Matekkim 2

(1)

Sistematika penulisan penyusunan bahan ajar

Sistematika penulisan penyusunan bahan ajar matakuliahmatakuliah

1.

1. Bagian Bagian AwalAwal a.

a. Halaman Halaman SampulSampul b.

b. Halaman Halaman pengesahanpengesahan c. Prakata

c. Prakata d.

d. Deskripsi Deskripsi Matakuliah Matakuliah (mencakup C(mencakup CP Lulusan P Lulusan dan Cdan CP MatakulP Matakuliah)iah) e.

e. Daftar Daftar IsiIsi

2.

2. Bagian Bagian IsiIsi

Bagian ini berisi pokok-pokok bahasan matakuliah yang disajikan dalam Bagian ini berisi pokok-pokok bahasan matakuliah yang disajikan dalam bentuk Bab-Bab yang merujuk pada Rencana Pembelajaran Matakuliah bentuk Bab-Bab yang merujuk pada Rencana Pembelajaran Matakuliah (RPS) yang telah disusun.

(RPS) yang telah disusun. a.

a. Judul Judul Bab/Topik Bab/Topik PembelajaranPembelajaran b.

b. Sub Sub Capaian Capaian PembelajarPembelajaran an Mata Mata kuliahkuliah c.

c. Isi/Materi Isi/Materi Topik Topik PembelajaranPembelajaran d. Rangkuman

d. Rangkuman e.

e. Lembar Lembar Pertanyaan/DiPertanyaan/Diskusiskusi

3.

3. Bagian Bagian AkhirAkhir a.

a. Daftar Pustaka (yang digunakaDaftar Pustaka (yang digunakan dalam menulin dalam menulis bahan ajar/diktat)s bahan ajar/diktat) sesuai dengan RPS.

sesuai dengan RPS.

Bagian awal, tengah/isi dan akhir ditulis dengan font Arial 11 dan

(2)

HANDOUT

MATEMATIKA TEKNIK KIMIA II

15P02355

3 SKS

TEKNIK KIMIA TEKNIK KIMIA FAKULTAS TEKNIK FAKULTAS TEKNIK

UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG

2017 2017

(3)

VERIFIKASI BAHAN AJAR

Pada hari ini Selasa tanggal 14 bulan Februari tahun 2017 Bahan Ajar Mata Kuliah Matematika Teknik Kimia 1, Program Studi Teknik Kimia, Fakultas Teknik telah diverifikasi oleh Ketua Jurusan/ Ketua Program Studi Teknik Kimia.

Semarang, 14 Februari 2017

Ketua Jurusan Teknik Kimia Tim Penulis

Dr. Wara Dyah Pita Rengga, S.T., M.T. Dhoni Hartanto, S.T., M.T., M.Sc.

(4)

PRAKATA

Mata kuliah Matematika Teknik Kimia II merupakan mata kuliah inti yang wajib diambil mahasiswa semester 4. Mata kuliah ini bertujuan agar mahasiswa dapat melakukan pemodelan pendekatan matematis untuk fenomena teknik kimia.

Mata kuliah ini merupakan mata kuliah teori yang merupakan kelanjutan dari Matematika Teknik Kimia I. Dalam kuliah ini mahasiswa akan mempelajari proses penyelesaian pemodelan matematis baik secara analitis maupun numerik.

Materi Matematika Teknik Kimia II antara lain :

1. Formulasi persamaan matematika (persamaan diferensial ordiner dan parsial).

2. Integrasi numerik.

3. Penyelesaian persamaan diferensial ordiner dan parsial secara numerik. 4. Penyusunan persamaan empiris.

Setelah mata kuliah ini, mahasiswa diharapkan mampu memiliki skill dalam membuat pemodelan dan menyelesaikan permasalahan Teknik Kimia secara matematis baik analitis maupun numerik.

(5)

DESKRIPSI MATAKULIAH

Capaian Pembelajaran Lulusan

Menerapkan pemikiran logis, kritis, sistematis, dan inovatif dalam konteks pengembangan atau implementasi ilmu pengetahuan dan/atau teknologi sesuai dengan bidang teknik kimia

Capaian Pembelajaran Mata Kuliah

Mahasiswa mampu menjelaskan fenomena pada suatu permasalahan teknik kimia kompleks dengan memformulasi menjadi persamaan matematis dan menyelesaikannya secara numerik dengan bantuan komputer.

