase dari satu putaran sinyal S , dan _i

φ

_ij

( j ∈ {1,2,..., n

_i

})

merupakan fase untuk sinyal S , di mana _ij n adalah banyaknya sinyal yang _i dipasangkan dengan S . Dalam hal ini bisa dikatakan bahwa _i S merupakan sebuah _i perempatan karena mempunyai 4 buah sinyal tetangga.

ε

_ij adalah aliran kendaraan yang telah dinormalisasi, yang didefinisikan sebagai:

dt Ti

^ij

t

Ti t im t

ij

1 ( )

= ρ

ε ρ ∫

^{+ (3.1)}

dimana

ρ

_im adalah konstanta yang merupakan kapasitas dari jalan dan

ρ

_ij

(t )

merupakan kepadatan dari jalan antara sinyal S dan _i S pada interval waktu _ij

] ,

[ t + t T

_i .

III.1 D

ESKRIPSI

S

^INYAL

N

^ETWORK

D

^ENGAN

M

ENGGUNAKAN

N

ONLINIER

C

OUPLED

O

SCILLATOR

Pada bagian ini, penulis menjabarkan traffic signal network dengan menggunakan sebuah sistem nonlinear oscillators dengan coupling terdekat. Secara spesifik, penulis menerapkan deskripsi model fase dari coupled oscillator yang diperkenalkan oleh Kuramoto, yaitu sebuah model yang digeneralisasi dan dinyatakan dengan:

) , (

= ) (

1

=

ij i i ni

i j i

i

n

t ω K φ φ

φ ^& + ∑ Γ

^(3.2)

dimana:

) , (

= ) 2 ,

(

= ) , 2

(

_{i ij i i ij i i ij}

i

φ + π φ Γ φ φ + π Γ φ φ

Γ

_(3.3)

Persamaan diatas berlaku untuk semua i dan j.

Re Im

Unit circle φ_i1

φ_i2 φ_i3

φ_i4 φ_i

ε_i1 ε_{i 2} ε_{i 3} ε_{i 4}

Gambar 3. Diagram Argan

Dapat dikatakan pula bahwa

Γ

adalah fungsi yang periodik dengan periode 2π, sedangkan

ω

_i adalah frekuensi alami dari sinyal S yang ditentukan dengan _i

i

i

T

ω = ² π

, dengan K merupakan konstanta positif.

Pada Gambar 6 terlihat bahwa fase untuk sinyal S dan _i

φ

_i dipengaruhi dari sinyal yang ada disampingnya, yaitu S dan _ij

φ

ij. Fase sinyal ini tergantung kepada berapa banyak traffic yang masuk dari S yang telah didefinisikan di Gambar 7. _ij

Untuk selanjutnya, penulis akan menggunakan model seperti ini untuk oscillator:

) (

sin

= ) (

1

=

i ij ij

ni

i j i

i

n

t ω K ε φ φ

φ ^& + ∑ −

^(3.4)

dengan menggunakan fungsi sinus sebagai pengganti fungsi Γ yang bertujuan untuk _i menyederhanakan persamaan.

Dengan mengatur ulang persamaan (3.4) menggunakan formula euler, penulis mendapatkan persamaan:

φi

i e e

n t K

i i ij i

i ij ij ni

i j i

i

( ) = 2

) ( ) (

1

=

φ φ φ

φ

ε ω

φ

−

−

−

−

+ ∑

&



 





 

 −

+

⁻

∑ ∑

^{−i ij}

i ij j

ni i i i ij

i ij j

ni i i

i

e

e n n e

i e

K

φ

ε

φ φ

ε

^φ

ω

^{=1 =1}

= 2

_(3.5)

Definisikan A_i dan B_i sebagai berikut:

i ij

i i ij n

j

i

e

A ε n

^φ

∑

=1

=

_(3.6)

i ij

i i ij n

j

i

e

B ε n

−^φ

∑

=1

=

_(3.7)

Maka persamaan (3.5) dapat dinyatakan dengan:

(

i

)

i i i i i i

i

e A e B

i

t ω K

^{φ φ}

φ +

⁻

−

= 2 )

& (

_(3.8)

