. (1) Dari Persamaan (6) didapatkan nilai χ 0 dan s 0, kemudian dilakukan suatu iterasi dengan pola seperti pada Persamaan (7) dan (8) (7)

(1)

Penyelesaian Persamaan Schrodinger Lima Dimensi pada

Potensial Kratzer plus Potensial Tangen Kuadrat

Trigonometrik dengan

Asymptotic Iteration Method

(AIM)

Agung Budi Prakoso, A Suparmi, C Cari

Jurusan Fisika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sebelas Maret

Jl. Ir. Sutami 36A Kentingan Jebres Surakarta 57126, Indonesia E-mail: agungbudi12101993@student.uns.ac.id

Abstrak

Energi ikat non-relativistik dari molekul diatomik yang dipengaruhi potensial non-sentral dalam ruang lima dimensi yang diselesaikan menggunakan AIM. Potensial pada ruang lima dimensi ini terdiri dari potensial Kratzer pada bagian radial dan potensial tangen kuadrat pada bagian sudut.

Variasi bilangan kuantum nr, n1, n2, n3, dan n4 pada molekul diatomik CO, NO, dan I2 dapat mempengaruhi besarnya energi ikat. Hal ini diketahui dari data numeriknya.

Kata kunci : Persamaan Schrodinger, D-dimensi, Potensial Kratzer, Potensial tangen kuadrat,

AIM

Abstract

Non-relativistic bound-energy of diatomic molecules determined by non-central potentials in five dimensional solution using AIM. Potential in five dimensional space consist of Kratzer’s potential for radial part and Tangent squared potential for angular part. By varying nr, n1, n2, n3, dan n4 quantum number on CO, NO, dan I2 diatomic molecules affect bounding energy values. It

knows from its numerical data

Keyword : Schrodinger equation, D-dimension, Kratzer’s potential, Tangent squared potential,

AIM

Pendahuluan

Penyelesaian energi secara non-relativistik dapat diperoleh dari persamaan Schrodinger. Persamaan Schrodinger adalah dasar untuk mendeskripsikan suatu kejadian fisis yang berkaitan dengan mekanika kuantum. Ada banyak tipe persamaan yang dapat digunakan untuk menyelesaikan kasus mekanika kuantum, diantaranya: persamaan Dirac [1], persamaan Klein-Gordon [2], dan persamaan Schrodinger [3].Di dalam persamaan tersebut dapat digunakan gangguan berupa potensial-potensial untuk sistem tertentu, misal potensial Poschl-Teller [4], potensial Deng-Fan dan potensial Hulthen[5]. Persamaan-persamaan tersebut dapat diterapkan pada suatu ruang higher dimension [6] dengan gangguan suatu potensial. Higher dimension

adalah suatu ruang yang memiliki komponen ruang lebih dari dimensi tiga.

Penelitian ini untuk mencari nilai eigen energi pada persamaan Schrodinger pada ruang lima dimensi dengan gangguan potensial Kratzer dan potensial tangen kuadrat trigonometrik.. Potensial Kratzer [7] menjelaskan tentang kejadian disosiasi pada molekul diatomik. Potensial Kratzer digunakan pada bagian radial dengan variabel r. Sehingga, potensial Kratzer yang digunakan untuk bagian radial yaitu

(2)

           2 2 2 1 2 ) ( r a r a D r V _e . (1)

dimana De adalah energi disosiasi, r adalah jarak antar inti molekul diatomik dan a adalah jarak antar inti dalam keadaan setimbang. Potensial tangen kuadrat [8] menjelaskan suatu potensial yang dipengaruhi oleh perubahan sudut. Potensial tangen kuadrat pada bagian sudut dengan variabel θ1, θ2, θ3,dan θ4. Sehingga, potensial yang digunakan untuk bagian

 



1 V0tan2

 



1 V  ,



₁



₂,₂



(2)

 



2 V0tan2

 



2 V  ,



₂



₂,₂



(3)

 



3 V0tan2

 



3 V  ,



₃



₂,₂



(4)

 



4 V0tan2

 



4 V  ,



₄



₂,₂



(5)

dengan V0 adalah potensial awal yang digunakan untuk masing-masing komponen sudut yang dianggap sama dan θ1, θ2, θ3, dan θ4 sudut elevasi. Penelitian ini diselesaikan dengan metode AIM [9]. Agar dapat diselesaikan dengan AIM, persamaan Schrodinger direduksi ke dalam persamaan differensial orde dua tipe hipergeometrik.

