TEORI BILANGAN

BAB II

2. SIFAT-SIFAT KETERBAGIAN

Definisi : Sebuah bilangan bulat a dikatakan membagi b jika terdapat bilangan bulat k sehingga b = a ⋅ k.

Beberapa hal berkaitan dengan pembagian adalah sebagai berikut :

1.1 Misalkan a, b, c, x dan y bilangan bulat, maka sifat-sifat di bawah ini berlaku : (1) a⏐a (semua bilangan bulat membagi dirinya sendiri)

(2) a⏐0 (semua bilangan bulat membagi 0) (3) 1⏐a (satu membagi semua bilangan bulat) (4) Jika a⏐1 maka a = ±1

(5) Jika a⏐b maka a⏐xb

(6) Jika ab⏐c maka a⏐c dan b⏐c (7) Jika a⏐b dan b⏐c maka a⏐c

(8) Jika a⏐b dan a⏐c maka a⏐(bx + cy) (9) Jika a⏐b maka xa⏐xb

(10) Jika a⏐b dan b ≠ 0 maka ⏐a⏐ ≤ ⏐b⏐

(11) Jika a⏐b dan b⏐a maka a = ±b

(12) Jika a⏐bc dan FPB(a, b) = 1 maka a⏐c (13) 0⏐a hanya jika a = 0

1.2 Jika suatu bilangan habis dibagi a dan juga habis dibagi b, maka bilangan tersebut akan habis dibagi ab dengan syarat a dan b relatif prima. Berlaku sebaliknya.

Dua bilangan dikatakan prima relatif, jika faktor persekutuan terbesarnya (FPB) dua bilangan tersebut sama dengan 1.

Contoh : 36 habis dibagi 4 dan 3, maka 36 akan habis dibagi 12.

45 habis dibagi 15. Maka 45 juga habis dibagi 3 dan 45 juga habis dibagi 5.

12 habis dibagi 4 dan 12 juga habis dibagi 6 tetapi 12 tidak habis dibagi 4 ⋅ 6 = 24 sebab 4 dan 6 tidak relatif prima, FPB (4, 6) = 2

1.3 Bilangan yang dapat diubah menjadi perkalian n bilangan bulat berurutan akan habis dibagi n!

dengan tanda “!” menyatakan faktorial. n! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ⋅⋅⋅ ⋅ n.

Contoh : 3x4x5x6 = 360 merupakan perkalian 4 bilangan bulat berurutan maka habis dibagi 4! = 24.

1.4 Mengingat penjabaran pada dua persamaan berikut :

(i) (aⁿ − bⁿ) = (a − b)(a^n-1 + a^n-2b + a^n-3b² + ⋅⋅⋅ + ab^n-2 + b^n-1) dengan n ∈ bilangan asli (ii) (aⁿ + bⁿ) = (a + b)(a^n-1 − a^n-2b + a^n-3b² − ⋅⋅⋅ − ab^n-2 + b^n-1) dengan n ∈ bilangan ganjil Maka (a − b) membagi (aⁿ − bⁿ) untuk semua a, b bulat dan n bilangan asli

(a + b) membagi (aⁿ + bⁿ) untuk semua a, b bulat dan n bilangan ganjil

Contoh 2 :

(OSN 2003 SMP/MTs) Buktikan bahwa (n − 1)n(n³ + 1) senantiasa habis dibagi oleh 6 untuk semua bilangan asli n.

Solusi : Alternatif 1 :

Berdasarkan 1.2 didapat bahwa jika (n − 1)n(n³ + 1) habis dibagi 6 (n − 1)n(n³ + 1) maka akan habis dibagi 2 dan juga habis dibagi 3. Jadi, jika dapat dibuktikan bahwa (n − 1)n(n³ + 1) habis dibagi 2 dan juga habis dibagi 3 maka dapat dibuktikan (n − 1)n(n³ + 1) senantiasa habis dibagi oleh 6 untuk semua bilangan asli n.

(n − 1) dan n adalah 2 bilangan bulat berurutan maka (n − 1)n akan habis dibagi 2.

Berdasarkan 2.1 poin (1) maka (n − 1)n(n³ + 1) habis dibagi 2.

Sebuah bilangan bulat dapat diklasifikasikan ke dalam salah satu bentuk dari 3k, 3k + 1 atau 3k + 2.

