MODEL PENELITIAN MATEMATIKA.

lssN

1978-384t

jurnal

Sains

Indonesia

Media

Komunikasi

Hasil

Penelitian sains

dan

Matunatika

Pembina

Prof.

l)r.

Dianius l)iarnrn, S.Lt.. iU.S. (.Rektor {'nineQ

I)rs. Svarval

(lultom.

Nt.Ptl. (Penbantu Rektor [11

.

Prof.

I)r.

.\lbinus Silalahi, \f .5. (Penbuntu Rcktor IlIS Pr<-r[.

l)rs.

]\fanihar Situmorang. \l.Sc.. Ph.D. (.1)rkan P'\1lP 1)

Dewan Penvunting

Prof. Drs. N{anrhar Situmorang. NI.Sc..

Ph.I)

(Ke/ua) Drs. i)asar Nlaulim Silitonga. itl.S. (lf'aAr,l

Dra. iv{artina Restuati. NI.SI.

(lf;A/4

I)rs. ,\srin I-ubis, \I'Pd- ('1n,gotu) Prof.

l)r.

I)argauian Siagran. NI'Pd' ('ln,qqota,\

Dr. Riclu'an .\bdul Sani, N{.Si. ( '1nqgola) Pro[.

I)r.

Suharta. Nl.St. ('lnguofa)

I)r.

rer. nat. llinari N{anurung, NI'SI. ('1nryota)

Penyunting

Ahli

Pro[.

I)r.

I{erbert Sipahr-rtar, ll{.S.. ]\l.Sc.

I)r.

Zainuddrn N{.. iU.Sr. I )r. .\.1,,. l)r6tli, rcantos, I

i)r.

.\[

Jtnron

Tata Usaha Drs. Zulkifli i)ra. Sior.r .\smarida Purba

'l'ua _I). -l'amlttrttan

lumal

Sains Indonesia (dahu/s lnrnana ,\ldlu/al, Pendidikan .\',ieniel diterbitkan.relak tahun 1976, dengan.lK '\'[enleri

-Prorrorgon

fupuhlik 1p7l6rysia STT Penerhit Khu.v,t.r lan.gqa/ 9 De.;t'mber 1976,

\0.

276/5'K/ Diien PPC/5"1'T/ 1976-

Iilr-tlan malemalika. Penpelola meueima anike/ lusil penelilian, calatan pene/ilian danf alau ie/uah _Pilrlaktt du/an bidanqi/na.\an.q

releuan. Petunfak penu/ivn aatkab dapat di/ihal ltada ka/it be/akans ha-Ean da/am dai iarna/ ini. \atkah dikinnkan ke alamat retlak.ri nnluk dirt,alaa^ri ilan dinntin.q. Xa.rkalt ),ttngtidak nenenuhi persl'aratun akan dikenhalikan kel>ada penu/i-r.

Diterbitkan

oleh:

Fakr-rltas j\Iatematika dan Ilmu Pengctal-ruan .\larn L'niversitas Negcri Nfedan

Alamat Redaksi:

.l urr.rnl Sains Indoncsia

f 1. \\'rllem Iskandar l)asar

\',

il{edan 2(}221

felp. 061-6(125970

Fl-mai1: frnipa-ururred@medan .urasan tara. net.id

1

Dari

Pengelola

volume' 32 Nomor 1 _Jurnal sains Indonesia _tahun 2008

ini

hadir kembali

di

hadapan sejawat

dengan 12 _{artikel hasil penelitian dari bidang biologi,}

kimia, fisika, dan matematika. Masing-masing

artikel

memuat informasi

baru

yang sangat

menarik dan

_penting

untuk

dirujuk

dalam upaya

pengembangan sains dan matematika.

Pengelola menanti artikel-artikel _{orisinal yang bermutu dari kita}

semuanya. Namun demikian,

sebelum

menulis

artikel,

_{sangat diharapkan}

fara

penulis

_{mempelajari terlebih}

dahulu,

dan

selanjutnya mengikuti, petunjuk penulisan- _{artikei yang tertera pada sampul belakang bagian dalam}

dari

jumal ini.

Pengerola juga mengharapku., _{ugu, gurnbar, foio,}

utu'

_diagram

yang akan dimuat

dalam artikel dibuat dalam

_{lembaran telpisah}

dan

_{sudah dalam}

uentut

,r*oi

ready.

lJnhtk

memudahi<an _{editing, sejawat penulis}

sangat diharapkan hanya _{menggunakanfasilitas konshuksi tabel} standar yang tersedia pada sioftware Microsoft

word

atau

e"ei

dan tidak menggunakan 1asrytas drawing

yang _{ada pada software tersebut.}

untuk

_{memperkecil kerusakan}

file

akibat gangguan _{virus, ada} baiknya jika sejawat _{penulis mengirimka n soft copy dalam bentuk}

rich text _format

(rft)

_{menyertai hard}

copy arhkelnya

masing-masing.

'r-"'"'-

\rr!/

'r

untuk

nomor berikutnya,

artikel

yang

tidak

memenuhi _{persyaratan berdasarkan petunjuk}

penulisan tersebut _{tidak akan dimuat dan akan dikembalikan}

t.puau _{penulis untuk diperbaiki.}

Selamat berkarya.

Medan,

_Juni 2008

. t-'a

Vofrret

I

f.krro

t I

p.*"ri-trtiZm

|urnal

Sains

Indonesia

Media Komtmikasi H*sil P melitian S abs dan lvlatemntika

Daftar

Isi

Panal

M.

