METODE VOLUME HINGGA UNTUK
PERSAMAAN ADVEKSI
MAKALAH
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Sains
Program Studi Matematika
Disusun Oleh: Ardianus Roy Yoman
NIM: 103114009
PROGRAM STUDI MATEMATIKA, JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA
i
METODE VOLUME HINGGA UNTUK
PERSAMAAN ADVEKSI
MAKALAH
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Sains
Program Studi Matematika
Disusun Oleh: Ardianus Roy Yoman
NIM: 103114009
PROGRAM STUDI MATEMATIKA, JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA
2014
ii
FINITE VOLUME METHODS FOR
THE ADVECTION EQUATION
A PAPER
Presented as Partial Fulfillment of the
Requirements to Obtain the Degree of Sarjana Sains
Mathematics Study Program
Written by: Ardianus Roy Yoman Student ID: 103114009
MATHEMATICS STUDY PROGRAM, DEPARTMENT OF
MATHEMATICS
FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY
SANATA DHARMA UNIVERSITY YOGYAKARTA
iii
MAKALAH
METODE VOLUME HINGGA UNTUK
PERSAMAAN ADVEKSI
Disusun Oleh:
Nama: Ardianus Roy Yoman
NIM: 103114009
Telah disetujui oleh:
Dosen pembimbing makalah
Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D. Tanggal: 21 Juli 2014
iv
MAKALAH
METODE VOLUME HINGGA UNTUK
PERSAMAAN ADVEKSI
Dipersiapkan dan ditulis oleh: Ardianus Roy Yoman
NIM: 103114009
Telah dipertahankan di depan panitia penguji pada tanggal 25 Juli 2014
dan dinyatakan memenuhi syarat
Susunan Panitia Penguji
Nama Lengkap Tanda Tangan
Ketua : Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc. ...
Sekretaris : Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si. ...
Anggota : Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D. ...
Yogyakarta, ...2014 Fakultas Sains dan Teknologi
Universitas Sanata Dharma Dekan
v
HALAMAN PERSEMBAHAN
"You may never know what results come of your action,
but if you do nothing there will be no result"
-Mahatma Gandhi-
Makalah ini dipersembahkan untuk,
Alah Bapa, Putra, dan Roh kudus,
Kedua orang tua tercinta, Petronius dan Lilis Suriyani,
vi
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA
Saya menyatakan dengan sesungguhnya, bahwa makalah yang saya tulis ini tidak
memuat karya atau bagian karya orang lain kecuali yang disebutkan dalam daftar
pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.
Yogyakarta, 25 Juli 2014
vii
ABSTRAK
Persamaan adveksi merupakan persamaan yang bisa digunakan untuk memodelkan aliran fluida secara sederhana. Persamaan adveksi merupakan bagian dari hukum kekekalan, yaitu persamaan diferensial untuk kekekalan kuantitas fluida dimana kecepatan aliran fluidanya tertentu. Dalam makalah ini, persamaan adveksi diselesaikan menggunakan metode volume hingga. Metode volume hingga bekerja dengan cara membagi domain spasial ke dalam sel-sel, kemudian menghitung rata-rata sel untuk masing-masing sel tersebut. Metode volume hingga sering diinterpretasikan secara langsung sebagai aproksimasi beda hingga untuk persamaan diferensial. Menurut metode volume hingga, formulasi flux numeris memberikan pengaruh yang signifikan untuk persamaan tersebut. Oleh sebab itu, flux numeris yang akurat akan menghasikan solusi yang akurat pula untuk persamaan tersebut.
Tulisan ini menguji beberapa formulasi flux numeris yang bisa digunakan untuk menyelesaikan persamaan adveksi menurut metode volume hingga. Pengujian dilakukan menggunakan simulasi numeris. Analisis hasil simulasi yaitu membandingkan hasil solusi eksak dengan solusi numerisnya juga dipaparkan dalam makalah ini
Kata kunci: Persamaan diferensial, hukum kekekalan, persamaan adveksi, metode volume hingga
viii
ABSTRACT
Advection equation is an equation that can be used to model fluid in a very simple way. Advection equation is a kind of conservation laws, that is the differential equations for the conservation of fluid quantities moving with a certain velocity. In this paper, advection equation is solved using finite volume methods. Finite volume methods work by dividing the spatial domain into a finite number of cells, then aproximates the averages of quantities for each of these cells. Finite volume methods can be interpreted directly as a finite difference approximation to the differential equation. Based on finite volume methods, the formulation of the numerical flux have a significant influence to the equation. Thus an accurate numerical flux yields an accurate solution to the equation.
In this paper, we verify some formulations of numerical flux that can be used to solve the advection equations. We investigate the performance of these numerical fluxes using numerical simulations. Analysis of the simulation results are done by comparing the results of the exact solutions and their numerical solutions.
ix
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN
PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS
Yang bertanda tangan dibawah ini,
Nama : Ardianus Roy Yoman
Nomor Mahasiswa : 103114009
Demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma karya ilmiah saya yang berjudul:
METODE VOLUME HINGGA UNTUK PERSAMAAN ADVEKSI
beserta perangkat yang diperlukan (bila ada). Dengan demikian saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma hak untuk menyimpan mengalihkan dalam bentuk media lain, mengelolanya dalam bentuk pangkalan data, dan mendistribusikannya secara terbatas, dan mempublikasikannya di internet atau media lain untuk kepentingan akademis tanpa perlu meminta ijin dari saya maupun memberikan royalti kepada saya selama tetap mencantumkan nama saya sebagai penulis.
Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya. Dibuat di Yogyakarta
Pada tanggal: 25 Juli 2014
Yang menyatakan
Ardianus Roy Yoman
x
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa, atas berkat dan rahmat yang
diberikan sehingga penulis dapat menyelesaikan makalah ini.
Makalah ini dibuat sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains pada Program Studi Matematika, Universitas Sanata Dharma.
Banyak tantangan dalam proses penulisan makalah ini, namun dengan penyertaan
Tuhan serta dukungan dari berbagai pihak akhirnya makalah ini bisa diselesaikan.
Untuk itu penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada:
1. Paulina Heruningsih Prima Rosa, S.Si., M.Sc. selaku dekan Fakultas Sains
dan Teknologi.
2. Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si selaku kaprodi program studi
matematika.
3. Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D. selaku dosen pembimbing yang
dengan sabar dan penuh antusias dalam membimbing selama proses
penulisan makalah ini.
4. Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc. yang telah memberikan banyak masukan
selama proses penentuan topik tugas akhir.
5. Y. G Hartono, S.Si., M.Sc yang telah memberikan banyak masukan
mengenai topik yang dikerjakan.
