p-ISSN : 2550-0384; e-ISSN : 2550-0392
PERSAMAAN SUPERDIFUSI DAN PENYELESAIAN FUNDAMENTALNYA
Irfan Nurhidayat Universitas Jenderal Soedirman
irfannurhidayat09@gmail.com Bambang Hendriya Guswanto
Universitas Jenderal Soedirman Agung Prabowo
Universitas Jenderal Soedirman
ABSTRACT. In this article, we discuss the derivation of the superdiffusion equation and its fundamental solution. Superdiffusion equation is derived from random walk process on lattice by using the probability of jump direction
1 ( ) , \ {0}, ( ) 0, 0, C x x x x K
with 0 2 and C( ) is the normalization coefficient. The fundamental solution of superdiffusion equation is obtained by employing Laplace transform, Fourier transform, and Mittag-Leffler function. The properties of the solution, such as symmetrical, tending to zero at infinity, positive, and normal, are gotten by mathematical analysis approach.
Keywords: superdiffusion equation, fundamental solution, the probability of jump direction.
ABSTRAK. Artikel ini membahas penurunan persamaan superdifusi dan penyelesaian fundamentalnya. Persamaan superdifusi diturunkan dari proses gerak acak pada lattice dengan menggunakan peluang arah lompatan
1 ( ) , \ {0}, ( ) 0, 0, C x x x x K
dengan 0 2 dan C( ) adalah koefisien normalisasi. Penyelesaian fundamental persamaan superdifusi diperoleh dengan memanfaatkan transformasi Laplace, transformasi Fourier, dan fungsi Mittag-Leffler. Sifat-sifat penyelesaian, seperti simetris, menuju nol di ketakberhinggaan, positif, dan normal, diperoleh dengan menggunakan pendekatan matematika analisis.
1. PENDAHULUAN
Difusi adalah peristiwa berpindahnya suatu zat dalam pelarut dari bagian yang berkonsentrasi tinggi ke bagian yang berkonsentrasi rendah (Lihat [6]). Difusi akan terus terjadi hingga seluruh partikel tersebar luas secara merata atau mencapai keadaan setimbang (Lihat [5]). Menurut [8], difusi adalah pergerakan mikroskopis dari kumpulan partikel pada sel, bakteri, bahan kimia, dan hewan di mana dalam pergerakannya biasanya partikel bergerak acak dan menyebar. Pergerakan acak partikel yang demikian dapat dimodelkan dalam bentuk persamaan matematika. Proses difusi dapat dimodelkan dengan persamaan
, 0.
t
u u t
Berikut ini beberapa proses difusi dalam kehidupan sehari-hari, seperti saat membuat teh manis yaitu dengan memasukkan gula pada air tawar dan mengaduknya sampai gula terlarut dalam air tawar, kemudian saat kelembaban di dalam rumah tinggi dikarenakan curah hujan yang rendah di sekitar rumah. Pergerakan partikel proses difusi mengikuti pola
〈 ( )〉
dengan x t2( ) adalah Mean Square Displacement (MSD) pada saat t.
Pada proses difusi, terdapat proses yang mengalami anomali, yaitu proses subdifusi (difusi lambat) dan proses superdifusi (difusi cepat). Beberapa contoh proses yang menunjukkan proses subdifusi adalah dispersi pada akuifer yang heterogen (Lihat [1]), penyebaran ion pada suatu eksperimen kolom (Lihat [3]), penyebaran kontaminan pada formasi geologi (Lihat [2]), dan difusi air tanah (Lihat [7]). Berbeda dengan proses difusi, dalam proses subdifusi pergerakan partikel mengikuti pola
2
( ) , 0, 0 1. x t t t
Beberapa contoh proses superdifusi, yaitu kepadatan molekul pada reaksi kimia dan gerakan bertumbukan molekul karena adanya perbedaan kecepatan gerak antar molekul (Lihat [13]), transportasi dari kompartemen satu ke kompartemen lainnya untuk menunjukkan kepekaan rangsangan pada sel (Lihat [5]), dan perubahan gerak protein dalam inti (nucleus) yang terjadi karena sel darah putih
(leukosit) lebih banyak dari sel darah merah (eritrosit) (Lihat [9]). Proses difusi anomali yang demikian tidak dapat dimodelkan dengan menggunakan persamaan difusi biasa dan persamaan subdifusi. Pada proses superdifusi pergerakan partikel mengikuti pola
2
( ) , 0, 1. x t t t
2. HASIL DAN PEMBAHASAN
Bagian ini membahas tentang penurunan dan penyelesaian fundamental dari persamaan superdifusi.