Siahaan

Identifikasi

dan

Pengaruh

Cacing parasit

pada

Saluran

1,-6

Pencemaan

Ay*

Buras

di

Kotamadya

Medan

dan

SatiValensia

Hu-tabarat

Sekitamva

Estimasi

Zooplankton

di Perairan Danau

Siombak

Indah

7

-12

Medan

Marelan

Sebagai Salah Satu

Indikator perairan

Mariaty

Sipayung

Pengaruh

Pemberian

Bahan

Organik,

Kapur,

dan

₁₃

-17

Ferrizulfat terhadap

Beberapa

Sifat Fisik

Tanah

dalam

Kaitannya dengan Perkembangan

Perakaran

Tanaman

j

1,8

-21,

sari

LahanTanaman

salak

disekitar

Kotu

pud*gridi*p*

22_26

Zul

Amry

Model Penelitian Matematika

27

-32

Wawan

Bunawan

Visualisasi

Distribusi

Poteruial Laplace

Tig"

Dim"*i(3D)

33 _ 36

.=.,=.,

1e"s*Y:"gq*uk*M

aHinssu

Nurdin

Bukit

Pengaruh

Radiasi

Sinar Gama

pada serat ceias

rvroaet ₃₇

-42

,

Acak

pada

Pengujian Tarik

Bahan

Komposit

Karya

Sinutingg:a

Uji Pourt

Daerah

Kawasan

Hutnn

Gulmah

sugiharti

ferigaruh

Suhu

Pengaktifan

Kar@

Pemucatan

Warna

padaCrude Glyserol 46

-57

Herbert

Sipahutar

Parameter

Fungsi Reproduksi

tvte"ct

Betina Setelah

52-

₅₇

Pendedahan

Dua

Generasi

terhadap Xenoestrogen

Model

Penelitian Matematika

Zul

Amry

lurusan Matematika, FMIPA, Universitas Negeri Medan

Jl. Willem Iskandar Pasar V, Medan20ZZl

Diterima 03 April 200& disetuiui untuk publikasi 23 April 2008

Abstract.

Model of research in mathematic usuatly aery difference tcnaard others modcl of-rgur&, because the model of ,.esryra in general slttt

ti

nek empirical prwe in analysis

,q,Y^f:t]-!y!:,Y"5

{

t*ch1sion, *hileas model of resurch'in maihematic onty"use

tle

lagcnl

?ynpl,

and proaed accndtng of analyicany which can paformed"with

theoris as

defnitbn,lemTnaT,Aor*

fie

_oblect

oi

_{tlririopn b to}

up:itn

_some

moilel -$-rnur_c\in mathernqtic whicrt accompanied exnnpr"-r

iMerrnuafCer_

REsEARcH

Mooml {1. Soins Indon., 32e):27 - J2; 2008)

Jurnal Sains lndonesia Votume 32(t): 27 _ _{32, 2008}

Kata kunci:

Logicat principte,

mathematk, npdet of research, prove anatyticatty

n-p

ol Jn

berdistribusi normal standar N(0,1). Sedangkan

dari fakta.

ini

dapat muncul permasalahan _taru, y,aitu.statistik opa yang digun'akan apabila

d

tidok

a.Tets!u:. _{Untuk menyelesaikan masalah baru ini} drperlu _{kan teori-teori berikut.}

Teorema 7:

J.ika

Z

I

N(0,1)

V-Xr(v);Z

dan

V

inde_

pendery maka:

r=-a-t(v)

Jv tu

Teorema2:

_Jika Xr,... , Xn sampel random dari N(p,oz),

maka:

z=

-

N(0,1)

Teorema 3:

Jika Xr,...,Xn sampel random

dari

N(p,o2),

maka:

v=

t"

rDt

-

x,(n-l)

Dengan

menggunakan

-

konklusi

_dari

teorema

2

dan teorema 3 sebagai premis pada teorema 1, _{diperoleh statistik:}

=x-p

I

olJn

I

Pendahuluan

Salah satu _{tujuan belajar matematika adalah}

menyelesaikan

masalah

yang

ada

dalam matematika itu sendiri yang pada awalnya bisa

dilakukan dengan menggu-n2Lan suatu'aturan ssperti definisi. Sayangny-a, pemecahan masalah

dengan

definisi

tidak

selalu

mudah

untuk dilakukan atau bahkan

ada

masalah-masalah matematika y-ang tidak dapat diselesaikan hanya

{"lgn

definisi saja,

s-ehingga berdasarkan

ctenrusl yang ada ihr para pakar coba membuat

teori-teori

baru seperii

torema

untuk

menyelesaikan _{masalah tersebut. Kegiatan para}

pakar dalam menemukan teori-teori6aru

intan

yang

merupakan _{salah satu model} penelitian dalam bidang matematika

Penelitian

dalam

bidang

matematika umurnnya dilakukan berdasarkan pengertian_ pengertian dasar atau teori-teori yane sud'ah ada

sebelumny4 baik

itu

berupa

a(sioila,

definisi,

luTT"

mlupul

_{teorema. Teori-teori dasar yang}

:"d$

ada

inilah

yang

manjadi pijakan atau

landasan

unfuk

membangun teori-teori baru yang dibutuhkan dalam menyelesaikan masalah

baik

dalam

matematika

maupun

diluar

metematika

itu

sendiri.

Karena permasalahan

senantiasa _{terus berkembang menladi masalah}

PuT,

tidak jarang teori yarig sudah ada tidak

lagr _{mamp! untuk menyelesaikan masalah yang}

baru.tersebut,

_sehinggd diperlukan

pula

ieori_

teori baru untuk dapat menyelesaikurrr,uu.

Sebagai ilustraii,

jika

Xr,

ry, ...