(6)

DAFTAR PUSTAKA

Prakata 4

Daftar Isi 6

Bab I Persamaan Differensial Parsial (PDP) 8

Deskripsi Singkat 8

Capaian pembelajaran pertemuan 8

Isi Materi Kuliah: Metode penyelesaian differensial parsial: 9

A. Transformasi Laplace 9

B. Metode Pemisahan Variabel 9

C. Metode Kombinasi Variabel 9

Rangkuman 10

Pertanyaan/Diskusi 10

Bab II Persamaan Differensial Ordiner (PDO) dan Persamaan Differensial Parsial (PDP) dengan Metode Numerik

11

Deskripsi Singkat 11

Isi Materi Kuliah: Metode penyelesaian differensial parsial Metode PDP secara numerik:

12

A. Transformasi Laplace 12

B. Metode Pemisahan Variabel 12

C. Metode PDO secara numerik 13

Rangkuman 13

Bab III Integrasi Numerik 15

Isi Materi Kuliah: Metode penyelesaian integral dengan cara numerik: 16

A. Metode trapezoidal 16

B. Aturan Simpson 16

Rangkuman 17

(7)

Bab IV Penyusunan Persamaan Empiris 18

Isi Materi Kuliah: Model matematika 19

Rangkuman 20

Daftar Pustaka 21

(8)

BAB I

Persamaan Differensial Parsial (PDP)

A. Deskripsi singkat

Pada bab ini, mahasiswa akan mempelajari penyelesaian persamaan differensial parsial. Persamaan differensial parsial dapat diselesaikan dengan metode transformasi Laplace, metode pemisahan variabel, dan metode kombinasi variabel. Pada bab ini, mahasiswa diharapkan mampu menyelesaikan dengan cara analitis.

B. Capaian pembelajaran matakuliah Aspek Kognitif

Mahasiswa dapat mengaplikasikan teknik penyelesaian persamaan differensial parsial dengan cara analitis.

Aspek Proses

Mahasiswa mempresentasikan ide, melakukan diskusi, menjelaskan kembali, berargumentasi, menyempurnakan gagasan, dan menganalisis permasalahan persamaan differensial parsial.

Aspek Skills

Mahasiswa memiliki keterampilan membuat paparan presentasi, menyampaikan gagasan, berargumentasi, menyampaikan pertanyaan, dan menyelesaikan masalah persamaan differensial parsial.

Aspek Sikap

Mahasiswa menunjukkan sikap bertanggungjawab, cerdas, dan peduli dalam mempresentasikan dan mendiskusikan perkembangan pengetahuan terkait.

(9)

C. Isi Materi perkuliahan

Metode penyelesaian differensial parsial

 Transformasi Laplace

Metode Transformasi Laplace digunakan untuk menyelesaikan persoalan nilai awal. Selain itu, persamaan differensial parsial yang dapat diselesaikan harus linier. Tahap penyelesaiannya terdiri dari :

a) Operasikan transformasi laplace pada PDP dan kondisi batas dengan menggunakan kondisi awal. Operasi ini menghasilkan persamaan differensial biasa dengan variabel dependen dalam domain laplace

b) Selesaikan persamaan tersebut untuk mendapatkan pernyataan dari variabel dependen untuk domain laplace c) Operasikan invers transform pada hasil yang diperoleh

sehingga dihasilkan pernyataan dari variabel dependen dalam domain waktu.

 Metode Pemisahan Variabel

Syarat penggunaan metode ini adalah persoalan nilai batas, persamaan differensial harus linier dan homogen, serta kondisi batas harus homogen. Tahapan metode pemisahan variabel :

a) Lakukan pemisahan variabel untuk memperoleh dua persamaan differensial biasa

b) Selesaikan dengan kondisi batas untuk mendapatkan penyelesaian parsial

c) Mendapatkan penyelesaian total yang memenuhi kondisi awal.

 Metode Kombinasi Variabel

Metode ini digunakan bila keadaan fisik persoalan menunjukkan bahwa dua variabel dapat digabung menjadi satu variabel bebas. Metode ini dapat digunakan untuk penyelesaian initial value problem sebagaimana metode transformasi laplace. Contoh

(10)

aplikasinya adalag untuk problem perpindahan panas pada dinding semi infinite.

D. Rangkuman

PDP adalah suatu persamaan differensial yang mengandung fungsi yang tak diketahui (atau variabel bergantung) dan beberapa variabel bebas. PDP meliputi turunan-turunan parsial. Persamaan ini sangat penting dalam bidang teknik karena variabel penting dalam bidang teknik seringkali merupakan fungsi dengan lebih dari satu variabel bebas, dan pernyataan diferrensial dasar untuk hukum-hukum alam merupakan PDP. Suatu PDP dikatakan linier bila pangkat variabel dependen (juga turunannya) adalah satu dan tak ada perkalian antar dua atau lebih variabel dependen. Bila semua suku memiliki pangkat yang sama maka persamaan ini disebut homogen. Cara yang dapat dipakai untuk menyelesaikan PDP adalah transformasi laplace, metode pemisahan variabel, dan metode kombinasi variabel.

