BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Gerak adalah kegiatan yang pasti terjadi dalam kehidupan di bumi ini. Dalam kehidupan sehari-hari seringkali kita melihat orang bermain ayunan, bahkan kita pun pernah melakukannya. Gerak dari ayunan yang kita mainkan merupakan salah satu contoh dari gerak harmonik yang sederhana. Pernahkan Anda mengamati apa yang terjadi ketika senar gitar dipetik lalu dilepaskan? Anda akan melihat suatu gerak bolak-balik melewati lintasan yang sama. Gerakan seperti ini dinamakan gerak periodik. Contoh lain gerak periodik adalah gerakan bumi mengelilingi matahari (revolusi bumi), gerakan bulan mengelilingi bumi, gerakan benda yang tergantung pada sebuah pegas, dan gerakan sebuah bandul. Di antara gerak periodik ini ada gerakan yang dinamakan gerak harmonik. Gerak harmonik merupakan gerak sebuah benda dimana grafik posisi partikel sebagai fungsi waktu berupa sinus (dapat dinyatakan dalam bentuk sinus atau kosinus). Gerak semacam ini disebut gerak osilasi atau getaran harmonik. Contoh lain sistem yang melakukan getaran harmonik, antara lain, dawai pada alat musik, gelombang radio, arus listrik AC, dan denyut jantung. Galileo di duga telah mempergunakan denyut jantungnya untuk pengukuran waktu dalam pengamatan gerak. Untuk memahami getaran harmonik, Anda dapat mengamati gerakan sebuah benda yang digantungkan pada tali (sebagai bandul) dan kemudian disimpangkan dari titik kesetimbangannya dengan sudut kecil. Gerak Harmonik Sederhana mempunyai persamaan gerak dalam bentuk sinusoidal dan digunakan untuk menganalisis suatu gerak periodik tertentu. Gerak periodik adalah gerak berulang atau berosilasi melalui titik setimbang dalam interval waktu tetap.
1.2 Rumusan Masalah
2. Apa pengertian dari Gerak Harmonik Sederhana ?
3. Apa Saja Jenis Gerak Harmonik Sederhana dan Persamaannya ? 1.3 Tujuan
1. Menjelaskan pengertian dari Gerak Harmonik Sederhana.
2. Menjelaskan Jenis Gerak Harmonik Sederhana dan Persamaannya. 1.4 Manfaat
1. Dapat mengetahui pengertian dari gerak harmonik sederhana.
2. Dapat mengetahui jenis gerak harmonik sederhana dan persamaannya.
BAB II MATERI
2.1 Pengertian Gerak Harmonik Sederhana
Gerak harmonik sederhana adalah gerak bolak - balik benda melalui suatu titik keseimbangan tertentu dengan banyaknya getaran benda dalam setiap sekon selalu konstan. Setiap gerak yang terjadi secara berulang dalam selang waktu yang sama disebut gerak periodik. Karena gerak ini terjadi secara teratur maka disebut juga sebagai gerak harmonik/harmonis. Apabila suatu partikel melakukan gerak periodik pada lintasan yang sama maka geraknya disebut gerak osilasi/getaran. Bentuk yang sederhana dari gerak periodik adalah benda yang berosilasi pada ujung pegas. Karenanya kita menyebutnya gerak harmonis sederhana. Gerak Harmonik Sederhana mempunyai persamaan gerak dalam bentuk sinusoidal dan digunakan untuk menganalisis suatu gerak periodik tertentu. Dalam fisika ada berbagai macam gerak, diantaranya adalah gerak periodik. Gerak Periodik adalah suatu getaran atau gerakan yang dilakukan benda secara bolak-balik melalui jalan tertentu yang kembali lagi ke tiap kedudukan dan kecepatan setelah selang waktu tertentu. Contoh gerak bolak balik adalah gerakan sebuah bandul.
Dari sekian banyak gerak periodik, ada gerak yang dinamakan gerak harmonik. Gerak harmonik adalah gerak sebuah partikel sebagai fungsi waktu berupa sinusodial (dapat dinyatakan dalam bentuk sinus atau kosinus).
