BAB 7 KESIMPULAN 107
Nomor Judul Halaman
3.1 Produktivitas φ (bashan i, prod j) 42
6.1 Hirarki Kriteria 74
6.2 Mean dan standar deviasi 74
6.3 Bobot yang diberikan dari simulasi 74
6.4 Efisiensi relatif dari SDEA dengan parameter resiko α = 0.2 dan
level aspirasi β = 0.9 80
6.5 Vektor bobot optimal dengan parameter resiko α = 0.2 dan level
aspirasi β = 0.9 80
6.6 Hasil Efisiensi dan Super Efisiensi DEA Determistik yang Ekivalen 83
6.7 Sampel dan rata-rata sampel 84
6.8 Hasil Super Efisiensi SAA 87
6.9 Vektor bobot optimal untuk masing-masing vendor 88
6.10 Data ICT Pura Indonesia Tahun 2011 92
6.11 Hasil efisiensi, super efisiensi dan bobot vektor SDEA dengan meng-gunakan metode DEA deterministik yang ekivalen 99
6.12 sampel dan rata-rata sampel 101
6.13 Hasil efisiensi, super efisiensi dan bobot vektor SDEA dengan
meng-gunakan metode SAA 105
6.14 Hasil efisiensi, super efisiensi dan bobot vektor SDEA dengan
Nomor Judul Halaman 2.1 Inputs, Outputs, dan Outcomes dari suatu UPK 10
2.2 Tapal batas efisiensi DEA 12
6.1 Perbandingan hasil super efisiensi dengan menggunakan DEA
deter-ministik yang ekivalen dan SAA 88
6.2 Model ICT Development Index 90
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Salah satu bentuk pengukuran tingkat kinerja suatu organisasi atau perusa-haan adalah melalui pengukuran efisiensi. Secara umum efisiensi dapat dide-finisikan sebagai perbandingan antara keluaran (output) dan masukan (input). Namun dalam suatu organisasi atau perusahaan dapat saja terdapat beberapa entitas output dan input, yang dikaitkan dengan sumber daya, kegiatan, faktor lingkungan yamg berbeda, sehingga definisi umum tentang pengukuran efisien-si tidak dapat terpakai. Suatu formulaefisien-si yang dapat dipakai untuk melakukan pengukuran efisiensi relative dengan adanya beberapa entitas input dan output adalah model yang dikenal sebagai Data Envelopment Analysis (DEA) (Charnes et al., 1978). Entitas input dan output dalam ranah DEA selalu disebut seba-gai Unit Pengambilan Keputusan (UPK). Pada awalnya Charnes et al., (1978) memperkenalkan teknik DEA ini untuk menilai kinerja organisasi pendidikan da-lam program ”Follow Through”, Oleh karena dada-lam penentuan ukuran efisiensi dilibatkan teknik yang ada dalam program matematika, DEA dapat didefinisikan sebagai suatu teknik pemrograman matematika untuk mengukur efisiensi teknis relatif untuk masing-masing UPK, yang merupakan rasio maksimum antara out-put yang terbobot dengan inout-put yang terbobot. Secara geometri hasil pengukuran
untuk menghasilkan beberapa produk atau jasa (output) dapat terlihat dengan jelas pada posisi yang berada pada garis daerah tapal batas (frontier) atau tidak. Dalam hal ini tapal batas merupakan tolok ukur efisiensi, Jika hasil pengukuran berada pada garis tapal batas maka dikatakan efisien dan jika tidak berada pada tapal batas maka dikatakan tidak efisien.
