Persamaan Integral Batas
IV.1 Konvensi simbol
Sebelum memulai pembahasan, kita akan memperkenalkan sejumlah konvensi simbol yang akan digunakan pada tesis ini. Simbol x, y, x0 akan digunakan
untuk menyatakan titik di R2 atau sebuah vektor di R2. Sedang lambang sub-script x1, x2 untuk menyatakan komponen dari titik x = (x1, x2). Sedangkan
simbol u atau (superscript) ui menyatakan tensor di R2.
IV.2 Penentuan Solusi Fundamental
Pada bab 4 sebelumnya telah diperoleh persamaan dasar Stokes Nonhomogen (persamaan konstitutif ) dari proses deformasi benang viscoelastis menjadi droplet.
−∇P + η∇2u = De∇ (∂
t) τ
dengan u = ud dan τ = τd. Melalui persamaan di atas, kita akan menentukan
solusi fundamental atau solusi Green. Persamaan di atas ditulis dalam bentuk
−∇P + η∇2u∗+ gδ(x − x
0) = 0 (4.1)
dengan u∗ menyatakan solusi Green, dan x menyatakan titik pengamatan
(Ob-servation Point) dan x0 menyatakan titik sumber (Source Point), P
menyata-kan temenyata-kanan isotropik, η menunjukmenyata-kan kekentalan, g menyatamenyata-kan vektor kons-tan, dan δ menyatakan fungsi Delta Dirac.
Misal solusi Green dari persamaan (4.1) dituliskan dalam bentuk
u∗ i(x) =
1
4πηGij(x, x0)gj (4.2) dengan x0 titik sumber, x titik pengamatan, dan Gij menyatakan fungsi Green,
solusi fundamental atau propagator . Fungsi Green Gij yang kita punyai
adalah fungsi Green pada aliran tak berhingga yang dibatasi oleh suatu per-mukaan. Titik pengamatan (Observation Point) x menghampiri titik sumber x0 sedemikian sehingga semua fungsi Green menghasilkan perilaku
singulari-tas. Melalui teorema Divergensi Gauss yang dikenakan pada persamaan (4.2) dan adanya persamaan kekontinuan,
∂iu∗i = 0
maka kita peroleh persamaan
∂Gij
∂xi
dengan mengintegralkan persamaan (4.3) di luar domain Ω yang dibatasi oleh permukaan S, dan melalui teorema Divergensi Gauss diperoleh
Z
∂Ω
Gij(x, x0)nidS = 0 (4.4)
titik sumber x0 dapat diletakkan diluar, di dalam atau di batas domain.
Misal kecepatan, tekanan, dan medan tegangan dinyatakan dalam bentuk fungsi Green
P (x) = 1
4πpj(x, x0)gj
πij(x) = 4πη1 Tijk(x, x0)gj (4.5)
yang mana u∗, p, T menyatakan tensor kecepatan, vektor tekanan, dan tensor
tegangan yang dihubungkan dengan fungsi Green. Telah diasumsikan bahwa fluida tak-newton bersifat incompressible dan ada pengaruh pressure terhadap fluida tak-Newton. Dengan demikian tensor tegangan total dapat dinyatakan
πij = −P δij + τij (4.6) dengan τij = η µ ∂ui(x) ∂xk +∂uk(x) ∂xi ¶ (4.7) Melalui persamaan (4.5)-(4.7) diperoleh tensor tegangan yang dinyatakan da-lam bentuk fungsi Green T.
