Staff Site Universitas Negeri Yogyakarta

!"#$%&"'()$"*

!"#"$%&'%(&)%*%(

+!"#,-./0

*1223&*45647428&9:#;:

+<4564742=>23:4;:?<0

)@AB@%9&#(C*"&!"#"$%

! !

!"#$%&!'(')&*+,-$.-!"#$%&"&' ("))*+(,&-,.,)

! !

/0,$+12+1$+,34%$5

!_{6!"#$%&'(")*"+(,-.'-"/(%/"-/01.2-"/(2"+$)+2$/.2-"} )*"3%/2$.%4".&"/(2"-)4.1"-/%/27+

8/4&9)"$:+;&1)#"$4)<"9%=

!_{65(2"-/01,")*"$.6.1"3%//2$7")$"-)4.1-7"89:"/(2"} 4%$62-/"#$%&'(")*"')&12&-21"3%//2$"+(,-.'-"89:" -/01.2-"();"/(2"4%$62<-'%42"+$)+2$/.2-")*"-)4.1" 3%/2$.%4-"$2-04/"*$)3"/(2.$"%/)3.'<-'%42" +$)+2$/.2-"89:"*)$3-"/(2"/(2)$2/.'%4"#%-.-")*" 3%/2$.%4"-'.2&'2<7

8/1>1?"91,=

! !

@+2$%9*+4)+$0"+?&4?"&$1"2+

A-"#0,)1#,B:+$0"&-,B:+"B"#$&1#,B:+-,C)"$1#+D+4?$1#,BE+

4F+-,$"&1,B+1)+$0"+24B19+2$,$"

A#&*2$,BB1)"+D+,-4&?04%2E

! !

! !

/0,$+,&"+."+C41)C+$4+B",&)5

! _{G&*2$,B+H$&%#$%&":+!,$$1#"+D+I"#1?&4#,B+!,$$1#"} ! _{!,$$1#"+J13&,$14)+8K0"4&*+4F+;04)4)=}

! _{K0"4&*+4F+L"$,B}

8(&%9"+L49"B:+H4--"&F"B9M+N&""+OB"#$&4)+L49"B:+ P",&B*QN&""+OB"#$&4)+L49"B:+O)"&C*+R,)92=

! _{H"-1#4)9%#$4&}

! !

;&"&"S%121$"2

!

OB"#$&4-,C)"$12-! _{H$,$12$1#,B+L"#0,)1#2+8TK0"&-49*),-1#2=} ! _{U%,)$%-+L"#0,)1#2}

! !

K"V$344>2

! _G4-?%B24&*'

! _{@20#&4F$+D+L"&-1):+!"#$%&!'(')&*+,-$.-:+R&44>2+} G4B":+WXYZ

! @991$14),B'

! _{[-,&:+/#)0)1'(2,&!"#$%&!'(')&*+,-$.-:+@99124)Q} /"2B"*:+WXX\

! _{]1$$"B:+31'2"%4.'$"1&'"&!"#$%&!'(')&*+,-$.-:+/1B"*:+} ^__`

! !

a&,91)C

b_c+F1),B+"V,-Fisika Zat Padat

Kekisi Kristal

Apa itu kekisi?

Kekisi (kekisi Bravais) merupakan deretan tak hingga dari titik-titik diskrit dengan susunan dan orientasi yang nampak tepat sama

! Singkatnya: kekisi adalah deretan periodik dan teratur dari titik-titik dalam ruang

! Kekisi merupakan abstraksi matematis

! Struktur kristal terbentuk ketika basis yang terdiri atas atom-atom ditempelkan secara identik ke setiap titik kekisi

! _{Struktur kristal = kekisi + basis}

Auguste Bravais (1811 – 1863)

Apa itu kekisi?

Kekisi Bravais terdiri atas titik-titik yang memiliki vektor posisi R dengan bentuk

dengan

= sembarang vektor primitif yang tidak selalu berada di bidang yang sama

= bilangan bulat (negatif, nol, atau positif)

"

R_#n1a"1$n2a"2$n3a"3

"

a1, a"2, a"3

n1, n2, n3

Kekisi Bravais 2D (jejaring/net)

5 kekisi Bravais dasar: (1) jajaran genjang (2) persegi (3) persegi berpusat (4) hexagonal (5) bujur sangkar

Kekisi Bravais 3D

[image:3.595.0.829.26.557.2]

Contoh lain kekisi Bravais 3D

Kekisi Tak Hingga

! Kekisi Bravais mengisi ruang tak hingga

! Namun kristal bahan memiliki volume berhingga

! _{Kekisi tak hingga merupakan idealisasi, jika} kekisinya berhingga akan muncul efek permukaan

! _{Untuk mudahnya, kita kaji kristal berhingga yang} yang terdiri atas N situs:

untuk maka"R#n1a"1$n2a"2$n3a"3

0%n1&N1,0%n2&N2,0%n3&N3danN#N1N2N3

Untuk sembarang kekisi Bravais, set vektor primitifnya tidak unique!

Contoh lain: kekisi bcc

bcc = body-centered cubic

Jika kekisi simple cubic memiliki vektor primitif: ax , a' 'y ,dan a'z

Maka untuk bcc: a"1#ax ,' a"2#a'y , a"3# a

2( 'x$ 'y$ 'z)

Atau dapat dituliskan sebagai:

" a1#

a

2( 'y$ 'z* 'x), a"2# a

2( 'z$ 'x* 'y), a"3# a

2( 'x$ 'y* 'z)

Kedua set menyatakan kekisi Bravais bcc

cek Kittel untuk sel bcc primitif

Contoh lain: kekisi fcc

fcc = face-centered cubic

set vektor primitif untuk kekisi fcc:

" a1#

a

2( 'y$ 'z), a"2# a

2( 'z$ 'x), a"3# a 2( 'x$ 'y)

Catatan: unsur dengan kekisi simple cubic sangat jarang ditemukan, fase alpha dari Polonium (Po) merupakan satu-satunya contoh yang ditemukan pada kondisi normal

Bilangan Koordinasi

! Titik-titik pada kekisi Bravais yang berada paling dekat dengan sebuah titik pilihan disebut nearest neighbors (tetangga terdekat)

! _{Setiap titik pada kekisi Bravais memiliki jumlah} tetangga terdekat yang sama, disebut sebagai bilangan koordinasi dari kekisi tersebut

! _{Bilangan koordinasi untuk kekisi sc : 6} ! Bilangan koordinasi untuk kekisi bcc : 8 ! _{Bilangan koordinasi untuk kekisi fcc : 12}

Sel Satuan Primitif

!Sel (satuan) primitif merupakan volum ruang yang, ketika ditranslasikan melalui seluruh vektor kekisi Bravais, tepat mengisi ruang tanpa overlap atau meninggalkan ruang kosong (void)

!Untuk sebarang kekisi Bravais, tidak ada cara khusus untuk memilih sel primitif

!Sel primitif harus mengandung hanya satu titik kekisi

!Volume sel primitif tidak bergantung pada pemilihan bentuk sel (v = 1/n; v = volume, n = rapat titik kekisi)

Sel Satuan Primitif

! _{Sel primitif yang berkaitan dengan set vektor} primitif merupakan set untuk titik r dengan bentuk

! _{Set ini umumnya tidak menunjukkan bentuk} simetri dari kekisi Bravais. Misal:

" a₁,a_"2,a_"3

"r_#x₁a_"1$x₂a_"2$x₃a_"3 dengan 0%x_i%1

Agar diperoleh simetri...

