BAB IV KOMBINATORIK
A. Aturan pengisian tempat (filling slots)
BAB IV
Contoh 4 :
Sembilan orang siswa akan duduk pada 5 kursi sejajar. Ada berapa cara susunan mereka ? Solusi :
Kursi pertama ada 9 kemungkinan. Karena seorang siswa tidak akan mungkin duduk pada 2 kursi dalam waktu yang bersamaan maka banyaknya kemungkinan yang duduk pada kursi kedua tinggal 8.
Dan seterusnya.
Banyaknya cara susunan mereka adalah 9 x 8 x 7 x 6 x 5 = 15120.
Contoh 5 :
Dari lima angka 0, 3, 4, 5, 7 akan dibentuk sebuah bilangan yang terdiri dari 4 angka. Berapa banyak bilangan yang dapat dibentuk jika :
a) angka-angkanya boleh berulang b) angka-angkanya tidak boleh berulang Solusi :
a) Angka pertama sebagai ribuan dapat dipilih 4 kemungkinan yaitu 3, 4, 5 atau 7. Angka 0 tidak mungkin menjadi angka pertama sebab akan menyebabkan bilangan yang dibentuk hanya terdiri dari 3 angka. Karena boleh berulang maka angka ratusan, puluhan dan satuan masing-masing dapat dipilih 5 kemungkinan.
Banyaknya bilangan yang terbentuk ada 4 x 5 x 5 x 5 = 500 bilangan.
b) Angka pertama sebagai ribuan dapat dipilih 4 cara. Karena tidak boleh berulang sedangkan satu angka sudah dipakai pada angka pertama maka banyaknya cara memilih angka kedua hanya tinggal 4 cara. (Misalkan angka pertama dipilih 3 maka pilihan pada angka kedua adalah 0, 4, 5 atau 7.) Banyaknya pilihan pada angka ketiga ada 3 cara dan banyaknya pilihan pada angka keempat ada 2 cara.
Banyaknya bilangan yang dapat dibentuk ada 4 x 4 x 3 x 2 = 96 bilangan.
Contoh 6 :
Denny akan membentuk bilangan genap 3 angka yang angka-angkanya diambil dari 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.
Berapa banyak bilangan yang dapat dibentuk jika : a) angka-angkanya boleh berulang
b) angka-angkanya tidak boleh berulang Solusi :
a) Angka pertama sebagai ratusan dapat dipilih 7 kemungkinan. Angka kedua dapat dipilih juga dari 7 kemungkinan. Karena bilangan tersebut genap maka angka satuan hanya dapat dipilih dari 4 kemungkinan yaitu 2, 4, 6 atau 8.
Banyaknya bilangan yang terbentuk ada 7 x 7 x 4 = 196 bilangan.
b) Sebuah bilangan dikatakan genap atau ganjil cukup dengan melihat angka satuannya. Karena bilangan tersebut genap maka pemilihan pertama dilakukan pada angka satuan. Angka satuan dapat dipilih dari 4 kemungkinan, yaitu 2, 4, 6 atau 8. Angka puluhan dapat dipilih dari 6 cara sedangkan angka ratusan dapat dipilih dari 5 kemungkinan.
Banyaknya bilangan yang dapat dibentuk ada 5 x 6 x 4 = 120 bilangan.
Contoh 7 :
Dari tujuh angka 1, 3, 5, 6, 7, 8, 9, Furkan akan membentuk sebuah bilangan 3 angka dan lebih dari 600. Berapa banyak bilangan yang dapat dibentuk jika :
a) angka-angkanya boleh berulang b) angka-angkanya tidak boleh berulang
Solusi :
Sebuah bilangan 3 angka dikatakan lebih dari 600 jika digit ratusan sekurang-kurangnya 6.
a) Angka pertama sebagai ratusan dapat dipilih 4 kemungkinan, yaitu 6, 7, 8 atau 9. Angka kedua dapat dipilih juga dari 7 kemungkinan. Angka satuan juga dapat dipilih dari 7 kemungkinan.