Farrell (1957) mengajukan pengukuran efisiensi yang terdiri dari dua kom-ponen: komponen pertama yaitu efisiensi teknis, yang merefleksikan kemampuan perusahaan untuk mendapat output maksimum dari satu set input yang tersedia, dan komponen kedua yaitu efisiensi alokatif, yang merefleksikan kemampuan dari perusahaan menggunakan input dalam proporsi yang optimal, sesuai dengan har-ga masing-masingnya. Kedua ukuran efisiensi ini kemudian dikombinasikan untuk menyediakan ukuran total efisiensi ekonomi. Pengukuran efisiensi ini mengasumsi-kan bahwa fungsi produksi diketahui menghasilmengasumsi-kan efisiensi 100%. Menurut Fried et al., (1993), kedua komponen efisiensi yang didefinisikan oleh Farrell (1957) diis-tilahkan sebagai efisiensi produktif. Dalam DEA kadang-kadang ditemukan nilai-nilai ekstrim atau nol dalam bobot input dan / atau output untuk UPK yang di-ujicoba. Dalam beberapa kasus, ditemukan pula dengan ketidaksempurnaan dari bobot, yaitu, memberikan solusi bobot besar untuk variabel yang kurang penting atau memberikan bobot kecil atau nol untuk variabel yang penting. Terutama da-lam kasus nol, bobot input dan / atau output tidak memberikan kontribusi untuk menafsirkan hasil analisis. Dalam literatur, berbagai upaya telah dilakukan untuk mengatasi masalah ini. DEA memungkinkan manajer untuk mengevaluasi suatu
ukuran secara efisien karena manajer tidak perlu mencari hubungan antar ukuran tersebut. DEA membantu untuk mengelompokkan suplier menjadi grup suplier efisien dan grup supplier tidak efisien, (Wu et al., 2009). DEA sangat fleksibel untuk mengidentifikasi supplier yang tidak efisien. Kelemahan DEA adalah tidak adanya penilaian dari pembuat keputusan, Saen (2010). DEA seperti model ko-tak hitam karena pembuat keputusan tidak bisa mempengaruhi kriteria padahal dalam prakteknya pembuat keputusan dapat dan harus membuat peringkat kri-teria yang penting berdasarkan keahlian atau pengalaman walaupun pengambil keputusan tidak bisa menyatakan bobot tersebut secara eksak, (Wu et al., 2009).
Berdasarkan konsep dasar model CCR yang ditemukan oleh Charnes et al., (1978) yang dikenal dengan DEA CCR, bahwa unit yang menunjukkan kiner-ja terbaik adalah dengan skor efisiensi satu. Hal ini menunjukkan bahwa skor tersebut bagian dari tapal batas produksi yang tidak dapat dibandingkan dengan daerah tapal batas tersebut. Teknik lebih lanjut yang menggabungkan prinsip dasar DEA dikenal sebagai ”Analisis Super Efisiensi” yang diperkenalkan oleh Andersen dan Peterson (1993). Mereka menciptakan teknik yang lebih spesifik dengan relaksasi batas atas (upper bound) untuk efisiensi satu perusahaan dalam model DEA dasar dengan membandingkan tapal batas produksi secara empiris. Oleh karena itu, informasi lengkap efisiensi perusahaan tersebut diperoleh tan-pa ada batasan dari batas atas. Konsep ini telah dirujuk dan disesuaikan de-ngan konsep standar DEA. Skor super efisiensi akan bernilai lebih besar dari atau sama dengan satu yang menyiratkan bahwa analisis telah memberikan informasi
tambahan mengenai kinerja relatif dari efisiensi sebuah perusahaan. Teknik ini mengarah kepada penentuan penempatan relatif tanpa memperhatikan ketidake-fisiensian perusahaan. Karena ketidakeketidake-fisiensian perusahaan tersebut tidak dapat memperluas jangkauan tapal batas produksi, analisis super efisiensi tidak akan mengubah nilai teknis ketidakefisiensian perusahaan. Hal ini menunjukkan secara jelas keberadaannya dibawah wilyah tapal batas produksi. Keterbatasan dalam pengukuran efisiensi memberikan informasi lebih lanjut tentang factor-faktor yang mempengaruhi nilai efisiensi. Sehingga, faktor yang mempengaruhi nilai efisiensi tersebut secara lanjut harus dianalisis.