Sel Satuan Konvensional

! _{Sel satuan merupakan daerah yang mengisi ruang tanpa} overlap ketika ditranslasikan melalui set vektor kekisi Bravais

! _{Sel satuan konvensional umumnya dipilih lebih besar} daripada sel satuan primitif agar dapat memiliki simetri

! Pada sel konvensional, bcc nampak sebagai sel satuan berbentuk kubus dua kali lebih besar dari sel satuan bcc primitif

! Dan kekisi fcc nampak sebagai sel kubus 4 kali lebih besar dari sel satuan fcc primitif

Bilangan yang menyatakan ukuran dari sel satuan disebut sebagai tetapan kekisi (lattice constants)

Eugene Wigner (1902 - 1995)

Frederick Seitz (1911 - 2008)

Kekisi Non-Bravais

Struktur Intan

Terdiri atas dua kekisi fcc yang saling menyisip, bergeser sepanjang diagonal utama kekisi kubus sejauh ! panjang diagonal. Dapat juga dianggap sebagai kekisi fcc dengan basis basis titik 0 dan !a"4#! $x% $y%$z#

Struktur Hexagonal Close-Packed

(hcp)

Untuk struktur hcp ideal: c a&

'

8 3

Struktur NaCl

Fisika Zat Padat

Kekisi Balik

Definisi

!_{Ditinjau sekumpulan titik} R _{yang membentuk} kekisi Bravais, dan gelombang bidang datar

!Untuk k secara umum, gelombang bidang tersebut tidak memiliki sifat periodik kekisi Bravais, namun dapat dimiliki oleh vektor gelombang tertentu yang dipilih secara khusus

!Kekisi balik didefinisikan sebagai kumpulan

semua vektor gelombang K _{yang menghasilkan} gelombang bidang yang memiliki sifat periodik dari suatu kekisi Bravais

ei"k#"r

!K _{merupakan kekisi balik dari kekisi Bravais dengan} titik-titik dinyatakan R_{, selama relasi}

dipenuhi oleh sembarang r _{dan semua} R _{pada kekisi} Bravais

!Maka kekisi balik adalah kumpulan vektor gelombang K yang memenuhi

!Kekisi Bravais yang menentukan kekisi balik sering disebut sebagai kekisi langsung (direct lattice) !K disebut kekisi balik hanya jika kumpulan vektor R

merupakan kekisi Bravais eiK"#$"r% "R&'eiK"#"r

eiK"#"R'1

! _{Misal merupakan vektor-vektor} primitif untuk kekisi langsung, maka kekisi balik dapat ditentukan oleh vektor-vektor primitif berikut:

"

a1, a"2, a"3

" b1'2(

" a2) "a3

"

a1#$ "a2) "a3&

" b2'2(

" a3) "a1

"

a1#$ "a2) "a3&

" b3'2(

" a1) "a2

"

a1#$ "a2) "a3&

!b_i akan memenuhi

!Sembarang vektor k dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari b

i

!Jika R merupakan vektor kekisi langsung (n_i bilangan bulat) :

!Maka

!Koefisien k_i harus berupa bilangan bulat agar dipenuhi untuk semua R

!Jadi, kekisi balik merupakan kekisi Bravais dan b_i merupakan vektor-vektor primitif

"

bi#"aj'2(*ij dengan *ij'

+

0, i,j

1, i'j

"_k'k

1b"1%k2b"2%k3b"3

"

R'n1a"1%n2a"2%n3a"3

"

k#"R'2($k1n1%k2n2%k3n3&

eiK"#"R'1

! _{Karena kekisi balik merupakan kekisi Bravais,} kita dapat membentuk kekisi balik dari kekisi ini, yang tidak lain adalah kekisi langsung semula

Contoh

!_{Kekisi Bravais simple cubic (sc), dengan sel} primitif bersisi a, memiliki kekisi balik berbentuk simple cubic dengan sel primitif bersisi 2!/a

!Kekisi Bravais fcc dengan sel kubus konvensional bersisi a memiliki kekisi balik bebentuk bcc dengan sel kubus konvensional bersisi 4!/a

!_{Kekisi Bravais bcc dengan sel kubus konvensional} berisisi a memiliki kekisi balik berbentuk fcc dengan sel kubus konvensional bersisi 4!/a

! _{Jika v adalah volume sel primitive pada kekisi} langsung, maka sel primitive dari kekisi balik memiliki volume (2!)3_/v

Zona Brillouin Pertama

! _{Zona Brillouin pertama merupakan sel primitif} Wigner-Seitz dari kekisi balik

! Umumnya, istilah zona Brillouin pertama hanya diterapkan pada sel ruang-k

Léon Brillouin (1889 – 1969)

Bidang Kekisi

! Bidang kekisi (lattice plane) didefinisikan sebagai sembarang bidang yang mengandung setidaknya tiga titik kekisi Bravais non-kolinear (tidak segaris)

! _{Karena simetri translasi dari kekisi Bravais,} bidang tersebut akan mengandung banyak titik kekisi, yang membentuk kekisi Bravais 2-D pada bidang tersebut

! _{Keluarga bidang kekisi didefinisikan sebagai}

kumpulan bidang-bidang kekisi yang sejajar dan terpisah pada jarak yang sama, yang

mengandung seluruh titik kekisi Bravais 3-D

! _{Untuk sembarang keluarga bidang kekisi yang}

jarak pisahnya adalah d, terdapat vektor kekisi balik yang tegak lurus terhadap bidang, paling

pendek memiliki panjang 2!/d

! Sebaliknya, untuk sembarang vektor kekisi balik

K, terdapat keluarga bidang kekisi yang tegak lurus K dan memiliki jarak pisah d, dimana 2!/d merupakan panjang dari vektor kekisi balik terpendek yang sejajar K

Indeks Miller Bidang Kekisi

! Indeks Miller dari suatu bidang kekisi merupakan koordinat vektor kekisi balik terpendek yang tegak lurus terhadap bidang tersebut, yang terkait dengan kumpulan vektor kekisi balik primitif tertentu

! Jadi, bidang dengan indeks Miller h, k, l, berada tegak lurus terhadap kekisi balik

hb"₁#kb"₂#lb"₃

William Hallowes Miller

(1801 – 1880)

! _{Indeks Miller berupa bilangan bulat, karena} sembarang vektor kekisi balik merupakan kombinasi linear dari tiga vektor primitif dengan koefisien bilangan bulat

! _{Indeks Miller bergantung pada pemilihan vektor}

primitif

! _{Indeks Miller dari suatu bidang memiliki} interpretasi geometris pada kekisi langsung, yang terkadang ditawarkan sebagai cara alternatif pendefinisian indeks

!_{Karena bidang kekisi dengan indeks Miller h, k,}

l, tegak lurus terhadap vektor balik

, indeks ini akan terkandung pada bidang kontinyu untuk nilai tetapan A yang sesuai

!_{Bidang ini akan memotong sumbu yang}

ditentukan oleh vektor primitif kekisi langsung a_i pada titik:

dengan "

K_$hb"_1#kb"_2#lb"₃ " K_%"r_$A

x

! _Karena

maka

! Maka titik potong bidang kekisi dengan sumbu

kristal berbanding terbalik dengan indeks Miller dari bidang tersebut

"

K_#"a₁$2%h , K"_#"a₂$2%k , dan K"_#"a₃$2%l

x_1$ A

2%h, x2$ A

2%k, x3$ A

2%l

! Kristalografer mendefinisikan indeks Miller

sebagai kumpulan bilangan bulat tanpa faktor persekutuan, berbanding terbalik dengan titik potong bidang kristal pada sumbu kristal

h:k:l_$1 x1

:1

x2

:1

x3

Konvensi

!_{Bidang kekisi umumnya ditunjukkan dengan menyatakan}

indeks Miller dalam tanda kurung (h,k,l)

!Koma dihilangkan dengan menggantikan – n

!Untuk menunjukkan arah, kurung persegi digunakan untuk

menghindari kerancuan dengan indeks Miller ! [hkl]

!Untuk menunjukkan keluarga lain yang ekivalen dengan

keluarga bidang kekisi tertentu, digunakan {hkl}

misal: bidang (100), (010) dan (001) ekivalen pada kristal kubus, sehingga dapat dinyatakan sebagai bidang {100}

&

Fisika Zat Padat

Difraksi Sinar X oleh Kekisi Kristal

William L. Bragg (1890 – 1971) Fisikawan Inggris

Max von Laue (1879 – 1960) Fisikawan Jerman

Mengapa Harus Sinar-X?