E. Pertanyaan/Diskusi

Selesaikan soal berikut menggunakan metode penyelesaian PDP.

1. Suatu papan yang sangat tebal (mendekati tak hingga) mula-mula pada suhu seragam T0. Tiba-tiba salah satu permukaan papan

dikontakkan dengan cairan panas pada suhu Ts. Tentukan distribusi

suhu di dalam papan.

2. Suatu batang dengan sisi samping terisolasi mempunyai suhu awal : T(x,0) = f(x). Tiba-tiba (saat t = 0), kedua ujung batang dikontakkan dengan air es (hingga kedua ujung memiliki suhu 0o C. Tentukan suhu di dalam batang sebagai fungsi x dan t.

(11)

BAB II

Persamaan Differensial Ordiner (PDO) dan Persamaan Differensial Parsial (PDP) dengan Metode Numerik

Pada bab ini, mahasiswa akan mempelajari penyelesaian PDO dan PDP secara numerik. Persamaan differensial parsial dapat diselesaikan dengan metode transformasi Laplace, metode pemisahan variabel, dan metode kombinasi variabel. PDO dapat diselesaikan dengan menggunakan metode deret dan fungsi khusus. Pada bab ini, mahasiswa diharapkan mampu menyelesaikan dengan cara numerik menggunakan bantuan komputer.

Mahasiswa dapat mengaplikasikan teknik penyelesaian PDO dan PDP dengan cara analitis dan numerik menggunakan bantuan komputer.

Aspek Proses

Mahasiswa mempresentasikan ide, melakukan diskusi, menjelaskan kembali, berargumentasi, menyempurnakan gagasan, dan menganalisis permasalahan PDP dan PDO secara numerik.

Aspek Skills

Mahasiswa memiliki keterampilan membuat paparan presentasi, menyampaikan gagasan, berargumentasi, menyampaikan pertanyaan, dan menyelesaikan masalah PDP dan PDO secara numerik.

(12)

Aspek Sikap

Metode PDP secara numerik :

 Transformasi Laplace

Metode Transformasi Laplace digunakan untuk menyelesaikan persoalan nilai awal. Selain itu, persamaan differensial parsial yang dapat diselesaikan harus linier. Tahap penyelesaiannya terdiri dari :

d) Operasikan transformasi laplace pada PDP dan kondisi batas dengan menggunakan kondisi awal. Operasi ini menghasilkan persamaan differensial biasa dengan variabel dependen dalam domain laplace

e) Selesaikan persamaan tersebut untuk mendapatkan pernyataan dari variabel dependen untuk domain laplace f) Operasikan invers transform pada hasil yang diperoleh

sehingga dihasilkan pernyataan dari variabel dependen dalam domain waktu.

 Metode Pemisahan Variabel

Syarat penggunaan metode ini adalah persoalan nilai batas, persamaan differensial harus linier dan homogen, serta kondisi batas harus homogen. Tahapan metode pemisahan variabel :

d) Lakukan pemisahan variabel untuk memperoleh dua persamaan differensial biasa

e) Selesaikan dengan kondisi batas untuk mendapatkan penyelesaian parsial

f) Mendapatkan penyelesaian total yang memenuhi kondisi awal.

(13)

 Metode Kombinasi Variabel

Metode ini digunakan bila keadaan fisik persoalan menunjukkan bahwa dua variabel dapat digabung menjadi satu variabel bebas. Metode ini dapat digunakan untuk penyelesaian initial value problem sebagaimana metode transformasi laplace. Contoh aplikasinya adalag untuk problem perpindahan panas pada dinding semi infinite.

Metode PDO secara numerik :

 Penyelesaian secara deret

Sebagian besar penyelesaian differensial diperoleh dalam bentuk deret tak berhingga. Salah satunya adalah deret pangkat. Deret ini disebut konvergen bila nilainya mendekati suatu harga berhingga ketika n mendekati harga tak berhingga. Deret lain yang bisa dipakai adalah deret Taylor.

 Metode Frobenius

Metode ini digunakan untuk mencari penyelesaian deret pangkat persamaan differensial linier orde dua dengan koefisien tidak konstan yang valid di sekitas x = 0.

 Persamaan Bessel

Merupakan fungsi khusus untuk menyelesaikan persamaan differensial linier orde dua.