Banyaknya bilangan yang terbentuk ada 4 x 7 x 7 = 196 bilangan.
b) Angka pertama sebagai ratusan dapat dipilih 4 kemungkinan, yaitu 6, 7, 8 atau 9. Angka puluhan dapat dipilih dari 6 cara sedangkan angka satuan dapat dipilih dari 5 kemungkinan.
Banyaknya bilangan yang dapat dibentuk ada 4 x 6 x 5 = 120 bilangan.
Contoh 8 :
Hansen mendapatkan tugas membentuk sebuah bilangan tiga angka kurang dari 500 yang angka-angka adalah 2, 3, 4, 5, 6, 7 atau 9. Berapa banyak bilangan yang dapat dibentuk jika :
a) angka-angkanya boleh berulang b) angka-angkanya tidak boleh berulang Solusi :
Sebuah bilangan 3 angka dikatakan kurang dari 500 jika digit ratusan kurang dari 5.
a) Angka pertama sebagai ratusan dapat dipilih 3 kemungkinan, yaitu 2, 3 atau 4. Angka kedua dapat dipilih dari 7 kemungkinan. Angka satuan juga dapat dipilih dari 7 kemungkinan.
Banyaknya bilangan yang terbentuk ada 3 x 7 x 7 = 147 bilangan.
b) Angka pertama sebagai ratusan dapat dipilih 3 kemungkinan, yaitu 2, 3 atau 4. Angka puluhan dapat dipilih dari 6 cara sedangkan angka satuan dapat dipilih dari 5 kemungkinan.
Banyaknya bilangan yang dapat dibentuk ada 3 x 6 x 5 = 90 bilangan.
Contoh 9 :
Dari tujuh angka 1, 3, 4, 5, 6, 8, 9 akan dibentuk sebuah bilangan 3 angka dan lebih dari 500. Berapa banyak bilangan genap yang dapat dibentuk jika :
a) angka-angkanya boleh berulang b) angka-angkanya tidak boleh berulang Solusi :
a) Angka pertama sebagai ratusan dapat dipilih 4 kemungkinan, yaitu 5, 6, 8 atau 9. Angka kedua dapat dipilih dari 7 kemungkinan. Angka satuan dapat dipilih dari 3 kemungkinan.
Banyaknya bilangan yang terbentuk ada 4 x 7 x 3 = 84 bilangan.
b) Pada bagian inilah timbul sebuah permasalahan.
Jika kita menjawab banyaknya bilangan adalah 4 x 5 x 3 dengan alasan bahwa banyaknya bilangan yang mungkin untuk angka ratusan ada 4 dan angka satuan ada 3 sedangkan sisa bilangan tinggal 5 maka jawaban tersebut adalah keliru. Jika angka ratusan yang dipilih adalah 5 atau 9 maka banyaknya kemungkinan angka satuan memang benar ada 3 yaitu 4, 6 atau 8. Tetapi bila angka ratusan yang dipilih adalah 6 atau 8 maka angka satuan yang mungkin dipilih hanya tinggal 2.
Sedangkan jika kita menjawab banyaknya bilangan adalah 4 x 5 x 2 juga mengandung kesalahan dengan alasan bahwa jika angka ratusan yang kita pilih adalah 5 atau 9 maka kemungkin angka satuan yang dipilih adalah tetap 3. Lalu bagaimana cara kita menjawab soal ini ?
Ada dua alternatif yang akan dibahas.
Alternatif 1 :
Sudah dijelaskan bahwa banyaknya kemungkinan untuk angka ratusan ada 4 namun pemilihan angka ratusan ternyata menimbulkan dampak yang berbeda untuk angka satuan. Maka penyelesaian soal ini adalah dengan membagi kasus terhadap pemilihan angka ratusan.