(Surya, 2001: 55)
Ada beberapa macam gerak harmonik, salah satunya adalah gerak harmonik sederhana (GHS). Gerak harmonik sederhana adalah gerak harmonik yang dipengaruhi oleh gaya yang arahnya selalu menuju titik seimbang dan besarnya sebanding dengan simpangannya.
Contoh gerak osilasi (getaran) yang populer adalah gerak osilasipendulum
(bandul). Pendulum sederhana terdiri dari seutas tali ringan dan sebuah bola kecil (bola pendulum) bermassa m yang digantungkan pada ujung tali, sebagaimana tampak pada gambar di bawah. Dalam menganalisis gerakan pendulum sederhana, gaya gesekan udara kita abaikan dan massa tali sangat kecil sehingga dapat diabaikan relatif terhadap bola.
Gambar di atas memperlihatkan pendulum sederhana yang terdiri dari tali dengan panjang L dan bola pendulum bermassa m. Gaya yang bekerja pada bola pendulum adalah gaya berat (w = mg)dan gaya tegangan tali FT. Gaya berat memiliki komponen m.g cos Ө yang searah tali dan mg sin teta yang tegak lurus tali. Pendulum berosilasi akibat adanya komponen gaya berat mg sin teta. Karena tidak ada gaya gesekan udara, maka pendulum melakukan osilasi sepanjang busur lingkaran dengan besar amplitudo tetap sama.
Gaya pemulih yang menyebabkan benda M melakukan gerak harmonic sederhana adalah komponen w tegak lurus pada tali yaitu w sin Ө. Dengan demikian gaya pemulih yang bkerja pada benda bandul sederhana dinyatakan oleh
Fp = - W sin Ө
= - m.g sin Ө (1) Menurut Hukum Newton II percepatan benda pada ayunan sederhana: F = m.a
a = -g. sin Ө
-m.g sin Ө = m.a (2)
Gaya dalam arah sumbu x merupakan gaya pemulih, yaitu gaya yang selalu menuju titik keseimbangan. Arah gaya tersebut berlawanan arah dengan simpangan, sehingga dapat ditulis :
Dalam arah sumbu y, komponen gaya berat diimbangi oleh tegangan tali T sehingga gaya dalam arah sumbu y bernilai nol.
Jika sudut α cukup kecil (α < ), maka nilai sinus tersebut mendekati dengan nilai sudutnya, sin α ≈ α. Sehingga hubungan antara panjang busur x dengan sudut teta dinyatakan dengan persamaan :
x = L sin α atau
(ingat bahwa sudut teta adalah perbandingan antara jarak linear x dengan jari-jari lingkaran (r) jika dinyatakan dalam satuan radian. Karena lintasan pendulum berupa lingkaran maka kita menggunakan pendekatan ini untuk menentukan besar simpangannya. Jari-jari lingkaran pada kasus ini adalah panjang tali L).
Jika massa m menyimpang sejauh x dari titik seimbang, maka massa tersebut akan mengalami gaya pemulih sebesar :
F = mg sin α ≈ mg α = x (4) 2.1.1 HUKUM HOOKE
“Besarnya gaya pemulih F berbanding lurus dengan perubahan panjang pegas x, baik pada waktu itu ditarik maupun ditekan.”
Gaya pemulih tersebut sebanding dengan simpangan, seperti pada gerak harmonic sederhana. Sekarang kita akan membandingkan gaya pemulih untuk massa pada pegas dan gaya pemulih untuk system bandul sederhana. Pada pegas berlaku :
F = -kx, (5) (dalam buku Fisika 2, Bambang Ruwanto : 58).
sedangkan pada bandul berlaku F = x. harga pada bandul adalah tetap sehingga dapat dianalogikan denga………/n tetapan pegas (k).
Periode bandul dapat pula dianalogikan dengan periode gerak massa pada pegas, T = 2 , dengan mengganti k dengan mg/L :
T = 2 = 2
Dengan eliminasi m, kita memperoleh periode ayunan bandul sebesar : T = 2
Frekuensi Pendulum Sederhana dapat dicari dengan rumus :
Ini adalah persamaan frekuensi pendulum sederhana, besarnya percepatan gravitasi dapat ditentukan dengan persamaan :
T = 2 T2 = 4π2 g = 0
Gerak Harmonik Sederhana dapat dibedakan menjadi 2 bagian, yaitu :
a) Gerak Harmonik Sederhana (GHS) Linier, misalnya penghisap dalam silinder gas, gerak osilasi air raksa atau air dalam pipa U, gerak horizontal atau vertikal dari pegas, dan sebagainya. Contohnya:
Gerak harmonik pada pegas
Sistem pegas adalah sebuah pegas dengan konstanta pegas (k) dan diberi massa pada ujungnya dan diberi simpangan sehingga membentuk gerak harmonik. Gaya yang berpengaruh pada sistem pegas adalah gaya Hooke.