Tijk(x, x0) = −δikpj(x, x0) + µ ∂Gij ∂xk (x, x0) + ∂Gkj ∂xi (x, x0) ¶ (4.8) Masing-masing sisi diturunkan terhadap xi sedemikian sehingga diperoleh
∂Tijk ∂xi = −∂pj ∂xk + ∂ 2G kj ∂x2 i (4.9) dan melalui persamaan (4.5) dan persamaan (4.1)
1 4π µ −∂pj ∂xi − ∂pj ∂xj − ∂pj ∂xk ¶ + η µ 1 4πη ¶ µ ∂2u i ∂x2 i + ∂ 2u j ∂x2 j + ∂ 2u k ∂x2 k ¶ = −gδ(x − x0) dan diperoleh −∂pj ∂xk + ∂ 2G kj ∂x2 k = −4πδkjδ(x − x0) (4.10)
melalui persamaan (4.9)-(4.10) diperoleh
∂Tijk
∂xi
= ∂Tkij
∂xi
Kita memanfaatkan teorema Divergensi Gauss pada masing-masing sisi per-samaan (4.11) diperoleh Z Ω ∂Tijk ∂xi dΩ = Z S Tijk(x − x0)ni(x)dS(x) = − 4πδ2πδjkjk 0 (4.12)
Pandang persamaan Stokes Nonhomogen (4.1). Persamaan (4.1) juga per-samaan Poisson. Solusi fundamental dari perper-samaan Poisson sama dengan solusi fundamental dari persamaan Laplace.
∂jjui = δ(x − x0) (4.13)
Solusi fundamental dari persamaan Laplace
ui = 1 2πln(r) (4.14) akibatnya ∂jjui = 1 2π∂jjln(r) = δ(x − x0) atau δ(x − x0) = 1 2π∇ 2ln r (4.15)
dengan r = x − x0. Untuk menyeimbangkan dimensi dari persamaan (4.1) ,
kita dapat menuliskan vektor tekanan (pressure) P
P = 1
2π(∇ ln r) · g (4.16)
vektor tegangan g = (g1i + g2j) dan r =
p x2 1+ x22, akibatnya diperoleh P = 1 2π Ã g1x1 p x2 1+ x22 +pg2x2 x2 1+ x22 !
Selanjutnya, persamaan (4.1) dapat ditulis dalam bentuk
∇2u = 1
η(∇P − gδ(x − x0)) (4.17)
divergensi dari persamaan (4.17), diperoleh
∇2(∇ · u∗) = 1 η ¡ ∇2P + g (∇ · δ(x − x 0)) ¢ ∇2P = 0 (4.18)
dengan mengambil Laplace dari persamaan (4.18), diperoleh
dari persamaan kekontinuan diperoleh persamaan biharmonik
∇4u∗ = 0 (4.19)
dan dari persamaan (4.14)-(4.16)
∇2u∗ = ∇ µ 1 2πg · ∇ ln r ¶ − g µ 1 2π∇ 2ln r ¶ (4.20) akibatnya diperoleh ∇2u∗ = 1 2πηg · ¡ ∇∇ − I∇2¢ln(r) (4.21)
Penentuan solusi di atas dapat dilihat pada lampiran. Misal: u∗ = 1 ηg · ¡ ∇∇ − I∇2¢H (4.22) akibatnya ∇2u∗ = µ 1 η ¶ g ·¡∇∇ − I∇2¢ ¡∇2H¢ (4.23)
dari persamaan (4.20) dan (4.21), diperoleh
∇2H = 1
2πln(r) (4.24)
dengan memberikan operator Laplace pada persamaan (4.23), berlaku per-samaan biharmonik
∇4H = δ (x − x
0) (4.25)
Melalui teorema Green kedua, diperoleh
H = 1
8πr
2(ln(r) − 1) (4.26)
dengan mensubstitusi nilai H ke persamaan (4.21), diperoleh
u∗ = 1
8πηg · ¡
∇∇ − I∇2¢r2(ln(r) − 1) (4.27)
persamaan di atas dapat ditulis
u∗ = 1
8πηGijgj
G menyatakan fungsi Green atau solusi fundamental. Gij(r) = 1 4π µ −δikln |r| + rirk |r|2 ¶ (4.28)
Selanjutnya, kita akan menentukan tensor tegangan τ . Telah dijelaskan pada bab sebelumnya πij = −P δij + η µ ∂ui ∂xj + ∂uj ∂xi ¶ (4.29) dan pada subbab di atas diperoleh persamaan dari tensor kecepatan