! Jarak antar atom pada bahan padat umumnya berada pada orde angstrom (10-10 _m)

! _{Maka, probe elektromagnetik untuk struktur} mikroskopis bahan padat harus memiliki energi:

yang berada pada orde energi sinar-X E"# $"hc

%"

1.24&10'6 eV m 10'10 m

"12.4 keV

Formulasi Bragg

! _{Pada bahan kristal, untuk panjang gelombang dan arah}

sinar datang yang ditentukan secara tepat, terdapat puncak-puncak intensitas hamburan radiasi sinar-X yang disebut puncak Bragg

! Ditinjau kristal yang tersusun atas bidang-bidang sejajar

terisi ion, terpisah pada jarak d_{! bidang kekisi}

! _{Syarat diperoleh puncak inttensitas pada radiasi}

hamburan:

! Sinar-X harus dipantulkan oleh ion pada satu bidang dengan sudut pantul sama dengan sudut datang

! Sinar pantulan dari bidang berturutan harus berinterferensi secara konstruktif

!_{Jika ! merupakan sudut datang, agar sinar} hamburan berinterferensi secara konstruktif, beda lintasan harus berupa kelipatan bulat panjang gelombang:

yang merupakan hukum Bragg

!_{Bilangan bulat n dikenal sebagai orde pantulan} !_{Untuk berkas sinar-X yang nilai panjang}

gelombangnya banyak ('radiasi putih'), akan teramati banyak pantulan

n%"2dsin(

Formulasi von Laue

! Ditinjau kristal yang tersusun atas objek mikroskopis identik (kumpulan ion atau atom) yang berada di titik R pada kekisi Bravais

! _{Tiap objek dapat meradiasikan ulang radiasi} yang datang ke segala arah

! Puncak radiasi hamburan hanya akan teramati pada arah dan panjang gelombang dimana sinar hamburan dari seluruh titik kekisi berinterferensi secara konstruktif

! Ditinjau dua penghambur, terpisah oleh vektor perpindahan d

! Misal sinar-X datang dari kejauhan, sepanjang arah n_{, dengan panjang gelombang " dan} vektor gelombang x = 2#n/"

! _{Beda lintasannya adalah:}

! _{Syarat agar terjadi interferensi konstruktif:}

! _{Kalikan kedua sisi persamaan di atas dengan}

2!/" maka dihasilkan syarat untuk nilai vektor

gelombang sinar datang dan sinar hamburan: dcos_"#dcos_"'$%d_{&' (}n_{) (}n'*

%

d_{&' (}n_{) (}n'_*$m₊

%

d_&'%k_)%k'_*$2_,m

!_{Selanjutnya, ditinjau rangkaian penghambur yang}

berada pada kekisi Bravais

!Karena titik-titik kekisi saling terpisah oleh vektor

kekisi Bravais R_{, syarat agar seluruh sinar}

terhambur berinterferensi konstruktif adalah bahwa syarat untuk dua penghambur juga berlaku untuk seluruh nilai d _{yang merupakan kekisi Bravais:}

untuk bilangan bulat m dan vektor Bravais R

!_{Dapat dituliskan pula dalam bentuk ekivalen:}

%

R_&'%k_)%k'_*$2_,m

ei'%k')%k*&%R_$1

! Dibandingkan dengan definisi kekisi balik, diperoleh syarat Laue:

interferensi konstruktif akan terjadi selama

perubahan vektor gelombang, K = k' – k merupakan vektor kekisi balik

! _{Karena kekisi balik juga kekisi Bravais, jika} k' – k merupakan vektor kekisi balik, begitu juga k – k'

! Jika k – k' = K, maka syarat bahwa k dan k' memiliki besar (magnitude) yang sama adalah k = | k – K |

! _{Kuadratkan kedua sisi diperoleh syarat:}

! komponen vektor gelombang datang k sepanjang vektor kekisi balik K harus bernilai separo panjang K

%

k_{& (}K_$1_-2K

! Maka vektor gelombang datang k akan

memenuhi syarat Laue jika dan hanya jika ujung vektor terletak pada bidang yang tegak lurus dan membagi dua garis penghubung titik asal ruang-k ke sebuah titik kekisi balik K

! Bidang ruang-k ini disebut bidangBragg

Ekivalensi Formulasi Bragg & Laue

! _{Misal vektor gelombang datang dan terhambur,} k _dan k'_{, memenuhi syarat Laue yaitu bahwa} K ₌ k' _– k

adalah vektor kekisi balik

! Karena gelombang datang dan terhambur memiliki

panjang gelombang yang sama (hamburan elastik), k'

dan k _{memiliki besar (magnitude) yang sama}

! Sehingga, k' dan k membentuk sudut yang sama yaitu # dengan bidang tegak lurus K

! _{Maka hamburan dapat dilihat sebagai pantulan Bragg}

dengan sudut Bragg #, dari keluarga bidang kekisi langsung yang tegak lurus vektor kekisi balik K

! _Vektor K _{merupakan kelipatan bulat dari vektor}

kekisi balik terpendek K₀ yang sejajar K

! _{Menurut teori keluarga bidang kekisi (lihat bab 5),}

besarnya K

0 adalah 2!/d, dimana d adalah jarak

antar bidang yang berdekatan dalam keluarga tersebut yang tegak lurus K

0 atau K

! Maka K = 2!n/d dimana n adalah bilangan bulat

! Dari gambar: K = 2k sin _# , maka k sin _# = _!n/d

! _{Karena k = 2!/", diperoleh 2d sin # = n"}

sehingga panjang gelombang memenuhi syarat Bragg

! Jadi puncak diffraksi Laue yang merupakan

perubahan vektor gelombang sebesar vektor kekisi balik K, bersesuaian dengan pantulan Bragg dari bidang kekisi langsung yang tegak lurus K

! Orde n pada pantulan Bragg merupakan

panjangnya K _{dibagi dengan panjangnya vektor}

Kon

struksi Ewald

! Vektor gelombang datang k akan memunculkan

puncak difraksi jika dan hanya jika ujung vektor

gelombang berada pada ruang-k bidang Bragg

! _{Untuk mencari puncak Bragg secara}

eksperimen besarnya k harus divariasi (! divariasi panjang gelombang sinar datangnya) atau divariasi arahnya (pada prakteknya yang divariasi orientasi kristalnya)

Paul Peter Ewald

(1888 – 1985) German Physicist

Konstruksi Ewald

! Gambarkan pada ruang-k sebuah bola yang

berpusat pada ujung vektor gelombang datang

k dengan jejari k (sehingga bola tersebut menyentuh titik asal)

! _{Akan terdapat beberapa vektor gelombang k'}

yang memenuhi syarat Laue jika dan hanya jika beberapa titik kekisi balik (termasuk titik asal) terletak pada permukaan bola

! _{Akan terdapat pantulan Bragg dari keluarga}

bidang kekisi langsung yang tegak lurus vektor kekisi balik

Umumnya, bola pada ruang-k dengan titik asal berada di

permukaan tidak akan memiliki titik kekisi balik di permukaannya. Maka, untuk sembarang vektor gelombang datang, tidak akan muncul puncak Bragg

Agar dapat dihasilkan puncak Bragg:

! Metode Laue:

tidak menggunakan sinar-X monokromatik, namun sinar-X yang memiliki panjang gelombang dari !1

hingga !0

! _{Metode Rotating-Crystal:}

menggunakan sinar-X monokromatik namun arah sinar dapat divariasi (pada prakteknya, yang divariasi justru arah kristalnya)

! _{Metode bubuk atau Debye-Scherrer:}

sama dengan eksperimen kristal berputar dimana sumbu rotasi divariasikan pada seluruh arah yang mungkin

X-Ray Diffractometer (XRD)

Pola Difraksi untuk BCC

Fisika Zat Padat

Teori Logam : Model Drude

Paul Karl Ludwig Drude

(1863 – 1906, Fisikawan Jerman)

!_{Logam merupakan penghantar listrik dan panas} yang sempurna, mudah dibentuk dan ditempa

