CAKRAM

Yulia Novita

¹

, Suharsono S.

²

, Agus Sutrisno

³

, dan Dorrah Azis

⁴

Jurusan Matematika FMIPA UNILA^1,2,3,4

Jl. Soemantri Brojonegoro No.1, Gd. Meneng, B.Lampung 35145 Penulis Korespodensi :yulianovita976@gmail.com¹

ABSTRAK

Matematika merupakan ilmu yang memiliki peranan penting dalam pengembangan ilmu pengetahuan dan teknologi.Persamaan Laplace banyak digunakan pada ilmu kimia, biologi dan fisika. Diantaranya digunakan dalam suatu cakram (disk) berbentuk lingkaran piring dengan titik pusat (0,0).Penelitian ini bertujuan untuk menentukan solusi analitik persamaan Laplace dua dimensi pada suatu cakram dengan menggunakan koordinat polar. Untuk memperlihatkan solusi dari persamaan Laplce dengan koordinat polar digunakan metode pemisahan peubah.

Kata kunci;Persamaan Laplace,Koordinat Polar, Cakram, Pemisahan Peubah, Solusi Analitik.

1. Pendahuluan

Matematika merupakan ratu ilmu artinya matematika merupakan sumber dari ilmu lain. Banyak cabang ilmu pengetahuan yang pengembangan teori-teorinya didasarkan pada pengembangan konsep matematika, seperti teori-teori dalam cabang fisika, biologi dan kimia yang ditemukan dan dikembangkan melalui konsep kalkulus khusunya tentang diferensial, contoh lain dalam bidang ekonomi seperti permintaan dan penawaran yang dikembangkan melalui konsep fungsi dan kalkulus tentang diferensial dan integral.Persamaan Laplace merupakan persamaan dasar dari teori potensial dan memegang peranan penting dalam ilmu fisika maupun teknik. Persamaan Laplace digunakan pada potensial listrik, potensial gravitasi, potensial fluida, maupun suatu aliran suhu yang tidak bergantung pada waktu. Pemodelan persamaan Laplace serta penentuan penyelesaian permasalahan syarat batas dengan metode pemisahan peubah. Syarat batas yang digunakan adalah syarat batas Dirichlet. Bentuk umum persamaan Laplace: ^²₂+ ^²

²=0.

Terdapat dua sistem koordinat yang bersesuaian dengan persamaan diferensial yang berdimensi dua yaitu sistem persamaan kartesius dan koordinat polar. Dalam hal ini untuk cakram dengan menggunakan persamaan koordinat polar. Deret Fourier diperkenalkan oleh Joseph Fourier (1768-1830) untuk memecahkan masalah persamaan panas dilempeng logam. Gagasan Fourier merupakan model sumber panas sebagai kombinasi linear dari gelombang sinus dan kosinus sederhana dan menulis pemecahan sebagai solusi eigen. Deret Fourier saat ini banyak memiliki penerapan dalam bidang teknik elektro, analisis vibrasi, akustika, optika, mekanika kuantum dan lain-lain.

Menurut Hartanto (2008) bahwapersamaan Laplace merupakan satu jenis persamaan diferesnial parsial yang banyak digunakan untuk memodelkan permasalahan dalam bidang sains. Persamaan ini merupakan persamaan eliptik dan merupakan jenis persamaan diferensial parsial linier orde dua dengan dua peubah. Persamaan Laplace bentuk umumnya ∆ = 0 sering ditemukan pada perpindahan panas, mekanika fluida, elastisitas, masalah mekanika dan fisika lainnya. Masalah penyelesaian persamaan ∆² = 0 didalam daerah sering disebut Dirichlet problem dengan sebagai fungsi yg diketahui di . Persamaan Laplace dapat dituliskan dalam beberapa bentuk bergantung pada sistem koordinat yang digunakan yaitu :

Menurut Purcell (2010) bahwa persamaan Laplace dalam dua dimensi

2

2+ ²₂= 0 pada sistem koordinat kartesius dan

1 + ¹₂ ²₂=0 pada sistem koordinat polar Dengan = cos = sin r= ² + ² = tan⁻¹( )

26

Persamaan diferensial linear homogen dengan variabel bebas dan , serta variabel tak bebas yang dilengkapi dengan syarat batas tertentu. Diasumsikan penyelesaian dari persamaan diferensial tersebut adalah ( , ) = ( ) ( ). Bila fungsi penyelesaian dapat difaktorkan menjadi suatu fungsi dikali, fungsi nilai

( , ) = ( ) ( ). Dimana ( ) dan ( ) adalah independent variabel hanya fungsi dari dan hanya fungsi dari (Miller ,1992).