_,

*"

sampel random dari

dari

suatu populasi berdistribusi

normal

X

-

N(p,o2), maka

uji

hipotesis untuk

q3.1-ul:t tl,

apabila

62

diketahui

dapar

diselesaikan dengan menggunakan statistik Z:

Z=

X-tt

--7-F o/ r/n

X-p

--j-r

o/ vn

T= Z

.tvln-l

=X-p

o

ol,ln

S

karena berdasarkan teorema Lindenberg_Levy @udewicz dan Mishra, 1988: 375) statistikl

(n

-

l)S'l (n

-

l)o2

Fakultas Matenutika dan llmu eengerail; Alam

-ZuI.Amry

=

X,A-t1n-ry

b.

Merumuskan

masalah

s/Jn

persepsiyangdiperoleh.

sesuai

dengan

ff,t,,ffiffiH:lr31T

di

atas

dapat'

U:*fi,il#;:X.,r:"";fl:,Ifl?j'J:,*T

q( _orqrrJrr^.

dipecahkan.

T=

X-p

d'

_{Mencoba mengadakan pembahisan}

unhrk

il6=

"

il:ffi:,":.,iHLi::r*l;:1,",1

L.,

"*"

f

:

il:il:?i.*,1:ffillt

#H:'*"";",;

"

peneritian

Matematika

:

U:?,Ti,'jril;H:i,lmg-J'ro;"il"'i,"'

Pada umumnya,

masih

banyak

yang '

ff:llfflin

nsolusi serta finjauannya datam

mengangap _{bahwa penelitian}

matem,atii

gTs"n"pineritian_feneritian

p"il til;"

nT;

r

iff

,xJl"::,'g,T#"lg::hT:g*Tx

la"u* patiahul

tidaklah

a"-iti"".

Iririu-'uur.l

fr"ikor,padasaatpu*lur,ur*masarah.

sebagai ilmu

formal-rn".,,r*i suijriliiigss,

ij

,r#*""

k"?ililj?1J,,".,*

_{saja perru}

hanya

mengandung

-

pemyatuutt-pu"tyuiuuri

aia.rffin].oreh

_{klemampuantaram}

memanfaat-analitis yaitu- pemyataan

yang

t"tiunuiu.*yu

t"" *riu"r

informaji-

t"i*tut"*

_beruoa

t$:.ffi.i:!3'fi""i'A:?:'*#yl,tg;

i'#'',

"'d"uy

i"k,,";;,ir^ffiuitiu,,

*uupin

rormar,

;;A;;

;"r",'f".u"i;

;"",ff#

iiilX

5fitrtffi*,l1,1*:TJliung

mutematiku fakta (factuat

samcli

7ev"-"1

Bdg',

ritiu

a"" ^t

n"rli"", _{matematika meruiakan}

serangkaian

Kimia

karena, _{factuat sciences seiain}

memirl'i

t"d,r'#}"$

o"du'.'-.ffi[:

_dapat

menyele.

ix{:llt+llH,iilq:,,l:ilHi

F:ilil:r:l

il{ffi'"rin

*"Jr"I

ru',li,l"r;;r"..,i,,*

vang kebenarinnya harus sesuai

aenlan'fteaaa-

;;ffi;#;ififlH$ffr;Xfi}!,iffil#Hilfi

an nyata' _Iadi' perbedaan _{secara men?asa,}

acta- ;;;*Ih*

masalah iersebut.

K*"nu

itu,

_untuk la^' apabila _{maialah puau}

-ut"*"tit"

a""p"t

ai

ffi#il\sanakan

t"giatur.,^ _{p".,eritian mate.}

t*:fl::iln1"*ijil*s,jij:t

il?Il{ry;

n**5$1;ffii1:":$jii*;

b"I,

;;;

Berdasarkan _uraian

.singkat

il;;;

j:.I,"r

i"ii*"i"""a

_bersifat

rc.r"",^ff

xn*

ru

bahwapenelitianoadabidanftt"aiH"'"i"iuu

.#;#perbanyak

_{studi ripustakaan-daram}

|,!iil

"il'r"l

lfl:xpl"l;',r

|"1*ll

*{

_il;,1i,;

H:t

t

*

."tr

-,o u i

il;,;#*u,

_{men gi}

den-ffix,{ff

d:#ilil:""T,*;*trii?::Fil

-:*rur,r#*f:'ii'**,fjsffi:*,ji

ada

pengumnulan

data

_seperti

v""e

r"'i..

il;t.;;;'r*ara

_{otomatis terah}

terjadi

ratihan

dilakukan

ditam

.penelitiarl-p*"ii*i"ff

pad-a

peneriiian _matemarika

dan

sebagai pedoman,

bidang studi

lain;

tih"t-"1"'{ilffi;

"lg*

fiil#:i'"p"

peneritian yang dapat dirakukan mengisi kuesioner dan

juga

tiJ'i-"J"^

*"ritir

*1ffiiry:17),

diantaranyiadarah:

ipf,fff*tx-X'ffii:.#X*di#iltr

::ff1i,*ihubunsan

antara beberapa teori

ffi:ii

ili?,',fr1iliTj,*:a*l:i:t,ffi'"",Tj,ff

'

*";"fflT",,n,j:,x1jr*:

ma,ema,ika pada

[t"'Fl$--ilTll1]"1?iJxffil?:xl"Iilf,

.

yi,13:nu'enerarisasi

terhadap

suaru

_teori

3u"#HT:ffiri",XXfi

teoriimfi

mal'ematita

a-

iJ"..ri'"rgoritma

_{untuk mendapatkan}

suatu

*ffifrflif*:ff:ffi*l*?,*-'

n;"

merupakanto"iJt*i"r,rrr"girj!ii;#ffi;f""8

t

#ngrfttangtan.

suatu

teori

matematika Penelitian _matematika"

p"J"

"i"i"'ii*y"

:an penelitian _terapan

*ut"*ul*u

""

adalah _{pemecahan mas.atah}

d;;".;;';""y*

luruh pemecahan _masalan

-il"*"itu'^"iipt,tl

(Setiadji, _7999;15):

a'

Mengamati,

untuk

_memperoreh

pnsertian

Beberapa

Model

penelitian

mengenai masalah _{yang di'hadaPi'}

'--o-'

Berdasarkan. _{uraian yang}

terah

Mo del p enelitian Matematika

matematika

yang

mungkin

dapat

dilakukan,

tertentu. Dalam

judul ini

akan

_dibahas

diantaranyar

,

*n, ,*r.rnn

lna..

