8.1 Fungsi Invers
Misalkan denganf : Df Rf
)
(
x
f
y
x
v
u
f (u) f (v)Definisi 8.1 Fungsi y = f(x) disebut satu-satu jika f(u) = f(v)
maka u = v
atau jika maka
x y
fungsi y=x satu-satu
x y
fungsi y=-x satu-satu
2
x y
u v
MA1114 KALKULUS I 3
Secara geometri grafik fungsi satu-satu dan garis yang sejajar dengan sumbu x berpotongan di satu titik.
Teorema : Jika fungsi f satu-satu maka f mempunyai invers notasi f 1
f
f
D
R
f
1:
y
f
x
y
1
Berlaku hubungan
x
x
f
f
1(
(
))
y y
f
f ( 1( ))
f f
f
f
R
R
D
D
1
,
1
Df Rf
f
x y=f(x)
R R
1
f
) (
1 y
Teorema : jika f monoton murni(selalu naik/selalu turun) maka f mempunyai invers
x x
f ( )
x x
f ( )
2
) (x x f
u v
f(x)=x
R x
x
f '( ) 1 0,
f selalu naik
f(x)=-x
R x
x
f '( ) 1 0, f selalu turun
0 ,
0
0 ,
0 2
) ( '
x x x
x f
f naik untuk x>0 turun untuk x <0
1
f
1
f
1
MA1114 KALKULUS I 5
Contoh : Diketahui
f x
x
x
( )
1
2
a. Periksa apakah f mempunyai invers b. Jika ada, tentukan inversnya
Jawab a. 2
)
2
(
)
1
.(
1
)
2
.(
1
)
(
'
x
x
x
x
f
x
Df
x
0
,
)
2
(
3
2Karena f selalu naik(monoton murni) maka f mempunyai invers
b. Misal
,
2
2
1
x
x
x
y
1
2
y
x
Suatu fungsi yang tidak mempunyai invers pada daerah asalnya dapat dibuat mempunyai invers dengan cara membatasi daerah asalnya.
2
) (x x f
u v
1
f tidak ada
R
x
Untuk
2
) (x x
f
Untuk x>0 adaf 1
2
) (x x
f
MA1114 KALKULUS I 7
Grafik fungsi invers
Titik (x,y) terletak
pada grafik f Titik (y,x) terletakpada grafik f 1
Titik (x,y) dan (y,x) simetri terhadap garis y=x
Grafik f dan semetri terhadap garis y=xf 1
f
1
Turunan fungsi invers
Teorema Misalkan fungsi f monoton murni dan mempunyai turunan
pada selang I. Jika maka dapat diturunkan di y=f(x) dan
I x x
f 1( ) 0, f 1
)
(
'
1
)
(
)'
(
1x
f
y
f
Bentuk diatas dapat juga dituliskan sebagai
dx
dy
dy
dx
/
1
Contoh Diketahui tentukan f (x) x5 2x 1 ( f 1)'(4)
2
5
)
(
'
x
x
4
f
,y=4 jika hanya jika x=17
1
)
1
(
'
1
)
4
(
)'
(
1
f
f
MA1114 KALKULUS I 9
Soal Latihan
f x x
x x
( ) 1 , 0
f x( ) 3 2x 1
f x( ) 5 4x 2
f x
x x
( ) ,
5
1 0
2
f x x
x
( )
1 1
2 3 2
) (
x x x
f
Tentukan fungsi invers ( bila ada ) dari
1 . 2.
3.
4.
5.
8.2 Fungsi Logaritma Asli
Fungsi Logaritma asli ( ln ) didefinisikan sebagai :
Dengan Teorema Dasar Kalkulus II, diperoleh :
Secara umum, jika u = u(x) maka
ln
x
,
t
dt x
x
1
0
1
x
dt
t
D
x
D
x
x x
1
1
ln
1
dx
du
u
dt
t
D
u
D
x u
x x
1
1
ln
) (
1
MA1114 KALKULUS I 11
Contoh : Diberikan
maka
Jika
Jadi,
Dari sini diperoleh :
Sifat-sifat Ln :
1. ln 1 = 0
2. ln(ab) = ln a + ln b
3. ln(a/b)=ln(a) – ln(b)
))
2
4
ln(sin(
)
(
x
x
f
))
2
4
(sin(
)
2
4
sin(
1
)
(
'
D
x
x
x
f
x
4
cot(
4
x
2
)
0
,|
|
ln
x
x
y
0 , ) ln( 0 , ln x x x x x y xy ln '1
x x
y x
y ln( ) ' 1 1
.