Dengan menggunakan formula euler maka bisa didapatkan persamaan seperti berikut:

(

_{i i i i i i}

)

i

i

i A i B

i

t K ( cos sin ) ( cos sin )

= 2 )

( ω φ φ φ φ

φ & + − − +

_(3.9)

Lalu persamaan tersebut disusun ulang sehingga menjadi:

( ^{( cos ( ) sin ( )} )

= 2 )

(

_{i i i i i i i}

i

A B i A B

i

t ω + K φ − − φ +

φ ^&

_(3.10)

Selanjutnya, penulis akan mendefinisikan a_i dan b_i melalui persamaan berikut:

ij i

i i ij n

j i

i

i ib

B n

A = 2 sin = 2

1

=

ε φ

∑

−

_(3.11)

i ij i i ij n

j i

i a

B n

A =2 cos =2

1

=

ε φ

∑

+ _(3.12)

Sehingga didapatkan persamaan a_i dan b_i, yaitu:

ij i i ij n

j

i

n

a ε φ

cos

=

1

∑

= ^(3.13)

ij i i ij n

j

i

n

b ε φ

sin

=

1

=

∑

^(3.14)

Setelah persamaan a_i dan b_i didapatkan, persamaan (3.10) dapat disusun ulang sehingga menjadi:

(

i i i i

)

i

i

ib ia

i

t ω K φ φ

φ 2 cos 2 sin

= 2 )

( + −

&

_(3.15)

(

_{i i i i}

)

i

i

t ω K b φ a φ

φ & ( ) = + cos − sin

_(3.16)

Selanjutnya, persamaan (3.16) akan disampaikan sebagai model entrainment, yaitu seperti berikut:

) (

sin

= )

(

_{i i i i}

i

t ω σ K φ φ

φ & + −

_(3.17)

Dengan menyamakan persamaan (3.16) dan persamaan (3.17), maka diperoleh hubungan seperti berikut:

i i i i i i

i

φ φ b φ a φ

σ sin ( − ) = cos − sin

(3.18)

Setelah itu kita jabarkan ruas kiri:

) (

sin

_{i i}

i

φ φ

σ −

(3.19)

) cos sin cos

sin

(

_{i i i i}

i

φ φ φ φ

σ −

(3.20)

i i i i i

i

φ φ σ φ φ

σ ^{sin cos} − ^{sin cos}

(3.21)

i i i i i i i i i

i

φ φ σ φ φ b φ a φ

σ sin cos − sin cos = cos − sin

(3.23)

Dengan menyamakan koefisien

cos

dan

sin

maka didapatkan:

i i

i

sin φ = b

σ

(3.24)

i i

i

cos φ = a

σ

(3.25)

Sehingga hubungan antara σ_i, a_i dan bi adalah:

2

= _i2 _i

i a +b

σ

(3.26)



 





i i

i a

arctan b

φ

= (3.27)

Dalam Diagram Argan, nilai a dan _i b berturut-turut adalah bagian real dan imaginer _i dari bilangan kompleks seperti berikut:

i i i i

i

i

b i

a ± = σ cos φ ± σ sin φ

(3.28)

i i

i

e

^φ

σ

^±

=

(3.29)

Dengan memanfaatkan persamaan (3.13) dan persamaan (3.14) diperoleh hubungan sebagai berikut:

[

ij ij

]

ni

j i i i i

i

e a ib φ i φ

σ

^φ

= = cos sin

1

=

+

± ∑

±

(3.30)

^ij

i i n

j i i i i

i

e

^φ

a ib e

^φ

σ

^±

^± ∑

1

=

=

=

_(3.31)

III.2 S

PLIT

S

ETTING

Bagian ini akan mengatur split setting dari lampu lalu lintas. Pertama-tama definisikan waktu putaran dari sinyal S sebagai berikut: _i

cl i

i i i i

i

T T T

T ( τ ) =

₁

( τ ) +

₂

( τ ) + 2

(3.32)

Termasuk dalam persamaan diatas, T_cl merupakan konstanta clearence, dimana )

1( i

Ti τ dan T_i2(

τ

_i) secara berurutan adalah split time dari sinyal S pada arah _i vertikal dan horizontal.