. .

perbandingan antara kedua regresi,

baik

teori_

Aplikasi

suahr

teoi

.tyhadqr.

teoi

lain. i*ti;;;;

_{mendasarnya maupun}

sifat-sifarnva.

Contoh judul: Esf'nasi Maksimum Liketihood

Pada

--"i;';i

yh*.op

";;;;;;;.

contoh judut: Model AR' Model AR adalah salah sahr

model

uii

-Niilatitas

d"h

i*;*iiinnnyo..

_penelitian time series yang stasioner _{dan sgring}

digunakan t""a"i

_i"1-membahas

.

tentang

teori-teori uji

sebagai

model

peramalan..

sedangf,an"metode

,,o.*utitu,

-u,rprr,

teori penduiungnya (seperti maksimum likeliinod _{adalah suatu fietode}

untuk

r""tri"Jilt.ru"li-"-prri!, ",il."'nu

kekonver-menentukan estimator

dari

parameter

suatu

g".,X,.,

dan

teorema

_{Giivenko-Cantelli)}

dan populasi dengan _{prinsip mencari nilai}

parameter

Seberapa permasalahan seputar _{uji normalitas.}

vans memaksimumkan _{tungsi rikerihood.}

Daram

n;it[1i'iiti;!:;;;:;

#or*o.Moder

pe_

judul

_{tersebut yang akan diSahas adalah}

bagai-

""riti".t'ir,l

*"-uut,'u,

,Jur,.

tl."-a

yang

su-mana metode maksimum likelihood

digunaf,an

_{aun uau,}

ai*t**d;"g"tri".,l

to.*r,rsi

teore.

untuk

menenhrkan estimator

dari parameter_

_{ma tersebut apabill,}

tffi'f!*Uun*

terhadap

':^tr#r#t#:#:i1ffi#:i',,/j},

,,"n.

;;;;r;;;;*iinya,

ditairuuriilt,, dikurangi

'

Co.ntoh

iudul

_{Membentuk Field} 'euotion _Dari Sebmang

Intergral Domain.

peielitian

_ini

merupakan model penelitian generalisasi,

yaitu

Contoh penelitian

perluasan _dari suatu

feld padi

_{integral dbmarn}

khuzus

keintegraldoia-inyinglebihimum.

Berikut ini _{.disajikan latar} berakang, Iandasan Membandingkan

ilui atiu

_lebih

teoi

datgm tun"";;;

pembahaian

auri

,uutu

_peneritian memecahkan

suatu

masalah.

_Contoh

judul: ;;";;i"

dengan judul

_{Estimasi Maksimum}

Perbandingan Antma Pendekatan Koefsim

Rnndom

l*"tnii'bta,

fioaa'An-'rralaur

penelitian _ini Dmgan Pendekatan Bayaian Pada Peramatai

Modet r";t;[";

_{model."nrrt"ri}

,"ii,

*,ori

terhadap

ARMA. Model

AR

iA

juga

merupakan

sad

;;i.;#

yairu

bigaimana

mengaplikasikan satu model time series.stasidner _{dan sering}

digu_

_"i"a"

"Jrfriruri

*Jli*.,

i.iff"tino"apada

teori nakan sebagai model peramalan.

oatari;uiut

"rtl*uri-.r.,tuk

mendapatkan estimator dari diatas yang dibahas acialah. bagaimana

fuiuun- ;;;;;oder

_AR

dalim

anarisis time series. dr1ga1 antara kedua pendekatJn dalam il"^un_

tukan_bentukperamalanpadamodelARMf-='

LatarBelakang.

Mencai

hubunqan _{antara dua}

teoi'

Contoh

Model Autoregresif (AR) dalam analisis hrne

judul: Hubungo,

irtrro

_{Estimator Baqes}

bergon

series

*u*putun

model

_khusus

dari

model

Estimator _{Mi":ima* Estimator nuy"t}

uiuiJ*in

aniiraa.l)r;-rgr",

if

integrati-

_{muaing auerage)}

estimator

dari

parameter.populasi- _yang

dipe-

yr"g

dikJ*bangkan _{oleh-Box dan Jenkins dan}

roleh

berdasark^an sampel'

dln

inrotmaosi

dari

_ielafi

bany;

digunakan _{sebagai model statistika,} parameter populasi yang akan diestimasi

terse. ;;;;ilt;1ng

-

berkaitan

dengan

masatah

but' sedanfkan resiko

diri

_suatu

iiiii* yyyn

i,"rri,?r'h.vasarah

_{yang Iazim dijumpai dalam}

merupakan batas bawah

dari

resiko

estiyiy

il.""g;ilrs

model AR-maupun model-model minimax' Dalam iudul di atas yang akan dibaha

s

_Hme'

;;;;.