0
,
1
|)
|
(ln
x
x
x
dx
d
dx
ln
|
x
|
C
x
1
a
r
a
rln
ln
.
dx
x
x
4
0
3 2
2
dx
x
du
x
u
3
2
3
2Contoh: Hitung
jawab
Misal
3
1
2
3
2
du
u
dx
x
x
u
du
3
ln
|
u
|
c
1
1
3
1
c
x
ln
|
2
|
3
1
3
0
4
|
2
|
ln
3
1
2
3 4
0 3
2
dx
x
x
x
.
33
ln
3
1
)
2
ln
66
(ln
3
1
sehingga
dx
x
du
23
1
MA1114 KALKULUS I 13
Grafik fungsi logaritma asli
0
,
ln
)
(
1
x
t
dt
x
x
f
x
f
D
x
x
x
f
'
(
)
1
0
f selalu monoton naik pada Df
f
D
x
x
x
f
''
(
)
1
2
0
Diketahui
a.
b.
c.
Grafik selalu cekung kebawah
d. f(1) = 0 1
8.3 Fungsi Eksponen Asli
Karena maka fungsi logaritma asli
monoton murni, sehingga mempunyai invers. Invers dari fungsi
logaritma asli disebut
fungsi eksponen asli,
notasi
exp
. Jadi
berlaku hubungan
Dari sini didapat : y = exp(ln y) dan x =ln(exp(x))
Definisi 8.2
Bilangan e adalah bilangan Real positif yang
bersifat ln e = 1. (disebut bilangan Euler, karena beliau yang
menemukannya)
Dari sifat (iv) fungsi logaritma diperoleh
ln
1
0
untuk
x
0
,
x
x
D
xy
x
x
y
exp(
)
ln
e
r
e
r
MA1114 KALKULUS I 15 x
e
y
dy
dx
dx
dy
/
1
x x
x
e
e
D
(
)
,
Jadi
y
x
e
y
x
ln
Turunan dan integral fungsi eksponen asli
Dengan menggunakan turunan fungsi invers Dari hubungan
y
dy
dx
1
'
.
)
(
e
( )e
u
D
x u x
uSecara umum
Sehingga
1
y=ln x y=exp (x)
Grafik fungsi eksponen asli
Karena fungsi ekponen asli merupakan invers dari fungsi logaritma asli maka grafik fungsi eksponen asli diperoleh dengan cara mencerminkan grafik fungsi logaritma asli terhadap garis y=x
1
Contoh
)
ln
3
(
.
)
(
e
3 lne
3 lnD
x
x
D
x x x
x x x 3 ln(
3
ln
3
).
MA1114 KALKULUS I 17
.