u = ( 1 8πη)g · ¡ ∇∇ − I∇2¢r2(ln r − 1) dengan r =px2 1 + x22 dan P = 1 2π à x1g1 p x2 1+ x22 +px2g2 x2 1+ x22 ! Misal πij = − 1 4πTijkgj atau Tijk = 4ππikgj atau 4π µ −P δij + η µ ∂ui ∂xj + ∂uj ∂xi ¶¶ gj (4.30)
dengan mensubstitusi persamaan vektor kecepatan u dan vektor tekanan p ke persamaan (4.29), diperoleh persamaan
Tijk = −
1
π rirjrk
krk4
Tijk merupakan solusi fundamental bagi persamaan
−∇P + η∇2u∗+ gδ(x − x
0) = 0
IV.3 Persamaan Integral Batas
Pada sub bagian ini, kita akan membangun solusi untuk kecepatan dengan membangun persamaan integral batas. Diasumsikan bahwa tensor tegangan tak Newton awal diketahui
η∂jju(l)i − ∂iP(l)= De∂j∂tτij(l) dalam Ω (4.31)
[|τijtj|] = 0 kondisi dinamik pada batasS (4.32)
[|τijnj|] = −σ µ 1 R1 + 1 R2 ¶
ni kondisi dinamik pada S (4.33)
dxi
dt = ui kondisi kinematik padaSc. (4.34) τij(0) = Qδij tensor tegangan awal (4.35)
Teknik standar untuk merepresentasikan solusi masalah syarat batas di atas adalah dengan memanfaatkan solusi fundamentalnya.
Gijk(r) = 1 4π µ −δikln |r| + rirk |r|2 ¶ (4.36) Tijk(r) = − 1 π rirjrk |r|4 (4.37)
Untuk melakukan itu, pertama, kita mentransformasi sistem koordinat Ox1x2
ke dalam sistem koordinat polar. Daerah batas didiskritisasi menjadi beber-apa segmen garis. Titik pada batas dinamakan node. Akibatnya dengan mem-pertahankan orientasi positifnya, kita dapat menuliskan persamaan integral batasnya. Z Ω [∂jjui− ∂iP − De∂j∂tτij] dΩ (4.38) Z Ω
[∂jjui(y; x) − ∂iP − De∂j∂tτij] u∗i(y; x) dΩ (4.39)
atau Z
Ω
∂jjui(y; x)u∗i(y; x)dΩ −
Z Ω ∂iP u∗i(y; x)dΩ − De Z Ω ∂j∂tτiju∗i(y; x)dΩ (4.40) diperoleh persamaan integral batas
cikui(x) −
Z
S
Kijk(r)ui(y)nj(y)dS −
1 λ Z S Jik(r)κ(y)ni(y)dS = 1 λ Z Ω Jik(r)∂jτN Nij (y)dΩ
Integral domain pada persamaan integral di atas diuraikan melalui teorema Divergensi Gauss Z Ω Jik(r)∂jτN Nij (y)dΩ = Z Ω τij∂jJik(r)dΩ + Z S Jik(r) (τij(r) · nj(y)) dS
Karena tensor tegangan tak Newton kontinu pada batas dan memiliki turunan terbatas maka ¡τN N ij · nj ¢ = 0, akibatnya cikui(x) − Z S
Kijk(r)ui(y)nj(y)dS −
1 λ Z S Jik(r)κni(y)dS (4.41) = 1 λ Z Ω τij(r)∂jJikN N(y)dΩ (4.42)
a. Elemen batas atau sel internal tidak mengandung titik evaluasi. Elemen ini dinamakan elemen regular.
Z
S
Kijk(r)ui(y)nj(y)dS
b. Elemen batas atau sel internal mengandung titik evaluasi. Elemen ini dinamakan elemen singular.
Z S Jik(r)κni(y)dS Z Ω τij(r)∂jJik(y)dΩ
Pada kasus pertama jarak antara titik evaluasi x dengan y harus lebih be-sar dari nol. Penentuan integral batas RSKijk(r)ui(y)nj(y)dS menggunakan
metode Gauss Legendre 12 titik. Berikut pada kasus kedua, jarak antara titik evaluasi x dengan y harus sama dengan nol. Penentuan integral batas R
SJikκnidS dan integral domain De
R
Ω∂t∂jui(y; x)dΩ melalui penentuan solusi