Jika n = 3k maka 3 membagi n sehingga 3⏐(n − 1)n(n³ + 1) Jika n = 3k + 1 maka 3⏐(n − 1) sehingga 3⏐(n − 1)n(n³ + 1).

Jika n = 3k + 2 maka n³ + 1 =(3k + 2)³ + 1 = 3(9k³ + 18k² + 12k + 3) sehingga 3⏐(n³ + 1).

Maka 3⏐(n − 1)n(n³ + 1).

Didapat bahwa (n − 1)n(n + 1) habis dibagi 2 dan juga habis dibagi 3. Karena 2 dan 3 relatif prima maka (n − 1)n(n³ + 1) habis dibagi 2 ⋅ 3 = 6.

Jadi, (n − 1)n(n³ + 1) habis dibagi 6.

Alternatif 2 :

(n − 1)n(n³ + 1) = (n − 1)n(n + 1)(n² − n + 1)

Karena n − 1, n dan n tiga bilangan asli berurutan maka (n − 1)n(n + 1)(n² − n + 1) habis dibagi oleh 3!= 6.

Jadi, (n − 1)n(n³ + 1) habis dibagi 6.

Contoh 3 :

(OSK 2005 SMP/MTS) Bilangan 43 dapat dinyatakan ke dalam bentuk 5a + 11b karena untuk a = 13 dan b = −2, nilai dari 5a + 11b adalah 43. Manakah dari tiga bilangan 37, 254 dan 1986 yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk 5a + 11b ?

A. 1983 B. 254 C. 254 dan 1986 D. semua E. tak ada

Solusi :

Perhatikan bahwa 1 dapat dinyatakan ke dalam bentuk 5a + 11b dengan a = −2 dan b = 1. Karena 1 membagi semua bilangan bulat maka semua bilangan dapat dinyatakan ke dalam bentuk 5a + 11b.

(Jawaban : D)

Misalkan diinginkan 5a + 11b = k maka kesamaan akan terjadi saat a = −2k dan b = k.

Contoh 4 :

Buktikan bahwa 7, 13 dan 181 adalah faktor dari 3¹⁰⁵ + 4¹⁰⁵ Solusi :

Karena 105 ganjil maka 3¹⁰⁵ + 4¹⁰⁵ habis dibagi 3 + 4 = 7.

3¹⁰⁵ + 4¹⁰⁵ = (3³)³⁵ + (4³)³⁵ = 27³⁵ + 64³⁵

Karena 35 ganjil maka 3¹⁰⁵ + 4¹⁰⁵ habis dibagi 27 + 64 = 91.

Karena 91 = 7 ⋅ 13 maka 3¹⁰⁵ + 4¹⁰⁵ habis dibagi 13.

3¹⁰⁵ + 4¹⁰⁵ = (3⁵)²¹ + (4⁵)²¹ = 243²¹ + 1024²¹

Karena 21 ganjil maka 3¹⁰⁵ + 4¹⁰⁵ habis dibagi 243 + 1024 = 1267. Karena 1267 = 7 ⋅ 181 maka 3¹⁰⁵ + 4¹⁰⁵ habis dibagi 181.

Contoh 5 :

(OSK 2004 SMP/MTS) Semua n sehingga n dan ⁿ_n⁺₋₁³ keduanya merupakan bilangan bulat adalah ⋅⋅⋅⋅⋅

Solusi : Alternatif 1 :

Perhatikan bahwa ⁿ_n⁺₋₁³

=

ⁿ⁻_n¹₋⁺₁⁴

= 1 +

_n⁴₋₁

Agar

1 +

_n⁴₋₁ merupakan bilangan bulat maka n − 1 haruslah merupakan faktor dari 4.

Maka nilai dari n − 1 adalah ±1, ±2 dan ±4.

Nilai n yang memenuhi adalah −3, −1, 0, 2, 3 dan 5.

Alternatif 2 :

Selain dengan menggunakan sifat keterbagian, soal tersebut juga bisa diselesaikan dengan memfaktorkan.

Misalkan ⁿ_n⁺₋₁³ untuk suatu bilangan bulat n dan m.