!Lebih dari dua pertiga unsur di alam berupa logam

!_{Pada tahun 1900, 3 tahun setelah penemuan} elektron oleh J.J. Thomson, Drude membangun teori konduksi listrik dan panas untuk logam

!_{Beliau menerapkan teori kinetik gas pada logam} yang dikenal sebagai gas elektron

!Teori kinetik memperlakukan molekul gas sebagai bola pejal identik yang bergerak pada lintasan lurus hingga saling bertumbukan

! _{Diasumsikan antar partikel tidak ada gaya yang}

bekerja, kecuali untuk gaya yang muncul sesaat ketika terjadi tumbukan

! _{Muatan positip disematkan pada partikel yang}

lebih berat, dan dianggap tidak bergerak

! _{Maka, ketika atom-atom unsur logam}

membentuk bahan logam, elektron valensi lepas dan mengembara bebas di dalam logam membentuk gas elektron

! _{Ion logam tetap berada ditempatnya dan}

menjadi partikel positip yang tidak bergerak

!Atom dengan bilangan atomik Z_a memiliki inti

bermuatan eZ_a (e = 1.6 x 10-19 _C)

!Z

a elektron mengelilingi inti dengan muatan total

–eZ_a

!Z elektron merupakan elektron valensi yang

terikat lemah ke inti

!Z_a – Z merupakan elektron inti yang terikat kuat

ke inti

!Elektron inti tetap terikat kuat ke inti membentuk

ion logam, sedangkan elektron valensi diperbolehkan mengembara menjauhi atom induknya _!elektron konduksi

! Misal rapat massa unsur logam adalah !

m

! Jumlah atom per sentimeter kubik adalah

6.022 x 1023 _{(bilangan Avogadro) x !}

m/A dengan A _{adalah massa atom dari unsur tersebut}

! _{Karena tiap atom menyumbang} Z _elektron konduksi, banyaknya elektron per sentimeter kubik adalah:

! _{{Lihat Tabel}} n_"N

V"6.022#10

23

#Z$m A

! r_s didefinisikan sebagai jejari suatu bola yang

volumenya sama dengan volume tiap elektron konduksi:

! _{Kerapatan gas elektron umumnya seribu kali}

lebih besar dibanding gas klasik pada suhu dan tekanan normal

V

N"

1

n"

4 3%rs

3

; r s"

&

3 4%n

'

Asumsi Dasar Model Drude

(1) Pada proses tumbukan, interaksi dari suatu elektron dengan elektron yang lain maupun dengan ion cenderung diabaikan

! _{Pengabaian interaksi elektron-elektron pada}

proses tumbukan dikenal sebagai independent

electron approximation

! _{Pengabaian interaksi elektron-ion pada proses}

tumbukan dikenal sebagai free electron

approximation

Asumsi Dasar Model Drude

(2) Proses tumbukan bersifat sesaat yang secara langsung mengubah kecepatan elektron

! _{Proses tumbukan berupa elektron yang memantul}

dari inti ion yang tak tertembus (bukan tumbukan antar elektron)

Asumsi Dasar Model Drude

(3) Sebuah elektron mengalami tumbukan dengan peluang per satuan waktu sebesar 1/!

! _{Maka, peluang sebuah elektron mengalami tumbukan}

pada selang waktu dt adalah dt/!

! Besarnya ! dikenal sebagai waktu relaksasi, atau

waktu tumbukan, atau waktu bebas rerata

! _{Sebuah elektron akan berjalan selama ! sebelum}

mengalami tumbukan berikutnya, atau telah berjalan selama ! sejak tumbukan sebelumnya

! Waktu tumbukan tidak bergantung pada posisi dan

kecepatan elektron

Asumsi Dasar Model Drude

(4) Elektron dianggap mencapai kesetimbangan termal dengan sekitarnya hanya melalui proses tumbukan

! _{Semakin panas daerah di mana tumbukan}

terjadi, elektron akan keluar dari tumbukan dengan kecepatan yang semakin besar

Konduktivitas Listrik DC pada Logam

! _{Besarnya arus I yang mengalir pada kawat yang}

terbuat dari logam akan sebanding dengan beda

potensial V sepanjang kawat: V = IR (Hukum Ohm)

dengan R (hambatan kawat) bergantung pada

ukuran kawat, namun tidak bergantung pada

besarnya I atau V

! Resistivitas " didefinisikan sebagai tetapan

kesebandingan antara medan listrik E di sebuah titik pada logam dan rapat arus j yang diinduksikan

"

E#$ "j

! _{Ketergantungan R pada bentuk atau ukuran}

kawat diganti dengan besaran yang mencirikan logam yang membentuk kawat

! _{Rapat arus j merupakan vektor, sejajar aliran}

muatan, yang besarnya adalah banyaknya muatan per satuan waktu yang melewati satuan luasan yang tegak lurus aliran

! _{Untuk arus seragam I yang mengalir melalui}

kawat dengan panjang L dan luas

tampang-lintang A, rapat arusnya adalah j = I/A

! _{Karena V = EL, maka V = I"L/A dan R = "L/A}

!_{Jika n elektron per satuan volume bergerak}

dengan kecepatan v, maka rapat arus yang

muncul akan sejajar dengan v

!_{Dalam waktu dt elektron akan berpindah}

sejauh v dt pada arah v, sehingga elektron

sebanyak n (v dt) A akan melintasi luasan A

yang tegak lurus v

!Karena setiap elektron membawa muatan – e,

maka besarya rapat arus adalah

j#I

A# dq A dt#

%n e v A dt A dt #%n e v

!_{Ketika tidak ada medan listrik, elektron akan}

bergerak pada arah sembarang sehingga rerata v adalah nol, dan tidak ada rapat arus listrik

!Ketika muncul medan listrik E, akan terdapat

kecepatan elektron rerata yang berlawanan arah dengan arah medan:

Misal t adalah waktu yang dicapai setelah terjadi

tumbukan, kecepatan elektron rerata adalah –eEt/m

Rerata dari t adalah waktu relaksasi !, sehingga

"

vavg#% eE"&

m ; "j#

'

n e2&

m

(

E"

! Hasilnya biasa dinyatakan dalam konduktivitas:

# = 1/"

! _{Untuk memperoleh waktu relaksasi, dapat}

digunakan nilai resistivitas dari eksperimen untuk memperkirakan besarnya:

! Pada suhu kamar, ! biasanya bernilai 10-14 hingga

10-15 _detik

"j#) "E ; )#n e

2

&

m

! Lintasan bebas rerata _l didefinisikan sebagai jarak rerata yang ditempuh elektron antar 2 tumbukan

! l = v₀t, dengan v₀ adalah kelajuan elektron rerata

! Dalam model Drude, v₀ diperkirakan dari energi ekuipartisi klasik:

! Dari massa elektron, diperoleh nilai v₀ pada orde 107 cm/detik pada suhu kamar, sehingga nilai lintasan bebas rerata berada pada orde 1 hingga 10 Å

! jarak ini sebanding dengan jarak pisah antar atom, sehingga proses tumbukan merupakan proses tumbukan elektron dengan ion

1

2m v0

2

"3 2kBT

! nilai ! dihitung dengan model Drude

Konduktivitas Listrik dalam Medan

!Saat t kecepatan elektron rerata v adalah p(t)/m dengan p merupakan momentum total per elektron

!Maka rapat arusnya adalah

!Sebuah elektron yang dipilih saat t akan mengalami tumbukan sebelum t + dt dengan peluang dt/!# dan bertahan hingga t + dt tanpa tumbukan dengan peluang (1 - dt/!)