Asymptotic Iteration Method

Dari persamaan differensial orde dua tipe hipergeometrik tersebut, kemudian diambil bagian persamaan differensial yang termasuk tipe AIM. Persamaan differensial orde dua dengan tipe AIM, yaitu [10]

 

( ) '( ) ( ) ( ) " x ₀ x y x s₀ x y x

y   (6)

Dari Persamaan (6) didapatkan nilai χ0 dan s0, kemudian dilakukan suatu iterasi dengan pola seperti pada Persamaan (7) dan (8)

) ( ) ( ) ( ) ( ' ₁ ₀ ₁ 1 x sk x x k x k k         (7) ) ( ) ( ) ( ' ₀ ₁ 1 x s x x s s_k  _k_ 



_k_ (8) . . . 3, 2, 1,  k

dari Persamaan (7) dan (8) dapat digunakan mencari nilai eigen dengan Persamaan (9) 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ₁  ₁   k sk x k x sk x k x (9) . . . 3, 2, 1,  k

Kemudian untuk menentukan fungsi eigen dari Persamaan (6), digunakan Persamaan (10) untuk mencari fungsi gelombangnya

 

₂exp ( ') '_        C

_

x x dx x y  (10) dengan ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 1 x x x s x x s k k k k





    (11)

dari Persamaan (10) dapat digeneralisasikan menjadi Persamaan (12)

   



 



2



1 2 2 2 , , , 1       N n n n x C N F n p n bx y



(12)

(3)

dengan (𝜎)𝑛= Γ(𝜎+𝑛) Γ(𝜎) , 𝜎 = 2𝑐+𝑁+3 𝑁+2 , 𝑝 = (2𝑐+1)𝑏+2𝑡 (𝑁+2)𝑏 (13)





  



 



!



, , , 2 0 2 1 2 n bx n p n bx n p n F n N n n n n N     _

_

      (14)

dengan n adalah bilangan kuantum, C2 adalah konstanta normalisasi, 2F1 adalah fungsi hipergeometrik. Sedangkan parameter-parameter lain pada Persamaan (13) dan Persamaan (14) diperoleh dengan membandingkan Persamaan (6) dengan Persamaan (15) sebagai berikut

𝑦′′_{(𝑥) = 2 (} 𝑡𝑥𝑁+1 1−𝑏𝑥𝑁+2− 𝑐+1 𝑥 ) 𝑦 ′_{(𝑥) −} 𝑊𝑥𝑁 1−𝑏𝑥𝑁+2 (15) Pemisahan Variabel

Persamaan Schrodinger dengan menggunakan satuan alam (ħ  c 1) dan dalam ruang lima dimensi, dapat ditulis dengan





0

2 2

5   

 m E V (16)

Persamaan (16) terdapat Laplacian pada koordinat lima dimensi. Laplacian itu dapat dituliskan menjadi                                     2 2 2 2 4 2 3 2 1 2 2 4 2 3 2 2 2 2 4 4 2 5 sin sin 1 sin sin 1 sin sin sin 1 1 r r 1           r r r                                           4 4 3 4 4 3 2 3 3 2 3 3 2 4 2 sin sin 1 1 sin sin 1 sin 1          r (17)

Kemudian potensial pada Persamaan (1) – (5) digabung dalam bentuk





4 2 2 3 2 0 4 2 3 2 2 2 2 0 4 2 3 2 2 2 2 1 2 0 2 2 4 3 2 1 sin tan sin sin tan sin sin sin tan 2 1 2 , , , ,              r V r V r V r a r a D r V _e _            2 4 2 0tan r V   (18) dengan 0 1  2π dan 0 2 = 3 = 4 π.