Kasus pertama adalah jika angka ratusannya adalah 5 atau 9. Banyaknya cara memilih angka ratusan ada 2. Banyaknya kemungkinan angka satuan tetap ada 3 sedangkan angka puluhan tinggal 5 kemungkinan. Banyaknya bilangan untuk kasus pertama ini adalah 2 x 5 x 3 = 30 bilangan.
Kasus kedua adalah jika angka ratusannya adalah 6 atau 8. Banyaknya cara memilih angka ratusan ada 2, yaitu 6 atau 8 tersebut. Banyaknya kemungkinan angka satuan tinggal 2. Penjelasannya adalah jika angka ratusan yang dipilih adalah 6 maka kemungkinan angka satuannya adalah 4 atau 8 sedangkan jika angka ratusan yang dipilih adalah 8 maka kemungkinan angka satuannya adalah 4 atau 6. Sedangkan angka puluhan tinggal 5 kemungkinan. Banyaknya bilangan untuk kasus kedua ini adalah 2 x 5 x 2 = 20 bilangan.
Banyaknya bilangan yang dapat dibentuk ada 30 + 20 = 50 bilangan.
Alternatif 2 :
Caranya sebenarnya sama dengan alternatif 1, tetapi kita memulainya dari angka satuan.
Kita bagi kasus pemilihan angka satuan menjadi 2 kasus.
Kasus pertama adalah jika angka satuan yang dipilih adalah 4. Banyaknya cara memilih hanya ada 1. Angka ratusan yang dipilih tetap ada 4 kemungkinan yaitu 5, 6, 8 atau 9. Sedangkan angka puluhan tinggal 5 kemungkinan. Banyaknya bilangan untuk kasus pertama ini adalah 1 x 5 x 4 = 20 bilangan.
Kasus kedua adalah jika angka satuan yang dipilih adalah 6 atau 8. Banyaknya cara memilih ada 2.
Angka ratusan yang dipilih tinggal 3 kemungkinan. Sedangkan angka puluhan tinggal 5 kemungkinan. Banyaknya bilangan untuk kasus kedua ini adalah 2 x 5 x 3 = 30 bilangan.
Banyaknya bilangan yang dapat dibentuk ada 20 + 30 = 50 bilangan.
LATIHAN 1.A
1. Berapa banyak cara menyusun huruf-huruf K, A, N, T, O, R jika a. huruf pertama dimulai dari huruf hidup (vokal)
b. huruf pertama dimulai dari huruf mati (konsonan)
2. Tujuh orang siswa akan duduk pada 7 kursi sejajar. Ada berapa cara susunan mereka ?
3. Suatu keluarga terdiri dari 2 orang putera dan 3 orang puteri. Apabila kelima orang tersebut berdiri sejajar dengan posisi yang putra selalu mengapit yang putri, maka ada berapa formasi yang mungkin ?
4. Sebagai panitia perlombaan sepakbola, Furkan mencoba menyusun tujuh buah bendera A, B, C, D, E, F dan G pada posisi sejajar. Ada berapa banyak cara penyusunan jika diinginkan bendera A dan B berada di ujung ?
5. Weki mencoba membentuk sebuah bilangan 3 angka dengan angka-angkanya tidak boleh ada yang sama dan angka-angka tersebut diambil dari 3, 5, 6, 7, 8 dan 9. Ada berapa banyak bilangan yang dapat dibentuk ?
6. Ada berapa banyak bilangan positif genap terdiri dari 5 angka berbeda dapat dibuat jika tidak ada satu pun angka 5 serta angka ribuan harus angka 0 ?
7. Pada sebuah klub dansa, terdapat 6 laki-laki dan 6 perempuan yang akan melakukan latihan.
Dalam latihan ini, laki-laki harus dipasangkan dengan perempuan. Ada berapa banyak carakah membentuk 6 pasangan ini ?
8. Edwin sedang menyusun suatu bilangan tiga angka dengan angka-angka : 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8. Jika bilangan itu tidak memuat angka yang sama, maka ada berapa banyaknya bilangan yang dapat dibentuk dengan syarat bilangan tersebut genap ?