$_j"%n e$p&t'

m

! _{Jika tidak mengalami tumbukan, elektron akan} dipengaruhi gaya f(t) yang muncul akibat medan listrik atau magnet dan memperoleh momentum tambahan f(t)dt – O(dt)2 !O(dt)2 _{bermakna suku dengan orde (dt)}2

! Maka, kontribusi dari seluruh elektron yang tidak bertumbukan antara t dan t + dt terhadap momentum, dan mengabaikan kontribusi dari elektron yang mengalami tumbukan, adalah:

$p&t(dt' " &1_%dt

)'* $p&t'( $f&t'dt(O&dt'

2

+

" $p&t'%&dt

)' $p&t'( $f&t'dt(O&dt'

2

! _Maka

dibagi dt dan diambil limit pada dt_! 0, diperoleh

yang menyatakan bahwa efek tumbukan sebuah elektron adalah menambahkan suku redaman pada persamaan gerak yang menggambarkan besarnya momentum per elektron

$p&t(dt'%$p&t'"%&dt

)' $p&t'( $f&t'dt(O&dt'

2

d

dt$p&t'"%

$p&t' ) ( $f&t'

Efek Hall

! Medan listrik E

x dikenakan pada kawat yang membentang pada arah-x dimana rapat arus j_x

mengalir pada kawat

! Medan magnet H dikenakan pada arah-z positip

! _{Gaya Lorentz}

membelokkan elektron pada arah-y negatip (kecepatan alir elektron berlawanan dengan arah aliran arus)

! Maka, elektron akan terkumpul pada sisi kawat, dan medan listrik muncul pada arah-y yang melawan gerakan dan akumulasi elektron lebih lanjut

%e

c$v, $H

! _{Pada kesetimbangan, medan transversal (atau} medan_{Hall) E}

y akan mengimbangi gaya Lorentz, sehingga arus hanya mengalir pada arah-x

! magnetoresistansi, rasio medan pada sepanjang kawat E_x terhadap rapat arus j_x adalah

! Medan transversal E

y akan sebanding dengan H dan j_x, sehingga dapat didefinisikan koefisien_Hall sebagai:

-&H'"Ex

jx

RH"

Ey

! _{Karena medan Hall berada pada arah-y}

negatip, R_H harus bernilai negatip

! _{Jika pembawa muatannya positip, maka arah}

kecepatan-x harus dibalik, dan arah medan Hall akan berlawanan dengan arah yang dimiliki ketika pembawa muatannya negatip

! Koefisien Hall dan magnetoresistansi dapat

ditentukan dari Drude:

ketika terdapat medan E dan H, gaya yang bekerja pada setiap elektron adalah:

f = - e(E + v x H/c)

!_{momentum per elektron menjadi:}

!_{Pada keadaaan tunak, arus tidak bergantung}

pada waktu, sehingga p_x dan p_y memenuhi:

dengan adalah frekuensi cyclotron

d

dt"p#$e% "E&

"p

mc' "H($

"p )

0#$eEx$*cpy$ px

)

0#$eEy$*cpx$ py

)

*c#

eH mc

! dikalikan -ne!/m dan karena j = -nev, diperoleh

dengan "₀ adalah konduktivitas DC pada model Drude ketika medan magnet tidak ada = ne2_!/m ! Medan Hall Ey ditentukan dengan memilih nilai j y

nol:

! Maka koefisien Hall adalah:

yang hanya bergantung pada kerapatan pembawa

+0Ex#*c)jy&jx

+0Ey#$*c)jx&jy

Ey#$

%

*c)

+0

(

jx#$

%

H nec

(

jx

RH#$

1

nec

Konduktivitas Listrik AC Pada Logam

! Ditinjau medan listrik gayut waktu dengan bentuk E(t) = Re(E(#)e-i#t₎

! Persamaan gerak untuk momentum per elektron

menjadi

! Dicari solusi keadaan tunak dengan bentuk p(t) = Re (p(#)e-i#t₎

! _{Substitusikan p dan E ke persamaan gerak}

diperoleh:

d

dt"p#$

"p

)$eE"

!_{Karena j = - nep/m, besarnya rapat arus adalah} j(t) = Re (j(#)e-i#t₎

maka

!Dapat dituliskan sebagai j(_#) = _"(_#)E(_#)

dengan

yang tereduksi ke hasil Drude DC saat # = 0

$i* "p%*(#$"p%*(

) $eE"%*(

"_j%*(#$ne"p%*(

m #

%ne2,m( "E%*(

%1,)($i*

+ %*(# +0

1$i* ) , +0#

ne2)

m

Konduktivitas Termal Logam

! Hukum Wiedemann-Franz _{menyatakan bahwa}

rasio konduktivitas termal terhadap konduktivitas listrik ($/") untuk sejumlah besar logam akan berbanding lurus dengan suhu, dengan nilai tetapan kesebandingan yang hampir sama untuk semua logam

! Model Drude mengasumsikan bahwa arus termal

pada logam dibawa oleh elektron konduksi

! _{Asumsi ini didasarkan pada pengamatan empiris}

bahwa logam menghantarkan panas lebih baik dibanding insulator

! _{Ditinjau batang logam yang memiliki variasi suhu} ! _{Jika tidak ada sumber atau pembuangan panas}

pada ujung-ujung batang untuk mempertahankan gradien suhu, energi termal akan mengalir berlawanan terhadap gradien suhu

! _{Didefinisikan rapat arus termal j}q _{sebagai vektor}

yang sejajar arah aliran panas. Untuk gradien suhu yang kecil dipenuhi

jq _{= – $∇T (Hukum Fourier)} $ dikenal sebagai konduktivitas termal dan bernilai positip

! _{Untuk kasus 1-D, dimana aliran hanya pada}

arah-x:

jq _{= – $dT/dx}

! _{Di titik x, separo elektron muncul dari salah satu}

sisi x yang bersuhu tinggi, dan separonya dari sisi bersuhu rendah

! Jika _%(T) adalah energi termal per elektron dalam

! _{Elektron yang tiba di x dari sisi bersuhu tinggi} akan mengalami tumbukan terakhir di x – v!, sehingga membawa energi termal per elektron "(T[x – v!])

! _{Maka rapat arus termalnya (n/2)v"(T[x – v!])}

! _{Elektron yang tiba di x dari sisi bersuhu} rendah akan membawa energi termal sebesar (n/2)(-v)"(T[x + v!])

sehingga jq _{= (1/2)nv["(T[x – v!] – T[x +v!])}

! Jika variasi suhu sepanjang lintasan bebas rerata (l = v!) sangat kecil (perubahan pada l

adalah l/L dikalikan perubahan pada L), dapat diperluas untuk sekitar titik x hingga diperoleh:

! Untuk 3-D, v diganti v

x dari kecepatan elektron

v dan direrata pada seluruh arah

! Karena <v

x2> = <vy2> = <vz2> = 1/3 v2 dan karena nd"/dT = (N/V) d"/dT = (d"/dT )/V = c_v

(kalor jenis elektron), diperoleh

jq"nv2

#d$

dT

%

&

dT

dx

'

jq _{= 1 3( v}2 _{! c}

v ( – ∇T )maka # = 1 3( v2 ! cv = 1/3 lvcv

dengan v2 _{kelajuan elektron kuadrat rerata}

! _Maka,

! Dari gas ideal klasik, c

v = 3/2 nkB dan !mv2 = 3/2kBT dengan k_B adalah tetapan Boltzmann

sehingga

)

*"

1₊3cvmv

2

ne2

)

*"

3 2

%

kB

e

'

2

T

! _Diperoleh

yang bernilai separo dari nilai yang dinyatakan pada Tabel 1.6

)

*T"

3 2

%

kB

e

'

2

Fisika Zat Padat

Teori Logam : Model Drude-Sommerfeld

Arnold Sommerfeld

(1868 – 1951)

German Physicist

!_{Pada model Drude, diasumsikan bahwa distribusi}

kecepatan elektron mengikuti distribusi Maxwell-Boltzmann

!_{Maka jumlah elektron per satuan volume}

n = N/V dengan kecepatan pada interval dv di sekitar nilai v adalah f(v)dv dimana

!Tetapan pada persamaan di atas dipilih

sedemikian sehingga syarat normalisasi dipenuhi:

fB"v#$n

"

m 2%kBT

#

3&2

e'm v

2

&2kBT

n$

(

f"v#dv

! _{25 tahun setelah Drude mengajukan modelnya,}

diketahui bahwa distribusi Maxwell-Boltzmann untuk elektron harus diganti dengan distribusi Fermi-Dirac:

! Sommerfeld menerapkan distribusi Fermi-Dirac

pada gas elektron bebas dalam logam (sehingga memodifikasi model Drude untuk teori logam), model ini kemudian dikenal sebagai model Drude-Sommerfeld

f"v#$"m& )#

3

4%3

1

exp*"1&2mv2'kBT0#&kBT+,1

James C. Maxwell (1831 – 1879)

Ludwig E. Boltzmann (1844 – 1906)

Enrico Fermi (1901 – 1954)

Paul A.M. Dirac (1902 – 1984)

vs.