 Fungsi Legendre, Fungsi Gamma, Fungsi Beta dan fungsi khusus

yang lain.

D. Rangkuman

PDO adalah persamaan yang mengandung beberapa turunan dari suatu fungsi.

F(x,y,y’,y’’...y(n))

PDP adalah suatu persamaan differensial yang mengandung fungsi yang tak diketahui (atau variabel bergantung) dan beberapa variabel bebas.

(14)

PDP meliputi turunan-turunan parsial. Persamaan ini sangat penting dalam bidang teknik karena variabel penting dalam bidang teknik seringkali merupakan fungsi dengan lebih dari satu variabel bebas, dan pernyataan diferrensial dasar untuk hukum-hukum alam merupakan PDP. Suatu PDP dikatakan linier bila pangkat variabel dependen (juga turunannya) adalah satu dan tak ada perkalian antar dua atau lebih variabel dependen. Bila semua suku memiliki pangkat yang sama maka persamaan ini disebut homogen. Cara yang dapat dipakai untuk menyelesaikan PDP adalah transformasi laplace, metode pemisahan variabel, dan metode kombinasi variabel.

Kedua jenis persamaan tersebut dapat diselesaikan baik dengan menggunakan metode analitis dan numerik menggunakan bantuan komputer.

1. Tentukan penyelesaian umum persamaan differensial berikut yang valid di sekitar x = 0. 0 2 2





y dx dy dx y d

2. Dengan metode Frobenius, tentukan penyelesaian umum persamaan differensial berikut yang valid di sekitar x = 0

0 ) 2 1 ( 2 ₂ 2









_y dx dy x dx y d x

(15)

BAB III Integrasi Numerik

Pada bab ini, mahasiswa akan mempelajari penyelesaian persamaan integral secara numerik menggunakan bantuan komputer. Persamaan integral dapat diselesaikan dengan metode trapezoidal, Simpson, Runge-Kutta, integrasi Gauss, dll.

Mahasiswa dapat mengaplikasikan teknik penyelesaian persamaan integral dengan cara numerik.

Aspek Proses

Mahasiswa mempresentasikan ide, melakukan diskusi, menjelaskan kembali, berargumentasi, menyempurnakan gagasan, dan menganalisis permasalahan persamaan integral dengan cara numerik.

Aspek Skills

Mahasiswa memiliki keterampilan membuat paparan presentasi, menyampaikan gagasan, berargumentasi, menyampaikan pertanyaan, dan menyelesaikan masalah persamaan integral dengan cara numerik.

Aspek Sikap

(16)

Metode penyelesaian integral dengan cara numerik

 Metode trapezoidal

Persamaan metode trapezoidal :



( ) ( )



2 ) ( ) ( ) ( ) ( 1 0 1 1 0 0 1 0 x f x f h x f c x f c x f c dx x f _i i i b a

















Aturan komposisi trapezoidal :















f (x ) 2f (x ) 2f (x ) 2 ( ) ( )



2 ) x ( f ) x ( f 2 h ) x ( f ) x ( f 2 h ) x ( f ) x ( f 2 h dx ) x ( f dx ) x ( f dx ) x ( f dx ) x ( f 1 i 1 0 n 1 n 2 1 1 0 x x x x x x b a n 1 n 2 1 1 0 n n f x x f h

_











 



_



 Aturan Simpson

Aturan Simpson 1/3 (Aproksimasi fungsi parabola)



( ) 4 ( ) ( )



3 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 1 0 2 2 1 1 0 0 2 0 x f x f x f h x f c x f c x f c x f c dx x f _i i i b a

















Aturan Simpson 3/8 (Aproksimasi fungsi kubik)



( ) 3 ( ) 3 ( ) ( )



8 3 ) x ( f c ) x ( f c ) x ( f c ) x ( f c ) ( ) ( 3 2 1 0 3 3 2 2 1 1 0 0 3 0 x f x f x f x f h x f c dx x f _i i i b a

















(17)

D. Rangkuman

Di dalam kalkulus, terdapat dua hal penting yaitu integral dan turunan(derivative). Pengintegralan numerik merupakan alat atau cara yang digunakan oleh ilmuwan untuk memperoleh jawaban hampiran (aproksimasi) dari pengintegralan yang tidak dapat atau sulit diselesaikan secara analitik. Perhitungan integral adalah perhitungan dasar yang digunakan dalam kalkulus, dalam banyak keperluan digunakan untuk menghitung luas daerah yang dibatasi oleh fungsi y = f(x) dan sumbu x. Penerapan integral : menghitung luas dan volume-volume benda putar

Bandingkan penyelesaian integral



1

0 2

dx

(18)

BAB IV

Penyusunan Persamaan Empiris

Pada bab ini, mahasiswa akan mempelajari proses sintesis persamaan empiris dari suatu fenomena yang berhubungan dengan Teknik Kimia yang berhubungan dengan persamaan differensial dan integral untuk kemudian diselesaikan dengan menggunakan metode analitik dan atau numerik.