Clearence time dimasukkan untuk menyesuaikan pemodelan dengan sistem lampu lalu lintas yang mengenal adanya jeda antara lampu merah dengan lampu hijau. Jeda tersebut adalah lampu kuning yang berguna untuk keamanan saat transisi antara lampu merah ke lampu hijau dan juga sebaliknya. Pada daerah yang tidak menggunakan sistem clearence ini maka nilai

T

_cl

= 0

.

Split time

T

_ik, diupdate pada setiap permulaan putaran dan proposional dengan jumlah dari arus kendaraan yang masuk, baik dari arah horizontal maupun vertikal.

Untuk melihat total flow yang masuk ke persimpangan, digunakan rumus berikut:

,4 ,2

2 ,3 ,1

1

=

_{i i}

,

_i

=

_{i i}

i

r

r ε + ε ε + ε

_(3.33)

1

r merupakan total flow untuk arah horizontal atau main direction pada jalan, i

sedangkan r merupakan total flow untuk arah vertikal atau secondary directionnya. _i2

Dari persamaan diatas, penulis dapat mencari desired split time untuk arus kendaraan yang masuk dari arah horizontal dan vertikal dengan persamaan di bawah ini:

1,2)

= ( ), 2 ) ( ) ( ( ) (

)

= (

2 1

*

T T k

r r

T r

_{i i cl}

i i i i

i ik

ik

−

+ τ

τ τ

τ

(3.34)

Setelah itu, updating function dapat didefinisikan dengan persamaan berikut:

1,2)

= ( )), ( (

) (

= 1)

( T T

^*

T k

T

_ik

τ

_i

+

_ik

τ

_i

+ γ

_ik

−

_ik

τ

_i (3.35)

Di mana

γ

merupakan konstanta perubahan. Yang akan menentukan seberapa cepat perubahan dari split time menuju desired split time.

Perubahan tidak dilakukan sekaligus karena nilai flow kendaraan yang ada pada perhitungan diambil dari nilai flow kendaraan pada waktu sebelumnya. Hal ini mengakibatkan nilai flow kendaraan tidak akan sama untuk waktu berikutnya.

III.3 S

ELF-

O

RGANIZING

D

^ARI

P

ENYESUAIAN

O

FFSET

Bagian ini akan membahas strategi untuk menyesuaikan pola offset dari lampu lalu lintas dengan menggunakan mutual entrainment⁴.

Misalkan

ψ

_i menyatakan fase relatif antara

φ

_i dan

φ

_i yang didefinisikan sebagai:

i i

i

φ φ

ψ = −

_(3.36)

Maka dinamik dari fase relatifnya dapat diekspresikan dengan:

) ( sin

=

_{i i i i}

i

ω σ K ψ

ψ & Ω − −

(3.37)

4 Mutual Entrainment merupakan keadaan dimana terdapat 2 objek yang bergerak masing-masing namun memiliki suatu media untuk bertukar informasi sehingga pergerakan keduanya menjadi tersinkronisasi

dimana Ω adalah frekuensi alami dari fase rata-rata _i

φ

_i.

Dengan memeriksa fixed point dari dinamik tersebut dengan memperhitungkan sifat dari fungsi sinus yang bernilai diantara -1 dan 1, maka fixed point pada persamaan (3.37) hanya terjadi jika:

≤ 1

− Ω

i

K

i i

σ ω

(3.38)

Oleh sebab itu pada persamaan (3.38), phase locking akan terjadi pada perbedaan fase seperti berikut:



 



Ω −

iK

i i

i

σ

ψ

= arcsin

ω

(3.39)

Saat oscillator S di phase lock dengan oscillator disampingnya. _i

Pada persamaan (3.40),

∆ φ

_ij adalah selisih fase terhadap

φ

_i yang didefinisikan sebagai:

i ij

ij

φ φ

φ −

∆ =

(3.40)

Untuk lebih jelasnya, dapat dilihat pada gambar dibawah ini:

Gambar 4. Flow Kendaraan Pada Primary Direction

Gambar tersebut memaparkan mengenai pengaturan offset pada lampu lalu lintas yang disesuaikan dengan tetangganya pada primary direction.