+

+

whatever.. Sorry, Drude...

Drude Model (1900)

Drude-Sommerfeld Model (1927)

Sifat Ground State Gas Elektron

!Ditinjau N elektron yang terjebak dalam volume V

!_{Dalam model Drude, elektron tidak saling}

berinteraksi, sehingga ground state dari sistem dapat ditentukan dengan mencari level energi

untuk elektron tunggal dalam volume V, dan

mengisi level-level ini dengan prinsip larangan Pauli (satu level hanya ditempati satu elektron)

!Elektron tunggal dapat digambarkan dengan

fungsi gelombang !(r) yang berkaitan dengan

level energi "

! _{Jika elektron tidak berinteraksi, maka fungsi}

gelombang dan energinya akan mematuhi persamaan Schrödinger:

maka

dalam koordinat Kartesan:

')

2

2m

"

-2

-x2,

-2

-y2,

-2

-z2

#

."r#$/ ."r# ')

2

2m0

2

."r#$/."r# 1

2mp1

2

."r#$/ ."r# dengan p$1 ) i0

Wolfgang E. Pauli (1900 – 1958)

Austrian Physicist

Erwin Schrödinger (1887 – 1961)

!_{Ditinjau sebuah elektron yang terjebak dalam}

suatu kubus dengan panjang rusuk L = V1/3 (logam cukup besar sehingga sifat-sifat elektron tidak dipengaruhi oleh geometri ruangnya)

!_{Selanjutnya, diperlukan syarat batas untuk}

persamaan Schrödinger yang menggambarkan terjebaknya elektron di dalam kubus

!Pada ruang 1-D, tidak dipilih elektron yang

terjebak pada garis dari 0 hingga L, melainkan ditinjau elektron yang terjebak dalam suatu lingkaran dengan keliling L

sehingga syarat batasnya adalah !(x + L) = !(x)

! _{Generalisasi untuk kubus 3-D adalah}

!(x+L, y, z) = !(x, y, z) !(x, y+L, z) = !(x, y, z)

!(x, y, z+L) = !(x, y, z)

persamaan ini dikenal sebagai syarat batas Born-von Karman (periodik)

! _{Untuk menyelesaikan persamaan Schrödinger}

dan untuk sementara mengabaikan syarat batasnya, dipilih solusi dalam bentuk dengan energi

"k#$r%&

1

'

V e

i$k($r

)#$k%&*

2

k2

2m

Max Born

(1882 – 1970)

German Physicist

Theodore von Karman

(1881 – 1963)

Hungarian-American Aerospace Engineer

! _{Tetapan normalisasi dipilih sedemikian sehingga}

peluang menemukan elektron di dalam volume V adalah satu

! Level !

k(r) merupakan eigenstate dari operator

momentum p dengan eigenvaluep = k karena

maka, elektron yang berada pada level !_k(r) memiliki momentum p = k dan kecepatan v = p/m yaitu v = k/m dan energi

1&

+

,"#r%,2

dr

*

i

--re

$

k($r

&*k e$k($r

)#$k%&*

2

k2

2m&

p2

2m&

1

2mv

2

! _{k dapat ditinjau sebagai vektor gelombang}

! Gelombang bidang bernilai konstan pada sembarang

bidang yang tegak lurus terhadap k (karena k!r = konstan)

dan periodik sepanjang garis yang sejajar terhadap k dengan

panjang gelombang ! = 2"/k (panjang gelombang de

Broglie)

! _{Dari syarat batas Born-von Karman:}

! Karena eiz = 1 hanya jika z = n2", dengan n adalah bilangan

bulat, komponen vektor gelombang k harus berbentuk:

nx, ny, nz adalah bilangan bulat

ei$k($r

ei kxL

&ei kyL

&ei kzL

&1

kx&

2.nx

L , ky&

2.ny

L , kz&

2.nz

L

! Maka, dalam ruang 3-D dengan sumbu

Kartesan k_x, k_y dan k_z (ruang-k) vektor gelombang yang diijinkan adalah vektor gelombang yang koordinat sepanjang tiga sumbu tersebut dinyatakan oleh perkalian bulat dari 2"/L

! Jumlah titik k yang diijinkan adalah: volume

ruang-k yang terkandung dalam ruang 3-D dibagi dengan volume ruang-k setiap titik (untuk titik-titik dengan nilai k yang diijinkan) yang berukuran (2"/L)3

! _{Maka, suatu daerah ruang-k dengan volume #}

akan berisi

nilai k yang diijinkan

! _{Sehingga, jumlah nilai-k yang diijinkan per}

satuan volume ruang-k (rapat level ruang-k) adalah

/

#2.0L%3&

/V

8.3

V

8.3

! _{Karena elektron tidak berinteraksi, ground state dari}

N-elektron dapat dibentuk dengan menyusun elektron-elektron ke dalam level-level milik elektron tunggal yang diijinkan

! _{Dari prinsip larangan Pauli, setiap vektor gelombang}

k yang diijinkan memiliki dua level elektron, satu untuk setiap arah spin elektron (up dan down)

! Ground state N-elektron dibentuk dengan

menempatkan dua elektron pada level elektron tunggal dengan nilai k = 0 yang memiliki energi

terendah " = 0, kemudian secara berturutan mengisi

! _Karena ! _{~ k}2_{, ketika N cukup besar, daerah}

yang ditempati akan berbentuk bola

! Jejari bolanya disebut k

F (F untuk Fermi,

sehingga vektor gelombangFermi) dan volumenya ! adalah 4"k_F3_/3

! _{Jumlah nilai k yang diijinkan dalam bola ini}

adalah: _"V

8#3$

%

4#kF 3

3

&

%

V

8#3

&

$ kF

3

6#2V

!Karena setiap nilai-k yang diijinkan berisi dua

level elektron-tunggal (satu untuk setiap nilai spin), untuk menempatkan N elektron harus dimiliki

!Jadi jika dimiliki N elektron dalam volume V

(rapat elektron n = N/V), ground state dari sistem N-elektron dibentuk dengan menempati seluruh level elektron tunggal dengan nilai k < k_F dan menyisakan k > k_F kosong, dengan k_F dinyatakan oleh

N$2 kF

3

6#2V$ kF

3

3#2V

n$ kF 3

3#2

! Bola berjejari k

F berisi level-level elektron tunggal

yang telah ditempati disebut bolaFermi

! Permukaan bola yang memisahkan level yang

telah ditempati dan yang belum ditempati disebut

permukaanFermi

! _{Momentum dari level elektron tunggal yang telah}

ditempati pF = kF yang memilki energi tertinggi

disebut momentum Fermi, dan energinya !