Model super efisiensi DEA dapat digunakan untuk memeringkat kinerja UPK yang efisien. Walaupun UPK dievaluasi tidak termasuk dalam suatu set rujukan model DEA yang original, model DEA yang dihasilkan disebut dengan model DEA super efisiensi. Selanjutnya model DEA super efisiensi diperoleh da-lam situasi hasil berskala tetap (Constant Return to Scale yang disingkat dengan CRS) atau hasil berskala variabel (Variable Return to Scale yang disingkat dengan VRS).
Model super efisiensi DEA-CCR dikembangkan dibawah CRS oleh Andersen dan Petersen (1993) yang dikenal dengan model AP. Thrall (1996) menunjukkan bahwa model AP dapat menyebabkan ketidaklayakan dan ketidakstabilan ketika beberapa input yang mendekati nol. Zhu (2001) juga menunjukkan bahwa model super efisiensi DEA dengan CRS bisa terjadi ketidaklayakan jika dalam data nol.
Ketika mempertimbangkan model super efisiensi DEA berdasarkan model yang dibangun oleh Banker, Charnes dan Cooper tahun 1984, yang disingkat dengan BCC (model super efisiensi DEA BCC) dibawah model super efisiensi VRS, maka ketidaklayakan dari program linier terkait mungkin terjadi. Seiford dan Zhu (1998) menunjukkan kondisi yang diperlukan dan yang memadai, tidak layak dalam model super efisiensi VRS. Yao (2003) berpendapat bahwa super efisiensi bisa diartikan penghematan input dan surplus output yang dicapai oleh UPK yang efisien.
Stochastic Data Envelopment Analysis (SDEA) bekerja didasarkan pada tulisan Land et al., (1993), dimana model baru untuk memeriksa efisiensi dari program sekolah ”Follow Through” untuk murid kurang mampu seperti dalam Charnes et al., (1978). Land et al., (1993), menawarkan prospek SDEA dan mem-bangun model sendiri (LLT model). Memperkenalkan komponen stokastik untuk DEA dan menciptakan masalah kendala peluang dengan memperkenalkan vari-abilitas untuk output yang tergantung pada input. Oleh karena kajian stokastik memiliki kendala peluang dengan variabel output bersifat acak, skenario yang di-lakukan untuk dapat menyelesaikannya adalah dengan cara memastikan variabel acak tersebut terdistribusi normal. Setelah masalah optimasi stokastik diciptakan, Land et al., (1993), mengubah masalah ini yang ekivalen dengan deterministiknya, yang memungkinkannya untuk menentukan UPK efisien. Olesen dan Petersen (1995), menawarkan pendekatan yang berbeda untuk menggabungkan komponen stokastik ke DEA. Olesen dan Petersen (1995) mengasumsikan bahwa
ketidake-fisienan UPK dapat diuraikan ke dalam ketidakefisiensian sebenarnya dan istilah gangguan data dari luar (disturbance term). Olesen (2002) mengerjakan SDEA dengan membandingkan pendekatan Model LLT yang dibuat oleh Land et al., (1993) dan pendekatan model OP yang dibuat Olesen dan Petersen (1995) serta mengidentifikasi kelemahan dari kedua pendekatan tersebut. Model LLT dikri-tik karena tidak menjelaskan semua korelasi yang dapat terjadi pada gangguan data dari luar. Olesen (2002) mengkoreksi model OP yang diajukan oleh Ole-sen dan PeterOle-sen (1995) karena model OP mengabaikan fakta bahwa kombinasi konvek, misalnya, dua vektor identitas acak input-output dari dua UPK memili-ki variasi lebih rendah dari vektor acak itu sendiri, kecuali untuk kasus dimana vektor input-output yang berkorelasi kuat atau sempurna. Setelah Olesen (2002) menekankan kelemahan dari kedua model tersebut, ia mengusulkan sebuah model yang menggabungkan fitur menarik dari model LLT dan OP. Penyelesaian lang-sung untuk model OP adalah untuk mengambil kumpulan daerah layak untuk setiap kombinasi linear dari vektor stokastik itu sendiri dari pada menggunakan sampul garis putus-putus dari daerah layak. Olesen (2003) menerapkan ide ini dan menggunakan kombinasi model kendala peluang dalam papernya. Huang dan Li (2001), membuat sketsa model stokastik dengan kemungkinan variasi in-put dan outin-put. Huang dan Li (2001) mendefinisikan ukuran efisiensi suatu UPK melalui perbandingan probabilistik gabungan input dan output dengan UPK lain yang dapat dievaluasi dengan memecahkan masalah pemrograman kendala pelu-ang (Chance Constraints Programming). Wu dan Olson (2006) menggunakan pemrograman kendala peluang untuk memecahkan kelas khusus dari SDEA.
