BAB III GEOMETRI
F. Ketaksamaan Segitiga
6. LINGKARAN
Lingkaran adalah kumpulan titik-titik yang memiliki jarak yang sama terhadap suatu titik tertentu, yaitu pusat lingkaran.
Jadi ada dua hal yang sangat berkaitan dengan lingkaran yaitu jari-jari lingkaran, R, dan pusat lingkaran.
Unsur-unsur pada lingkaran dapat dilihat pada gambar berikut.
a. Titik O disebut sebagai pusat lingkaran
b. OA, OB, OD, OE disebut sebagai jari-jari lingkaran
c. Ruas garis lurus AB yang melalui pusat lingkaran disebut diameter lingkaran d. Ruas garis DE disebut tali busur
e. Garis lengkung DE dan AC disebut busur lingkaran
f. Daerah arsiran yang dibatasi dua jari-jari (pada gambar dibatasi OA dan OC serta berwarna hitam) disebut juring
g. Daerah yang dibatasi talibusur DE dan busur DE disebut tembereng h. Garis OF yang tegak lurus DE disebut apotema
Misalkan r adalah jejari lingkaran dan d adalah diameter lingkaran dengan d = 2r Luas lingkaran = πr2 = 2
4 1
π
d . Keliling Lingkaran = 2πr Luas Juring = 2360n ⋅
π
r dengan n adalah sudut pusat diukur dalam derajat.Panjang Busur = n ⋅2
π
⋅r 360Luas tembereng DE = Luas Juring ODE − Luas ∆ODE
Dalam menjelaskan lingkaran dengan olimpiade matematika di Indonesia, Penulis tidak akan menjelaskan persamaan lingkaran, tetapi lebih mengedepankan kepada dalil-dalil yang berhubungan dengan lingkaran.
(a) Misalkan garis l menyinggung lingkaran yang berpusat di O pada titik A maka OA akan tegak lurus garis l.
(b) Misalkan titik A terletak di luar lingkaran L maka dari titik A dapat dibuat dua buah garis singgung yang jaraknya terhadap titik singgungnya sama panjang.
Titik A terletak di luar lingkaran. Dari A dibuat dua garis yang menyinggung lingkaran di titik P dan Q maka panjang AP = AQ.
Selain itu ∠PAO = ∠QAO.
(c) Misalkan titik P terletak di luar lingkaran L yang berpusat di O dan garis yang ditarik dari titik P menyinggung lingkaran di titik A dan B. Maka ∠APO = ∠BPO.
Berdasarkan kesimetrian akan didapat ∠APO = ∠BPO.
(d) Sebuah lingkaran berpusat di A menyinggung di luar sebuah lingkaran berpusat di B pada titik P.
Maka A, P dan B berada pada satu garis lurus.
Buat garis singgung melalui titik P. Maka garis singgung tersebut akan tegak lurus AP dan PB berakibat AP dan PB akan sejajar. Jadi, A, P dan B berada pada satu garis lurus.
(e) Garis yang menghubungkan pusat dua lingkaran akan memotong tegak lurus pertengahantalibusur persekutuannya.
Misalkan lingkaran yang berpusat di A berpotongan di titik P dan Q dengan lingkaran yang berpusat di B. Maka AB akan berpotongan tegak lurus dengan PQ di titik T yang merupakan pertengahan PQ.
(f) Besar sudut pusat sama dengan dua kali sudut keliling
Misalkan AB adalah talibusur dan O pusat lingkaran. Maka ∠AOB disebut sebagai sudut pusat.
Misalkan juga titik C terletak pada lingkaran tersebut, maka ∠ACB disebut sudut keliling.
Hubungan antara sudut pusat dan sudut keliling tersebut adalah
∠AOB = 2∠ACB
Berlaku juga bahwa jika ∠AOB = 2 ∠ACB maka dapat dibuat sebuah lingkaran melalui A, B dan C serta berpusat di O.
(g) Besar sudut keliling yang menghadap talibusur yang sama akan sama besar.
Misalkan AB adalah talibusur dan titik C dan D terletak pada lingkaran. Maka
∠ACB = ∠ADB
(h) Misalkan AB adalah diameter suatu lingkaran dan C terletak pada lingkaran maka ∠ACB = 90o
(i) Misalkan AB adalah talibusur suatu lingkaran yang berpusat di O dan titik P adalah pertengahan AB maka OP akan tegak lurus AB
Karena O adalah pusat lingkaran maka OA = OB = jari-jari lingkaran. Jadi ∆AOB adalah segitiga sama kaki. Karena OAB segitiga sama kaki maka garis dari O akan memotong tegak lurus pertengahan sisi AB.