6. Bapak dan Ibu Dosen Program Studi Matematika yang telah memberikan
xi
7. Kedua orang tuaku, Petronius dan Lilis Suriyani, serta kedua kakak dan
adikku, Monica Rita, Bernardus Bayu, dan Yulitha Erye Aryani yang selalu
mendukungku dengan penuh kasih.
Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah
membantu dalam penyusunan makalah ini.
Yogyakarta, 25 Juli 2014
Penulis
xii
DAFTAR ISI
Halaman
HALAMAN JUDUL ... i
HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS ... ii
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ... iii
HALAMAN PENGESAHAN ... iv
HALAMAN PERSEMBAHAN ... v
HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ... vi
ABSTRAK ... vii
ABSTRAK DALAM BAHASA INGGRIS ... viii
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI ... ix
KATA PENGANTAR ... x
DAFTAR ISI ... xii
BAB I PENDAHULUAN ... 1
A. Latar Belakang ... 1
B. Rumusan Masalah ... 3
C. Pembatasan Masalah ... 4
D. Tujuan Penulisan ... 4
E. Metode Penulisan ... 4
F. Manfaat Penulisan ... 4
G. Sistematika Penulisan ... 5
BAB II LANDASAN TEORI ... 7
xiii
B. Aturan Rantai ... 8
C. Integral ... 9
D. Jacobian Suatu Fungsi Bernilai Vektor ... 12
E. Hukum Kekekalan ... 13
F. Persamaan Diferensial Hiperbolik ... 14
G. Hukum Kekekalan dan Persamaan Diferensial ... 15
H. Domain Dependen dan Range Influence untuk Persamaan Hiperbolik ... 19
BAB III METODE VOLUME HINGGA ... 22
A. Bentuk Umum untuk Hukum Kekekalan ... 22
B. Persamaan Adveksi ... 25
C. Kondisi CFL ... 27
D. Flux Unstable ... 30
E. Flux Lax-Friedrichs ... 31
F. Flux Richtmyer Dua-Langkah Lax-Wendroff... 31
G. Flux Upwind ... 32
BAB IV PERBANDINGAN HASIL BEBERAPA FLUX NUMERIS DALAM PENYELESAIAN PERSAMAAN ADVEKSI ... 33
A. Flux Unstable ... 33
B. Flux Lax-Friedrichs ... 35
C. Flux Richtmyer Dua-Langkah Lax-Wendroff ... 37
D. Flux Upwind ... 39
xiv
BAB V PENUTUP ... 42
A. Kesimpulan... 42
B. Saran ... 42
DAFTAR PUSTAKA... 43
1
BAB I
PENDAHULUAN
Dalam bab ini akan dijelaskan latar belakang, rumusan dan pembatasan
masalah, tujuan dan manfaat penulisan, juga akan disertakan sistematika
penulisan.
A. Latar Belakang
Adveksi berkaitan erat dengan aktivitas atau pergerakan suatu benda dari
suatu tempat tertentu ke tempat lainnya untuk waktu tertentu. Fenomena adveksi
yang terjadi di alam sekitar misalnya aliran air dari hulu sungai ke bagian hilir
sungai.
Fenomena-fenomena adveksi sering dijumpai dalam kehidupan sehari-hari
namun hampir tidak pernah terpikir bahwa fenomena-fenomena tersebut dapat
dijelaskan secara metematis. Matematika sungguh-sungguh dapat diterapkan pada
fenomena-fenomena adveksi dan dapat dibuat model dari gejala-gejala yang ada
dengan matematika kemudian menyelesaikan model tersebut dengan teknik-teknik
matematika tertentu. Model yang telah dibuat tersebut diharapkan mampu
mewakili kondisi yang sebenarnya, sehingga dengan menyelesaikan model
tersebut harapannya diperoleh solusi untuk masalah yang sebenarnya.
Tulisan ini akan mengulas mengenai model aliran secara sederhana. Untuk
menyelesaikan model aliran tersebut, dibutuhkan suatu media atau alat
untuk melakukannya. Persamaan adveksi merupakan model matematika yang bisa
digunakan sebagai sarana untuk menyelesaikan permasalahan tersebut. Tulisan ini
akan menyelesaikan persamaan adveksi tersebut secara numeris dan secara khusus
metode yang digunakan adalah metode volume hingga.
Metode volume hingga berkaitan erat dengan metode beda hingga, bahkan
metode ini sering diinterpretasikan secara langsung sebagai aproksimasi beda
hingga untuk persamaan diferensial. Metode beda hingga mengaproksimasi titik
pada titik-titik grid, sedangkan pada metode volume hingga domainnya dibagi ke
dalam sel grid dan mengaproksimasi integral-integral q untuk masing-masing sel
grid tersebut (q adalah kuantitas yang mengalir). Grid merupakan potongan kecil
dari struktur yang akan dianalisa.
Persamaan adveksi merupakan bentuk khusus dari persamaan diferensial
untuk Hukum Kekekalan
( ) 0
Pada persamaan adveksi, kecepatan perambatannya konstan, dengan kata lain
persamaan adveksi adalah hukum kekekalan dengan kecepatan konstan. Misal Q
merupakan pendekatan numeris dari q, dengan metode Euler diperoleh,
0
Metode Euler merupakan salah satu metode numeris yang digunakan untuk
menyelesaikan persamaan diferensial. Persamaan yang terakhir dapat ditulis
3
) ( 1/2 1/2 1
n i i
n
F F
x t Q
Q ,
dimana x xi1/2 xi1/2.
Dari skema metode volume hingga di atas tampak bahwa nilai n1
Q sangat
bergantung pada fungsi flux F, sehingga keakuratan dari persamaan tersebut akan
sangat tergantung pada fungsi flux F. Semakin baik fungsi flux F yang
digunakan, maka pendekatan numerisnya akan semakin baik pula, artinya bahwa
error numerisnya sangat kecil. Oleh karena itu, akan diuji beberapa fungsi flux F
dan mencari fungsi flux F yang terbaik untuk persamaan adveksi tersebut. Berikut
ini macam-macam fungsi flux F:
1. Unstable,
2. Lax-Friedrichs,
3. Richtmyer dua-langkah Lax–Wendroff,
4. Upwind.
B. Rumusan Masalah
1. Bagaimana menyelesaikan persamaan adveksi menggunakan metode
volume hingga?
2. Bagaimana cara menentukan flux terbaik untuk menyelesaikan
persamaan adveksi menggunakan metode volume hingga?
C. Pembatasan Masalah
Tulisan ini hanya membahas penyelesaian metode volume hingga dan
terbatas pada satu dimensi.