Persamaan di atas ekivalen dengan n + 3 = mn − m

(m − 1)(n − 1) = 4.

n − 1 haruslah merupakan faktor dari 4.

Maka nilai dari n − 1 adalah ±1, ±2 dan ±4.

Nilai n yang memenuhi adalah −3, −1, 0, 2, 3 dan 5.

Contoh 6 :

(OSP 2005 SMP/MTs) Semua pasangan bilangan asli m dan n yang memenuhi _m²

+

_n³

= 1

adalah ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

Solusi :

Persamaan pada soal ekivalen dengan 2n + 3m = mn (m − 2)(n − 3) = 6

Dengan demikian m − 2 dan n − 3 keduanya merupakan faktor dari 6.

Karena m dan n bilangan asli maka m − 2 > −2 dan n − 3 > −3 Maka m − 2 = 1, 2, 3 atau 6. Jadi m = 3, 4, 5 atau 8.

Jadi, pasangan (m, n) yang memenuhi adalah (3, 9), (4, 6), (5, 5), (8, 4).

LATIHAN 2 :

1. (OSK 2002) Bilangan n terbesar sehingga 8ⁿ membagi 44⁴⁴ adalah

2. (OSK 2002) Berapa banyak pasang bilangan bulat positif (a,b) yang memenuhi ¹_a

+

¹_b

=

₆¹.

3. (OSK 2003) Jika a dan b bilangan bulat sedemikian sehingga a² − b² = 2003, maka berapakah nilai dari a² + b² ?

(Diketahui bahwa 2003 merupakan bilangan prima)

4. (AIME 1986) Tentukan nilai n terbesar sehingga n + 10 membagi n³ + 100.

5. (MATNC 2001) Jumlah N bilangan kuadrat sempurna pertama merupakan kelipatan 41. Tentuan nilai minimal dari N.

6. (OSP 2009) Diketahui k, m, dan n adalah tiga bilangan bulat positif yang memenuhi 6

1 4 = + n

m m

k

Bilangan m terkecil yang memenuhi adalah ⋅⋅⋅⋅⋅⋅

7. (AIME 1987/OSP 2008) m dan n adalah bilangan bulat yang memenuhi m² + 3m²n² = 30n² + 517. Nilai dari 3m²n² adalah ⋅⋅⋅⋅⋅

8. (AIME 1989) Lima bilangan asli berurutan memenuhi bahwa jumlahnya merupakan bilangan kubik dan jumlah tiga bilangan di tengah merupakan bilangan kuadrat. Tentukan nilai terkecil dari bilangan yang di tengah.

9. (AIME 1989) Misalkan k ∈ N sehingga 36 + k, 300 + k, 596 + k adalah kuadrat dari tiga bilangan yang membentuk barisan aritmatika. Tentukan nilai k.

10. (OSP 2002) Berapakah bilangan bulat positif terbesar yang membagi semua bilangan 1⁵ −1, 2⁵ −2, ⋅⋅⋅, n⁵ −n, ⋅⋅?

11. Jika n adalah bilangan bulat lebih dari 1, buktikan bahwa n⁶ − n² habis dibagi 60.

12. Tunjukkan bahwa 1 + 2 + 3 + ⋅⋅⋅ + 99 + 100 habis dibagi 10100, namun tidak habis dibagi 3.

13. (AIME 1993) Tentukan banyaknya tupel bilangan bulat (a,b,c,d) yang memenuhi 0 < a < b < c < d < 500 dan a + d = b + c serta bc − ad = 93.

14. Buktikan bahwa jika a, b dan c bilangan asli dan b adalah kelipatan a, c adalah kelipatan b serta a adalah kelipatan c maka a = b = c.

15. (AIME 2001) Tentukan penjumlahan semua bilangan asli dua angka yang habis dibagi oleh masing- masing digitnya.

16. Bilangan bulat n dikatakan merupakan kelipatan 7 jika memenuhi n = 7k dengan k bilangan bulat.

a. Jika p dan q bilangan bulat dan memenuhi 10p + q kelipatan 7, buktikan bahwa p − 2q juga kelipatan 7.

b. Jika c dan d bilangan bulat dan memenuhi 5c + 4d kelipatan 7, buktikan bahwa 4c − d juga kelipatan 7.