F = 2_k

F2 /2m merupakan energiFermi dan

kecepatannya v_F = p_F/m adalah kecepatanFermi

! _{Kecepatan Fermi dalam logam sebanding dengan}

kecepatan termal v = (3kBT/m)1/2 pada gas klasik

! Karena

maka

! Dengan menggunakan Tabel 1.1, diperoleh !_F, T_F, k_F dan v_F seperti ditunjukkan pada Tabel 2.1

V N$

1

n$

4 3#rs

3

; rs$

%

3 4#n

&

1'3

rs$

%

9#

4

&

1'3

1

kF

sehingga kF$

%9#'4&1'3 rs

!Untuk menghitung energi ground-state dari N elektron dalam

suatu volume V, energi dari seluruh level elektron tunggal dalam bola Fermi dijumlahkan:

perhatikan bahwa jumlahan dilakukan dalam ruang 3D! (pada koordinat Kartesan, k memiliki komponen kx, ky dan kz)

!Untuk menjumlah sembarang fungsi F(_k) pada seluruh nilai _k

yang diijinkan, dapat dilakukan langkah berikut:

karena volume ruang-k per nilai k yang diijinkan adalah #k = 8"3_{/V, maka}

E$2

(

k)kF

*2

2mk 2

(

+kF%+ k_&$ V

8#3

(

+kF%+ k_{&, +}k

Untuk batas #k! 0 (yaitu V!") bentuk jumlahan

$F(k)#k akan mendekati bentuk integral #dkF(k), sehingga

!_{Maka rapat energi gas elektron adalah:} limV-.

1

V

(

+kF%+ k_&$

/

d+k

8#3F%+k&

E V$2

1

8#3

/

V%k)kF&

d+k*

2 k2

2m$

1 4#3

/

k$0

kF

%k2dk4#&* 2 k2 2m E V$ 1 #2 *2 kF 5 10m

! Untuk menentukan besar energi per elektron E/N

pada ground state, hasil tersebut dibagi dengan N/V = k_F3_/3"2 _{yang memberikan}

dengan T_F (suhu Fermi) ditunjukkan pada Tabel 2.1

! _{Nilai energi per elektron pada gas klasik adalah}

3/2 k_BT yang akan lenyap pada T = 0

E N$ 3 10 *2 kF 2 m $ 3 50F$

3 5kBTF

Sifat Termal Gas Elektron Bebas

! Selanjutnya akan diterapkan statistik Fermi-Dirac

dalam perhitungan kontribusi elektron pada kalor jenis logam untuk volume tetap

! Pada metode independent electron approximation,

energi internal U adalah jumlahan seluruh level elektron tunggal %(k) dikalikan jumlah rerata elektron di level tersebut

cv$

%

1u 1T

&

V

; u$U V

dimana dikenalkan fungsi Fermif(!) yang menggambarkan peluang terdapatnya elektron pada level tertentu dari elektron tunggal, atau umumnya dikenal sebagai fungsi distribusi:

dan banyaknya elektron total N adalah jumlahan untuk seluruh level:

f!"#$ 1

e!"%&#'kBT (1

N$

)

_i f!"i#$

)

_i

1 e!"i%&#'kBT

(1

*Jika kedua sisi pada persamaan untuk U dibagi

dengan volume V dan dengan menerapkan metode yang telah digunakan untuk menghitung energi ground-state, maka rapat energi u = U/V adalah

*Jika kedua sisi pada persamaan untuk N dibagi

dengan V, diperoleh rapat elektron n = N/V untuk menghilangkan potensial kimia !

u$

+

d,k

4-3"!,k#f!"!,k##

n$

+

d,k

4-3 f!"!,k##

*_{Pada persamaan untuk u dan n, integrand hanya} bergantung pada k melalui energi elektron ! =

2_k2_/2m

*_{Dengan meng-evaluasi integral pada koordinat} bola dan mengubah variable dari k ke !:

dimana

dikenal sebagai rapat level per satuan volume

atau rapat level (pada prakteknya, lebih umum dikenal sebagai density of states, DOS)

+

d,k

4-3 f!"!,k##$

+0

._k2_dk

-2 f!"!,k##$

+0

.

g!"#f!"#d"

g!"#$ m /2

-2

0

2m"

/2

* Karena

maka g(!) dapat ditulis sebagai

* _{Maka rapat level pada energi Fermi adalah} n$ kF

3

3-2 sehingga "F$ /2

kF

2

2m $

/2

2m!3n

-2

#2'3

g!"#$ m /2

-2

0

2m"

/2 $

!3n-2

#2'3

2-2

"F

!

!3n-2

#2'3 " "F

#

1'2

g!"#$3

2 n

"F

!

" "F

#

1'2

g!"F#$

3 2

n

"F

* _{Dengan menggunakan rapat level, persamaan} untuk u dan n dapat dituliskan sebagai

* _{Secara umum, kedua persamaan memiliki} bentuk yang kompleks. Namun, terdapat metode ekspansi sederhana yang

memanfaatkan fakta bahwa T jauh lebih kecil dari T_F untuk seluruh suhu logam yang diukur u$

+0

."g!"#f!"#d" dan n$

+0

.g!"#f!"#d"

*Dari Gbr. 2.3, dapat dilihat bahwa f(!) berbeda

dengan bentuk pada suhu nol hanya di daerah sempit di sekitar µ dengan lebar beberapa kBT

*_{Perbedaan integral berbentuk}

dengan bentuk nilai nolnya:

ditentukan oleh bentuk H(!) di dekat ! = µ

*Jika H(_!) tidak bervariasi tajam di sekitar _µ, H(_!)

dapat diganti dengan beberapa suku dari deret Taylor fungsi tersebut di sekitar ! = µ

+%.

. H!"#f!"#d"

+

%. "F

H!"#f!"#d"

* _{Maka, integral dengan bentuk}

dapat diekspansikan dengan deret Sommerfeld menjadi (lihat Appendix C dalam buku Ashcroft)

* _{Selanjutnya dievaluasi persamaan untuk u dan n} yang dapat dituliskan dalam bentuk

+%.

. H!"#f!"#d"

+

%. .

H!"#f!"#d"$

+

%. &

H!"#d"(

-2

6 !kBT# 2

H '!&#(O!T4#

u$

+0

&"g!"#d"(

-2

6 !kBT# 2

1&g '!&#(g!&#2(O!T4

#

n$

+0

&g!"#d"(

-2

6 !kBT#

2

g '!&#(O!T4#

* Persamaan untuk n menunjukkan bahwa µ berbeda dari nilainya pada T = 0, yaitu !_F, oleh suku pada orde T2_{. Maka dapat dituliskan}

* _{Jadi, persamaan untuk u dan n dapat dituliskan} ulang lagi ke dalam bentuk

+0

&H!"#d"$

+0

"F

H!"#d"(!&%"F#H!"F#

u$

+

0

"F

"g!"#d"("F3!&%"F#g!"F#(

-2 6 !kBT#

2 g '!"F#4

(

-2

6 !kBT# 2

g!"F#(O!T 4_#

n$

+

₀"F

g!"#d"(3!&%"F#g!"F#(

-2 6 !kBT#

! _{Suku pertama pada sisi kanan kedua} persamaan tidak lain merupakan nilai untuk u

dan n _{pada ground state}

! _Karena n _{tidak bergantung pada suhu, dari}

persamaan untuk n diperoleh

yang menentukan deviasi µ dari !_F:

0"#$%&F'g#&F'(

)2

6 #kBT'

2

g '#&F'

$"&F% )2

6 #kBT' 2g '#&F'

g#&F'

! Karena

maka

! _{Dari ketakbergantungan} n _{pada suhu, suku di dalam} kurung kurawal pada persamaan untuk u _{bernilai nol,}

sehingga:

dimana u_{0 adalah rapat energi pada ground state} g#&'"3

2

n &F

#

& &F

'

1*2

$"&F

+

1%

1

3

#

)kBT

2_&F

'

2

,

u"u0(

)2

6 #kBT'

2

g#&F'

! _{Maka, diperoleh kalor jenis gas elektron sebesar}

! _{Bandingkan nilai ini dengan nilai untuk gas ideal}

klasik c_{v = 3/2} nk_{B, maka efek dari statistik}

Fermi-Dirac adalah mengurangi nilai kalor jenis sebesar ("2_/3)(k

BT/!F) yang sebanding dengan suhu

cv"

#

-u -T

'

n

")

2

3 kB

2

T g#&F'"

)2

2

#

kBT

&F

'

n kB

Konduktivitas Termal

! Selanjutnya, dengan menggunakan kalor jenis gas

elektron, konduktivitas termal dapat ditentukan:

! _{Karena dan}

maka

sesuai dengan data di Tabel 1.6 ."/m

n e2

0 /T"