Pada gambar a sebuah pegas diletakkan dilantai dasar dan dihubungkan dengan sebuah benda, mula-mula pegas berada pada keadaan normal (setimbang), Jika benda ditarik kekanan seperti gambar b, maka pegas akan memberi tarikan kepada benda ke arah kiri untuk kembali ke titik keseimbangan. Jika benda ditarik kekiri gambar c, maka pegas akan mendorong benda ke kanan untuk kembali ke titik keseimbangan. Gaya pegas yang bekerja untuk mengembalikan benda pada posisi keseimbangan ini disebut gaya pemulih.
Gaya pegas merupakan gaya pemulih. Gaya pemulih adalah gaya yang bekerja pada gerak harmonik yang selalu mengarah pada titik keseimbangan dan besarnya sebanding dengan besar simpangannya. Sesuai dengan persamaan :
F = -k x
Persamaan ini dinamakan hukum Hooke, dimana k dinamakan kostanta pegas. Tanda negatif menunjukkan bahwa gaya pemulih arahnya berlawanan dengan simpangan x. Sebaliknya, jika simpangannya ke kiri gaya pulihnya kekanan.
Bunyi hukum Hooke: “Pada daerah elastisitas benda, gaya yang bekerja pada benda sebanding dengan pertambahan panjang benda”.
(Sunaryono, 2010: 76)
Sedangkan meurut Hukum II Newton, F = m a Gambar 1. Sistem pegas
a. Pegas normal (setimbang)
c. Pegas tertekan b. Pegas teregang
Dengan demikian, m a = -k x
m a + k x = 0 (6)
Dengan x sebagai posisi, telah kita ketahui bahwa percepatan adalah turunan kedua dari x, sehingga persamaan ini dapat ditulis sebagai:
m + k x = 0 (7)
Bagi kedua ruas persamaan dengan m
+ x = 0 (8)
Persamaan diatas adalah persamaan diferensial homogen orde kedua. Secara matematis, persamaan itu memiliki penyelesaian yang berbentuk fungsi sinusoida, yaitu:
x(t) = A sin (t + 0) atau x(t) = A cos (t + 0) (9) (Kanginan, 2006: 98)
b) Gerak Harmonik Sederhana (GHS) Angular, misalnya gerak bandul atau bandul fisis, osilasi ayunan torsi, dan sebagainya. Contonya:
Gerak harmonik bandul
Pendulum sederhana terdiri atas sebuah partikel bermassa m (yang disebut bandul pendulum), yang digantung dengan seutas tali sepanjang l yang massanya diabaikan dan tidak dapat diregangkan, sebagaimana pada gambar.
Bandul sederhana terdiri atas benda bermassa m yang diikat dengan seutas tali ringan yang panjangnya l (massa tali diabaikan). Jika bandul berayun, tali akan membentuk sudut sebesar
α terhadap arah vertikal. Jika sudut α terlalu kecil, gerak bandul tersebut akan memenuhi persamaan gerak harmonik sederhana seperti gerak massa pada pegas.
Kita tinjau gaya-gaya pada massa m. dalam arah vertikal, massa m dipengaruhi oleh gaya beratnya yaitu sebesar w = mg, gaya berat tersebut memiliki komponen sumbu x sebesar mg sin α dan komponen sumbu y sebesar mg cos α.
Gaya dalam arah sumbu x merupakan gaya pemulih, yaitu gaya yang selalu menuju titik keseimbangan. Arah gaya tersebut berlawanan arah dengan simpangan, sehingga dapat ditulis :
Dalam arah sumbu y, komponen gaya berat diimbangi oleh tegangan tali T sehingga gaya dalam arah sumbu y bernilai nol.