Mahasiswa dapat mensintesis persamaan empiris dari suatu fenomena yang berhubungan dengan Teknik Kimia yang berhubungan dengan persamaan differensial dan integral dan menyelesaikan persamaan tersebut

Aspek Proses

Mahasiswa mempresentasikan ide, melakukan diskusi, menjelaskan kembali, berargumentasi, menyempurnakan gagasan, dan menganalisis permasalahan proses sintesis persamaan empiris.

Aspek Skills

Mahasiswa memiliki keterampilan membuat paparan presentasi, menyampaikan gagasan, berargumentasi, menyampaikan pertanyaan, dan menyelesaikan masalah proses sintesis persamaan empiris.

(19)

Model matematika: didefinisikan secara luas sebagai rumus atau persamaan yang menyatakan ciri pokok sistem fisik atau proses dalam bahasa matematika.

Model dapat diwakili sebagai hubungan fungsional berbentuk:















penggerak fungsi parameter, , bebas variabel bebas tak Variabel f

Variabel tak bebas: karakteristik yang biasanya mencerminkan perilaku atau keadaan sistem

Variabel bebas: biasanya dimensi, seperti waktu dan ruang, sepanjang mana perilaku sistem ditentukan

Parameter: merupakan cerminan sifat-sifat atau komposisi sistem Fungsi penggerak: pengaruh luar yang bekerja pada sistem.

Model matematika menggambarkan proses alam atau sistem dalam bahasa matematikaModel matematika mewakili idealisasi dan simplifikasi realitas. Yakni, model tersebut mengabaikan detail dari proses alam dan menfokuskan pada manifestasi intinya. Jadi, hukum Newton II tidak memasukkan pengaruh relativitas yang pengaruhnya kecil ketika dikenakan pada benda dan gaya yang berinteraksi pada atau disekitar permukaan bumi pada kecepatan dan pada skala yang tampak mata manusia. Model matematika menghasilkan hasil yang dapat diulangi, dan sebagai akibatnya, dapat digunakan untuk tujuan prediksi. Sebagai contoh, jika gaya pada benda dan massanya diketahui, persamaan diatas dapat digunakan untuk menghitung percepatan.

(20)

D. Rangkuman

Model yang sering digunakan dalam teknik kimia:

a. Model fisik : realisasi fisik seperti apa adanya tetapi berukuran lebih kecil dan konstruksinya lebih sederhana dibandingkan dengan prototipe yang dimodelkan dan yang diwakili.

b. M o d e l k o n s e p t u al : saran atau usulan pernyataan realisasi fisik yang dinyatakan dalam bahasa yang sesuai dimana dalam teknik bahasa yang paling sering digunakan adalah bahasa matematika yang umumnya disebut persamaan atau model matematika.

Model matematika hanyalah merupakan suatu pendekatan dari suatu proses nyata yang tidak dapat menggambarkan secara rinci fenomena fisika, baik makroskopis maupun mikroskopis, yang menyertai proses tersebut. Uji plant tetap dibutuhkan untuk mengkonfirmasi validitas model dan membuktikan ide dan rekomendasi penting yang timbul dari studi model.

Jawab benar atau salah dan diskusikan jawaban anda:

a. Saat ini perhatian dapat lebih diberikan kepada masalah formulasi matematika proses teknik kimia dan interpretasinya karena komputer dan metoda numerik menfasilitasi penyelesaian problema teknik kimia.

b. Hukum kedua Newton merupakan contoh yang bagus dari fakta bahwa sebagian besar hukum-hukum fisika didasarkan pada laju perubahan besaran daripada pada besarnya besaran.

c. Model matematika seharusnya tidak pernah digunakan untuk tujuan prediksi.

(21)

Daftar Pustaka

1. Constantinides, A. & Navid Mostoufi.1999. Numerical Methods for Chemical Engineers with MATLAB Application.Prentice Hall.

2. Finlayson, B.A.2006. Introduction To Chemical Engineering Computing.John Wiley & Sons.

3. Raman, R. 1985.Chemical Process Computations. Elsevier Applied Science Publishers

4. Rice, R.G. & Do, D.D.1995.Applied Mathematics and Modelling for Chemical Engineers. John W iley & Sons