D. Tujuan Penulisan
Tulisan ini bertujuan menentukan fungsi flux F yang terbaik dari keempat
formulasi untuk menyelesaikan persamaan adveksi dengan metode volume
hingga. Keempat formulasi tersebut adalah unstable flux, Lax-Friedrichs flux,
Richtmyer dua-langkah Lax-Wendroff, dan upwind.
E. Metode Penulisan
Metode yang digunakan untuk menulis tulisan ini adalah studi kepustakaan,
yaitu dengan mempelajari buku-buku yang berkaitan dengan topik, guna
tercapainya tujuan penulisan.
F. Manfaat Penulisan
Manfaat yang diperoleh setelah mempelajari topik ini adalah dapat
menyelesaikan persamaan adveksi dengan menggunakan fungsi flux F yang
terbaik, sehingga error dari penyelesaian numerisnya akan sangat kecil. Dengan
demikian, penyelesaian numerisnya akan dekat dengan penyelesaian eksaknya.
Harapan yang lebih besar adalah flux yang terbaik tersebut bisa digunakan untuk
menyelesaikan persamaan diferensial untuk hukum kekekalan, dimana secara
5
G. Sistematika Penulisan
BAB I PENDAHULUAN
A. LATAR BELAKANG MASALAH
B. RUMUSAN MASALAH
C. PEMBATASAN MASALAH
D. TUJUAN PENULISAN
E. METODE PENULISAN
F. MANFAAT PENULISAN
G. SISTEMATIKA PENULISAN
BAB II LANDASAN TEORI
A. PERSAMAAN DIFERENSIAL
B. ATURAN RANTAI
C. INTEGRAL
D. JACOBIAN SUATU FUNGSI BERNILAI VEKTOR
E. HUKUM KEKEKALAN
F. PERSAMAAN DIFERENSIAL HIPERBOLIK
G. HUKUM KEKEKALAN DAN PERSAMAAN DIFERENSIAL
H. DOMAIN DEPENDEN DAN RANGE INFLUENCE UNTUK
PERSAMAAN HIPERBOLIK
BAB III METODE VOLUME HINGGA
A. BENTUK UMUM UNTUK HUKUM KEKEKALAN
B. PERSAMAAN ADVEKSI
C. KONDISI CFL
D. FLUX UNSTABLE
E. FLUX LAX-FRIEDRICHS
F. FLUX RICHTMYER DUA-LANGKAH LAX-WENDROFF
G. FLUX UPWIND
BAB IV PERBANDINGAN HASIL BEBERAPA FLUX NUMERIS
DALAM PENYELESAIAN PERSAMAAN ADVEKSI
A. FLUX UNSTABLE
B. FLUX LAX-FRIEDRICHS
C. FLUX RICHTMYER DUA-LANGKAH LAX-WENDROFF
D. FLUX UPWIND
BAB V PENUTUP
A. KESIMPULAN
7
BAB II
LANDASAN TEORI
Landasan teori makalah ditulis dalam bab ini, landasan teori tersebut
meliputi: persamaan diferensial, aturan rantai, integral, Jacobian suatu fungsi
bernilai vektor, hukum kekekalan, persamaan diferensial hiperbolik, hukum
kekekalan dan persamaan diferensial, serta domain dependen dan range influence
untuk persamaan hiperbolik.
A. Persamaan Diferensial
Persamaan diferensial merupakan persamaan yang memuat fungsi yang
tidak diketahui beserta derivatifnya.
Contoh:
1. 0
dx dy
2. x dx dy
2
3. 0
y u x u
Berdasarkan variabel bebasnya, persamaan diferensial dikelompokan menjadi dua,
yaitu persamaan deferensial biasa (PDB) dan persamaan diferensial parsial (PDP).
Persamaan diferensial biasa merupakan persamaan diferensial dimana derivatifnya
hanya bergantung pada satu variabel bebas. Contoh 1 dan 2 merupakan persamaan
diferensial biasa.
Persamaan diferensial parsial merupakan persamaan diferensial dimana
derivatifnya bergantung pada lebih dari satu variabel bebas. Contoh 3 merupakan
persamaan diferensial parsial, dimana derivatifnya bergantung pada x dan y.
B. Aturan Rantai
Aturan rantai merupakan cara yang digunakan untuk mendiferensialkan
fungsi komposisi.
Aturan rantai kasus 1
Misal y f(u)dan ug(x). Jika g dan f adalah fungsi yang terdiferensiasi,
maka secara tidak langsung yadalah fungsi terdiferensiasi dari x dan
dx du du dy dx dy
(2.1)
Aturan rantai kasus 2
Andaikan z f(x,y) adalah fungsi dari x dan y yang terdiferensiasi, dengan
) (t g
x dan yh(t) keduanya fungsi dari t yang terdiferensiasi. Maka zadalah
fungsi dari t yang terdiferensiasi dan
dt dy y z dt dx x z dt dz
9
C. Integral
Matematika mempunyai banyak operasi balikan, misalnya penambahan dan
pengurangan atau perkalian dan pembagian. Dalam hal pendiferensialan
(penurunan), balikannya disebut anti pendiferensialan (anti turunan).
Definisi
Fungsi F adalah suatu anti turunan dari f pada selang I, jika DF f pada I,
atau dengan kata lain jika F'(x) f(x) untuk semua x dalam I. Disini D
adalah operasi turunan.
Contoh:
Carilah suatu anti turunan dari f(x)x2pada (,).
Penyelesaian:
Fungsi F(x)x3 bukan anti turunannya karena turunan x3 adalah 3 2.
x Tetapi
hal ini menyarankan , 3 1 ) (x x3
F yang memenuhi 3 . 3
1 ) (
' x x2 x2
F Dengan
demikian, suatu anti turunan dari f adalah . 3 1x3
Anti turunan dinotasikan
...dx. Notasi tersebut menunjukan anti turunanterhadap x. Anti turunan biasanya disebut integral tak tentu, anti turunan adalah
juga mengintegralkan.
Teorema
Jika radalah sebarang bilangan rasional kecuali 1, maka
Untuk membuktikan
f(x)dxF(x)C
cukup dengan membuktikan
Dx[F(x)C] f(x)
Gambar 2.1. Ilustrasi fungsi satu variabel.
11
dengan cara membagi interval [a,b] menjadi n subinterval yang memiliki
panjang yang sama yaitu (ba)/n untuk n0 kemudian menghitung total
jumlah luasan dari masing masing persegi panjang yang dibentuk oleh
masing-masing subinterval tersebut. Hal ini bisa dicapai dengan memilih x0,x1,...,xn
Gambar 2.2. Ilustrasi pendekatan integral menggunakan jumlahan Riemann.