Kemiringan dari panah menyatakan kecepatan kendaraan. Gambar tersebut menjelaskan tentang pengaturan perbedaan fase lampu lalu lintas di sekitar sehingga jika kendaraan telah sampai pada persimpangan berikutnya maka lampu lalu lintas pada persimpangan tersebut akan berwarna hijau..

Setelah penjelasan mengenai primary direction, maka selanjutnya akan didefinisikan pengaturan pada secondary direction. Tentunya perhitungan untuk yang secondary direction tersebut akan dipengaruhi oleh perhitungan primary direction.

Gambar 5. Flow Kendaraan Pada Secondary Direction

Pada masalah ini, penulis ingin mencapai pengaturan offset yang sesuai dari persimpangan yang berurutan sepanjang jalan pada arah dari lalu lintas yang padat.

Hal ini dimaksudkan untuk mengurangi jeda pada saat lampu merah, seperti pada gambar diatas.

Penulis mengusulkan sistem yang dapat melakukan pengorganisasian secara otomatis untuk mencapai pola network offset yang diinginkan dengan menggunakan perbedaan fase melalui mutual entrainment.

Misalkan

t

_ij^* merupakan waktu yang dibutuhkan untuk sebuah kendaraan mencapai persimpangan S dari _i S , maka offset yang diinginkan antara sinyal _ij S dan _ij S _i ditentukan oleh:

) 2 ( 2

=

*

*

π π

φ

mod

T t

i ij

∆ ij (3.41)

dimana T adalah waktu putaran dari sinyal _i S . _i

Waktu yang diharapkan, yaitu

t

_ij^* adalah:

max ij

ij

ij

v

t =

^*

l

_(3.42)

dimana

l

_ij merupakan jarak antar sinyal yang bersebelahan dan

v

_ij^max adalah batas kecepatan dari jalan antara interval (S_ij,S_i).

Setelah mendapatkan nilai desired offset untuk arah yang primary, nilai desired offset untuk arah yang secondary juga dapat ditemukan dengan cara:

) 2 ) (

2 (

=

^{1,1 ,1}

*

*

π π

φ mod

T T T

t

i i i

ij ij

−

∆ +

⁻ _(3.43)

Persamaan diatas mengacu pada Gambar 9.

Frekuensi alami yang diinginkan dari oscillator S adalah: _i

*

*

*

=

_i

~

_i

sin

_i

i

σ K φ

ω Ω − ∆

(3.44)

Persamaan diatas mengacu pada persamaan (3.37) dimana

ψ

&_i =0.

Untuk mencapai fase relatif yang diinginkan, digunakan persamaan seperti ini:

 

 







 

 







∆

∆

∆

∑

∑

* 1

=

* 1

* =

cos sin arctan

=

ij ij

ni

j

ij ij

ni

j i

φ ε

φ ε

φ

_(3.45)

dengan berdasarkan pada fase rata-rata yang telah diberi bobot yaitu

φ

_i melalui mutual entrainment.

III.4 A

^TURAN

P

^ERUBAHAN

F

^REKUENSI

A

^LAMIAH

Berikut ini adalah persamaan untuk mengatur perubahan dari frekuensi alamiah:

))

~ ( ( )) ( (

) (

= 1)

(

_{i i i i}^* _{i i i}^* _{i i}

i

τ ω τ α ω ω τ β ω ω τ

ω + + − + −

(3.46)

Dimana

τ

_i adalah dimensionless-time, yaitu waktu yang telah diberi skala yang berhubungan dengan periode dari sinyal dan α,β∈(0,1) merupakan konstanta bernilai positif. Pada aturan perubahan ini, sebuah frekuensi dasar ~^*

ω digunakan i

untuk setiap sinyal yang berguna untuk mencegah pergeseran dari frekuensi natural di setiap sinyal.