Jika sudut α cukup kecil, maka nilai sinus tersebut mendekati dengan nilai sudutnya, sin α ≈ α. Sehingga hubungan antara panjang busur x dengan sudut teta dinyatakan dengan persamaan :
x = l sin atau = (10)
(ingat bahwa sudut teta adalah perbandingan antara jarak linear x dengan jari-jari lingkaran (r) jika dinyatakan dalam satuan radian. Karena lintasan pendulum berupa lingkaran maka kita menggunakan pendekatan ini untuk menentukan besar simpangannya. Jari-jari lingkaran pada kasus ini adalah panjang tali L).
Jika massa m menyimpang sejauh x dari titik seimbang, maka massa tersebut akan mengalami gaya pemulih sebesar:
F = m g sin mg = x (11)
Gaya pemulih tersebut sebanding dengan simpangan, seperti pada gerak harmonik sederhana. Sekarang kita akan membandingkan gaya pemulih untuk massa pada pegas dan gaya pemulih untuk sistem bandul sederhana.
Pada pegas berlaku F = kx, sedangkan pada bandul berlaku F = x. harga pada bandul adalah tetap sehingga dapat dianalogikan dengan tetapan pegas (k).
Secara umum persamaan simpangan dari getaran selaras dapat dirumuskan :
x = A sin t (12)
Dengan ω = kecepatan sudut dan t = waktu.
Turunan kedua terhadap waktu dari persamaan diatas menghasilkan :
d2x/dt2 = - ωA2 sin ωt = -ω2 x (13)
karena ω = :
T = (14)
Dari persamaan (9) dapat ditentukan percepatan gravitasi (g)
g = (15)
(Tim Dosen, 2013: 21)
Gerakan massa (m) terbatasi atau ditentukan oleh panjang pendulum (l), dan persamaan gerak yang berlaku adalah :
dθ2 / dt2 = -mg sin θ (16)
Dimana dalam hal ini kecepatan beban sepanjang lintasan yang berupa busur lingkaran adalah v(t) = l θ(t). Faktor sin θ merupakan komponen yang searah dengan gravitasi dari gaya yang bekerja pada beban dalam arah θ.
Selanjutnya dengan membuang m dari kedua sisi persamaan sebelumnya diperoleh bentuk d2θ/ dt2 + g/L sin θ = 0 yang merupakan persamaan diferensial tak linear untuk θ.
Jika dianggap simpangan awal ayunan cukup kecil |θ| ≪ 1 ( rad ), maka berlaku sin θ = θ sehingga persamaan dapat diubah menjadi bentuk linear sebagai berikut:
d2θ/ dt2 + g/L θ= 0 (17)
Gaya yang beraksi pada gambar, adalah beratnya mg dan gaya tarik T pada dawai. Kita uraikan mg menjadi komponen radial mg cos dan mg sin yang merupakan tangen (garis singgung) terhadap lintasan yang ditempuh oleh partikel. Dituliskan gaya pemulih sebagai berikut:
F = -mg sin (18)
Dengan tanda minus menunjukkan bahwa F bereaksi dalam arah yang berlawaan dengan perpindahan.