9. Dari angka 3, 5, 6, 7 dan 8 dibuat bilangan yang terdiri dari tiga angka berbeda. Di antara bilangan-bilangan tersebut yang terletak antara 300 dan 800 ada sebanyak ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
10. Dari angka-angka : 1, 2, 4, 5, 7, 8 akan disusun suatu bilangan yang terdiri atas 3 angka. Jika bilangan itu tidak memuat angka yang sama, maka ada berapa banyaknya bilangan yang dapat dibentuk dengan syarat bilangan tersebut lebih dari 245 ?
11. (OSK 2003) Ada berapa banyak bilangan 4-angka (digit) yang semua angkanya genap dan bukan merupakan kelipatan 2003 ?
12. Sebuah bilangan 4 angka dibentuk dengan 3 angka di antaranya adalah 3, 4 dan 6. Jika keempat angkanya berbeda serta bilangan tersebut habis dibagi 3, maka ada berapa bilangan yang dapat dibentuk ?
13. Hansen sedang membentuk sebuah bilangan 3 angka kurang dari 600 yang angka-angkanya diambil dari 0, 3, 4, 6, 7, 8 dan 9. Ada berapa banyak bilangan yang dapat dibentuk jika :
a. angka-angkanya boleh berulang b. angka-angkanya tidak boleh berulang
14. Ada berapa banyak bilangan yang dapat dibentuk oleh Furkan dengan syarat : bilangan tersebut 4 angka, lebih dari 4000 dan angka-angkanya diambil dari 0, 1, 3, 4, 5, 6, 7, dan 9 ?
a. angka-angkanya boleh berulang b. angka-angkanya tidak boleh berulang
15. Putu Wira sedang merancang sebuah bendera 6 strip vertikal. Warna masing-masing strip vertikal harus menggunakan sebagian atau keseluruhan warna kuning, hijau, biru atau merah. Dalam berapa banyak rancangan ini dapat dibuat bila dua strip berdekatan tidak boleh berwarna sama ? 16. Dari angka-angka : 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8 akan disusun suatu bilangan ganjil yang tediri atas 3 angka.
Jika bilangan itu tidak memuat angka yang sama dan kurang dari 500, maka ada berapa banyaknya bilangan yang dapat dibentuk ?
17. Ada berapa banyak bilangan genap 3 angka, angka-angkanya tidak berulang dan kurang dari 600 dapat dibentuk jika angka-angkanya diambil dari 0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8 ?
18. (OSK 2004) Nomor polisi mobil-mobil di suatu daerah selalu terdiri dari 4 angka. Jika jumlah keempat angka pada setiap nomor juga harus genap serta angka 0 tidak boleh menjadi angka pertama, maka ada berapa banyak sistem penomoran mobil yang dapat dibentuk ?
19. Buah benteng pada permainan catur mempunyai kemampuan untuk bergerak atau ”memakan”
buah lawan pada petak-petak yang berada pada satu garis horizontal atau satu garis vertikal dengan dirinya. Hansen mencoba menyusun 3 buah benteng yang ketiganya dianggap berbeda warna pada papan catur 8 x 8 sehingga ketiga benteng tersebut tidak saling ”makan”. Ada berapa cara penyusunan yang dapat dilakukannya ?
20. Pada suatu turnamen diikuti oleh 6 tim dengan sistem pertandingan sebagai berikut : Tim F melawan Tim E dan tim yang kalah sebagai juara 6 sedangkan yang menang menghadapi tim D.
Yang kalah sebagai juara 5 sedangkan pemenangnya menghadapi tim C. Yang kalah sebagai juara 4 sedangkan pemenangnya menghadapi tim B. Yang kalah sebagai juara 3 sedangkan pemenangnya menghadapi tim A. Yang kalah sebagai juara 2 sedangkan pemenangnya juara 1.
Ada berapa banyak susunan juara yang dapat dibuat ?