soal canggih matematika dasar soal canggih matematika dasar

TUGAS MATEMATIKA DASAR

OLEH

syawaludin

E1R114071

PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS MATARM

1. Buktikan bahwa

|

x−2 x2+9

|

≤

|

|x|+2 9

|

Penyelesaian!

|

x−2 x2+9

|

=

|

x+(−2)

x2+9

|

|

x−2 x2+9

|

≤

|

x x2+9

|

+

|

−2 x2+9

|

|

x−2 x2+9

|

≤

|x| x2+9+

2 x2+9=

|x|+2 x2+9

sehingga x2

+9≥9, 1 x2+9≤

1 9

|x|+2 x2+9≤

|x|+2 9

|

x−2 x2+9

|

≤

|x|+2 9

2. Himpunan penyelesaian dari ketaksamaan yang di berikan

|

x

2+7

|

≥2… .

Penyelesaian!

|

x 2+7

|

≥2

x

2+7≤−2atau x 2+7≥2 x

2≤−9atau x 2≥−5

x ≤−18atau x ≥−10

3. Tentukan himpunan penyelesaian dari 1 x+1<

2

3x−1 . . . . Penyelesaian!

¿ _x1

+1< 2 3x−1

 _x1

+1− 2

3x−1 ¿0

 (3x−1)−(2x+2)

(x+1)(3x−1) <0

 x−3

(x+1) (3x−1)<0

TP : -1 , 1 3,3

−¿ ++ −¿ ++

−11

33

Hp = {−∞,−1}∪

{

1

3,3

}

4. Tentukan himpunan penyelesaian dari|2x−5|<3… .

Penyelesaian!

 −3<2−5x<3

 5−3<2x<3+5

 2<2x<8

 1<x<4 + _ +

Hp : {1,4}

1 4

5. Tentukan himpunan penyelesaian|2x+3|≥|4x+5|….. Penyelesaian!

(2x+3)2≥(4x+5)2

4x2+12x+9≥16x2+40x+25

−12x2−28x−16≥0

3x2+7x+4≤0 Hp={−4

3,−1}

6. Nyatakanlahhimpunan penyelesaian dari ketaksamaan berikut dalam notasi selangdan gambarkan gerafiknya

a¿x+4

x−3≤0b¿ 7 4x≤7

Penyelesaian!

a¿x+4

x−3≤0

∴{−4,3}

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

b¿ 7

4x≤7

¿ 7

4x−7≤0

¿7−28x

4x ≤0

{−∞,0}∪

{

1

4, ∞

}

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

7. Carilah δ(tergantung pada ε)sedemikian sehingga implikasi yang di

berikan adalahbenar … . a¿|x−5|<δ →|3x−15|<ε

Penyelesaian!

a¿|x−5|<δ →|3x−15|<ε

|3x−15|<ε↔

|

3(x−5)

|

<ε

3|x−5|<ε

|x−5|<ε

3;δ= ε 3

b¿|x+6|<δ →|6x+36|<ε

|6x+36|<ε↔

|

6(x+6)

|

<ε

6|x+6|<ε

|x+6|<ε

6;δ= ε 6

8. Untuk F(t)=4t3_{, caridan sederhanakan}

[

F(a+h)−F(a)

]

h ….

Penyelesaian!

[

F(a+h)−F(a)

]

h =

4(a+h)3−4a3 h

¿4a

3

+12a2h+12ah2+4h3−4a3 h

¿12a

2

h+12ah2+4h3 h

¿12a2+12ah+4h2

9. Nyatakanlahapakah fungsi yang diberikan genap atau ganjil atautidak atautidak satupun, kemudian gambarkan grafiknya … .

a . g(x)=3x2+2x−1 b . f(x)=|2x|

Penyelesaian!

a¿g(x)=3x2+2x−1 g(−x)=3x2

y

5

-5 5 x

-5

b . f(x)=|2x|

f(−x)=|−2x|=|2x|(fungsi genap)

y

5

-5 5 x

-5

10. Bunyi soal yang samadengan no.9 g(x)=

⟦

x

2

⟧

Penyelesaian! g(x)=

⟦

x

2

⟧

=g(−x)=

⟦

−x

2

⟧

(bukan)

y

5

-5 5 x

11. Untuk f(x)=x2+x dang(x)2

x+3 , carilah tiap nilai

a .(fog) (1)b . g2₍₃₎

Penyelesaian! a .(fog) (1)=f

(

2

1+3

)

=

(

1 2

)

2

+1

3= 3 4

b . g2₍₃₎₌

(

2 3+3

)

