BAB IV KOMBINATORIK
B. Permutasi
Contoh 12 :
Ada berapa banyak bilangan terdiri dari 3 angka berbeda yang disusun dari angka-angka 1, 2, 3, 4 dan 5 ?
Solusi :
Dari bahasa soal, kita dapat menarik kesimpulan bahwa jika menggunakan aturan pengisian tempat maka bilangan tersebut masuk dalam kategori tidak berulang (lihat penjelasan sebelumnya).
Karena 123 dianggap berbeda dengan 231 maka berarti urutan diperhatikan.
Kita dapat menghitung banyaknya susunan dengan permutasi 3 unsur yang diambil dari 5 unsur berbeda.
Banyaknya bilangan adalah 5P3 = 60 bilangan.
Contoh 13 :
Berapa banyak bilangan dapat dibentuk dari sebagian atau semua angka 2, 3, 4, 5 jika tidak boleh ada angka yang diulang ?
Solusi :
Bilangan yang digunakan dapat hanya terdiri dari 1, 2, 3 atau 4 angka.
Jika bilangan tersebut terdiri dari 1 angka saja maka banyaknya bilangan = 4P1. Jika bilangan tersebut terdiri dari 2 angka saja maka banyaknya bilangan = 4P2. Jika bilangan tersebut terdiri dari 3 angka saja maka banyaknya bilangan = 4P3. Jika bilangan tersebut terdiri dari 4 angka maka banyaknya bilangan = 4P4.
Banyaknya bilangan dapat dibentuk adalah 4P1 + 4P2 + 4P3 + 4P4 = 4 + 12 + 24 + 24 = 64
Contoh 14 :
Ada berapa banyak cara memilih 3 orang siswa dari 8 orang siswa yang akan ditunjuk sebagai Ketua, Wakil Ketua dan Sekretaris ?
Solusi :
Perhatikan bahwa pada soal ini urutan diperhatikan. Misalkan 3 siswa yang terpilih adalah A, B dan C. Dengan intuisi, jelas bahwa jika A sebagai Ketua, B sebagai Wakil Ketua dan C sebagai Sekretaris berbeda susunannya jika A sebagai Ketua, C sebagai Wakil Ketua dan B sebagai Sekretaris.
Maka penyelesaian soal ini dapat dilakukan dengan permutasi 3 obyek yang dipilih dari 8 obyek.
Banyaknya cara adalah 8P3 = (88−!3)! = 8x75x!6x5!= 8 x 7 x 6 = 336 cara.
Contoh 15 :
Sembilan orang siswa akan duduk pada lima kursi sejajar. Ada berapa cara susunan yang dapat mereka buat ?
Solusi :
Banyaknya susunan adalah 9P5 = 15120.
2) Permutasi Yang Memuat Beberapa Unsur Yang Sama
Pada contoh 10, huruf-huruf yang disediakan semuanya berbeda yaitu P, Q dan R. Bagaimana jika huruf-huruf yang disediakan ada yang sama. Misalkan pada contoh berikut :
Contoh 16 :
Misalkan dari huruf-huruf P, P dan Q akan dibuat susunan yang terdiri dari 3 huruf maka ada berapa banyak susunan yang dapat dibuat ?
Solusi :
Kita tidak bisa langsung menjawab bahwa banyaknya susunan adalah 3P3 = 6 karena dalam kenyataannya banyaknya susunan hanya ada 3, yaitu PPQ, PQP dan QPP.
Banyaknya permutasi n unsur yang memuat k unsur yang sama, m unsur yang sama dan p unsur yang sama dengan k + m + p ≤ n ditentukan dengan rumus
!
!
!
! p m k P n
⋅
= ⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (1.B.2.1)Pada contoh 16, ada 3 unsur yaitu P, P dan Q dengan terdapat 2 unsur P yang sama maka banyaknya susunan adalah 23!! = 3.
Contoh 17 :
Ada berapa banyak susunan yang dapat dibentuk dari huruf-huruf T, E, R, C, E, C, E, R?