)2

3

#

kB

e

'

2

"2.44110%8 watt-ohm/K2

vF

2

"2&F

m 0"1

3v

2

.cv

! _{Penggunaan statistik Fermi-Dirac hanya}

mempengaruhi prediksi dari model Drude yang membutuhkan nilai distribusi kecepatan elektron

! Jika laju 1/# saat elektron mengalami tumbukan

Fisika Zat Padat

Potential Periodik (Teorema Bloch)

Felix Bloch

(1905 – 1983) Swiss Physicist

! _{Karena ion-ion pada kristal ideal tersusun secara}

periodik, maka selanjutnya ditinjau kasus elektron yang berada dalam potensial U(r_{) yang memiliki}

periodisitas kekisi Bravais

U(r ₊ R_{) = U(}r₎

untuk seluruh vektor kekisi Bravais R

! _{Karena skala keperiodikan potensial U (~10}-8 _cm)

berada pada orde panjang gelombang de Broglie milik elektron dalam model elektron bebas, perlu digunakan mekanika kuantum untuk meninjau efek keperiodikan ini pada gerak elektron

! _{Bentuk umum persamaan Schrodinger untuk} elektron tunggal adalah:

dengan potensial U memiliki periodisitas U(r+R) =

U(r)

! _{Persamaan Schrodinger untuk elektron bebas} dalam model Sommerfeld merupakan kasus khusus dari persamaan di atas

! Elektron-elektron yang mematuhi persamaan Schrodinger untuk elektron tunggal dengan potensial periodik dikenal sebagai elektronBloch

(untuk membedakan dengan “elektron bebas”) "

H_#$

%

_&'

2

2m(

2

)U_%r_*

*

_#%r_*$+#%r_*

Teorema Bloch

! Eigenstate _!dariHamiltonan elektron tunggal

dengan potensial periodik dapat dipilih berbentuk gelombang bidang dikalikan suatu fungsi yang mengandung periodisitas kekisi Bravais:

dengan u_nk(r + R) = u_nk(r) untuk seluruh R pada kekisi Bravais

! _{Kedua persamaan membentuk}

#nk%,r*$e i,k-,r

u_nk%,r_*

#nk%,r) ,R*$e i,k-,R

#nk%,r*

! _{Indeks n dikenal sebagai indeks pita dan}

muncul karena untuk satu nilai k akan terdapat banyak eigenstate

! _{Dengan kata lain, eigenstate dari H dapat}

dipilih sedemikian sehingga untuk setiap !

terdapat vektor gelombang k yang memenuhi

untuk setiap R pada kekisi Bravais #%,r_{) ,}R_*$ei,k-,R_#%,r_*

Bukti Persamaan Bloch

! _{Untuk setiap vektor kekisi Bravais R didefinisikan}

operator translasi T_R yang ketika dioperasikan pada sembarang fungsi f(r) akan menggeser masukannya sebesar R:

T_R f(r) = f(r + R)

! _{Karena Hamiltonan bersifat periodik, diperoleh:}

T_R H! = H(r + R)!(r + R) = H(r)!(r + R) = HT_R!

maka TR H = HTR

! _{Hasil dari menerapkan dua translasi secara}

berturutan tidak bergantung pada urutan penerapan, karena untuk semua !(r)

TRTR'!(r) = TR'TR!(r) = !(r + R + R')

sehingga T_RT_R' = T_R'T_R = T_R+R'

! _{Eigenstate dari H dapat dipilih sebagai}

eigenstate simultan untuk semua T_R

H! = !!

! _Karena

T_R'T_R! = c(R)T_R'! = c(R)c(R')!

dan

T_R'T_R! = c(R)T_R+R'! = c(R+R')!

maka c(R + R') = c(R)c(R')

! Misal a

i adalah tiga vektor primitif untuk kekisi

Bravais, c(a_i) dapat dituliskan dalam bentuk

dengan pemilihan x_i yang sesuai

! _{Jika R adalah vektor kekisi Bravais umum yang}

dinyatakan sebagai

maka

c"a

i#$e

2%i xi

&

R$n1a&1'n2a&2'n3a&3

c"R#$c"a1#

n1

c"a2#

n2

c"a3#

n3

! Persamaan tersebut ekivalen dengan

dimana

dan b_i adalah vektor kekisi balik yang memenuhi

! _Maka:

yang merupakan teorema Bloch

c" &R_#$ei&k(&R

&

k$k1b&1'k2b&2'k3b&3

&

bi(&aj$2%)ij

TR*$*"&r' &R#$c" &R#*$e i&k(&R

*"&r_#

Syarat Batas Born-von Karman

! Dalam model Sommerfeld, nilai k yang diijinkan

dihitung dengan menggunakan syarat batas Born-von Karman yang diterapkan pada sistem di mana sebuah elektron terjebak di dalam sebuah kubus berukuran L

! _{Namun, jika kekisi Bravais bukan kubus dan L bukan}

perkalian bulat konstanta kekisi a, tidak akan sesuai jika perhitungan dilakukan pada sistem volume kubus bersisi L

! _{Lebih sesuai jika perhitungan dilakukan untuk}

volume yang bersesuaian dengan sel primitif dari kekisi Bravais yang sedang ditinjau

!Syarat batas periodik digeneralisasikan ke

!(r + Ni ai) = !(r), i = 1, 2, 3

dengan ai adalah tiga vektor primitif dan Ni

adalah bilangan bulat berorde N1/3 _{di mana N =}

N1N2N3 merupakan cacah total sel primitif

dalam kristal

!_{Saat mengadopsi syarat batas ini, digunakan}

asumsi bahwa sifat bahan tidak bergantung pada pemilihan syarat batas

! _{Dengan menerapkan teorema Bloch pada syarat}

batas diperoleh

yang mensyaratkan

! _{Jika maka}

sehingga harus dimiliki x_i = m_i/N_i, m_i bilangan bulat

! Maka bentuk umum vektor gelombang Bloch yang

diijinkan

mi bilangan bulat

*nk"r'Niai#$e i Ni&k(&ai

*nk"r#, i$1, 2, 3

ei Ni&k(&ai

$1, i$1, 2, 3

&

k$k1b&1'k2b&2'k3b&3 e 2%i Nixi

$1

& k_$

+

i$1 3 m_i

Ni

& b_i

Contoh:

! _{Untuk kekisi Bravais simple cubic (sc), vektor}

primitifnya adalah

maka kekisi baliknya adalah

! Karena N

1 = N2 = N3 = L / a, maka

&

a1$a,x , a&2$a,y , a&3$a,z

&

b1$

2%

a x ,, b&2$

2%

a ,y , b&3$

2%

a ,z

& k_$

+

i$1 3 m_i

Ni

& b

i$ m12%

L ,x'

m22%

L ,y'

m32%

L ,z

!Dari persamaan umum untuk nilai k, Bloch yang

diijinkan, volume !k dari ruang-k per nilai k yang diijinkan adalah volume bangun miring dengan rusuk b_i/N_i :

!Karena adalah volume sel primitif

kekisi balik, persamaan di atas menyatakan bahwa banyaknya k yang diijinkan dalam sel primitif kekisi balik sama dengan banyaknya titik kekisi dalam kristal

!Volume sel primitif kekisi balik adalah (2")3/v

dengan v = V/N adalah volume sel primitif kekisi langsung, maka !k = (2")3_/V

-k$b1

N1

(

"

b2

N2 .b3

N3

#

$1

N b1("b2.b3# b_1("b_2.b_3#

General Remarks

!Meskipun vektor gelombang untuk elektron bebas

adalah p/ dengan p adalah momentum elektron, maka dalam kasus Bloch k tidak sebanding dengan momentum elektron

k akan dikenal sebagai momentum kristal dari elektron (namun sebenarnya bukan menyatakan momentum)

!_{Vektor gelombang k selalu dibatasi pada zona}

Brillouin pertama, karena jika k' tidak berada pada zona Brillouin pertama, selalu dapat dituliskan dalam bentuk