Pada penelitian optimisasi stokastik yang lain diketahui bahwa untuk menye-lesaikan permasalahan pemrograman linier dengan kendala peluang dapat dise-lesaikan dengan mengubah kendala peluang tersebut menggunakan metode Sam-ple Average Aproximation (SAA). Pagnoncelli et al., (2009), dan Vielma et al., (2012) menggunakan SAA dalam mengubah pemrograman kendala peluang ke dalam pemrogramanan kendala deterministik untuk mendapatkan calon solusi optimal. Shapiro (2003) mengubah kendala peluang menggunakan SAA, dengan cara menggantikan distribusi aktual dalam kendala peluang oleh distribusi em-piris sesuai dengan sampel acak. Selanjutnya menyarankan bahwa dalam kasus normal, dapat menghitung tapal batas efisien dan menggunakannya sebagai solusi tolok ukur.
Sehingga atas dasar ini dapat diusulkan dengan menggunakan metode SAA dapat menyelesaikan masalah SDEA.
1.2 Perumusan Masalah
SDEA merupakan metode penyelesaian masalah optimisasi dengan kenda-la probabilistik. Keadaan kendakenda-la seperti ini menyebabkan SDEA tidak mudah untuk diselesaikan. Teknik yang dapat digunakan untuk mengatasi hal tersebut adalah mentransformasi SDEA menjadi DEA deterministik yang ekivalen. Dike-tahui bahwa DEA adalah permasalahan optimisasi dengan kendala deterministik, yang solusinya secara umum tidak sulit untuk ditentukan. Untuk mentransfor-masi SDEA menjadi DEA deterministik yang ekivalen diperlukan suatu teknik
pemrograman kendala peluang yang disebut dengan pemrograman kuadratik, se-demikian rupa sehingga informasi yang ada pada peubah SDEA dapat dijelaskan oleh peubah yang termuat dalam DEA deterministik yang ekivalen. Untuk men-dapatkan nilai super efisiensi suatu UPK pada SDEA dengan menggunakan DEA deterministik yang ekivalen, harus dicari terlebih dahulu apakah UPK yang di-evaluasi itu efisien. Dengan memastikan UPK yang dievaluasi adalah efisien, maka UPK tersebut akan bisa menjangkau super efisiensi. Pada penelitian ini akan diperlihatkan bagaimana mengubah kendala peluang pada SDEA dengan menggunakan metode SAA menjadi pemrograman integer (IP) atau pemrogra-man integer campuran (MIP) sehingga masalah SDEA dapat diselesaikan dan memberikan hasil apakah UPK yang dievaluasi tidak efisiensi, efisiensi atau super efisiensi tanpa harus memastikan terlebih dahulu bahwa UPK tersebut efisiensi.
1.3 Tujuan Penelitian
Penelitian disertasi ini bertujuan untuk menyelesaikan permasalahan pemro-graman kendala peluang pada SDEA, yang dapat mentransfromasi SDEA dengan kendala bersifat probalisitik menjadi DEA yang kendalanya bersifat determinis-tik, sehingga penyelesaian masalah dalam mendapatkan nilai super efisiensi dapat diselesaikan. Secara khusus akan ditentukan suatu teknik pemrograman kendala peluang pada SDEA menggunakan SAA sebagai alternatif baru dalam mendapat-kan nilai super efisiensi.