2.1 Penurunan Persamaan Superdifusi
Misalkan K : [0,) adalah suatu fungsi genap, yaitu ( )y (y)
K K untuk setiap y , dan memenuhi kondisi ( ) 1. k k
K ZDi sini, persamaan superdifusi akan diturunkan dari proses yang dilakukan oleh suatu partikel yang bergerak secara acak pada lattice h yang didefinisikan sebagai
:
h hz z
dengan h0. Dalam proses ini, pada setiap satuan waktu 0,partikel melompat dari suatu titik ke titik lainnya di h . Asumsikan peluang suatu partikel untuk melompat dari titik hkh ke titik hkh adalah
(kk) (kk).
K K
Di sini, kita mengasumsikan K(0)0 yang berarti bahwa peluang suatu partikel tidak melompat adalah 0. Dengan kata lain, partikel pasti selalu melompat pada setiap jangka waktu tertentu. Selanjutnya, misalkan u x t( , ) adalah peluang suatu partikel berada di xh dan pada waktu t dengan didefinisikan sebagai
z z:
. Karenanya, u x t( , ) adalah penjumlahan semua peluang partikel berada pada posisi xhk dan pada waktu t dikalikan dengan peluang partikel melompat dari posisi xhk ke x dalam jangka waktu , yaitu
( , ) ( ) ( , ). k u x t k u x hk t
K Akibatnya,
( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( , ) . k u x t u x t k u x hk t u x t
K (1) Berikutnya, misalkan fungsi K memenuhi persamaan1 ( ) , 0, ( ) 0, 0, C y y y y K
dengan C( ) adalah suatu konstanta. Jika h, (0, 2), maka
( ) ( ) k . h hk K K (2) Misalkan ( , , )y x t K( )y u x
( y t, )u x t( , ) .
Dari persamaan (1) dan (2),( , ) ( , ) ( , , ). k u x t u x t h hk x t
Z (3) Dari (3), jika 0 yang berimplikasi pada h0,0 0 ( , ) ( , ) lim lim ( , , ) h k u x t u x t h hk x t
1 ( ) ( ) ( , ) ( ) u x y u x . u x t C dy t y
(4)Selanjutnya, kita akan menunjukkan, untuk (0, 2), uS( ), dan terbatas, integral pada persamaan (4) terdefinisi dengan baik. Integral pada persamaan (4) dapat dituliskan dalam pengertian the Principle Value, disingkat P V. ., yaitu
1 0 \ (0) 1 1 \ (0) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) . . lim 1 2 ( ) ( ) ( ) lim . 2 B B u x u y u x u y P V dy dy x y x y u x u x y u x y dy y
1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) u x u x y u x y f y y dengan 1 2 1 ( ) , ( ), ( ) , \ ( ). y D u x y B x f y y u y B x Lemma 2.1 Fungsi 1 ( ) ( ) y f y L dengan 1 2 1 ( ) , ( ), ( ) , \ ( ). y D u x y B x f y y u y B x
Bukti. Perhatikan bahwa kasus xB(0),
1 2 1 ( ) \ ( ) 1 1 2 (0) \ (0) 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . 2 2 B x B x B B f y dy y D u x dy y u dy D u x y x dy u y x dy x x x x D u x u
Selanjutnya, kasus xB(0) dengan x,
2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . 2 2 x x x x f y dy D u x u
Untuk x , 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . 2 2 x x x x f y dy D u x u
Dengan demikian, 1 ( ) ( ). y f y L ■Berdasarkan Lemma 2.1, integral pada persamaan (4) terdefinisi dengan baik.
