BAB III GEOMETRI
F. Ketaksamaan Segitiga
4. SEGIEMPAT
Ada beberapa bangun segiempat dalam dua dimensi yang akan dibahas.
a. Persegi Panjang
Sifat-sifat persegi panjang (i) Dua sisi berhadapan sejajar
Dari gambar didapat AB ⁄⁄ DC dan AD ⁄⁄ BC.
(ii) Dua buah sisi berhadapan sama panjang AB = DC dan AD = BC
(iii) Masing-masing keempat titik sudut sama dengan 90o
∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90o
(iv) Kedua diagonal berpotongan dan saling membagi dua sama panjang AO = OC = BO = OD.
Misalkan persegi panjang memiliki sisi yang panjangnya p dan l maka berlaku Keliling persegi panjang = 2(p + l)
Luas persegi panjang = p ⋅ l
b. Persegi
Sifat-sifat persegi
(i) Dua sisi berhadapan sejajar
Dari gambar didapat AB ⁄⁄ DC dan AD ⁄⁄ BC.
(ii) Keempat sisi sama panjang AB = DC = AD = BC
(iii) Masing-masing keempat titik sudut sama dengan 90o
∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90o
(iv) Kedua diagonal saling tegak lurus AC tegak lurus BD
(v) Kedua diagonal sama panjang dan saling membagi dua sama panjang AC = BD dan AO = OC = BO = OD.
Misalkan persegi memiliki sisi yang panjangnya s maka berlaku Keliling persegi = 4s
Luas persegi = s2 c. Jajaran Genjang
Sifat-sifat jajaran genjang
(i) Dua sisi berhadapan sejajar dan sama panjang
Dari gambar didapat AB ⁄⁄ DC dan AD ⁄⁄ BC serta AB = DC dan AD = BC (ii) Sudut yang berhadapan sama besar
∠BAD = ∠BCD dan ∠ADC = ∠ABC
(iii) Kedua diagonal saling membagi dua sama panjang AO = OC dan BO = OD
Misalkan jajaran genjang memiliki sisi yang panjangnya a dan b serta jarak dua sisi sejajar a sama dengan t maka berlaku
Keliling jajaran genjang = 2(a + b) Luas jajaran genjang = a ⋅ t d. Belah Ketupat
Sifat-sifat belah ketupat
(i) Dua sisi berhadapan sejajar
Dari gambar didapat AB ⁄⁄ DC dan AD ⁄⁄ BC (ii) Semua sisi sama panjang
AB = DC = AD = BC
(iii) Sudut yang berhadapan sama besar
∠BAD = ∠BCD dan ∠ADC = ∠ABC
(iv) Kedua diagonal berpotongan tegak lurus dan saling membagi sama panjang AO = OC dan BO = OD
Misalkan belah ketupat memiliki sisi-sisi yang panjangnya a serta panjang kedua diagonalnya d1 = AC dan d2 = BD maka berlaku
Keliling belah ketupat = 4a Luas belah ketupat = 21 ⋅ d1 ⋅ d2
e. Trapesium
Sifat-sifat trapesium
(i) Memiliki tepat sepasang sisi yang sejajar Dari gambar didapat AB ⁄⁄ DC
(ii) Sudut antara dua sisi sejajar sama dengan 180o
∠BAD + ∠ADC = 180o dan ∠ABC + ∠BCD = 180o
Misalkan trapesium memiliki sisi-sisi yang panjangnya a, b, c dan d dengan a dan c sejajar serta jarak dua sisi sejajar sama dengan t maka berlaku
Keliling trapesium = a + b + c + d Luas trapesium = 21⋅ (a + c) ⋅ t f. Layang-layang
Sifat-sifat layang-layang
(i) Memiliki dua pasang sisi sama panjang AB = BC dan AD = CD
(ii) Kedua diagonal berpotongan tegak lurus Diagonal BD ⊥ AC
(iii) Diagonal terpanjang membagi diagonal terpendek sama panjang Diagonal terpanjang adalah BD sehingga AO = OC.