1.4 Manfaat Penelitian
Hasil penelitian disertasi ini diharapkan dapat memberikan kontribusi da-lam menambah kasanah ilmu pengetahuan dan teknologi pada umumnya. Secara khusus, hasil penelitian ini dapat digunakan sebagai acuan dalam menyelesaikan permasalahan optimisasi yang berkaitan dengan SDEA.
1.5 Metode Penelitian
Metode penelitian yang dilakukan adalah bersifat studi literatur dengan mengumpulkan informasi dari referensi buku dan jurnal tentang penelitian se-jenis yang pernah dilakukan sebelumnya. Bahasan dalam penelitian ini meliputi:
1. Model DEA
2. Masalah Pemrograman Stokastik dan Pemrograman Kendala Peluang
3. Model super Efisiensi
4. Model SDEA
DATA ENVELOPMENT ANALYSIS (DEA)
DEA diperkenalkan oleh Charnes et al., (1978). Metode Data Envelopment Analysis (DEA) dibuat sebagai alat bantu untuk evaluasi kinerja suatu aktifitas dalam sebuah unit entitas (organisasi). Pada dasarnya prinsip kerja model DEA adalah membandingkan data input dan output dari suatu organisasi data (unit pengambilan keputusan, UPK) dengan data input dan output lainnya pada UPK yang sejenis. Perbandingan ini dilakukan untuk mendapatkan suatu nilai efisiensi.
Sebelum membahas tentang efisiensi dari evaluasi suatu UPK, ada baiknya mengetahui terlebih dahulu hubungan evaluasi UPK dengan efisiensi, efektifitas dan produktifitas yang dapat diperlihatkan dengan gambar segitiga berikut:
Gambar 2.1 Inputs, Outputs, dan Outcomes dari suatu UPK
Pada gambar 2.1 dapat didefinisikan bahwa UPK mengkonsumsi bebera-pa input untuk menghasilkan beberabebera-pa output dalam mejadikan beberabebera-pa out-come. UPK ada secara eksak karena beberapa outcome dan untuk menjadikan
beberapa outcome. Para manajer dari suatu UPK mencoba memaksimumkan hasil beberapa output dengan meminimumkan konsumsi beberapa input. Dalam mengevaluasi level efisiensi, efektifitas dan produktifitas dari setiap UPK dapat dipertimbangkan model berikut:
Efisiensi : Inputs − − − − − − − UPK − − − − − − − outputs Efektifitas : Outputs − − − − − − − UPK − − − − − − − Outcomes Produktifitas : Inputs − − − − − − − UPK − − − − − − − Outcomes
Selanjutnya, suata UPK adalah produktif jika kerja-kerjanya efisien dan master UPK nya direncanakan secara efektif. Kontribusi kuantifikasi untuk memperoleh produktifitas sangat ditentukan oleh tingkat efisiensi suatu evaluasi UPK.
2.1 Tapal Batas (Frontier) Efisiensi
Kerapkali dalam DEA menyatakan efisiensi dalam bentuk efisiensi tapal batas (frontier) yang diketahui juga sebagai fungsi produksi (production function). Gambar 2.2 mengilustrasikan konsep dasar DEA dan bagaimana DEA mengidenti-fikasi efisiensi tapal batas dan menetapkan tolok ukur standar. Dalam gambar 2.2 sumbu-x menyatakan risiko (risk) dan sumbu-y menyatakan hasil pengembalian (return). Menggunakan teknik pemrograman linier, DEA mengidentifikasi bagian demi bagian garis lurus efisiensi tapal batas, yakni garis yang kuat, dituntujukkan pada gambar 2.2. Tidak ada UPK lainnya diamati memiliki kombinasi risk-return yang lebih baik daripada UPK yang diidentifikasi DEA pada tapal batas efisien.
menjadi efisien harus dilakukan pengurangan resiko sampai ke tapal batas efisien D’, atau harus menambahkan hasil pengembalian sampai ke tapal batas efisien D”. Kemudian D’ atau D” diidentifikasi sebagai tolok ukur standar untuk UPK D. Dalam DEA beberapa ukuran kinerja disebut sebagai input dan output. Dalam gambar 2.2 risiko adalah DEA input dan hasil pengembalian adalah DEA output. Biasanya, input merupakan dimana nilai-nilai yang lebih kecil lebih disukai (mis-alnya, ukuran risiko) dan output merupakan ukuran dimana nilai-nilai yang besar lebih disukai (misalnya, ukuran hasil pengembalian).