Iainnya

_{adarah ' bagaimana}

cara

adalah

bagaimairahubu.rgati""i*l;i.^"*

T,;;g;i;rr

parameter-parameter

yang

_{ter_} Bayes

denga\

estimator

inini** berdasaxan

dapatdalammodeltersebut.

sampel dan prior dari parameter

populasinya'

'

_Teori

estimasi merupakan _{salah sahr} inferen-Pengembangan _{t&hadap suat'-u}

teoi'yang

si statistika yang dapat digunakan untuk mena-sadah ada.

Coitohiudu'

Integrat

Ri*";;;ft;k

;ik"ft:ilNan

tenJang-pa_iaraetersuatu poputa_

fungsi bemitai oektnir' Dalam

fl'r i"i t*.i ly*q

si

berdasLtan

samper observasi. _sarah satu

sudah ada adalah _{integral Riemann untuk}

fungsi

metode esti:

bemilai

riel

dengan"sifat-sifar

t;;;-uu.ruiu

il;"

T'ff::,tT:\::ll#'ff;*il,"i:',t

padanya. Penelitian _{yang akan atuatias}

berda-

;* il;:e

estimasi dengan cara memaksi_

sarkan

teori

ini

aia-lar

bagaimana -

u"it"t

"i,i.ir.""=ti,

ngsi liketihooa Bauuguimana yang

integral Riemann unruk

tungsi u"."il"i

uut,o, ;;ffili."il

_oleh

Netson (7973,\a1.92) bahwa beserta

sifat-sifatnva

;ffi;;il;g

memaksimumkan'tung _{si likerihood} Membandinckan

dua

teoi.

_Contoh

iudul: ;;ilh

'Jrlirnrri

yang

efisien.

_{sebab, secara}

Perbandinsan Rzrresi

i,;';;,;;i ;;s.;;'i*:::

t"di;

uri^ur,

maksimum

_{rikcrihood akan}

Nonparametrik pindang moder ,ugru&-v,

='.frtx:)

;;;gh"riiln

estimator yang reratif masuk akar,

+ _""i,

i:1,2,

_...,n. pada _{regresi para"metric}

benLt

ii;1"";_,1',,i:karenakan

,*til"i",

_maksimum

fungsi regresi m(X) umuin.yu diketuhui,

ke*uti

iiiltinrra

f"*0"

titik

parameter berdasarkan

untuk

seiumlah berhhgga parametemya.

samper observasi _{yang sudah teriadi.}

Sedangkan

pada

resesi

iJnpuru*"ti.-ld"r "-"'ffi#jia

has,ir

p?;;lt;;;ii

a.tper

_yu.,g

il::":'H::o:""8:t"'*"t1"#(?"ff*n':^:l

b"';:#T;ngu.,

*bdd

AR

_{dan teori estimasi}

ZUI Amry

maksimum

lileelihmd

yang hrrut

_dipedomani

dalam penelitian ini diintaianya adalair Nicholls

dan

.Q-uinn (1980:

3Z

)

meinbahas beberapa masalah statistika _{model AR dengan pendekatin}

koefisien random

dan

menggu"nakln metode

.kuadrat terkecil unfu k mengeiEmasi parameter_

parameter dalam model. Sedanekan _{Tiao dan}

Box

(1981: 326) membahas mEtode estimasi

maksimum likelihmd _{dalam mengestimasi para_}

meter pada beberapa _{model tim6 series. Currie}

(1985: 379) menyajikan bagaimana komputasi aljabar menyelesaikan _{estiniasi maksimum}

ftJce_

lihood pada suatu

data

lengkap maupun tak

lengkap. Mallet (1986:

45)

i-,"*buhur'metode

estimasi maksimum like.lihood pada model regresi

9*ggn

koefisien random. Sementara

itu

Basu

dan _{Rainsel (J986:63) menunjukkan hubungan}

antara fungsi likelfuood model ARMA untuk d-ata hilang dengan _{fungsi tikelihood} pad,a _{resrisi time} sm'es_untuk data lengkap yang dibatasi."

Berdasarkan

"raiari

jingfat

di

atas, perma_

s-alahal dalam penelitian initerkonsentiaii pada

penenfuan estimator parameter

suafu

model

time

series yang diidentifikasi

dari

_{data time}

senes, (Tt:

o:.:.,.x") dan

temyata mem_punyai

model AR. Sehubunga.n

dengin itu, dalim

_{pe_}

nelitian ini akan

dilakukan,tiai

t"rhudap moaet

AR

tersebut

untuk

menjawab permJsalahan

diatas

dengan

c;ra

mengestimaii parameter_ parameter yang terdapat

dalam

model secara anauhs

.lnenggurrakan konsep_konsep dalam matematika dan khuzusnya statistika matemati_

ka berupa definisi, lemma maupun teorema baik

LTq tsIk"itan

tangsung. mqupun

tidak

lang_ sung dengan teori estimasi maksimum likelihooi.

LandasanTeoi

.

.

Beberapa

teori penting yang

digunakan

d al am peneli tian ini, 6erup

id

uii.,i

rl

d efilii si d an teorema adalah sebagai berikut:

a. Moful

z{R

Bentuk

umum

model AR order p [AR(p)] adatah:

-- _ P

*,-l4,r,_,*o,

591furuiiun

nilai sekarang sebagai- _iumlah

rer-tirhbzrng _{dari nilai-nilai maia fafu?ita'mUit}

r,-rt,

sesatan- sekarang ar dimana _{{ad adalah bari,san}

vanabet random'i

id

normal; ar

_N(0t

-r) dan

r

tidak diketahui. _{Jadi, xt di regresiku.,}

fuar'

f

nitui x yang lalu..

,..

!.:

Fun-gli likclihood dan metode maksimum

ttketrhood. Metode maksimum _{likelihood adalah} suatu metode estimasi,

a""g; il;d-;;;;i

nilai estimasi parameter _{yang memuksimumkan}

tungsi likelihood.