1 2 1 ( ) , ( , ) ( ), ( , ) 2 ( ) ( ) ( ) , ( , ) \ ( ). y D u x x y B x g x y y u x u x y u x y x y B x Bukti. Karena uS( ), maka untuk setiap x ,
2 2 2 2 2 2 1 ( ) sup 1 ( ) , 1 ( ) sup 1 ( ) . z z x D u x z D u z x u x z u z Oleh karena itu, terdapat K0 sedemikian sehingga untuk setiap x ,
2
1 2 ( ) , ( ) 1 . u x D u x K x Jadi, 2 1 ( ) , ( ) ( ). u x D u x L Berdasarkan Lemma 2.1,
1 2 ( ) 1 \ ( ) 1 2 ( ) 1 \ ( ) ( , ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 ( ) ( ) B x B x B x B x g x y dxdy D u x dx y y dy u x u x y u x y dx y y dy D u x dx y y dy u x dx y y dy
Dengan demikian, 1 ( , )x y g x y( , )L( ). ■Dengan menggunakan Lemma 2.2 dan teorema Fubini,
1 1 ( ) ( ) 1 cos( ) ( ) . . u x u y ( ) ( ) y ( ). C P V dy C dy u x y y
F FSelanjutnya, akan ditunjukkan bahwa
1 1 1 cos( ) ( ) y dy C y
dengan
1 1 1 cos ( )C d .
Misalkan fungsi I: didefinisikan dengan
1 1 cos( ) . y I dy y
Perhatikan bahwa, untuk B(0) dengan 0 yang cukup kecil, maka deret Taylor fungsi h( ) cos disekitar 0 adalah
1 1 1 cos 1 dan, untuk \B(0), 1 1 1 cos 2 .
Lemma 2.3 Fungsi h( ) L1( ) dengan
1 1 1 , (0), ( ) 2 , \ (0). B h B
Bukti. Perhatikan bahwa
2 1 1 (0) \ (0) 1 2 2 4 ( ) . 2 B B h d d d
Dengan demikian, 1 ( ) ( ). h L ■ Jadi, untuk 0 2, 1
( ) ( ) ( ) . . u x u y ( ) ( ). C P V dy u x y
F F (5)
2 ( ) ( ). u u F F (6) Berdasarkan (5) dan (6), kita dapat mendefinisikan
2
2
1 ( ) ( ) ( , ) ( ) . . u x u y ( ) ( ). u x t C P V dy u u x y
F FAkibatnya, persamaan (4) menjadi
2 ( , ) ( ) ( , ). u x t C u x t t (7) Persamaan (7) dinamakan persamaan superdifusi.2.2 Penyelesaian Fundamental Persamaan Superdifusi
Bagian ini menjelaskan tentang penyelesaian fundamental dari persamaan superdifusi.
2 ( , ) ( , ), 0 2, ( , 0) ( ), . u x t u x t u x x x t Kemudian, dengan menggunakan transformasi Laplace dan Fourier,
1 ( , ) . 2 k t ik x G x t e e dk
(8) Selanjutnya,
1 1 ( , ) G x t t K xt (9) dengan 1 ( ) . 2 k ik y K y e e dk
Teorema 2.4 Jika G x t( , ), x , t0, adalah fungsi yang didefinisikan oleh persamaan (8), maka G x t( , ) memenuhi sifat :
1. simetris,
2. jika x , maka G x t( , )0,
3. positif, 4. normal. Bukti.
1. Untuk membuktikan G x t( , ) simetris, kita harus membuktikan ( , ) ( , ),
G x t G x t untuk setiap x . Berdasarkan persamaan (9), kita cukup membuktikan K( )y simetris, yaitu K( y) K( ),y untuk setiap
. y
2. Misalkan barisan
SN( )k
0 dengan0 ( ) : . ( 1) j N N j k S k j
Barisan
SN( )k
0 adalah barisan tak turun dan merupakan barisan fungsi terintegralkan di B(0)
k :k
, 1 (0) 0 1 2 ( ) . ( ) 1 j N N B j S k dk j j j
Perhatikan bahwa 0 ( ) : . ( 1) j N k N j k S k e j
Berdasarkan teorema kekonvergenan monoton, ek terintegralkan di B(0). Sekarang, misalkan (0) ( ) k , 0. B I e dk
Menurut [10], jika 0 2,
1
1 ( ) , , arg 2 . (1 ) 2 2 j p p j z E z O z z z j
Perhatikan bahwa k
0 (bilangan kompleks dengan arg), maka untuk 0 2, 1 1 ( 1) 0, . (1 ) (1 ) j j j p p k j j k k e k j j
Untuk pq,(0)\ (0) (0)\ (0) ( ) ( ) 0, , . q p q p k k B B B B I p I q
e dk
e dk p q Jadi, I( ) barisan Cauchy. Dengan kata lain,( ) k , . I
e dk Artinya, 1 ( ). k e L Akibatnya, dengan menggunakan teorema
Riemann-Lebesgue, kita mempunyai
lim ( ) 0. xK x Karena ek L1( ) dan ( ) 1 . 2 k ik y K y e e dk
Dengan demikian, 1 1 lim ( , ) lim ( ) 0. x G x t x t K xt 3. Selanjutnya, kita akan memeriksa kenonnegatifan G x t( , ). Pada [11], telah dibuktikan bahwa, untuk 0 1, E(z) fungsi monoton lengkap, yakni, untuk z , z0, ( 1) ( ) 0, 0,1, 2, . n n n d E z n dx Jadi, ek 0 sehingga G x t( , )0.