Gambar 2.2 Tapal batas efisiensi DEA
Gambar 2.2 menunujukkan bahwa DEA melakukan pengurangan input atau-pun penambahan output pada UPK tak-efisien untuk mencapai tapal batas efisien. Tapal batas efisien terdiri dari UPK yang tidak ada pengurangan input dan pe-nambahan output yang diperlukan. Sebagai hasilnya diperoleh model DEA ber-orientasi input yang mana mengoptimalkan output sedangkan input disimpan pada tingkat sekarang.
2.2 Mengukur Efisiensi
Dalam menghitung tingkat efisiensi, diasumsikan bahwa ada n UPK yang dievaluasi, setiap UPK dengan m input dan s output. Untuk penulisannya dibuat xij(i = 1, · · · , m) dan yrj(r = 1, · · · , s) sebagai nilai input dan nilai output dari U P Kj(j = 1, · · · , n), yang nilainya diketahui dan positif. Menurut pada implikasi efisiensi, efisiensi dari U P Kj dapat didefinisikan sebagai
max h0 = Ps r=1uryro Pm i=1vixio (2.1)
Dimana ur dan vi merupakan bobot output dan input dari output ke-r dan input ke-i.
2.2.1 Mengukur efisiensi dengan model DEA CCR
Pertama kalinya model CCR ditemukan oleh Charnes, Cooper dan Rhodes pada tahun 1978. Pada model ini diperkenalkan suatu ukuran efisiensi untuk masing-masing UPK yang merupakan rasio maksimum antara output yang ter-bobot dengan input yang terter-bobot. Masing-masing nilai ter-bobot yang digunakan dalam rasio tersebut ditentukan dengan batasan bahwa rasio yang sama untuk tiap UPK harus memiliki nilai yang kurang dari atau sama dengan satu. Dengan demikian akan mereduksi perkalian input dan perkalian output ke dalam satu virtual input dan virtual output tanpa membutuhkan penentuan awal nilai bobot. Virtual input dan virtual output memberikan informasi terhadap setiap atribut unit yang relatif penting kepada setiap individu input dan output, untuk tujuan
input dari sutau UPK didefinisikan sebagai hasil dari input tiap unit dan berkore-spondensi dengan bobot optimal. Sama halnya dengan virtual output merupakan hasil yang diterima oleh output tiap unit dan diasosiasikan dengan bobot opti-mal. Oleh karena itu ukuran efisiensi merupakan suatu fungsi nilai bobot dari kombinasi virtual input dan virtual output. Ukuran efisiensi UPK dapat dihitung dengan menyelesaikan permasalahan pemrograman matematika berikut ini:
max h0 = Ps r=1uryro Pm i=1vixio s.t Ps r=1uryrj Pm i=1vixij 6 1, j = 1, · · · , n (2.2) urvi > 0, r = 1, · · · , s; i = 1, · · · , n
Dimana subscript huruf o menyatakan UPK yang dievaluasi, dengan xij adalah in-put yang diamati dengan tipe ke-i dari UPK ke-j dan xij > 0 untuk i = 1, 2, · · · , m dan j = 1, 2, · · · , n. Demikian juga yrj adalah nilai output yang diamati dengan tipe ke-r dari UPK ke-j dan yrj > 0 untuk r = 1, 2, · · · , m dan j = 1, 2, · · · , n. Sedangkan ur dan vi adalah variabel keputusan yang merupakan nilai bobot un-tuk menenun-tukan permasalahan pemrograman diatas. Namun permasalahan ini memiliki solusi yang tidak terbatas karena jika u∗ dan v∗ adalah optimal, maka untuk tiap α > 0, αu∗ dan αv∗ juga optimal, dimana tanda * menyatakan opti-mum. Dengan mengikuti transformasi Charnes-Cooper, maka solusi yang dapat dipilih adalah solusi (u, v) yang representatif dengan kondisi:
Xm
i=1vixi0 = 1
Sehingga diperoleh model pemrograman linier yang ekivalen dengan permasalahan Pemrograman pecahan. Pembagi dalam ukuran efisiensi di atas dibuat sama
dengan satu dan permasalahan linear yang telah ditranformasikan dapat ditulis dengan: max Z0 =Xs r=1uryr0 s.t X s r=1uryrj − Xm i=1vixij 6 0, j = 1, 2, · · · , n (2.3) Xm i=1vixi0 = 1 urvi > 0, r = 1, 2, · · · , s; i = 1, 2, · · · , m
Permasalahan pemrograman linier di atas sering disebut juga model CCR dengan berorientasi input-output. Maksimalisasi dilakukan dengan memilih vir-tual multiple (yaitu nilai-nilai bobot) u dan v yang menghasilkan laju terbesar virtual output per virtual input. Permasalahan tersebut dapat ditulis untuk tiap U P K0 sebagai: θo∗ = min θo s.t Xn j=1λryrj > yro, r = 1, 2, · · · , s (2.4) Xn j=1λrxrj 6 θ0xio, i = 1, 2, · · · , m λj > 0, j = 1, 2, · · · , n
Model CCR dengan berorientasi input-output untuk U P K0 dengan fungsi tujuan maksimum dapat ditulis dengan :
θ∗o = max θo
s.t Xn
j=1λryrj > θoyro, r = 1, 2, · · · , s (2.5) Xn
λj > 0, j = 1, 2, · · · , n
Permasalahan pemrograman linier di atas memperoleh solusi optimal θ∗ o, yang merupakan nilai efisiensi, disebut juga nilai efisiensi teknis atau efisiensi CCR untuk U P Ko tertentu. Jika ada himpunan bobot positif membuat θ∗o = 1, maka UPK adalah relatif efisien. Nilai efisiensi ini disebut juga dengan nilai efisiensi teknis atau efisiensi CCR. Untuk mendapatkan nilai efisiensi keseluruhan UPK dapat diperoleh dengan cara mengulangi proses di atas untuk tiap U P Kj, j = 1, 2, · · · , n. Nilai θ selalu lebih kecil atau sama dengan satu. Bagi UPK yang relatif efisien akan terlihat di mana kombinasi virtual input-output terletak pada tapal batas efisien (efficient frontier).
2.2.2 Mengukur efisiensi dengan model DEA BCC
Agar variabel berskala hasil (variable return to scala), maka perlu ditam-bahkan kondisi konveksitas bagi nilai-nilai bobot λ, yaitu dengan memasukkan dalam model di atas batasan berikut:
Xn
j=1λj = 1
Hasil model DEA yang memberikan variable return to scala (VRS) disebut model BCC, Banker, Charmes dan Cooper (1984). Model BCC dengan berorientasi input-output untuk U P K0 dengan fungsi tujuan minimum dapat ditulis dengan:
θo∗ = min θo
s.t Xn
Xn
j=1λrxrj 6 θoxio, i = 1, 2, · · · , m Xn
j=1λj = 1 λj > 0, j = 1, 2, · · · , n
Model BCC dengan berorientasi input-output untuk U P K0 dengan fungsi tujuan maksimum dapat ditulis dengan:
θ∗o = max θo s.t Xn j=1λryrj > θoyro, r = 1, 2, · · · , s (2.7) Xn j=1λrxrj 6 xio, i = 1, 2, · · · , m Xm i=1vixio = 1 λj > 0, j = 1, 2, · · · , n
Nilai-nilai efisiensi BCC diperoleh dengan menjalankan model di atas untuk setiap UPK. Nilai-nilai efisiensi pengukuran kinerja BCC disebut nilai efisiensi teknis murni (pure technical efficiency), hal ini terkait dengan nilai-nilai yang diperoleh dari model yang memperbolehkan variabel berskala hasil, sehingga skala yang ada dapat tereliminasi. Secara umum nilai efisiensi CCR untuk tiap UPK tidak akan melebihi nilai efisiensi BCC, yang memang telah jelas secara intuitif karena model BCC menganalisa tiap UPK secara lokal daripada secara global.