Pada Persamaan (16) juga terdapat variabel Ψ diterapkan dalam lima dimensi menjadi ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , , , (r₁₂ ₃₄ R r P₁ ₁ P₂ ₂ P₃ ₃ P₄ ₄  (19)

Kemudian Persamaan (17) – (19) disubtitusikan ke dalam Persamaan (16) untuk memperoleh suatu persamaan Schrodinger untuk bagian radial, sudut θ1, θ2, θ3,dan θ4.

Persamaan Energi Radial

Persamaan Schrodinger bagian radial yang dihasilkan dari pemisahan variabel, yaitu

0 2 2 1 4 r r 1 2 2 2 2 4 2                      R RE mr r a r a RD mr R r r e  (20)

Dimana R adalah fungsi gelombang bagian radial. Kemudian digunakan permisalan untuk mereduksi Persamaan (20): 2  Ur R (21) e mD A2 (22) mE 2 2 __  (23)

(4)

Aa C2 (24) 2 4 9 2 1 Aa D   (25)

Persamaan (21) – (25) disubtitusikan ke dalam Persamaan (20), sehingga didapat Persamaan (26)





0 ) 1 2 2 2 2       _ _ _     U r D D r C r U _ ₍₂₆₎

Persamaan (26) agar dapat diterapkan dalam AIM, harus menggunakan variabel ) ( ) exp( ) (r r 1 r f r U  D 



(27)

sehingga Persamaan (26) menjadi





) ( 1 2 ) ( ' 1 2 ) ( '' f r r C D r f r D r f               (28)

dengan membandingkan Persamaan (28) dengan Persamaan (6) didapat nilai χ0 dan s0 untuk bagian radial.          r D r) 2 1 ( 0   (29)





r C D r s₀( )2 1  (30)

Persamaan (29) – (30) dilakukan iterasi dengan menggunakan Persamaan (7) – (8) untuk mendapatkan nilai parameter χ1 dan s1, χ2 dan s2, χ3 dan s3,.... χk dan sk. Nilai-nilai parameter tersebut digunakan untuk mencari k. k tersebut disamadengankan nol untuk mencari energi, sehingga didapatkan persamaan energi

2 2 2 2 2 2 2 4 9 2 1 2             a D m n a D m E e r e    (31)

Penyelesaian energi diperoleh secara numerik, dengan parameter yang diberikan pada Tabel 1 untuk CO, NO dan I2.

Tabel 1 Massa tereduksi dan besaran spektroskopik dari variasi molekul diatomik pada saat ground state

Parameter CO NO I2

De (eV) 10.84514471 8.043782568 1.581791863

a (/eV) 5.7174×10-4 5.8319×10-4 13.000×10-4 m (eV) 6.3904×109 6.9566×109 59.104×109 Persamaan Bagian Sudut θ1

Persamaan Schrodinger bagian sudut θ1 yang dihasilkan dari pemisahan variabel, yaitu 0 tan 2 1 1 1 2 0 2 1 2 1 2        _          P V m P     (32)

dimana P1 adalah fungsi gelombang bagian sudut θ1 dan λ1 adalah parameter subtitusi bagian sudut θ1. Persamaan (32) direduksi menggunakan permisalan pada Persamaan (33) – (34).



1 2z

i

tan₁  ₁ (33)











₂



2 2₂ 1 1 1 2 1 1 2 2 4 2 1 4z z z z z d            (34)

(5)

Sehingga diperoleh Persamaan (35) berikut









0 1 16 4 16 4 4 2 1 ₁ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 2 1 1                             P z A z A A z P z z P z z   (35)

kemudian digunakan permisalan

    

₁ ₁ ₁



 

₁

1 z 1 1 z 1 f z

P      _n (36)

dari permisalan tersebut, didapatkan persamaan differensial orde dua tipe hipergeometrik berikut

 



_



_

 





_

_



 

₁ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 1 ' 1 1 2 1 2 ' ' f z z z A z f z z z z f_n _n _n                          (37)

Dengan nilai parameter δ1 dan γ1 yaitu

4 2 1 ₁ 1 1 A      (38) 4 2 1 ₁ 1 1 A   





(39)

Persamaan (37) dibandingkan dengan Persamaan (6), sehingga diperoleh nilai χ0 dan s0.