Defnisi.

Misalkan

X7, X2,...,

Xn

_adalah sampel random

dari

zuatu

_{populasi dengan}

fepjtgg

f(x/ 0r,0',... , 0k).

Fungsiiit"rinooJauri

0 didefinisikan dengan:

L(0/

x)

=

L(}r,

O2,"..,

er

f

x.r,

rc,

...,

x.)

=

fl

r1x,10,,0,,...,0*;

.

ffTli,\an

tungsi

dari

0 =

(0r, ,02,

...,

0r)

'

_{peroasarkan observasi.}

sampel xt, .x2,

...,

_x,,

tg{TSk":l

estimasi

-uk

i*,rrr,

'diUnood

didefi nisikan sebagai berikut:

:

Dfiyi1i:,Jika

untuk

setiap

titik

sampel X,

9q]

_i1?1"h harga, parameter dimana 'L(O/xj

mencapal harga maksimurTrnya, _{maka estimator}

maksimum likelihood _{dari parimeter 0 berdasar_} kan sampel X adalah

e(X)-

fnq],,,i",

tsiii.

z<rz1.

c

Metode

kuadrat

_{terkecil. pandang suatu}

regresi linear:

yi ₌ grXir _{+Brx,, +....+Brxir +ei}

,i='!,,\.".,n;

dimana yi _{.= variabel respon trial ke.i, xit, xe,}

. ..,

x* =

nilai

variabel independen-

n

n' R

₌ parameter _yang

dapat

_diestimasi

Siil;;#[""

sampel, dan ei= sesatan random _{dengan E(ei):0,} Var(ei) =o2 dan Cov(er,q)=0, V i, j

; i1 ;.

, _^,

^Y?l"l

regresi linear diatas dapat dinyatakan datam benfuk matriks

Y = X0+e

:]

'

i:]-

l:]

dengan

"

li;l

.

ii:

;;

L'"i

L-", -:.

Prinsip metode

kuadrat

terkecil

dalam

menentukan estimator

g

adalah dengan

memi

nimumkan _S(0)

= e'e terhadap p, yuit?, --

--s(B) =

(Y_xp)'(Y

_ _{xB) = (Y}

_xp)'

dan

as(o) = o

a0

akan menghasilkan

p = (xrX1-rxry, jika

XX

singular.

.

,

Dalam hal

ini p

disebut estimator kuadrat

terkecrt

untuk

B

dan

S(p) akan

_minimum,

apabila:

#1,=,,0

d.

Distibusi

_normal

multioariat

_-Definisi: Misalk-an

!t,Xz,

_.,.,Xn

variab"i

i""J.*^i i

a

N(p,,o)...Vektor random X _{dengan X =} (Xt, Xa

.:.,X.

)

_{dika takan berdishibusi}

,,"o;;^i

UJ.ru_u dengan me.a1

p

dan

matriks .o"uri-ur,-

i,

_;iLu

mempunyai _{dernitas bersama:}

fG)

= _-=l_

_exp

I rt

(x-p)r

I,

(x-p)

]

(2n)"t'|l2lttz

\--dengan x=(xr, xz, ..., Xn), _{lr=(pr, lu, ..., p,) dan}

|=

diag1of _,ol,...,ol)

Pentbahasan

Dari model AR(p) dengan bentuk:

*r=

fo,r,_, * e,

...

dapat _{dinyatdkan dengan:}

at=

x

-

f

0,*,_, ...:... ..._...

e)

1b"di,l:r"fl*iiTr;t"Tixilf

";::r'i

jiiT:

1

a riansi

g"' _{I TSku} d ensitas

UEou*r-""tu't'

=1",,

xa

...

x") adalah:

r(x/g,oj) ₌ (2ra2

y-,*f-+*[-,

-**,-,

)']

"""""""'(3)

yang dapat dinyatakan dalam _bentuk: f(x _{/{,o"'?) = 12no"t}

)-^,rlM,o.n,1"' .*Rf- * t.ryrl: "' x

I

f<)

dimana:

'{ t Yp- -t

Io

lp-zl :,

I

7

r fp-z 1o dengan:

Mo de I P eneli ti an Mat ema tika

I

",

^

r(x/o,oi _{) =} (2,rd _[,lvr.oJ' .

",.J -

-l

":''" -" -,I. [-- - io, -'' _J'

I

::|,--J

Berdasarkan _densitas

bersama

pada

(S)

diatag

9"gr!

_{Iiketihood,"rrf.}

p".rr*,J,

t a*

;.i",3f;lo"r"rkan

observuri

=i*,,-".,-..1

*

I

r-(0,oj /

{

₌ (zno)-",:

lvre.o,l,/,

_rf_#]

... (s)

t.=$'

k4''t''2'"'

Berdasarkan model.

e)

xp, (ap*t, ?p*2, ..., ?n)

!1

(y',

\n 2,

...,

*

)

d;p;i

;li.r't",ff""

,r"r,

suatu hansformasi:

op*r ₌ xp*s _-0,x0 +02x0_1 _+...+$ox,

ap+2 ₌ xp+2 _{-$'Xe+r +0rx, +...+Qox,}

&n ₌ Xo _-0rx"-, * _0zxn-. +...+{ox"-o ,

yang menghasilkan:

f(xo*,' x.r,...,xn r xn ; S, oj ). = (2no2 )rn+r,:.

"*J-

--l-

i

r,

I

'-''1

z":,*i'

l

dan

"""""""""""(5)

flxo /$, o.2 _{) = (2no}

j ;-rr:lyro.orl'/,

"*of-

*

I.tl'"'.*,

1

L2oiJ

...