(j) Misalkan dua talibusur AB dan CD pada satu lingkaran saling berpotongan di titik X maka berlaku AX ⋅ XB = CX ⋅ XD. Berlaku sebaliknya, jika dua buah garis AB dan CD berpotongan di titik X dan memenuhi AX ⋅ XB = CX ⋅ XD maka keempat titik A, B, C dan D terletak pada satu lingkaran.
Perhatikan gambar.
Dari hubungan garis didapat bahwa ∠AXD = ∠CXB
Perhatikan bahwa ruas AC juga merupakan talibusur sehingga dari dalil sebelumnya maka ∠ADC =
∠ABC.
Dengan cara yang sama akan didapat bahwa ∠BAD = ∠BCD.
Karena ketiga sudut ∆ADX dan ∆BCX sama maka kedua segitiga tersebut sebangun. Akibatnya XB
CX XD
AX = sehingga
AX ⋅ XB = CX ⋅ XD Berlaku kebalikannya.
(k) Pada segiempat talibusur, jumlah sudut sehadapan sama dengan 180o berlaku juga bahwa jika jumlah sudut sehadapan sama dengan 180o maka segiempat tersebut merupakan segiempat talibusur.
Perlu dijelaskan bahwa segiempat talibusur adalah segiempat yang keempat titik sudutnya terletak pada satu lingkaran.
Karena titik-titik A, B, C dan D semuanya terletak pada satu lingkaran maka ABCD adalah segiempat tali busur. Maka berlaku
∠ABC + ∠ADC = 180o
∠BAD + ∠BCD = 180o
Contoh 25 :
Perhatikan gambar. AB dan CD adalah diameter lingkaran dengan AB = CD = 8 serta AB dan CD saling tegak lurus. Busur AC, CB, BD dan DA adalah 4 busur yang kongruen dengan dua busur yang berdekatan saling bersinggungan. Tentukan luas daerah yang diarsir. (Jawaban boleh dinyatakan dalam π. Perlu dicatat bahwa π ≠ 227 maupun 3,14.)
Solusi : Alternatif 1 :
Buat persegi EFGH dengan A, B, C dan D adalah pertengahan sisi-sisinya.
Luasarsir = Luaspersegi EFGH − 4 ⋅ Luas1/4 lingkaran
Luasarsir = 8 ⋅ 8 − 4 (¼ π 42) Luasarsir = 64 − 16π
Alternatif 2 :
Misal perpotongan garis AB dan CD di titik O Luastembereng AC = Luas1/4lingkaran − Luas ∆AOC Luastembereng AC = ¼ ⋅ π ⋅ 42 − ½ ⋅ 4 ⋅ 4 Luastembereng AC = 4π − 8
Luas arsir = Luas lingkaran − 8 ⋅ Luas tembereng Luas arsir = π ⋅ 42 − 8 ⋅ (4π − 8)
Luas arsir = 64 − 16π
Contoh 26 :
ABC adalah sebuah segitiga dengan panjang AB = 6. Dibuat sebuah lingkaran dalam yang menyinggung sisi AB di K, sisi AC di L dan sisi BC di M (lihat gambar). Jika diketahui panjang LC = 5, tentukan keliling segitiga ABC.
Solusi :
Perhatikan bahwa CM = CL, BM = BK dan AL = AK Keliling ∆ABC = BK + KA + AL + LC + CM + MB Keliling ∆ABC = BK + KA + KA + LC + LC + BK Keliling ∆ABC = 2(BK + KA) + 2LC
Keliling ∆ABC = 2AB + 2LC Keliling ∆ABC = 2 ⋅ 6 + 2 ⋅ 5 Keliling ∆ABC = 22
Contoh 27 :
(OSP 2002) Garis tengah sebuah setengah lingkaran berimpit dengan alas AB dari ∆ABC. Titik sudut C bergerak sedemikian rupa, sehingga titik tengah sisi AC selalu terletak pada setengah lingkaran. Berupa apakah lengkungan tempat kedudukan titik C ?
Solusi :
AB adalah diameter dan D terletak pada lingkaran. Maka ∠ADB = 90o
Karena AD = CD dan BD ⊥ AC maka ∆ABC adalah segitiga sama kaki dengan AB = BC.