Misalkan layang-layang memiliki sisi-sisi yang panjangnya AB = BC = a dan AD = CD = b serta panjang kedua diagonalnya d1 = AC dan d2 = BD maka berlaku
Keliling layang-layang = 2(a + b) Luas belah ketupat = 21 ⋅ d1 ⋅ d2
Contoh 23 :
(OSK 2005) Diberikan dua buah persegi, A dan B, dimana luas A adalah separuh dari luas B. Jika keliling B adalah 20 cm, maka keliling A, dalam centimeter, adalah ⋅⋅⋅⋅
Solusi :
Luas B = 2 Luas A, maka B = 2A
Misalkan panjang sisi A = x dan panjang sisi B = y maka Luas B = y2 = 2x2 sehingga y = x√2
Keliling B = 4y.
Maka 4x√2 = 20 sehingga x = 52
2
Keliling A = 4x = 10√2 Jadi, keliling A = 10√2 cm
Contoh 24 :
(OSK 2008) Pada trapesium ABCD, sisi AB sejajar sisi DC dan rasio luas segitiga ABC terhadap luas segitiga ACD adalah 31. Jika E dan F berturut-turut adalah titik tengah BC dan DA, maka rasio luas ABEF terhadap luas EFDC adalah
Solusi :
∆ABC dan ∆ACD memiliki tinggi yang sama maka perbandingan luas keduanya dapat dinyatakan sebagai perbandingan alas.
AB : DC = 1 : 3
Misalkan panjang sisi AB = x maka panjang sisi DC = 3x.
E adalah pertengahan BC dan F pertengahan DA sehingga FE sejajar AB dan DC.
Maka FE = 21(x + 3x) = 2x Misalkan tinggi trapesium = t.
Luas ABEF = (AB2+FE)⋅2t = 3tx4 Luas EFDC = (FE+2DC)⋅2t = 5tx4
Rasio luas ABEF terhadap luas EFDC = 3 : 5.
Jadi, rasio luas ABEF terhadap luas EFDC adalah 53.
LATIHAN 4 :
1. (OSK 2007) Sepotong kawat dipotong menjadi 2 bagian,dengan perbandingan panjang 3 : 2. Masing- masing bagian kemudian dibentuk menjadi sebuah persegi. Perbandingan luas kedua persegi adalah 2. (OSP 2003) Dalam sebuah segitiga ABC siku-siku sama kaki, dibuat persegi PQRS sebagai berikut : Titik
P pada sisi AB, titik Q pada sisi AC, sedangkan titik-titik R dan S pada sisi miring BC. Jika luas segitiga ABC adalah x, berapakah luas persegi PQRS ?
3. (OSP 2004/Hongkong PSC 1988) Pada sebuah trapesium dengan tinggi 4, kedua diagonalnya saling tegak lurus. Jika salah satu dari diagonal tersebut panjangnya 5, berapakah luas trapesium tersebut ? 4. (OSP 2005) Misalkan ABCD adalah sebuah trapesium dengan BC║AD. Titik-titik P dan R berturut-turut
adalah titik tengah sisi AB dan CD. Titik Q terletak pada sisi BC sehingga BQ : QC = 3 : 1, sedangkan titik S terletak pada sisi AD sehingga AS : SD = 1 : 3. Maka rasio luas segiempat PQRS terhadap luas trapesium ABCD adalah ⋅⋅⋅⋅⋅⋅
5. (OSK 2007) Diketahui empat titik pada bidang dengan koordinat A(1,0), B(2008,2007), C(2007,2007), D(0,0). Luas jajaran genjang ABCD sama dengan ⋅⋅⋅⋅⋅⋅
6. Pada suatu jajaran genjang, dua diagonalnya membentuk sudut 60o. Panjang sisi-sisinya adalah 6 dan 8. Luas jajaran genjang tersebut adalah
7. ABCD adalah trapesium dengan AB sejajar CD. Diagonal AC dan BD berpotongan di titik O. Luas segitiga AOB = 992 sedangkan luas segitiga COD = 192. Tentukan luas trapesium tersebut.
8. Titik E dan F secara berurutan terletak pada sisi AB dan CD suatu persegi panjang ABCD sehingga DFBE adalah belah ketupat. Jika AB = 16 dan BC = 12, maka panjang EF sama dengan ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
9. (Bulgarian MO 1995 : Spring MC Grade 8) Misalkan M adalah titik tengah sisi BC pada jajaran genjang ABCD sedangkan N adalah perpotongan AM dan diagonal BD. Perpanjangan DA dan CN berpotongan di titik P.
a. Buktikan bahwa AP = AD
b. Jika AB = AC maka buktikan CP = BD