₁



1 1 1 1 1 1 0 1 1 2 1 2 ) ( z z z z           (40)









1



1 1 1 1 1 1 0 1 1 ) ( z z z s            (41)

dengan ε = A1/4. Nilai χ0 dan s0 digunakan Persamaan (7) – (9) untuk mencari nilai k. Nilai k disamadengankan nol, sehingga didapatkan nilai ε1, ε2, ε3, ..., εk. Parameter-parameter tersebut dapat digunakan untuk mendapatkan parameter subtitusi λ1

2 0 2 1 0 2 1 2 4 1 2 1 2             mV n mV    (42)

Persamaan Bagian Sudut θ2

Persamaan Schrodinger bagian sudut θ2 yang dihasilkan dari pemisahan variabel, yaitu 0 sin tan 2 sin sin 1 2 2 2 1 2 2 2 0 2 2 2 2 2 2                     P V m P          (43)

dimana P2 adalah fungsi gelombang bagian sudut θ2 dan λ2 adalah parameter subtitusi bagian sudut θ2, kemudian digunakan permisalan:

2 2 2 sin Q P  (44)

Persamaan (44) disubtitusikan ke dalam Persamaan (43), sehingga didapatkan Persamaan (45)

0 sin tan 2 cot 4 1 2 1 2 2 2 1 2 2 0 2 2 2 2 2 2 2 2                 Q V m Q











 (45)

Persamaan (45) tersebut harus disederhanakan dengan permisalan pada Persamaan (46) – (47), sehingga diperoleh Persamaan (48)

2 2 2

(6)









₂ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 1 2 z z z z z d d           (47)









_

_

0 1 16 4 1 2 2 16 4 1 2 1 2 1 1 ₂ 2 1 2 2 0 2 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2                       Q z z mV mV z Q z z Q z z     (48)

Persamaan (48) harus direduksi ke persamaan differensial orde dua tipe hipergeometri, dengan permisalan

 

2 2



2



 

2

2 z 2 1 z 2 f z

Q



    _n (49)

sehingga didapatkan Persamaan (50)

 



_



_

 





_

_

 

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 16 4 1 ' 1 2 1 2 2 '' f z z z A z f z z z z f_n _n _n                                       (50)

dengan nilai parameter δ2 dan γ2 yaitu

0 2 2 2 2 1 2 1 mV       (51) 1 2 5 4 4 1 2 1

_



   (52)







₂



2 2 1 2 2 2 2 2 0 1 2 1 2 2 ) ( z z z z           (53)







2



2 2 2 2 2 0 1 ) ( z z z s        (54)

Dari Persamaan (53) – (54) dapat dicari nilai k dengan menggunakan Persamaan (7) – (9). Nilai

k tersebut digunakan untuk mencari persamaan parameter subtitusi λ2 2 1 2 0 2 0 2 2 5 4 2 1 2 4 4 4 1 2 4 1                



  mV n V m (55)

Parameterλ1 pada Persamaan (55) diperoleh dari Persamaan (42).

Persamaan Schrodinger bagian sudut θ3 yang dihasilkan dari pemisahan variabel, yaitu 0 sin tan 2 sin sin 1 3 3 2 2 3 3 2 0 2 3 3 3 2 3 3 2                     P V m P          (56)

dimana P3 adalah fungsi gelombang bagian sudut θ3 dan λ3 adalah parameter subtitusi bagian sudut θ3, kemudian digunakan permisalan:

3 3 3 sin



Q P  (57)

Persamaan (57) disubtitusikan ke dalam Persamaan (56), sehingga didapatkan Persamaan (58)

0 sin 1 tan 2 3 3 2 2 3 3 2 0 2 2 3 3 2                Q V m Q       (58)

(7)

Persamaan (58) direduksi menggunakan permisalan: 3 3 2 cos



z (59)









₂ 3 2 2 3 3 3 3 2 3 2 4 2 1 2 z z z z z d d           (60)

sehingga didapatkan Persamaan (61)









0 1 1 1 1 2 2 1 2 4 ₃ 3 2 3 3 0 2 3 3 3 2 3 3 2 2 3 3                              Q z z V m z Q z z Q z z    (61)

Kemudian digunakan permisalan

 