4. Terakhir, kita akan membuktikan, untuk t0, G( , )x t normal. Perhatikan bahwa 1 ( , ) ( , ) 1 2 1 2 1. k t ik x k t ix k G t G x t dx e e dkdx e dx e dk
Dengan kata lain, G x t( , ) normal.
3. KESIMPULAN DAN SARAN
Berdasarkan penelitian yang telah dilakukan diperoleh kesimpulan dan saran sebagai berikut.
3.1 Kesimpulan
Kesimpulan yang dapat diperoleh adalah :
1. Persamaan superdifusi yang diturunkan melalui proses gerak acak dengan menggunakan peluang arah lompatan adalah
2 ( , ) ( ) ( , ) u x t C u x t t 2. Penyelesaian fundamental dari persamaan superdifusi adalah fungsi Gaussian yang diperumum, yaitu
1 ( , ) , 0 2, 0, . 2 k t ik x G x t e e dk t x
Selanjutnya, sifat-sifat penyelesaian persamaan superdifusi meliputi sifat simetris, sifat di ketakberhinggaan, sifat positif, dan sifat normal.
3.2 Saran
Penelitian ini membahas tentang penurunan model salah satu proses difusi anomali, yaitu persamaan superdifusi, beserta penyelesaian fundamentalnya dan sifat-sifat penyelesaian di . Sebagai kelanjutan dari penelitian ini, penulis menyarankan agar penelitian selanjutnya membahas tentang kajian numerik proses difusi anomali.
DAFTAR PUSTAKA
[1] Adams, E. E. dan Gelhar, L. W., Field Study of Dispersion in a Heterogeneous
Aquifer 2. Spatial Moments Analysis, Water Resources Research, 28(12)
(1992), 3293-3307.
[2] Berkowitz, B., et. al., Modelling Non-Fickian Transport in Geological
Formations as a Continuous Time Random Walk, Reviews of Geophysics, 44
[3] Hatano, Y. dan Hatano, N., Dispersive Transport of Ions in Column
Experiments: An Explanation of Long-tailed Profiles, Water Resources
Research, 34(5), 1998, 1027-1033.
[4] Kilbas, A. A., Srivastava, H. M., dan Trujillo, J. J., Theory and Applications of
Fractional Differential Equations, Elsevier, 2006.
[5] Kruse, K. dan Iomin, A., Superdiffusion of Morphogens by Receptor-Mediated
Transport, Physics, 10 (2008).
[6] Labbẻ, R. dan Bustamante, G., Extreme Statistics, Gaussian Statistics, and
Superdiffusion in Global Magnitude Fluctuations in Turbulence, Physics of
Fluids, 24(10) (2012), p105103.
[7] Laffaldano, G., Caputo, M., dan Martino, S., Experimental and Theoretical
Memory Diffusion of Water in Sand, Hydrol. Earth Sys. Sci. Discuss, 2
(2005), 1329-1357.
[8] Murray, J. D., Mathematical Biology I: An Introduction, Third Edition, Springer-Verlag : Berlin, 2002.
[9] Pederson, T., Diffusional Protein Transport within the Nucleus: a Message in
the Medium, Nat. Cell Biol., 2 (2000), E73-E74.
[10] Podlubny, I., Fractional Differential Equations, Academic Press 198, 1999. [11] Pollard, H., The Completely Monotonic Character of the Mittag-Leffler
Function E(x)., Bull. Amer. Math. Soc., 54(12) (1948), 1115-1116.
[12] Schechter, M., Principles of Functional Analysis, Second Edition, American Mathematical Society, 2002.
[13] Stauffer, D., et. al., Superdiffusion in a Model for Diffusion in a Molecularly
[14] Valdinoci, E., From the Long Jump Random Walk to the Fractional
Laplacian, Bol. Soc. Esp. Mat. Apl., 49 (2009), 33-44.
[15] Zeidler, E., Applied Functional Analysis Applications to Mathematical