2

=

(

1

3

)

2

=1

9

12. Andaikan f(x)=x−3

x+1. Buktikan bahwa f

(

f

(

f(x)

)

)

=x , asalkan x ≠ ±1

Penyelesaian!

f

(

f

(

f(x)

₎

₎

=f

(

f

(

x−3 x+1

)

)

=f

(

x−3 x+1−3 x−3 x+1+1

)

¿f

(

x−3−3x−3 x−3+x+1

)

¿f

(

−2x−6 2x−2

)

=f

(

−x−3 x−1

)

¿

−x−3 x−3 −3

−x−3 x−1 +1

¿−x−3−3x+3

−x−3+x−1 =

−4x

−4 =x

jika x=−1,f(x)tidak terdefinisi , berarti jika x=1,f

(

f(x)

)

jugatidak terdefinisi 13. Periksa kebenaran identitas berikut

(a)sin2_v

+ 1

sec2_v=1

Penyelesaian !

(a)sin2_v

+ 1

sec2v=sin 2_v

+cos2_v

=1

(b)cos 3t=cos(2t+t)=cos 2tcost−sin 2tsint

¿

(

2 cos2t−1

)

cost−2 sin2tcost

¿2 cos3_t

−cost−2

(

1−cos2_t

₎

_cost ¿2 cos3_t

−cost−2 cost+2cos3_t

¿4 cos3t−3 cost

14. Sketsakan grafik persamaan−persamaan berikut pada

[

−π ,2π

]

…. a¿y=2 sint

b¿y=cos

(

x−π

4

)

Penyelesaian!

a¿y=2 sint

y 4

2π

- π t

-4

b¿y=cos

(

x−π

4

)

y 4

2π

17. Tentukan nilai darilim

x →4

lim

18. Berikan sustu bukti ε , δ fakta limit berikut

a¿lim

x−7 hasilnya tidak tentu di suatu titik tertentu .

bagaimana seharusnya didefinisikan agar membuat fungsi itu kontinu ….

24. Di titik manakah f (x)= 33−x

2

xπ+3x−3π−x2menjaditidak kontinu ? penyelesaian!

f(x)= 33−x

2

xπ+3x−3π−x2

xπ+3x−3π−x2=0

3(x−π)−x(x−π)=0

x(x−π)=3(x−π)

x=3

xπ+3x−3π−x2

=0

π(x−3)−x(x−3)=0

x(x−3)=π(x−3)

x=π

jadi , f (x)= 33−x

2

xπ+3x−3π−x2tidak kontinu di x=3dan x=π . 25. Selidiki kekontinuan fungsi

Penyelesaian!

(I)f(2)=4

f(x)=¿

lim

x→2 x 2

−4

x−2 = lim

x→2

(x+2)(x−2)

(x−2) =4

(II)lim

x→2¿

f(x)=¿

lim

x→2 x 2

−4

x−2 = lim

x→2

(x+2) (x−2)

(x−2) =4=f(2) (III)lim

x→2¿

Karena ketiga syarat terpenuhi makaf(x)kontinu pada x=2.

26. Di berikan f(x)=

√

1−x2_{. Selidikilah kekontinuan fungsi f .} Penyelesain!

Jelas f tidak kontinu padelas f tidak kontinu pada(−∞,−1)dan pada(1,∞)

sebab f tidak terdefinisi pada inerval tersebut .Untuk nilai−nilai a dengan

−1<a<1di perpleh ;

dan

Sehingga f kontinu dari kanan di x=−1dan kontinu dari kiri di x=1 jadi , f kontinu pada

[

−1,1

]

.

27. Nyatakan apa fungsi g(t)=|t−2|menunjukan kontinu atau tidak

penyelesaian!

lim

t →3|t−2|=1

karena g(3)berarti pernyataan tersebut kontinu .

28. Periksaapa kah f(x)=

{

(x−1)

2

sin

(

1

x−1

)

; x ≠1

¿

1; x=1

kontinu di x=1

Untuk mengetahuinyaharus di periksa apakahlim

x→1f(x)=f(1).

sekarang perhatikanbahwa untuk sembarang nilai x kecuali x=1berlaku Penyelesaian!

¿−1≤

(

1 x−1

)

≤1

¿−(x−1)2≤(x−1)2sin

(

1

x−1

)

≤(x−1) 2

¿(x−1)2≤ f(x)≤(x−1)2

Selanjutnyalim

x→1−(x

−1)2=0danlim

x →1(x

−1)2=0 sehingga menurut teorema apitlim