Karena BC = AB = diameter lingkaran yang berarti bernilai tetap dan B adalah titik yang tetap maka lengkung yang terjadi adalah berupa setengah lingkaran dengan pusat titik B.
Jadi, lengkung yang terjadi adalah berupa setengah lingkaran
LATIHAN 6 :
1. Tentukan sudut terkecil yang dibentuk oleh jarum panjang (menit) dan jarum pendek (jam) pada pukul 20 : 06.
2. (OSK 2002) Suatu persegi panjang berukuran 8 kali 2√2 mempunyai titik pusat yang sama dengan suatu lingkaran berjari-jari 2. Berapakah luas daerah irisan antara persegi panjang dan lingkaran tersebut ?
3. (OSP 2004) Santi dan Tini berlari sepanjang sebuah lintasan yang berbentuk lingkaran. Keduanya mulai berlari pada saat yang sama dari titik P, tetapi mengambil arah berlawanan. Santi berlari 1½ kali lebih cepat daripada Tini. Jika PQ adalah garis tengah lingkaran lintasan dan keduanya berpapasan untuk pertama kalinya di titik R, berapa derajatkah besar ∠RPQ ?
4. (OSP 2006) Pada trapesium ABCD, sisi AB sejajar dengan DC. Sebuah lingkaran yang menyinggung keempat sisi trapesium dapat dibuat. Jika AB = 75 dan DC = 40, maka keliling trapesium ABCD = ⋅⋅⋅⋅⋅
5. Garis AD adalah diameter setengah lingkaran dengan M adalah titik tengah diameter tersebut. Titik B dan titik C keduanya terletak pada setengah lingkaran sedemikian sehingga garis AC tegak lurus BM.
Jika diketahui ∠CAD = 50o, hitunglah sudut yang dibentuk antara garis AC dan BD.
6. (NHAC 1994-1995 Second Round) Sebuah lingkaran menyinggung bagian dalam suatu segienam ABCDEF. Jika diketahui panjang sisi-sisi AB = 1, BC = 2, CD = 3, DE = 4 dan EF = 5 maka panjang sisi FA adalah ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
7. (Canadian MO 1971) DEB adalah tali busur suatu lingkaran dengan DE = 3 dan EB = 5. Misalkan O adalah pusat lingkaran. Hubungkan OE dan perpanjangan OE memotong lingkaran di titik C. Diketahui EC = 1. Tentukan radius lingkaran tersebut.
8. (OSP 2010) Dua lingkaran (tidak sama besar) bersinggungan di luar. Titik A dan A1 terletak pada lingkaran kecil; sedangkan B dan B1 pada lingkaran besar. Garis PAB dan PA1B1 merupakan garis singgung persekutuan kedua lingkaran tersebut. Jika PA = AB = 4, maka luas lingkaran kecil adalah ⋅⋅⋅⋅
9. ABCD adalah persegi dengan panjang sisi 9. Titik P terletak pada sisi AB sehingga AP : PB = 7 : 2.
Sebuah seperempat lingkaran dibuat dengan C sebagai titik pusat dan CB jejarinya. Dari titik P dibuat sebuah garis yang menyinggung seperempat lingkaran tersebut dan memotong sisi AD di titik Q.
Panjang QD adalah ⋅⋅⋅⋅⋅⋅
10. Jika ∠ACB = ∠ADB maka buktikan bahwa dapat dibuat sebuah lingkaran yang melalui A, B, C dan D.
11. LM adalah tali busur suatu lingkaran dengan K adalah pertengahan LM. Dari titik K dibuat garis yang memotong lingkaran di titik D dan J. Dengan DJ sebagai diameter dibuat setengah lingkaran. Sebuah garis melalui titik K dan tegak lurus DJ memotong setengah lingkaran di titik S. Buktikan bahwa panjang KS = KL.
12. (Canadian MO 1975) Titik-titik A, B, C dan D berturut-turut terletak pada satu buah lingkaran pada arah putaran yang sama. Titik-titik P, Q, R dan S berturut-turut pertengahan busur-busur AB, BC, CD dan DA. Buktikan bahwa PR tegak lurus QS.
13. Titik P terletak di luar sebuah lingkaran. Dari titik P ditarik sebuah garis memotong lingkaran di titik A dan B dengan PA < PB. Dari titik P juga ditarik sebuah garis lain yang memotong lingkaran di titik C dan D dengan PC < PD. Satu buah garis lagi ditarik dari titik P menyinggung lingkaran di titik T.
Buktikan bahwa
PA ⋅ PB = PC ⋅ PD = PT2