Solusi :
Banyaknya unsur ada 8 dengan terdapat 3 huruf E yang sama, 2 huruf R yang sama dan 2 huruf C yang sama, maka banyaknya susunan = 3!⋅28!!⋅2! = 8(3x7x2x6x1x)(52x4x1x)(32x2x1x)1 = 1680 susunan.
Contoh 18 :
Ada berapa banyaknya bilangan 7 angka berbeda yang dapat dibentuk dengan cara mengubah susunan angka dari 3464383 (termasuk bilangan 3464383 itu sendiri) ?
Solusi :
Banyaknya angka ada 7 dengan terdapat angka 3 muncul 3 kali dan angka 4 muncul 2 kali.
Maka banyaknya bilangan yang dapat dibentuk adalah = 3!7⋅2!! = 420.
Contoh 19 :
Perhatikan gambar.
Jika seseorang akan berjalan dari titik A ke titik B. Ada berapa banyak cara jalan terpendek yang dapat dipilihnya ?
Solusi :
Jalan terpendek yang bisa dipilih orang tersebut adalah jika ia memilih jalan ke kanan atau ke atas tanpa berjalan ke kiri atau ke bawah.
Misalkan jika berjalan ke kanan diberi tanda 1 dan jika ke atas diberi tanda 2.
Jadi jika 12111211212 maka orang tersebut berjalan ke kanan lalu ke atas lalu ke kanan tiga kali lalu ke atas lalu ke kanan dua kali lalu ke atas lalu ke kanan lalu ke atas.
Maka persoalan di atas adalah mencari banyaknya susunan 12111211212 yang merupakan permutasi berulang 11 angka dengan terdapat 7 angka 1 yang sama dan 4 angka 2 yang sama.
Banyaknya susunan adalah 711!⋅4!! = 330.
Jadi, banyaknya cara jalan terpendek yang dapat dipilih orang tersebut adalah 330.
3) Permutasi Siklis
Bagaimana jika terdapat beberapa orang yang duduk dalam suatu lingkaran (siklis) ? Ada berapa cara menyusun semuanya ? Persoalan inilah yang berhubungan dengan permutasi siklis.
Misalkan tersedia n unsur yang berbeda.
Banyaknya permutasi siklis dari n unsur tersebut dirumuskan dengan :
P(siklis) = (n − 1)! ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (1.B.3.1)
Contoh 20 :
Jika terdapat tiga orang yang duduk pada tiga kursi yang membentuk suatu lingkaran, maka ada berapa banyak susunan yang mungkin terjadi ?
Solusi :
Jika mereka duduk pada kursi yang sejajar maka dengan kaidah perkalian didapat banyaknya susunan adalah 3 x 2 x 1 = 6. Atau jika dengan permutasi didapat 3P3 = 6.
Tetapi karena kursi yang mereka duduki membentuk lingkaran maka hal tersebut berbeda.
Perhatikan gambar di bawah!
Gambar 1 Gambar 2
Pada gambar 1, jika kita membacanya searah jarum jam maka : a. Jika A sebagai urutan pertama maka didapat susunan ABC b. Jika B sebagai urutan pertama maka didapat susunan BCA c. Jika C sebagai urutan pertama maka didapat susunan CAB
Ketiga susunan ABC, BCA dan CAB adalah susunan yang sama yang dalam permutasi siklis baru dianggap sebagai satu susunan.
Pada gambar 2, jika kita membacanya searah jarum jam maka : a. Jika A sebagai urutan pertama maka didapat susunan ACB b. Jika B sebagai urutan pertama maka didapat susunan BAC c. Jika C sebagai urutan pertama maka didapat susunan CBA
Ketiga susunan ACB, BAC dan CBA adalah susunan yang sama yang dalam permutasi siklis sehingga baru dianggap sebagai satu susunan.
Banyaknya susunan 3 orang yang duduk pada kursi yang membentuk lingkaran = (3 − 1)! = 2! = 2 susunan.