Selain itu, perpindahan partikel s yang diukur sepanjang busutnya sama dengan L. Maka untuk yang kecil, persamaanya menjadi:
F -mg = -mg = ( )s (19)
Dengan mensubstitusikan kedalam persamaan, utuk periode suatu pendulum sederhana kita dapatkan:
T = 2 = 2 atau = 2 (20)
Simpangan gerak harmonik sederhana
Simpangan gerak harmonik sederhana dapat dianggap sebagai proyeksi gerak melingkar beraturan pada diameter lingkaran, gambar melukiskan sebuah partikelyang bergerak melingkar beraturan dengan kecepatan sudut dan jari-jari A. Anggap mula-mula partikel berada di titik P. Setelah selang waktu t, partikel berada di titik Q dan sudut yang ditempuh adalah:
= t = (21)
Proyeksi titik Q terhadap diameter lingkaran (sumbu y) adalah titik Qy. Jika garis OQy kita sebut y, yang merupakan simpangan gerak harmonik sederhana, maka:
y = A sin = A sin t = A sin ft (22)
Secara umum, jika partikel mula-mula berada pada posisi sudut o, maka persamaan dapat
ditulis menjadi:
y = A sin = A sin (t+o) = A sin ( (23)
Besar sudut dalam fungsi sinus, yaitu disebut sudut fase, jadi sudut fase bergaerak harmonik adalah:
= (t+o) = ( (24) Persamaan dapat juga ditulis menjadi
= 2 ( ) = 2, dimana disebut juga fase, jadi fase gerak harmonik adalah:
∆ = 2-1= = (25)
Beda fase dalam gerak harmonik dinyatakan dengan nilai mulai dari nol sampai dengan satu. Bilangan bulat dalam beda fase dapat dihilangkan, misalnya beda fase 2 ditulis sebagai
beda fase
Dua kedudukan dikatatakan sefase apabila beda fasenya nol dan disebut berlawanan fase
apabila beda fasenya setengah. Keadaan sefase:
∆ = , 1 ∆ = n +
Dengan n adalah bilangan cacah, n = 0, 1, 2, 3,... Kecepatan gerak harmonik sederhana
Kecepatan benda yang bergerak harmonik sederhana dapat diperoleh dari turunan perama persamaan simpangan:
vy = = [ A sin (t+o)]
Mengingat nilai maksimum dari fungsi cosinus adalah satu, maka kecepatan maksimum vm gerak harmonik sederhana adalah:
vm = A (27)
Berdasarkan hubungan trigonometri cos2 (t+
o) + sin2 (t+o) = 1, maka diperoleh cos
(t+o) = ika nilai ini dimasukkan ke persamaan diperoleh:
vy = A =
Mengingat A sin (t+o) = y, maka diperoleh:
vy = (28)
Percepatan gerak harmonik sederhana
Percepatan benda yang bergerak harmonik sederhana dapat diperoleh dari turunan pertama persamaan kecepatan atau turunan kedua persamaan simpangan:
Ay = = [ Acos (t+o)]
Ay = -2 Asin (t+o) = -2 y
Karena nilai maksimum dari simpangan maksimum adalah sama dengan amplitudo, yaitu y=A, maka percepatan maksimum an gerak harmonik sederhana adalah:
Am = -2 A (29)
Tanda minus menunjukkan bahwa arah percepatan selalu berlawanan dengan arah simpangan. (Supriyanto, 2007: 72-74)
Hubungan Gerak Harmonik Sederhana (GHS) dan Gerak Melingkar Beraturan (GMB)
Gerak Melingkar Beraturan dapat dipandang sebagai gabungan dua gerak harmonik sederhana yang saling tegak lurus, memiliki Amplitudo (A) dan frekuensi yang sama namun memiliki beda fase relatif atau kita dapat memandang Gerak Harmonik Sederhana sebagai suatu komponen Gerak Melingkar Beraturan. Jadi dapat diimpulkan bahwa pada suatu garis lurus, proyeksi sebuah benda yang melakukan Gerak Melingkar Beraturan merupakan Gerak Harmonik Sederhana. Frekuensi dan periode Gerak Melingkar Beraturan sama dengan Frekuensi dan periode Gerak Harmonik Sederhana yang diproyeksikan.
Misalnya sebuah benda bergerak dengan laju tetap (v) pada sebuah lingkaran yang memiliki jari-jari A sebagaimana tampak pada gambar. Benda melakukan Gerak Melingkar Beraturan, sehingga kecepatan sudutnya bernilai konstan. Hubungan antara kecepatan linear dengan kecepatan sudut dalam Gerak Melingkar Beraturan dinyatakan dengan persamaan:
= (30)
Karena jari-jari (r) pada Gerak Melingkar Beraturan di atas adalah A, maka persamaan ini diubah menjadi :
= , v = A (31)
Simpangan sudut (teta) adalah perbandingan antara jarak linear x dengan jari-jari lingkaran (r), dan dinyatakan dengan persamaan :
= (32)
x adalah jarak linear, v adalah kecepatan linear dan t adalah waktu tempuh (x = vt adalah persamaan Gerak Lurus alias Gerak Linear). Kemudian v pada persamaan 2 digantikan dengan v pada persamaan 1 dan jari-jari r digantikan dengan A :
= = t
Dengan demikian, simpangan sudut benda relatif terhadap sumbu x dinyatakan dengan persamaan :
= t + 0, (0 adalah simpangan waktu pada t = 0})
Pada gambar di atas, posisi benda pada sumbu x dinyatakan dengan persamaan : x = A cos
x = A cos ( t + 0) (33)
Persamaan posisi benda pada sumbu y :
y = A sin ( t + 0) (34)
BAB III
METODOLOGI PERCOBAAN
3.2 Alat dan Bahan 1. Statip 2. Tali 3. Stopwatch 4. Beban (50gr dan 100gr) 5. Penggaris 3.3 Cara Kerja
Percobaan ini dibagi menjadi 3 bagian, masing-masing diulang sebanyak 3 kali percobaan. Tiap bagian dilakukan secara berturut-turut dengan perbedaan besarnya amplitudo, panjangnya tali, dan beratnya massa beban. Langkah-langkah yang dilakukan sebagai berikut :