Luas daerah dibawah kurva diaproksimasi dengan total luas daerah yang dibentuk
oleh masing-masing subinterval, aproksimasi luas di bawah kurva adalah
.
Persamaan yang terakhir disebut jumlahan Riemann fungsi f pada interval [a,b],
sebagai pendekatan luas daerah di bawah kurva y f(x)dan di atas sumbu x.
Semakin banyak subinterval yang digunakan, artinya x0 maka semakin baik pula aproksimasi luasan tersebut dan semakin dekat dengan luasan yang
sebenarnya. Dengan demikian,
Luas daerah =
D. Jacobian Suatu Fungsi Bernilai Vektor
Diberikan y f(x)dari n persamaan dalam n variabel x1,x2,...,xn,yakni
atau bisa dinyatakan dengan lebih eksplisit, sebagai berikut
)
matriks Jacobian (biasanya disebut Jacobian) didefinisikan sebagai berikut
(2.6)
(2.7)
13
Determinan dari J adalah determinan Jacobian dan dinotasikan
.
E. Hukum Kekekalan
Hukum kekekalan merupakan persamaan diferensial hiperbolik yang
berbentuk
qt(x,t) f(q(x,t))x 0, (2.12)
dimana f(q) adalah fungsi flux. Persamaan di atas dapat ditulis kembali menjadi
bentuk
Persamaan tersebut hiperbolik jika Jacobian f'(q) memenuhi kondisi matriks A
seperti yang akan dijelaskan pada bagian selanjutnya. Hukum kekekalan (2.12)
juga akan dijelaskan lebih lanjut nanti.
n
F. Persamaan Diferensial Hiperbolik
Persamaan diferensial hiperbolik dapat digunakan untuk memodelkan
banyak fenomena yang melibatkan pergerakan gelombang. Perhatikan bentuk
persamaan diferensial berikut
qt(x,t)Aqx(x,t)0, (2.14)
dalam kasus yang paling sederhana yaitu koefisien konstan dan linear. Dalam hal
ini q:RR Rn adalah vektor dengan n komponen yang menyatakan fungsi
yang tidak diketahui (tekanan, kecepatan, dan sebagainya) yang ingin ditentukan,
dan A suatu konstan merupakan matriks real berukuran nn. Andaikan Au
suatu konstan yang menyatakan kecepatan perambatan (aliran pada pipa satu
dimensi misalnya), maka persamaan (2.14) menjadi
, 0 ) , ( ) ,
(x t uq x t
qt x (2.15)
persamaan ini disebut persamaan adveksi. Hubungan kedua persamaan ini akan
dilihat nanti.
Persamaan qt(x,t)Aqx(x,t)0 adalah hiperbolik, jika matriks A
memiliki nilai eigen real dan berkorespondensi dengan n vektor eigen yang
bebas linear. Artinya, semua vektor dalam n
R dapat secara tunggal diuraikan
sebagai kombinasi linear dari nilai-nilai eigen tersebut. Secara formal definisi
persamaan diferensial hiperbolik adalah sebagai berikut.
Definisi
15
0
x
t Aq
q (2.16)
dikatakan hiperbolik jika matriks A yang berukuran n n dapat didiagonalkan
dengan nilai eigen real.
Secara khusus untuk persamaan adveksi, diketahui bahwa Au, yang
merupakan suatu konstanta real. Jadi A dapat didiagonalkan oleh nilai A itu
sendiri dan nilai eigen dari A adalah A itu sendiri. Dengan demikian, persamaan
adveksi merupakan persamaan diferensial hiperbolik. Keterangan lengkap tentang
persamaan diferensial hiperbolik dapat ditemukan dalam buku karangan LeVeque
(2004).
Lebih lanjut, Jacobian fungsi flux f untuk persamaan adveksi adalah
, ) (x u
J sebab f(q)uqsehingga
) ( )
( uq x q f
x
(2.17)
jelas bahwa f'(q)u atau J(x)u.
G. Hukum Kekekalan dan Persamaan Diferensial
Untuk melihat bagaimana hukum-hukum kekekalan muncul dari
prinsip-prinsip fisika, perhatikan masalah dinamika fluida yang paling sederhana, gas atau
cairan mengalir melalui pipa satu dimensi dengan suatu kecepatan u(x,t), yang diasumsikan bervariasi sepanjang pipa x dan waktu t.
Biasanya dalam dinamika fluida pergerakan fluida harus ditentukan yaitu
fungsi kecepatan u(x,t), tapi mari asumsikan ini sudah diketahui. Misal q(x,t)
adalah kepadatan zat warna pelacak, yang merupakan fungsi yang ingin
ditentukan. Secara umum densitas (kepadatan) harus diukur dalam satuan massa
per satuan volume, misalnya, gram per meter kubik, tetapi dalam mempelajari
pipa satu dimensi, lebih rasional untuk mengasumsikan q diukur dalam satuan
massa per satuan panjang, misalnya, gram per meter. Kepadatan ini
(dilambangkan dengan q). Dengan demikian,
21
) , (
x
x q xt dx (2.18)
merepresentasikan total massa dari zat warna pelacak di bagian pipa antara x 1 dan
2
x pada waktu tertentu t, dan memiliki satuan massa. Dalam masalah dimana
kinetika kimiawi dilibatkan, seringkali "massa" diukur dalam bentuk mol daripada
gram, dan kepadatan dalam mol per meter atau mol per meter kubik, karena hal
penting yang dipertimbangkan bukanlah massa zat kimia tapi jumlah molekul
yang ada. Untuk penyederhanaan massa akan dibicarakan dalam pengertian yang
umum dipahami.
Perhatikan bagian dari pipa x1xx2 dan perilaku dimana integral (2.18)
berubah seiring waktu, karena zat tidak bisa diciptakan atau dimusnahkan, maka
total massa dalam bagian ini dapat berubah hanya disebabkan oleh flux atau aliran
partikel melalui titik ujung dari bagian di x1 dan x2.
Misal Fj(t) adalah debit dimana zat warna pelacak mengalir melewati titik
tetap xi untuk i1,2,... (diukur dalam gram per detik, misalnya). Untuk
17
artinya flux ke kiri, dengan aliran flux yang besarnya Fj(t) dengan j1,2.
Karena jumlah massa di
x1,x2
berubah hanya karena flux di titik ujung, maka( , ) 1( ) 2( ).
2
1
t F t F dx t x q dt
d x
x
(2.19)Persamaan (2.19) adalah bentuk integral dasar dari hukum kekekalan. Laju
perubahan dari total massa hanya disebabkan flux melalui titik ujung - ini adalah
dasar dari kekekalan. Selanjutnya, bagaimana fungsi flux Fj(t) dikaitkan dengan
) , (x t
q , sehingga dapat diperoleh persamaan yang mungkin diselesaikan untuk q.