₃ ₃



₃



 

₃

3 z 3 1 z 3 f z

Q



    _n (62)

Dari permisalan tersebut, didapatkan persamaan differensial orde dua tipe hipergeometrik berikut

 



_



_

 





_

_

 

3 3 3 3 3 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 4 1 ' 1 2 1 2 1 2 2 '' f z z z A z f z z z z f_n _n _n                   (63)

3 3 1 4 4 1 4 1 A     (64) 2 3 1 4 4 1 4 1 _     (65)







₃



3 2 1 3 3 3 3 3 0 1 2 1 2 2 ) ( z z z z           (66)







3



3 3 3 2 3 3 3 0 1 4 1 ) ( z z A z s          (67) Nilai χ0 dan s0 tersebut dapat digunakan untuk mencari nilai k dengan menggunakan Persamaan (7) – (9). Nilai k digunakan untuk mendapatkan nilai parameter subtitusi λ3

2 2 0 2 3 0 2 3 1 4 8 1 2 1 1 2 1 2                      



mV n mV   (68)

Persamaan Schrodinger bagian sudut θ4 yang dihasilkan dari pemisahan variabel, yaitu 0 sin tan 2 sin sin 1 4 4 2 3 4 2 0 2 4 4 4 3 4 4 3                     P V m P          (69)

dimana P4 adalah fungsi gelombang bagian sudut θ4 dan λ adalah konstanta subtitusi bagian sudut

θ4, kemudian digunakan permisalan:

4 3 4 4 sin  Q P  (70)

(8)

Persamaan (70) disubtitusikan ke dalam Persamaan (69), sehingga didapatkan persamaan 0 sin tan 2 cot 4 3 2 3 '' ₄ 4 2 3 4 2 0 2 4 2 4             mV Q Q       (71)

selanjutnya digunakan permisalan:

4 4 2

cos





z

(72)









2 4 2 2 4 4 4 4 2 4 2 4 2 1 2 z z z z z d d           (73)

Kemudian Persamaan (72) dan Persamaan (73) disubtitusikan ke dalam Persamaan (71). Sehingga didapatkan persamaan





0 1 2 2 4 9 4 1 2 1 4 4 4 3 3 4 2 0 0 2 4 4 4 2 4 4 2 2 4 4                              Q z z mV V m z Q z z Q z z     (74)

Kemudian digunakan permisalan pada Persamaan (75)

 

₄ ₄



₄



 

₄

4 z 4 1 z 4 f z

Q      _n (75)

Dari permisalan tersebut, didapatkan persamaan differensial orde dua tipe hipergeometrik berikut:

 



_



_

 





_

_

 

₄ 4 4 4 2 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 1 16 9 ' 1 2 1 2 1 2 2 '' f z z z A z f z z z z f_n _n _n                   (76)

4 4 1 4 2 1 2 1 A i     (77) 2 16 4 1 16 1 3 4      (78)

Persamaan (76) dibandingkan dengan Persamaan (6), sehingga diperoleh nilai χ0 dan s0 pada Persamaan (79) – (80). Dari nilai χ0 dan s0 dapat dicari nilai k dengan menggunakan Persamaan (7) – (9). Nilai k digunakan untuk mencari parameter subtitusi λ pada Persamaan (81).







4



4 2 1 4 4 4 4 0 1 2 1 2 2 ) ( z z z z           (79)







4



4 4 2 4 4 4 0 1 16 9 ) ( z z A z s          (80) 2 4 3 0 2 0 2 ₁₆ 9 2 16 4 1 8 1 2 2 16 9                mV i mV  n    (81)

Hasil

Parameter subtitusi pada Persamaan (81) disubtitusikan ke dalam persamaan energi pada Persamaan (31). Parameter identitas molekul pada Tabel 1 disubtitusikan ke persamaan energi tersebut dengan menggunakan MATLAB 2008b, sehingga diperoleh data numerik pada Tabel 2.