Dari model (2.6) untuk mendapatkan nilai efisiensi dengan fungsi tujuan minimal dapat dibuatkan model berikut:
s.t Xn j=1λjyrj − S + i = yro, r = 1, 2, · · · , s (2.8) θoxio−Xn j=1λjxij− S − i = 0, i = 1, 2, · · · , m Xn j=1λj = 1 λj > 0, j = 1, 2, · · · , n
Dari model (2.7) untuk mendapatkan nilai efisiensi dengan fungsi tujuan maksimal dapat dibuatkan model berikut:
θo∗max θo = εXm i=1S − i + Xm r=1S + i s.t θoyro−Xn j=1λjyrj + S + i = yro, r = 1, 2, · · · , s (2.9) Xn j=1λjxij+ S − i = xio, i = 1, 2, · · · , m Xn j=1λj = 1 λj > 0, j = 1, 2, · · · , n
Definisi 2.1 (DEA Efisiensi) U P K0 adalah DEA efisien jika kedua kondisi berikut dipenuhi (i) θ∗ 0 = 1 (ii) S+∗ r = S −∗ i = 0, ∀i, r
2.3 Super Efisiensi Model DEA CCR
Diandaikan bahwa θ∗0 menujukkan nilai optimal. θ∗o pada model (2.4) me-nyatakan nilai efisiensi dan semua tapal batas UPK memiliki θ∗
o = 1. Dalam menentukan kinerja dari tapal batas UPK menggunakan super efisiensi model DEA CCR dengan fungsi tujuan mimimum dapat diekspresikan sebagai berikut:
θo∗ = min θo s.t Xn
j=16=oλjyrj > yro, r = 1, 2, · · · , s Xn
j=1,j6=oλjxij 6 θoxio, i = 1, 2, · · · , s λj > 0, j = 1, 2, · · · , n, j 6= 0
(2.10)
Demikian juga pada model (2.5), dalam menentukan kinerja dari tapal batas UPK menggunakan super efisiensi model DEA CCR dengan fungsi tujuan maksimum dapat diekspresikan sebagai berikut:
θ∗0 = max θ0 s.t Xn j=16=0λjyrj > θ0yr0, r = 1, 2, · · · , s Xn j=1,j6=0λjxij 6 xio, i = 1, 2, · · · , s λj > 0, j = 1, 2, · · · , n, j 6= 0 (2.11)
2.4 Super Efisiensi Model DEA BCC
Diandaikan bahwa θ∗ menujukkan nilai optimal. θ∗o pada model (2.6) me-nyatakan nilai efisiensi dan semua tapal batas UPK memiliki θ∗
o = 1. Dalam menentukan kinerja dari tapal batas UPK menggunakan super efisiensi model
DEA BCC dengan fungsi tujuan mimimum dapat diekspresikan sebagai berikut, Seiford dan Zhu (1998):
θ0∗= min θ0 s.t Xn j=16=0λjyrj > yr0, r = 1, 2, · · · , s Xn j=1,j6=0λjyrj 6 θ0xr0, i = 1, 2, · · · , s Xn j=1,j6=0λj = 1 λj > 0, j = 1, 2, · · · , n, j 6= 0 (2.12)
Demikian juga dari model (2.7), dalam menentukan kinerja dari tapal batas UPK menggunakan super efisiensi model DEA BCC dengan fungsi tujuan maksimum dapat diekspresikan sebagai berikut, Seiford dan Zhu (1999):
θ∗0 = max θ0 s.t Xn j=16=0λjyrj > θ0yr0, r = 1, 2, · · · , s Xn j=1,j6=0λjyrj 6 xr0, i = 1, 2, · · · , s Xn j=1,j6=0λj = 1 λj > 0, j = 1, 2, · · · , n, j 6= 0 (2.13)