Dalam kasus aliran fluida, flux di suatu titik x pada waktu t secara sederhana
diberikan oleh hasil kali dari densitas q(x,t) dan kecepatan u(x,t):
flux pada (x,t)u(x,t)q(x,t) (2.20)
Kecepatan menyatakan seberapa besar laju partikel bergerak melewati titik x
(dalam meter per detik, misalnya) dengan arah tertentu dan densitas q menyatakan
berapa gram zat kimia dalam satu meter fluida yang terkandung.
Karena u(x,t) adalah fungsi yang diketahui, fungsi flux tersebut dapat
ditulis menjadi
flux f(q(x,t),x,t)u(x,t)q(x,t). (2.21)
Secara khusus, jika kecepatan tersebut tidak bergantung pada x dan t, sehingga
u t x
u( , ) suatu konstan, maka
flux f(q(x,t))uq(x,t). (2.22)
Dalam hal ini flux dapat ditentukan langsung dari nilai kuantitas yang dikekekalan
pada saat itu. Untuk flux f(q) yang hanya bergantung pada nilai q, hukum kekekalan (2.19) menjadi
( , ) ( ( 1, )) ( ( 2, )).
Bagian kanan ditulis ulang menjadi :
2
f tertentu, misalnya (2.22). Persamaan ini harus memenuhi sepanjang interval
x1,x2
untuk sebarang nilai x1 dan x2. Masih belum jelas bagaimana caramencari fungsi q(x,t) yang memenuhi kondisi tersebut. Permasalahan tersebut
tidak akan diselesaikan secara langsung, tetapi diubah menjadi persamaan
diferensial parsial yang dapat ditangani dengan teknik standar. Untuk
melakukannya, harus diasumsikan bahwa fungsi q(x,t) dan f(q) cukup mulus.
atau dimodifikasi menjadi :
integran tersebut harus sama dengan nol. Dengan demikian diperoleh persamaan
19
Persamaan ini disebut bentuk diferensial untuk hukum kekekalan. Persamaan
tersebut bisa ditulis ke dalam bentuk :
qt(x,t) f(q(x,t))x 0
G. Domain Dependen dan Range Influence untuk Persamaan Hiperbolik
Pada bagian ini akan dipaparkan mengenai domain dependence dan range
influence untuk persamaan hiperbolik.
1. Persamaan Hiperbolik dengan n buah karakteristik.
Domain dependen dari (X,T) didefinisikan sebagai berikut :
D(X,T)
XpT:p1,2,...,n
dimana (X,T) adalah titik yang ditetapkan pada ruang-waktu dan p
adalah
kecepatan gelombang. Domain dependen diilustrasikan pada Gambar 2.3(a).
Tanpa mengurangi kebenaran secara umum, diambil n3. Nilai dari data awal pada titik-titik lainnya tidak memiliki pengaruh pada nilai q di (X,T).
Gambar 2.3. Suatu sistem hiperbolik khusus dengan 102 3, (a)
memperlihatkan domain dependen dari titik (X,T), dan (b) memperlihatkan range influence dari titik x0. Jika 0 arah perambatannya ke bagian kiri dari titik, sedangkan untuk 0 perambatannya ke bagian kanan titik.
Sekarang fokus pada titik tunggal x0 pada waktu t0, perhatikan pengaruh
data q(x0) terhadap solusi pada q(x,t). Pilihan data pada saat ini hanya akan
mempengaruhi solusi sepanjang karakteristik x0 pt untuk indeks p1,2,...,n.
Himpunan titik-titik ini disebut range influence dari titik x0. Range influence
diilustrasikan pada Gambar 2.3(b).
2. Persamaan Adveksi dengan Satu Karakteristik
Domain dependen dari (X,T) didefinisikan sebagai berikut :
D(X,T)
XuT
dimana (X,T) adalah titik yang ditetapkan pada ruang-waktu dan u adalah
konstanta yang menyatakan kecepatan perambatan. Domain dependen
diilustrasikan pada Gambar 2.4(a). Nilai dari data awal pada titik-titik lainnya
tidak memiliki pengaruh pada nilai q di (X,T).
T
X3 X 2T X 1T
) , (X T
(a) (b)
0 x t
x0 1 x t 2
21
Gambar 2.4. Persamaan adveksi dengan kecepatan perambatan u 0, (a) memperlihatkan domain dependen dari titik (X,T), dan (b) memperlihatkan range influence dari titik x0. Untuk u 0 arah perambatannya ke bagian kanan
dari titik, sedangkan untuk u 0 perambatannya ke bagian kiri titik.
Perhatikan titik tunggal x0 pada waktu t 0, data q(x0) berpengaruh
terhadap solusi pada q(x,t). Pilihan data pada saat ini hanya akan mempengaruhi
solusi sepanjang karakteristik x0 ut. titik ini disebut range influence dari titik
0
x . Range influence untuk persamaan adveksi diilustrasikan pada Gambar 2.4 (b).
T u X
) , (X T
(a) (b)
0 x
t u x0
22
BAB III
METODE VOLUME HINGGA
Dalam bab ini akan dijelaskan metode volume hingga yang dapat digunakan
untuk menyelesaikan masalah-masalah hukum kekekalan.
A. Bentuk Umum untuk Hukum Kekekalan
Pada ruang dimensi satu, metode volume hingga bekerja dengan cara
membagi domain spasial ke dalam interval-interval (grid sel) dan
mengaproksimasi integral q untuk masing-masing volume grid sel tersebut. Pada
setiap langkah waktu, nilai-nilai integral tersebut diperbaharui dengan aproksimasi
terhadap flux di ujung interval.
Misal sel ke-i dinotasikan dengan Ci (xi1/2,xi1/2) seperti pada Gambar
3.1. Nilai dari n i
Q akan mengaproksimasi rata-rata nilai sepanjang interval ke-i
pada waktu tn
Skema integral dari hukum kekekalan
23
Gambar 3.1. Ilustrasi metode volume hingga memperbaharui rata-rata sel n i
Q
dengan flux pada tepi sel dalam ruang xt.
Bentuk ini dapat digunakan untuk membangun suatu algoritma. Diberikan n,
i
Persamaan tersebut dibagi dengan x, diperoleh
Hal ini mengatakan secara langsung bagaimana rata-rata sel dari q di perbaharui
pada satu langkah waktu. Secara umum, meskipun integral waktu pada bagian
kanan (3.3) tidak bisa ditentukan secara langsung karena q(xi1/2,t) bervariasi
terhadap waktu sepanjang masing-masing tepi sel dan tidak ada solusi eksaknya,
1
tapi hal ini memberikan petunjuk untuk mempelajari metode numerik dengan
Jika rata-rata flux diaproksimasi berdasarkan pada nilai n,
Q maka akan
dihasilkan metode yang sepenuhnya diskret.