3
1
3
1
3
1
3/2 / 3
c
e
c
e
du
e
dx
x
e
x u u x
Contoh Hitung
dx
x
e
x
2 / 3Jawab :
du
dx
x
dx
x
du
x
u
3
1
1
3
3
2
2
Misalkan
Soal latihan
'
y
x x
e
e
y
sec
2
2secx
e
x
y
5 3ln
x
e
y
tan
A.Tentukan dari
)
3
ln(
x
3y
e
y
1
3 2
2
e
xy
y
x
5 6
ln 2 x x
y
x
y
ln
cos
3
y
x
x
ln
2
y
ln sin
x
)) 1 2
sin(ln(
x
y
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
MA1114 KALKULUS I 19
B. Selesaikan integral tak tentu berikut
4
2x 1 dx
4 25 2
x
x x dx
2 2
x ln x dx
dxx x
3 ln2
dxx x) tan(ln
x
x dx
3 2 1
(x )ex xdx
3 2 6
e x e x dx
sec2 2(cos )x esin x dx
e
2 ln
x
dx
x2e2x3dx
dx
e
e
x x
3
2
dx
e
e
x x
2 3 3
)
2
1
(
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
C. Selesaikan integral tentu berikut
3 1 2
1 4
x dx
1 11 4
x x dx
e
e dx
x
x
4
3 3
ln ln
ex 3 4ex dx
0 5
ln
e2x 3dx
0 1
dx e x
2 ln
0 3
e
x dx
x
3
2 1 2
2
0
4 2
dx
xe
x
2
2
)
(ln
e
e
x
x
dx
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
MA1114 KALKULUS I 21
8.5 Fungsi Eksponen Umum
Fungsi , a > 0, a1 disebut fungsi eksponen umum
Untuk a > 0, a1 dan x R, didefinisikan
Turunan dan integral
Jika u = u(x), maka
Dari sini diperoleh :
:
x
a
x
f
(
)
a
x
e
x ln aa
a
a
e
e
D
a
D
x a x a xx x
x
(
)
(
)
ln
ln
ln
ln
ln ln
( )
u(
u a)
u aln . '
u(ln )( ')
x x
D a
D e
e
a u
a
a u
1
,
1,
0
ln
x x
a dx
a
C a
a
a
Sifat–sifat fungsi eksponen umum
Untuk a > 0, b > 0, x, y bilangan riil berlaku
y x y
x
a
a
a
y x y
x
a
a
a
xy y
x
a
a
)
(
x x x
b
a
b
a
1.
2.
3.
4.
(
ab
)
x
a
xb
xMA1114 KALKULUS I 23
4
x2.
xdx
C C
du u x
u
4 2 21 ln4 4 24ln42
x x
x
f
(
)
3
2 1
2
sin22
.
2
cos
.
2
ln
2
3
ln
3
.
2
)
(
'
x
2 1 sin2x
f
x
xContoh
1. Hitung turunan pertama dari
Jawab :
2. Hitung
Jawab :
du
xdx
xdx
du
x
u
2
2
12Misal
Grafik fungsi eksponen umum
0
,
)
(
x
a
a
f
x(
, )
fD
a.
b.
f
'
(
x
)
a
xln
a
1 ,
0 ln
1 0
, 0 ln
a a
a
a a
a
x x
f monoton naik jika a > 1
monoton turun jika 0 < a < 1
f
x
a
x
D
a
x
f
''
(
)
(ln
)
2
0
c.
Grafik f selalu cekung keatas
d. f(0) = 1 Diketahui
1 ,
)
(x a a
f x
1 0
, )
(x a a
f x
(0, )
f
MA1114 KALKULUS I 25
8.6 Fungsi Logaritma Umum
Karena fungsi eksponen umum monoton murni maka ada Inversnya. Invers dari fungsi eksponen umum disebut fungsi Logaritma Umum
( logaritma dengan bilangan pokok a ), notasi , sehingga berlaku :
Dari hubungan ini, didapat
Sehingga
Jika u=u(x), maka
x
a
log
1
dan
,
0
,
x
a
ya
a
x
y
alog
a
x
x
a
x
y
a
y
a
x
y aln
ln
log
ln
ln
ln
ln
ln
a x
a x D
x
D a x
x
ln 1 )
ln ln ( )
log
(
a
u
u
a
u
D
u
D
a xx
ln
'
)
ln
ln
(
)
log
Contoh Tentukan turunan pertama dari
)
1
log(
)
(
x
3x
2
f
)
1
1
log(
)
(
4
x
x
x
f
1. 2. Jawab : 1. 3 ln ) 1 ln( ) 1 log( ) ( 2 23
x x
x f
3
ln
1
1
2
)
(
'
2
x
x
x
f
2.4
ln
)
ln(
)
1
1
log(
)
(
4 11
x xx
x
x
f
1
)
1
(
1
4
ln
1
)
(
'
11
MA1114 KALKULUS I 27
Grafik fungsi logaritma umum
Untuk a > 1
1 ,
)
(x a a
f x
Untuk 0 < a < 1
1 0
, )
(x a a
f x
y
3
2x4 4x
9
log
2 10
x
y
x
2
x
2dx
10
5 1xdx
Soal Latihan
A. Tentukan dari
y
'
1.
2.
2
)
log(
3
xy
y
x
3.