Karena

Uu"t

L'.,"

"""""""';"""""""""""' 6)

r"uugJ,

"'

vqrrtur(

t(x/S'oj)

dapat dinyatakan

f(x /9, oj _{) =} f(x _{o.;, xo*2,.... x, / x}

o ;{, o j ).f1 x

"

/ g, oj )

...,....4..,...

{uneq

"-a'l

*,

.."

;;

'";i;

Ji,:t'iii

i^,(l/t

dapat diperoleh:

dengan

s(01 _{= xl.rvrl".,,.*o}

*,i,[*,

_tr,*,_,),

Logaritma natural

dari

_{fungsi liketkood (9)}

diatas adalah : rn L({, o"2 /

^) =

_

}n<zno: ) + 1 tnlM 1,,,1 _

$

... CIo)

sedangkan estimasi maksimum

likeli;;d

_unn)k parameter

oj

_dan

4 adalah.ni.lai

"ifail;

d*

0

yang

memaksimum-kan

nilai

,t0,":iil

aiau

lt:t,,1

L1g, oj.r

x)

yanS^rrnas.ing

;;'rl;bl

Iinyata-Kan

le.nqan 6r dan

6.

6

j

aipelot"n m?tJrui,

d.tn _{L(0,o1i x)}

-

-0

ao"

yang menghasilkan:

6:

= s(6),

n

,

l"91lgtun

0

akan

ditentukan

_melalui

tangkah-l _{anskah sebagai}

burik; i.

-U-;tuk,rk,lrun

sampel n>30] _{nilai dari;}

ln irra<''.,'1

sangatlah

kecil.

sehingga

dapat

diabaikan,

akibatnya diperoleh:

ln.L(0,o,'z / x _{; =}

-l

2

_{1n12r,or i} _ S(d) .... -... 01 )

2ol

.

. Karena bentuk yang terakhir

ini

didominasi

oleh

S(0),

maka'

-y,"hrk

memaksimumkan

j^li!,*girxldapat

dilakukan

a""gu;- .*u

memrnrmumkan:

'o-"

s(o)=

i[*,-fo,*,,)'

_ t:p+t \ r=t ₎

,"

J;:ilffi

:',".iil;

5

lk*;;J

/

s(0)=

Ixi-24'8.+6'a6

t.p*l Berikutnya:

a.s(d)

'.,

=o as

lfi."iffToerikan

-28

+

266

=

Q

sehingga

6 =

A-'8,

dengan _{6 = t,i,,0r,.} ,,i,1

I

v,

",0.0,

-f

,,

:

l';

Jurnal Sains lndonesia

ZulAmry

,1,.

Penutup

Penelitian

di bidang

_matematika

T:,fj_yii

sifat. yang sangat-berbeda dengan

penelhan-penelitian _{pada., bidang}

lain,

_karena

ctatam

penelitian matematiki

tidak

ada pengumpulan _{data seperti yang lazim dilakukan} dalam penelitian-peneliti""

piau

_{bidine-'studi}

ram;

uclak

ada

tqq"ldq

unhrk

irengisi kuesioner _{dan juga tidak ada analisis s-iatistik}

:-l}k

, penarikan. kesimpulan.

Materi

yang melandasi _{penelitian matematika adalah hasii} studi kepustakaan dari jumal, buku teks, buletin

T1"pTt

karya-karya

ilmiah

yang

lain,

seclangkan

alat-alat

yang

digunikari

untuk pembahasan _{adalah ieori"}

mattmatiki

seperfi

definisi,lemma dan teorema.

O..l9h sgbgb

itu,

untuk

dapat

melakukan

f:Tll!,T

di

bidang.matematik'a

a""gJ'Laif

naruslah

dimulai

dengan

membahis

soal_ soaVmasalah _matemadf,a

aari

yang'prti.,g

*:*:y

-sampai yang paling

""fu,

?"ui,.,yur.

Tll9llr!

t_fr ingga

. memungkinkan muncu lnya

masatah-masalah

baru

dalam

_pembahasan

tersebut.

Daftar Pustaka

Adkins, W.A., Weintraub, S.H. (1gg2) Graduate

texts in mathematics. _New york:'springer_

Verlag.

BairU

LJ.

Engelhardt, _M. (1gg2) _{lntroduction to}

probabitity

and

mithemoticol

_stiiii,tics.

betmont, California; _Duxbury press

Basu S., Rainsel, G.C. (1996) Relation between

Tir^ring

data

likelihood and

complete

ctata restricted

likelihoods

_regreision

time

series _models:

e"

uppli.Si;;l;

total ozone data.

Afpt. Stat.,'iil:6,_i;'

--Box, G..E.P., _{Tiao, G.C.'(i 9J3). Bayesian}

inrference in s t atis ti c at an aty

i

is.

Citif"i"i"i

aliiro,",_

Wesley publishing

Company

--

---Currie,

I.D.

(1995)

Maximum

_likelihood esti_

mation and mathem atics. Appl.,itot.,

U,

379_394

Dudewicz-, E.J.,

Mishra,

S.N.

(19gg) Moilenr

mathernatical statistics. _{Singaporer-pon}

Wiley & Sons

Mallet, A.. (1986).

A

_{maximum likelihood}

esti_

mation

method

for

random

coelflcient

regression models. _Biometrics,

73:

_{645_}

656 Nelson C.R

-(:r?3),

lfftira

fime series analysis

Ior

mqnagerial _{forecasting. San Franciico:}

Holden-Day

Nicholls, D.F., _{euinn, B.G. (1980) The estimati_}

on of

autoregressive' _models

*iin-.u.,_

oom

coetticient _{I. J. Time Series AnaI.,"l,:} 37_46

Roussas,

.g.G.