III.5 P

^ERKIRAAN

F

^REKUENSI

A

^LAMIAH

D

^ARI

B

^OBOT

F

^ASE

R

^ATA-

R

^ATA

Bagian ini akan membahas frekuensi alamiah dan bobot fase rata-rata yang diperkenalkan pada bagian 4.3. Untuk selanjutnya penulis akan menganggap perkiraan dari hasil kompromisasi frekuensi dengan mengasumsikan terjadinya mutual entrainment secara lokal diantara oscillator S dan_i S . _ij

Dinamika dari oscillator S pada oscillator lain yang berada disekitar _ij S dapat _i dinyatakan dengan:

ij ij i ji i ij

ij

f

n

t ) = + K sin ( − ) +

( ω ε φ φ

φ ^&

_(3.47)

Dimana

f

_ij adalah pengaruh gabungan dari oscillator disekitar S terhadap _ij S _ij selain S . Dengan menggunakan persamaan (3.47) diatas dan dengan _i mengasumsikan bahwa arus kendaraan pada oscillator disekitar S bersifat _i homogen, maka persamaannya akan menjadi:

ji ij

i ji ij

ij

= ω + K ε sin ( φ − φ ) + ∆ f

φ ^&

(3.48)

Dengan mendefinisikan ∆ yaitu: f_ij

)) (

sin 1 (

=

_{ji i ij}

i i ij

ij

K

n f n

f − ε φ − φ

−

∆

_(3.49)

dan dengan menganggap nilai dari 3 oscillator lain yang berada disekitarnya mempunyai nilai sama dengan S maka _i ∆ dapat diabaikan sehingga persamaan f_ij (3.48) dapat dinyatakan seperti berikut:

) (

sin

=

_{ij ji i ij}

ij

ω K ε φ φ

φ & + −

_(3.50)

Jika

ω

_i adalah frekuensi kompromi dari oscillator ini pada keadaan stabil dan saat fasenya terkunci. Setelah itu, dengan asumsi terjadi local entrainment pada oscillator, maka kita mendapatkan persamaan sebagai berikut:

i ij

i

φ ω

φ & = & =

(3.51) Dari persamaan (3.4) dan (3.47) bisa didapatkan nilai dari

ω

_i yaitu:











 + +∆

+

=

∑

∑

⁼

=

i

i

n

j

ij ij ji ij i n ij

j ji

ij i

i f

n n

1 1

) 1 (

1 1

1

ω

ε ω ε

ε ω ε

(3.52) Jika nilai dari

∆ f

_ij dapat diabaikan, maka persamaan tersebut menjadi:

 





 



 +

+

≅ ∑

∑

⁼

=

i

i

n

j

ij ji ij

i n ij

j ji

ij

i

i

n

n

1 1

) 1 (

1 1

1 ω

ε ω ε

ε ω ε

(3.53) Setelah itu, dengan melihat persamaan (3.26) maka bisa didapatkan persamaan berikut ini:

ij ij

i ni

j

i

φ

δφ φ φ ^& ∑ δ ^&

1

=

=

(3.54)

( )

( )

∑ ∑

∑ ∑

= ≠

= ≠

− +

− +

i i

n

j ij ij k j ik ij ik

n

j ij ij k j ik ij ik ij

i

1 2 1

2

) cos(

)

= cos(

φ φ ε

ε ε

φ φ φ ε

ε

φ ^& ε ^&

(3.55)

Jika dilakukan phase lock padaS dan _i S , maka akan didapatkan: _ij

( )

( )

ⁱ

n

j ij ij k j ik ij ik

n

j ij ij k j ik ij ik

i _i

i

φ ω φ ε

ε ε

φ φ ε

ε φ ε

∑ ∑

∑ ∑

= ≠

= ≠

− +

− +

1 2 1

2

) cos(

) cos(

& =

(3.56)

Karena nilai dari persamaan berikut:

( )

( ^{cos( cos( ) )} ) ¹

1 2 1

2

− = +

− +

∑ ∑

∑ ∑

= ≠

= ≠

i i

n

j ij ij k j ik ij ik

n

j ij ij k j ik ij ik

φ φ ε

ε ε

φ φ ε

ε ε

(3.57)

Maka,

i

i

ω

φ & =

(3.58) Pada keadaan yang sudah stabil, natural frekuensi dapat didekati dengan persamaan berikut:

i

i

= ω

Ωˆ

(3.59)

)