B. Hitung
1.
MA1114 KALKULUS I 29 ) (
))
(
(
)
(
x
g
x
h xf
Penggunaan fungsi logaritma dan eksponen asli
a. Menghitung turunan fungsi berpangkat fungsi
Diketahui
))
(
ln(
)
(
))
(
ln(
f
x
h
x
g
x
)))
(
ln(
)
(
(
)))
(
(ln(
f
x
D
h
x
g
x
D
x
x)
(
'
)
(
)
(
))
(
ln(
)
(
'
)
(
)
(
'
x
g
x
g
x
h
x
g
x
h
x
f
x
f
) ( ) ( ' ) ( ) ( )) ( ln( ) ( ' ) (' g x f x
x g x h x g x h x f
?
)
(
'
Contoh
Tentukan turunan fungsi
f
(
x
)
(sin
x
)
4x))
ln(sin(
4
)
ln(sin
)
(
ln
f
x
x
4x
x
x
Jawab
)))
ln(sin(
4
(
))
(
(ln
f
x
D
x
x
D
x
xx
x
x
x
x
x
x
x
f
x
f
cot
4
))
ln(sin(
4
cos
sin
4
))
ln(sin(
4
)
(
)
(
'
x
x
x
x
x
x
f
'
(
)
(
4
ln(sin(
))
4
cot
)(sin
)
4Ubah bentuk fungsi pangkat fungsi menjadi perkalian fungsi dengan menggunakan fungsi logaritma asli
MA1114 KALKULUS I 31
?
)
(
lim
( )
x g a
x
f
x
b. Menghitung limit fungsi berpangkat fungsi
Untuk kasus
(i)
lim
(
)
0
,
lim
(
)
0
a
f
x
x ag
x
x
(ii)
lim
xaf
(
x
)
,
lim
xag
(
x
)
0
(iii)
lim
xaf
(
x
)
1
,
lim
xag
(
x
)
Penyelesaian :
Tulis
lim
(
(
)
( ))
lim
[exp
(
ln
(
)
g(x))]
a x x
g a
x
f
x
f
x
lim
xaexp
g
(
x
)
ln
f
(
x
)
Karena fungsi eksponen kontinu, maka
(
)
ln
(
(
)
exp
lim
(
)
ln
(
)
exp
lim
g
x
f
x
g
x
f
x
a x a
x
Contoh Hitung
lim
xx
x
0
x
x
x
ln / 1
3
1
lim
xx
x
1
0
1
lim
x
x
x
x x
x
lim
0(
)
exp
lim
0ln
Jawab
(bentuk )
0
.
Rubah ke bentuk lalu gunakan dalil L’hopital
/
1 0
ln
lim
exp
x
x
x 0 0
2
1
exp lim exp( lim ) exp(0) 1
1
x x
x x
x
a. b. c.
a.
1/ 0
lim ( (1
)
x)
x
x
0ln (1
)
exp lim
x
x
x
MA1114 KALKULUS I 33
e
x
x
1
exp
1
1
lim
exp
0
x
xe
x
1
0
1
lim
Gunakan dalil L’hopital
sehingga
c.
ln ln( 1)
1 lim exp
1
lim 3 1/ln x3
x x
x x
x
x x x ln ) 1 ln( lim exp 3 . / 1 1 3 lim exp 3 2 x x x x
Gunakan dalil L’hopital
1 3 lim exp 3 3 x x
x
(1 )
) 3 ( lim exp 3 1 3 3 x x x x
(1 )
) 3 ( lim exp 3 1 x
x
exp
3
.
3e
x x
x
1 1 1lim
xx
x
1
0
1
sin
2
lim
lim cos x x x 2 2
x
x xe
ln 1 2 01
lim
xx
x
ln 1 21
lim
xx
x
1ln
lim
x x
xx 1
5
3
lim
lim
x xx
x
1
2
D. Hitung limit berikut :
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8 .
E. Hitung y’ :
cos
(ln )
xy
x
3
x5
x x
1y
1
2
xx
y
x
11. 12. 13.
ln(cos )
xy
x
14.
9.
lim
2
xx
x
10.
ln( 2)2
lim
2
xx
x