(1922)

A

frst

course

in

mathe_

matical

statistics.

Cahfornia:

_{ealJron_}

Wesley publishing Company

Setiadji (199.9) Matematika, _{aplikasi dan}

peneli-tian

Matematika.

pidato F""*"["f,u"

Jabatan Guru Besar

di

_UGM

Tiao G.C., Box, G.E.p. (1931) _Modeline

mult!

ple

time series

with

applicati;;;:

i.'n*

Stats. Assoc.,

76:376

"'-'

''

Jurnal Sains lndonesia Volume _{32 Nomor 2}

200-Lampiran 7

Judul _/jurnal llmiah (Artikel) Jumlah Penulis

Status Penulis Penulis Jurnal llmiah ldentitias Jurnal llmiah

Kategori Publikasi llmiah Beri pada kategori yang tepat

Hasil Penilaian Peer Review

LEMBAR

HASIL PENITAIAN SEJAWAT SEBIDANG ATAU PEER REVIEW KARYA ILMIAH: JURNAI ltMlAH

"Model Penelitian Matematika"

1 orang Mandiri ZulAmry

a.

Nama Jurnal

b.

Nomor ISSN

c.

Volume, Nomor, bulan, Tahun

DOI artikel

Alamat web Jurnal

Terindeks di

JurnalSains lndonesia L978-3841

Vol. 32, No. I

Januari-Juni 2008

d. e.

f.

Fl

lurnat llmiah Nasional Tidak Terakreditasi

Komponen yang dinilai

Nilai Maksimal Jurnal llmiah Nilai Akhir

yang

diperoleh

I nternasional

Nasional

Tera kreditasi

Nasional Tidak

Terakreditasi

'{

a Kelengkapan Unsur isi artikel (1-0%)

/

I

b Ruang Lingkup dan kedalaman pembahasan (30%)

J

2,r

c Kecukupan dan kemuktahiran data/ informasi dan

metodoloei(30%)

J

z

d Kelengkapan unsur dan kualitas terbitan/ jurnal

3

2,f

161s1=(100%)

t0

Nilai Pengusul=

I

Medan,

September 2016

Reviewer 1,

t.

Prof. Dr. Tulus, M.Si

NrP. 19620901 L98803 1002

Lampiran 7

Judul _/jurnal llmiah (Artikel) Jumlah Penulis

Status Penulis Penulis Jurnal llmiah ldentitias Jurnal llmiah

Kategori Publikasi llmiah

Beri pada kategori yang tepat

Hasil Penilaian Peer Review

Medan,

Lubis, M.Pd., Ph.D 51985031002 : Univ. Muslim Nusantara

LEMBAR

HASIT PENILAIAN SEJAWAT SEBIDANG ATAU PEER REVIEW KARYA ILMIAH: JURNAL ILMIAH

"Model Penelitian Matematika"

1 orang Mandiri ZulAmry

: Jurnal Sains Indonesia

a.

Nama Jurnal

b.

Nomor ISSN

c.

Volume, Nomor, bulan, Tahun

d.

DOI artikel

e.

Alamat web Jurnal

t.

Terindeks di

1978-3841.

Vol. 32, No. I

Januari-Juni 2008

Fl

lurnal llmiah Nasional Tidak Terakreditasi

7.q:

/t.

UJ _,' t_T ,

Medan,

September 2016

Reviewer 2,

Dr, Firmansyah, M.Si

NrP, 19671110 199303 1003

Unit Kerja: Univ. Muslim Nusantara

Komponen yang dinilai

Nilai Maksimal Jurnal llmiah NilaiAkhir

yang

diperoleh lnternasional

Nasional

Terakreditasi

Nasional Tidak Terakreditasi

-t

a Kelengkapan Unsur isi artikel (L0%)

\

OS

b Ruang Lingkup dan kedalaman pembahasan (30%)

v

2,9

c Kecukupan dan kemuktahiran data/ informasi dan

metodoloei(30%)

9

2r9

d Kelengkapan unsur dan kualitas terbitan/ jurnal

v

7,9

1e1sl=(100%)

1o

Nilai Pengusul=

Judul _{/jurnal llmiah {Artikel}} Jurnlah Penr.rlis

Status Penulis Penulis Jurnal llmiah ldentitias Jurnal Ilrniah

LEMBAR

I-IASII- PENILAIAN SEJAWAT SEBIDANG ATAU PEER REVIEW KARYA iLMIAH: iURwAL ILMIAH

"lModel Penelitian Matematika"

1 orang Mandiri

ZulAmry

a.

Narna iurnal

b.

Nomor ISSN

c.

Volume, Nomor, bulan, Tahun

d.

DOI artikel

e"

Alamat web Jurnal

f.

Terindeks di

Jurnal Sains lndonesia 1.978-3841.

Vol. 32, No. I

JanuariJuni 2008

l-ampiran 7

NilaiAkhir yang diperoleh Kategori Publikasi llmiah

Beri pada kategori yang tepat

Hasil Penilaian Peer Review

Komponen yang dinilai

Kelengkapan Unsur isi artikel (10%)

Ruang Lingkup dan kedalaman pembahasan (30%)

Kecukupan dan kemuktahiran data/ informasi dan

metodologi(30%)

Kelengkapan unsur dan kualitas terbitan/ jurnal

1e161=(100%)

Nilai Pengusul=

[

11]

:urnal llmiah NasionalTidak Terakreditasi

Nilai Maksimal Jurnal llmiah

Nasional

lNasionalTidak lnternasio na I Terakreditasi

I

Terakreditasi

l

l0

Medan,

September 2016

d

I

4t

4)

2,i

NrP. 19570804 198503 1002

Unit Kerja : Guru Besar FMIPA UNIMED