17. Tentukan bilangan bulat positif terbesar x yang memenuhi dua persyaratan berikut : a. x tidak habis dibagi 10

b. Jika dua angka terakhir dari x² dibuang maka bilangan tersisa juga merupakan bilangan kuadrat.

18. (Canadian MO 1971) Untuk n bilangan bulat, tunjukkan bahwa n² + 2n + 12 bukan kelipatan 121.

19. (ME V1N2) Jumlah dua bilangan bulat positif adalah 2310. Tunjukkan bahwa hasil kali keduanya tidak habis dibagi 2310.

3. UJI HABIS DIBAGI

Sebuah bilangan memiliki sifat khusus jika dibagi oleh suatu bilangan tertentu. Beberapa sifat tersebut adalah :

a. Suatu bilangan habis dibagi 5 jika dan hanya jika digit terakhir dari bilangan tersebut adalah 0 atau 5.

Contoh : 67585 dan 457830 adalah bilangan-bilangan yang habis dibagi 5.

b. Suatu bilangan habis dibagi 2ⁿ jika dan hanya jika n digit terakhir dari bilangan tersebut habis dibagi 2ⁿ.

Contoh : 134576 habis dibagi 8 = 2³ sebab 576 habis dibagi 8 (576 : 8 = 72) 4971328 habis dibagi 16 = 2⁴ sebab 1328 habis dibagi 16

c. Suatu bilangan habis dibagi 3 jika dan hanya jika jumlah digit bilangan tersebut habis dibagi 3.

Contoh : 356535 habis dibagi 3 sebab 3 + 5 + 6 + 5 + 3 + 5 = 27 dan 27 habis dibagi 3.

d. Suatu bilangan habis dibagi 9 jika dan hanya jika jumlah digit bilangan tersebut habis dibagi 9.

Contoh : 23652 habis dibagi 9 sebab 2 + 3 + 6 + 5 + 2 = 18 dan 18 habis dibagi 9.

e. Suatu bilangan habis dibagi 11 jika dan hanya jika selisih antara jumlah digit dari bilangan tersebut pada posisi ganjil dengan jumlah digit dari bilangan tersebut pada posisi genap habis dibagi 11.

Contoh : 945351 habis dibagi 11 sebab (9 + 5 + 5) − (4 + 3 + 1) = 11 dan 11 habis dibagi 11. Contoh bilangan lain yang habis dibagi 11 adalah 53713 dan 245784.

Contoh 7 :

(OSK 2003) Ada berapa banyak diantara bilangan-bilangan 20000002, 20011002, 20022002, 20033002 yang habis dibagi 9 ?

Solusi :

Penjumlahan digit 20000002 = 2 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 2 = 4 (tidak habis dibagi 9) Penjumlahan digit 20011002 = 2 + 0 + 0 + 1 + 1 + 0 + 0 + 2 = 6 (tidak habis dibagi 9) Penjumlahan digit 20022002 = 2 + 0 + 0 + 2 + 2 + 0 + 0 + 2 = 8 (tidak habis dibagi 9)

Penjumlahan digit 20033002 = 2 + 0 + 0 + 3 + 3 + 0 + 0 + 2 = 10 (tidak habis dibagi 9)

Karena semua penjumlahan digit tidak ada yang habis dibagi 9 maka tidak ada bilangan-bilangan tersebut yang habis dibagi 9.

Contoh 8 :

(Canadian MO 1980) Jika a679b adalah bilangan lima angka yang habis dibagi 72, tentukan nilai a dan b.

Solusi :

72 = 9 ⋅ 8. Karena 9 dan 8 relatif prima maka a679b harus habis dibagi 8 dan 9. Karena a679b habis dibagi 8 maka 79b habis dibagi 8. Agar 790 + b habis dibagi 8 maka b = 2.

Karena a6792 habis dibagi 9 maka a + 6 + 7 + 9 + 2 habis dibagi 9. Nilai a yang memenuhi hanya 3.

Jadi bilangan tersebut adalah 36792.

LATIHAN 3 :

1. (MATNC 2001) Di antara empat bilangan : 5256, 7018, 18623, 32571, yang habis dibagi 99 adalah ⋅⋅⋅⋅⋅

2. (OSK 2010) Nilai n terkecil sehingga bilangan

4 4 3 4

4 2