Andaikan n i
F1/2 dapat dihasilkan dengan hanya bergantung pada nilai n i
Q1
dan n,
i
Q rata-rata sel pada kedua sisi dari interface ini. Dengan demikian
)
dimana F merupakan suatu fungsi flux. Metode (3.4) menjadi
)].
Metode spesifik dihasilkan tergantung pada bagaimana memilih rumus F, namun
pada umumnya sebarang metode jenis ini merupakan metode eksplisit dengan
three-point-stencil, artinya bahwa nilai n1
i
Metode (3.7) dapat dilihat langsung sebagai aproksimasi beda hingga untuk
25
B. Persamaan Adveksi
Untuk flux (2.22), hukum kekekalan (2.27) menjadi
.
Persamaan ini disebut Persamaan Adveksi.
Teorema
Penyelesaian eksak untuk persamaan adveksi adalah q(x,t)P(xut),untuk
sebarang P.
Bukti:
Penyelesaian tersebut diperoleh menggunakan metode karakteristik. Perhatikan
tingkat perubahan dari q(x(t),t) yang diukur dengan suatu pengamat yang
bergerak x x(t). Dengan menggunakan aturan rantai diperoleh:
.
ditetapkan, sedangkan suku (dx/dt)(q/x) merepresentasikan perubahan karena
pengamat bergerak ke daerah yang berbeda. Jelas bahwa jika pengamat bergerak
dengan kecepatan u, yaitu
Dengan demikian, q adalah konstan. Suatu pengamat yang bergerak dengan
kecepatan u akan melihat tidak ada perubahan dalam q.
Dengan cara ini, persamaan diferensial (3.8) telah diganti dengan dua
persamaan diferensial biasa, (3.10) dan (3.11). Integralkan persamaan (3.10)
diperoleh
0 x t u
x (3.12)
persamaan untuk keluarga karakteristik yang sejajar dari (3.12) digambarkan pada
gambar (3.2). Ingat bahwa t0 dan xx0. Nilai q(x,t) konstan sepanjang garis
ini. q merambat dengan kecepatan u [lihat (3.10)].
Gambar 3.2. Karakteristik untuk persamaan adveksi
Jika q(x,t) diberikan nilai awalnya pada t0,,
q(x,0)=P(x) (3.13)
Lalu tentukan q pada titik (x,t). Karena q konstan sepanjang karakteristiknya,
). ( ) 0 , ( ) ,
(x t q x0 P x0
q (3.14)
Diberikan x dan t, parameter yang diketahui dari karakteristik, x0 xut,maka
t
x 0
x
27
Kondisi CFL (Courant-Friedrichs-Lewy) merupakan syarat yang harus
dipenuhi (syarat perlu) metode volume hingga atau metode beda hingga agar
stabil dan konvergen ke solusi persamaan diferensial, yaitu ketika grid diperkecil
atau xdiperkecil.
qt x sehingga penyelesaian eksaknya hanya didefinisikan pada
kecepatan u dan bergerak sejauh ut dalam satu langkah waktu. Gambar 3.3(a)
memperlihatkan situasi dimana utx, sehingga informasi merambat kurang
ditentukan, jika flux numeris ini hanya bergantung pada n i
Q1 dan n.
i
Q
Hal ini merupakan akibat dari kondisi CFL, CFL berasal dari nama Courant,
Friedrichs, dan Lewy. Mareka menulis salah satu paper pertama mengenai metode
beda hingga untuk persamaan diferensial parsial pada 1928. Mereka
Gambar 3.3. Karakteristik untuk persamaan adveksi, menggambarkan informasi yang mengalir ke sel Ciselama langkah waktu tunggal. (a) untuk langkah waktu
yang cukup kecil, flux di xi1/2 hanya tergantung pada nilai-nilai sel sekitarnya,
yaitu hanya tergantung pada n i
Q1dalam kasus ini dimana u 0. (b) untuk langkah waktu yang besar, flux tersebut akan bergantung pada nilai-niai yang lebih jauh.
menggunakan metode beda hingga sebagai alat analitik untuk membuktikan
eksistensi penyelesaian persamaan diferensial tertentu. Idenya adalah menentukan
barisan dari aproksimasi penyelesaian (menggunakan metode beda hingga),
membuktikan bahwa mareka konvergen ketika grid diperkecil, dan
memperlihatkan limit fungsinya pasti memenuhi persamaan diferensial parsial
(PDP), memberikan eksistensi dari suatu solusi. Dalam proses membuktikan
konvergensi barisan ini, mereka menyadari syarat stabilitas yang diperlukan untuk
metode numeris :
Kondisi CFL : suatu metode numeris dapat konvergen hanya jika domain
dependen numerisnya memuat domain dependen sebenarnya dari PDP.
29
Domain dari dependen D(X,T) untuk PDP telah didefinisikan di bab II.
Domain dependen numeris dari metode dapat didefinisikan dengan cara yang
sama sebagai himpunan titik-titik dimana data awal mungkin dapat mempengaruhi
penyelesaian pada titik (X,T). Ilustrasi untuk metode beda hingga dimana
nilai-nilai pointwise dari Q digunakan akan mempermudah pemahaman seperti yang
ditunjukan pada Gambar 3.4. Pada Gambar 3.4(a) terlihat bahwa Qi2 bergantung
pada ,Q ,Q1i 1
3.4(b), aproksimasi numeris pada titik ini sekarang bergantung pada data awal di
lebih banyak titik dalam interval 4 b 4 b.
x metode beda hingga eksplisit tiga-titik, dengan jarak a.
x
Supaya kondisi CFL dipenuhi, domain dependen dari penyelesaian
sebenarnya harus terletak dalam interval ini. Untuk persamaan adveksi
, Kondisi CFL kemudian memerlukan
. selalu cukup untuk menjamin kestabilan.
D. Flux Unstable
31
E. Flux Lax-Friedrichs
Skema Lax-Friedrichs mirip dengan skema unstable, hanya saja n i
Metode tersebut tampak tidak seperti skema (3.4). Meskipun demikian,
metode tersebut dapat dibuat ke dalam skema (3.4) dengan mendefinisikan flux:
),
F. Flux Richtmyer Dua-Langkah Lax-Wendroff
Pada metode ini, q diaproksimasi pada waktu, ,
menyelesaikan persamaan adveksi adalah
1/2 ( 11//22)
Nilai 1/2 2 / 1
n i
Q diperoleh menggunakan skema Lax-Friedrichs.