Kalau kita perhatikan hal tersebut, maka didapat langkah-langkah dalam membuat suatu susunan pada permutasi siklis adalah :
1. Tetapkan sebuah obyek (unsur) sebagai pedoman
2. Kemudian permutasikan unsur-unsur yang tersisa seperti pada persoalan sebelumnya.
Pada contoh 20 kita misalkan A sebagai patokan, maka sisanya dapat kita permutasikan (dapat juga diselesaikan dengan aturan pengisian tempat atau kaidah perkalian). Sisa unsur yang ada tinggal 2 yaitu A dan B. Banyaknya susunan B dan C adalah 2 x 1 = 2, yaitu BC dan CB. Maka semua susunan yang mungkin adalah ABC dan ACB.
Contoh 21 :
Jika terdapat empat orang yang duduk pada empat kursi yang membentuk suatu lingkaran, maka ada berapa banyak susunan yang mungkin terjadi ?
Solusi :
Dengan rumus kita dapatkan banyaknya susunan adalah (4 − 1)! = 3! = 6 susunan.
Jika kita misalkan keempat orang tersebut adalah A, B, C dan D dan kita misalkan A sebagai pedoman, maka tiga unsur sisanya yaitu B, C dan D dapat disusun dengan 3 x 2 x 1 = 6 cara yaitu BCD, BDC, CBD, CDB, DBC dan DCB.
Jadi kemungkinan susunan empat orang tersebut adalah ABCD, ABDC, ACBD, ACDB, ADBC dan ADCB. Gambar berikut merupakan susunan ke-6 kemungkinan tersebut.
LATIHAN 1.B
1. Tentukan nilai n yang yang memenuhi persamaan ((nn++45))!! = 6n.
2. Jika diketahui nP4 = 30 ⋅ nP2, maka tentukan nilai n.
3. Ada berapa banyaknya susunan huruf yang dapat dibentuk dari huruf-huruf : a. F, U, R, K, A, N ?
b. D, E, N, N, Y ? c. H, A, N, S, E, N ? d. A, H, M, A, D, I ?
e. R, O, M, B O, N, G, A, N ?
f. O, L, I, M, P, I, A, D, E ? g. M, A, T, E, M, A, T, I, K, A ?
4. (OSP 2006) Ada berapa banyaknya bilangan 7 angka berbeda yang dapat dibentuk dengan cara mengubah susunan angka dari 2504224 ?
5. Banyaknya bilangan tiga angka yang memiliki sedikitnya satu buah angka 4 dan satu buah angka 5 adalah ···
6. Banyaknya bilangan 5 angka yang memenuhi hasil kali angka-angkanya sama dengan 45 ada ⋅⋅⋅⋅⋅⋅
7. Dalam suatu rapat OSIS yang terdiri dari 6 orang siswa ( 2 di antara kakak beradik ) dalam posisi melingkar. Ada berapa formasi duduk melingkar yang bisa terbentuk jika kakak beradik tersebut harus berdekatan ?
8. Sama dengan nomor 5 tetapi kakak beradik tersebut tidak boleh berdekatan.
9. (OSP 2003) Empat pasang suami isteri menonton pagelaran orkestra. Tempat duduk mereka harus dipisah antara kelompok suami dan kelompok isteri. Untuk masing-masing kelompok disediakan 4 buah tempat duduk bersebelahan dalam satu barisan. Ada berapa banyak cara memberikan tempat duduk kepada mereka ?
10. (OSP 2009) Seekor semut hendak melangkah ke makanan yang berada sejauh 10 langkah di depannya. Semut tersebut sedang mendapatkan hukuman, ia hanya boleh melangkah ke depan sebanyak kelipatan tiga langkah dan selebihnya harus melangkah ke belakang. Tentukan banyaknya cara melangkah agar bisa mencapai makanan, jika ia harus melangkah tidak lebih dari dua puluh langkah. (Catatan : jika semut melangkah dua kali dimana masing-masing melangkah sekali ke belakang, maka dianggap sama saja dengan dua langkah ke belakang.)