1. Siapkan Statip kemudian atur berat beban, panjang tali, dan besar amplitudo sesuai yang telah ditentukan.
2. Gunakan penggaris untuk mengukur panjang simpangan. 3. Ayunkan bandul dengan posisi sudut yang telah ditentukan.
4. Hidupkan stopwatch bersamaan dengan pertama kali bandul diayunkan. 5. Hentikan stopwatch jika bandul sudah melakukan 10 kali ayunan. 6. Catat waktu terakhir di stopwatch.
7. Ulangi percobaan hingga 3 kali pada tiap bagian. 8. Tuliskan hasil pengamatan ke dalam tabel.
3.4 Kesimpulan
Kesimpulan dari makalah ini adalah:
1. Gerak harmonik sederhana adalah gerak bolak - balik benda melalui suatu titik keseimbangan tertentu dengan banyaknya getaran benda dalam setiap sekon selalu konstan 2. Gerak harmonik sederhana dapat dibedakan menjadi 2 bagian, yaitu :
a) Gerak harmonik sederhana (ghs) linier, misalnya penghisap dalam silinder gas, gerak osilasi air raksa atau air dalam pipa u, gerak horizontal atau vertikal dari pegas, dan sebagainya
b) Gerak harmonik sederhana (ghs) angular, misalnya gerak bandul atau bandul fisis, osilasi ayunan torsi, dan sebagainya
3. Sebuah bandul adalah massa (m) yang digantungkan pada salah satu ujung tali dengan panjang l dan membuat simpangan dengan sudut kecil. Bila amplitudo getaran kecil berarti bandul melakukan gerak harmonik.
4. Gaya pemulih adalah gaya yang besarnya sebanding dengan simpangan dan selalu berlawanan arah dengan arah simpangan (posisi).
5. Ayunan bandul matematis merupakan suatu partikel massa yang tergantung pada suatu titik tetap pada seutas tali, di mana massa tali dapat diabaikan dan tali tidak dapat
bertambah panjang. Dari gambar tersebut, terdapat sebuah beban bermassa m tergantung pada seutas kawat halus sepanjang l dan massanya dapat diabaikan.
3.5 Saran
Dengan disusunnya makalah ini kami mengharapkan pembaca dapat mengetahui dan memahami materi mengenai gerak harmonik sederhana pada bandul serta dapat memberikan kritik dan saran nya agar makalah ini dapat menjadi lebih baik dari sebelumnya. Demikian saran yang dapat penulis sampaikan semoga dapat membawa manfaat bagi semua pembaca.
DAFTAR PUSTAKA
Giancoli. 2005. Fisika. Jakarta: Erlangga
Halliday, dkk. 2008. Dasar-dasar Fisika. Tangerang: Binarupa Aksara Kanginan, Marthen. 2006. Fisika Untuk Kelas XI SMA. Jakarta: Erlangga
Sunaryono, dkkk. 2010. Super Tips dan Trik Fisika SMA. Malang: Kawan Pustaka Supriyanto. 2007. Fisika Untuk Kelas XI SMA. Jakarta: Erlangga
Surya, Yohanes. 1999. Fisika Itu Mudah. Tangerang: PT Bina Sumber Daya MIPA Tim Dosen. 2013. Modul Praktikum Fisika Dasar I. Banjarmasin: Prodi Pendidikan Fisika FKIP Unlam