G. Flux Upwind
Dari Gambar 3.3(a) terlihat bahwa flux yang melalui bagian kiri sel
ditentukan sepenuhnya oleh n i
Q1. Oleh karena itu, flux untuk metode upwind
yaitu
1/2 1.
n i n
i Q
F (3.27)
Dengan mensubtitusi persamaan tersebut ke persamaan 3.4 diperoleh
)
( 1
1 n
i n i n
n
Q Q x t Q
Q
33
BAB IV
PERBANDINGAN HASIL BEBERAPA FLUX NUMERIS DALAM
PENYELESAIAN PERSAMAAN ADVEKSI
Pada bagian ini akan dipaparkan hasil-hasil simulasi numeris untuk empat
flux, yaitu Unstable, Lax Friedrichs, Richmyer Dua-Langkah Lax-Wendroff, dan
Upwind. Flux-flux tersebut akan diuji untuk beberapa nilai xdan t,
selanjutnya hasil simulasi tersebut akan disajikan dalam bentuk tabel serta
gambar.
Simulasi numeris untuk masing-masing flux dilakukan menggunakan
program MATLAB dengan kondisi awal
Error dihitung dengan menggunakan rumus
mendiskretkan domain ruang-x.
A. Flux Unstable
Dalam bagian ini, akan dipaparkan hasil simulasi penyelesaian persamaan
adveksi menggunakan unstable flux. Seperti yang telah disebutkan di atas,
simulasi ini dilakukan untuk beberapa nilai xdant. Berikut merupakan hasil simulasi numeris untuk persamaan adveksi menggunakan unstable flux.
Tabel 4.1. Hasil simulasi numeris menggunakan skema unstable untuk
Dari Tabel 4.1 di atas tampak bahwa semakin besar t yang di ambil, semakin
besar pula error yang dihasilkan. Bahkan untuk x yang kecil pun metode ini
menghasilkan error yang besar. Namun demikian, jika t dipilih sangat kecil
skema unstable akan menghasilkan error yang kecil juga seperti yang disajikan
oleh Tabel 4.2.
Gambar 4.1 memberikan ilustrasi geometris mengenai simulasi yang telah
dilakukan. Terlihat bahwa solusi numeris yang dihasilkan tidak stabil. Bahkan
solusi numeris tersebut membesar melebihi solusi eksaknya.
Dengan demikian, unstable flux bukanlah pilihan yang tepat untuk
35
Gambar 4.1. Grafik simulasi sumeris dengan skema Unstable untuk t=60 detik,
x
= 0.0125 dan t=0.25x
B. Flux Lax-Friedrichs
Selanjutnya akan dipaparkan hasil simulasi numeris penyelesaian persamaan
adveksi menggunakan Lax-Friedrichs flux. Berikut merupakan hasil simulasi
numeris untuk persamaan adveksi menggunakan Lax-Friedrichs flux.
Tabel 4.3. Hasil simulasi numeris menggunakan skema Lax-Friedrichs untuk
x t
0.25
x
Error pada
t=10 t=20 t=30 t=40 t=50 t=60 0.1
0.05 0.025 0.0125
0.0323 0.0211 0.0126 0.0070
0.0449 0.0323 0.0211 0.0126
0.0522 0.0396 0.0273 0.0172
0.0573 0.0449 0.0322 0.0211
0.0610 0.0489 0.0362 0.0244
0.0639 0.0522 0.0396 0.0273
Dari Tabel 4.3 tampak bahwa semakin besar t yang di ambil, semakin besar
pula error yang dihasilkan oleh skema Lax-Friedrichs. Misalnya pada x0.1
untuk t 0.25x, dimana error yang dihasilkan pada waktu t60 lebih besar
jika dibandingkan dengan waktu t10.
Tabel 4.4. Hasil simulasi numeris skema Lax-Friedrichs jika t diperkecil untuk
1 . 0
x
t
Error pada
t=10 t=30 t=60
0.25x
0.05x
0.01x
0.0323 0.0620 0.0828
0.0522 0.0773 0.0914
0.0639 0.0845 0.0951
Gambar 4.2. Grafik simulasi numeris dengan skema Lax-Friedrichs untuk t = 60 detik, x = 0.0125 dan t=0.25x
Tampak juga bahwa semakin kecil x yang dipilih maka error yang di hasilkan juga semakin kecil. Misalnya pada waktu t10, x0.1 menghasilkan error sebesar 0.0323, sedangkan pada x0.0125 hanya menghasilkan error sebesar 0.0070. Namun demikian, hal ini tidak berarti bahwa jika t diperkecil
37
dengan error yang dihasilkan saat dipilih t0.25x, yaitu 0.0323 seperti yang
disajikan Tabel 4.4.
C. Flux Richtmyer Dua-Langkah Lax-Wendroff
Pada bagian sebelumnya telah dilihat hasil simulasi menggunakan flux
dengan metode Lax-Friedrichs, berdasarkan hasil simulasi tersebut terdapat
perbedaan yang signifikan di bagian puncaknya. Sekarang akan dilihat flux
dengan metode Richtmyer dua-langkah Lax-Wendroff.
Tabel 4.5. Hasil simulasi numeris dengan metode Richtmyer untuk t 0.25x x
semakin besar pula error yang dihasilkan oleh skema Richtmyer Dua-Langkah
Lax-Wendroff, seperti yang terlihat pada Tabel 4.5. Misalnya pada x0.1
untuk t 0.25x, dimana error yang dihasilkan pada waktu t60 lebih besar
jika dibandingkan dengan waktu t10, namun demikian error yang dihasilkan metode ini lebih kecil dibandingkan erorr pada metode Lax-Friedrichs.
Tampak juga bahwa semakin kecil x yang dipilih maka error yang di
hasilkan juga semakin kecil. Misalnya pada waktu t10, x0.1 menghasilkan error sebesar 6.4409e-04, sedangkan pada x0.0125 hanya menghasilkan error sebesar 1.0136e-04. Namun demikian sama seperti metode sebelumnya, hal ini
tidak berarti bahwa jika t diperkecil maka errornya akan semakin kecil pula,
seperti yang terlihat pada Tabel 4.6. t0.01x menghasilkan error 8.8441e-04
pada saat waktu t10 untuk x0.1, hal ini lebih besar jika dibandingkan dengan error yang dihasilkan saat dipilih t 0.25x, yaitu 6.4409e-04.