(9)

Tabel 2 Spektrum energi partikel yang dipengaruhi oleh potensial Kratzer dan tangen kuadrat, dengan V0 = 10-6 eV nr n1 n2 n3 n4 E (eV) CO NO I2 0 0 0 0 0 -0,620569 -0,316085 -0,1237857 1 0 0 0 0 -0,624640 -0,318575 -0,1237739 2 0 0 0 0 -0,628649 -0,321032 -0,1237617 0 0 0 0 0 -0,620569 -0,316085 -0,1237857 0 1 0 0 0 -0,620562 -0,316081 -0,1237856 0 2 0 0 0 -0,620556 -0,316078 -0,1237854 0 0 0 0 0 -0,620569 -0,316085 -0,1237857 0 0 1 0 0 -0,620556 -0,316078 -0,1237854 0 0 2 0 0 -0,620542 -0,316071 -0,1237852 0 0 0 0 0 -0,620569 -0,316085 -0,1237857 0 0 0 1 0 -0,616316 -0,312961 -0,1238835 0 0 0 2 0 -0,611919 -0,309746 -0,1239813 0 0 0 0 0 -0,620569 -0,316085 -0,1237857 0 0 0 0 1 -0,610426 -0,310584 -0,1234873 0 0 0 0 2 -0,600325 -0,305110 -0,1231891 Kesimpulan

Dari Tabel 2, terlihat bahwa pada partikel yang dipengaruhi oleh potensial Kratzer dan potensial tangen kuadrat memiliki spektrum energi yang dipengaruhi oleh bilangan kuantum nr, n1, n2, n3, dan n4. Nilai energi negatif menunjukkan terjadinya energi tolak menolak.

Kenaikan bilangan kuantum pada n1, n2, n3, dan n4 menyebabkan nilai energi tolak

menolaknya menurun, tapi untuk kenaikan bilangan kuantum pada nr, menyebabkan nilai

energi tolak menolaknya cenderung ikut naik. Dari keempat molekul tersebut, nilai energi dari molekul CO memiliki energi terbesar dan I2 memiliki energi yang terkecil. Semakin

besar nilai De maka energi yang dihasilkan semakin besar juga. Semakin besar nilai m, maka

semakin besar juga nilai energinya. Akan tetapi, semakin besar nilai a, nilai energinya semakin mengecil.

Referensi

[1] A'yun, D. Q., Suparmi, & Cari. (2015). Analisis Persamaan Dirac untuk Potensial Pöschl-Teller Trigonometrik dan Potensial Scarf Trigonometrik pada Kasus Spin Simetri Bagian Radial menggunakan Metode Iterasi Asimtotik. Spektra.

[2] Barakat, T. (2009). Perturbed Coulomb potentials in the Klein–Gordon equation via the asymptotic iteration method. Annals of Physics, 725–733.

[3] Arbabi, S. (2016). Exact solitary wave solutions of the complex nonlinear Schrödinger equations. Optik, 4682–4688.

[4] Yahya, W., & Oyewumi, K. (2015). Thermodynamic properties and approximate solutions of the l state Poschl–Teller-type potential. Journal of the Association of Arab Universities for Basic and Applied Sciences.

(10)

[5] Hassanabadi, M., Yazarloo, B.H., Mahmoudieh, M., & Zarrinkamar, S. (2013). Dirac equation under the Deng-Fan potential and the Hulthen potential as a tensor interaction via SUSYQM. The European Physical Journal Plus, 128, 111-123

[6] Dong, Shi Hai. (2011). Wave equations in higher dimensions. New York : Springer. [7] Bayrak, O., Boztosun, I., & Ciftci, H. (2006). Exact Analytical Solutions to the Kratzer

Potential by the Asymptotic Iteration Method. Wiley InterScience, 107, 540–544. [8] Ciftchi, H., Hall, R.L., & Saad, N. (2013). Exact and approximate solutions of

Schrödinger’s equation for a class of trigonometric potentials. Central European Journal of Physics, 11(1), 37-48.

[9] Falaye, B. (2012). Arbitrary -State Solutions of the Hyperbolical Potential by the Asymptotic Iteration Method. Few-Body Syst, 53, 557–562

[10] Sari, R.A., Suparmi, A., Cari, C. (2015). Solution of Dirac equation for Eckart potential and trigonometric Manning Rosen potential using asymptotic iteration method. Chin. Phys. B, 25