Gambar 4.3. Grafik simulasi numeris dengan skema Richtmyer Dua-Langkah Lax-Wendroff untuk t = 60 detik, x = 0.0125 dan t=0.25x
Gambar 4.3 memberikan ilustrasi geometris mengenai simulasi yang telah
dilakukan. Terlihat bahwa solusi numeris yang dihasilkan tampak berimpit dengan
solusi eksaknya, hal ini berarti solusi numerisnya cukup dekat dengan solusi
eksaknya. Dengan demikian Metode Richtmyer Dua-Langkah Lax-Wendroff bisa
39
Dari hasil simulasi numeris yang telah dilakukan sejauh ini, flux dengan
metode Richtmyer Dua Langkah Lax-Wendroff menghasilkan erorr yang paling
kecil. Dengan demikian, flux ini lebih baik dibandingkan flux-flux sebelumnya.
D. Flux Upwind
Telah dilihat bahwa flux dengan metode Richtmyer dua-langkah
Lax-Wendroff menghasilkan error yang cukup kecil jika dibandingkan dengan dua
metode sebelumnya. Berikut ini akan dipaparkan hasil simulasi dengan metode
upwind.
Dari Tabel 4.7 di atas tampak bahwa semakin besar t yang di ambil, semakin
besar pula error yang dihasilkan oleh metode upwind. Tampak juga bahwa
semakin kecil x yang dipilih maka error yang di hasilkan juga semakin kecil.
Demikian juga sama seperti metode sebelumnya jika t diperkecil maka errornya
akan membesar misal untuk t 0.01x error yang dihasilkan adalah 0.0131,
sedangkan untuk t 0.25x errornya adalah 0.0105, seperti yang terlihat pada
Tabel 4.8.
Hasil simulasi yang dilakukan dengan metode upwind cukup baik. Hal ini
bisa dilihat pada Gambar 4.4, dimana solusi numerisnya hampir menyerupai
solusi eksaknya. Dengan demikian, error solusi numerisnya cukup kecil.
Gambar 4.4. Grafik simulasi numeris dengan metode upwind untuk t = 60 detik,
x
= 0.0125 dan t=0.25x
Telah dilihat bahwa flux upwind menghasilkan error yang cukup kecil juga
jika dibandingkan dengan flux unstable dan Lax-Friedrichs. Jika pada metode
Lax-Friedrichs terdapat perbedaan yang signifikan antara solusi eksak dengan
solusi numerisnya, pada metode upwind perbedaan antara solusi eksak dengan
numerisnya tidak terlalu besar. Dengan demikian flux ini bisa digunakan untuk
menyelesaikan persamaan adveksi.
Dari hasil simulasi numeris yang telah dilakukan diperoleh bahwa flux yang
41
begitu besar, bahkan untuk t yang besar skema unstable tidak stabil. Berbeda
halnya dengan Richtmyer dua-langkah Lax-Wendroff, error yang dihasilkan oleh
skema ini adalah yang paling kecil. Secara grafis juga terlihat bahwa solusi
numerisnya tampak berimpit dengan solusi eksaknya. Artinya bahwa solusi
numeris tersebut sudah sangat dekat dengan solusi eksaknya. Dengan demikian,
untuk menyelesaikan persamaan adveksi secara numeris, penulis menyarankan
penggunaan skema Richtmyer dua-langkah Lax Wendroff.
42
BAB V
PENUTUP
Dalam bab ini disajikan kesimpulan atas pembahasan bab-bab sebelumnya,
serta saran untuk penelitian selanjutnya.
A. Kesimpulan
Telah dilihat bahwa untuk menyelesaikan persamaan adveksi secara numeris
menggunakan metode volume hingga, harus dipilih flux yang baik sehingga dapat
diperoleh solusi yang diharapkan. Untuk itu, telah diuji beberapa flux dan
mendapatkan flux terbaik berdasarkan hasil simulasi numeris. Flux menggunakan
metode Richtmyer Dua-Langkah Lax-Wendroff adalah flux terbaik berdasarkan
simulasi numeris yang dilakukan, apabila dibandingkan dengan flux unstable,
Lax-Friedrichs, dan upwind. Dengan demikian untuk menyelesaikan persamaan
adveksi, penulis menyarankan penggunaan flux ini.
B. Saran
Penulis sadar bahwa dalam penyusunan makalah ini masih banyak
kekurangan. Oleh sebab itu, penulis sangat mengharapkan kelak akan ada yang
melanjutkan penelitian ini. Tulisan ini hanya membahas persamaan adveksi di
ruang dimensi satu, penulis berharap kelak ada yang akan melakukan penelitian
untuk ruang dimensi yang lebih tinggi, dan jika dimungkinkan menggunakan flux
43
DAFTAR PUSTAKA
Burden R.L., Faires J.D. 2010. Numerical Analysis. Canada: Cengange Learning.
Haberman R. 2004. Applied Partial Differential Equations with Forier Series and Boundary Value Problem. Upper Saddle River: Pearson Education.
Kuzmin D. 2010. A Guide to Numerical Methods for Advection Equations, Nürnber g: Friedrich-Alexander-Universität Erlangen.
LeVeque R.J. 2004. Finite-Volume Method for Hyperbolic Problems. Cambridge: Cambridge University Press.
LeVeque R.J. 1992. Numerical Method for Conservation Laws. Basel: Birkhäuser Verlag.
Purcell E.J.,Verberg D. 1987. Kalkulus dan Geometri Analitis. Jakarta: Erlangga (Alih bahasa oleh: I Nyoman Susila & Bana Kartasasmita).
Simon C. P., Blume L. E. 1994. Mathematics for Economists. New York: W. W. Norton.
Stewart J. 2003. Kalkulus. Jakarta: Erlangga (Alih bahasa oleh: I Nyoman Susila & Hendra Gunawan).
Swokowski E.W. 1979. Calculus with Analytic Geometry. Boston: Prindle, Weber & Schmidt.
Lampiran
Berikut ini adalah code program MATLAB untuk masing-masing flux
yang digunakan dalam simulasi numeris untuk persamaan adveksi.
1. Code untuk flux unstable
dx=0.1; dt=0.25*dx;
C=-20+0.5*dx :dx: 100-0.5*dx; Nc = length(C);
45
plot(C,Q,'*-',C,q,'k-') pause(0.001)
end
Error=sum(abs(q-Q))/Nc
2. Code untuk flux Lax-Friedrichs
dx=0.0125; dt=0.25*dx;
C=-20+0.5*dx :dx: 100-0.5*dx; Nc = length(C);
3. Code untuk flux Rytmer dua-Langkah Lax-Wendroff
dx=0.1; dt=0.25*dx;
C=-20+0.5*dx :dx: 100-0.5*dx; Nc = length(C);
% numerical evolution for i=1:Nc
47
4. Code untuk flux upwind
dx=0.1; dt=0.25*dx;
C=-20+0.5*dx :dx: 100-0.5*dx; Nc = length(C);