Ketika mencari penyelesaian terhadap persamaan diferensial, seringkali menjumpai penyelesain yang masih dalam bentuk umum. Namun, jika akan mencari suatu penyelesaian khusus, maka diperlukan suatu kondisi tertentu. Pada persamaan diferesial biasa yang hanya mengandung satu variabel bebas, satu bentuk kondisi tertentu saja sudah cukup mendapatkan penyelesaian khusus. Berbeda dengan persamaan diferensial parsial. Khusus persamaan ini diperlukana dua bentuk kondisi tertentu karena terdapat lebih dari satu variabel bebas. Kondisi yang diperlukan untuk menyelesaikan persamaan diferensial parsial adalah kondisi awal dan kondisi batas (Strauss, 1992). Nilai awal pada persamaan diferensial parsial berhubungan dengan waktu awal 0. Contohnya, suatu persamaan gelombang mempunyai nilai awal ( , ) = ( , 0) =

( )dan ( , 0)= 0. Nilai awal ( , ) = ( ) menyatakan bahwa pada saat ₀= 0 bentuk gelombangnya ( ), sedangkan ( , 0)= 0 menyatakan bahwa kecepatan awal yang diberikan pada gelombang adalah 0 (Miller, 1992).

2. Bahan dan Metode

Metode yang digunakan dalam menyelesaikan permasalahan persamaan Laplace pada suatu cakram dengan menggunakan koordinat polar dan mendapatkan solusi analitiknya adalah sebagai berikut:

1. Mengumpulkan bahan literatur serta studi pustaka seperti buku dan jurnal dari perpustakaan dan internet.

2. Merumuskan masalah dalam bentuk persamaan Laplace pada koordinat polar.

Adapun langkah-langkah dalam menyelesaikan permasalahan solusi analitik persamaan Laplace pada suatu cakram dengan menggunakan koordinat polar

a. Menulis persamaan Laplace pada wilayah lingkaran dengan mempertimbangkan radius cakram.

b. Menulis persamaan Laplace menggunakan koordinat polar.

c. Mencari nilai turunan parsial pertama dan kedua pada koordinat polar.

d. Mencari persamaan diferensial homogen menggunakan koordinat polar.

e. Mencari solusi persamaan diferensial homogen menggunakan metode pemisahan peubah.

f. Mencari solusi Masalah Syarat Batas menggunakan deret Fourier.

3. Hasil dan Pembahasan

Langkah-langkah penyelesaikan persamaan Lapalce pada suatu cakram (solusi persamaan Laplace dua dimensi pada koordinat polar) dengan menggunakan metode masalah syarat batas dan deret Fourier.

Dengan menggunakan persamaan dibawah ini akan mendapatkan hasil akhirnya

= + = 0 , ∀[ , ]∈ (1)

( cos , sin ) =ℎ( ) 0≤ ≤2 (2) Maka didapat persamaan Laplace pada koordinat polar

= + + = 0 (3)

Pada persaman (3) akan dilakukan pemisahan peubah dan masalah syarat batas untuk mendapatkan solusi analitiknya. Dengan menggunakan pemisahan peubah didapat persamaan :

2 ′′+ ^{′ ′}=− ^′′ (4)

Didapat dua persamaan

′′ = ² (5)

2 ′′+ ^′= ² (6)

Untuk persamaan (5) didapat hasilnya

( ) = cos + (7)

Dan persamaan (6) hasilnya

(8) Apabila persamaan (5) dan persamaan (6) digabungkan maka diperoleh











 ) 0 ( ln

0) ( dr + ) cr

(









d r r c

R

27

(9) Sehingga pada persamaan Laplace dengan koordinat polar mempunyai nilai bahwa ketika = 0 maka cos

( )

= 1 dan sin

( )

= 0. Untuk = ∈ ℤ ∶ {0, ±1, ±2, ±3, … }, sehingga nilai tidak berlaku maka persamaan dari dan dibuang. Sehingga menjadi











 

0

,...

3 , 2 , 1 ) sin(

) ) cos(

, (

0n A

n r n B r n r A

u

n n

n n

n



  (10) Dengan menyederhanakan persamaan (10) diperoleh

(

,

)

=

∑

^∞₌₀

( )

+

∑

^∞₌₁

( ) ( )

= 1,2,3 (11) Dari teori Fourier diketahui bahwa setiap fungsi kontinu pada lingkaran mempunyai persamaan Fourier yang unik dengan persamaan Deret Fouriernya yaitu

ℎ( ) = +∑ cos( ) +∑ sin( ) (12)

Dengan persamaan (12) akan dicari nilai ₀ , ,

0 = ¹∫₀² ℎ( ) (13)

= ¹∫₀² ℎ( )cos (14)

= ¹∫₀² ℎ( )sin( ) (15)

ℎ( ) = +∑ cos( ) +∑ ( ) (16)

Kombinasi persamaan (11) dan persamaan (16) diperoleh

( , ) = + ∑ cos( ) + ∑ cos( ) (17) Dengan

0= ⁰

2 = ¹

2 ∫₀^{2 ℎ( ) = 0}

= ¹ ∫₀^{2 ℎ}( )cos( ) = 1,2,3, …

B = ¹ ∫₀² ℎ( )sin( ) = 1,2,3, …

Jadi persamaan Laplace pada suatu cakram dengan menggunakan koordinat polar mendapatkan solusi analitiknya yaitu deret Fourier.

4. Kesimpulan

Berdasarkan penguraian langkah-langkah yang telah dikerjakan dalam persamaan Laplace ini, diperoleh kesimpulan bahwa solusi dari persamaan Laplace = + yang diperoleh berdasarkan

masalah syarat batas dan deret Fourier dengan hasil

( , ) = + ∑ cos( ) + ∑ cos( ) dengan

0= ⁰

2 = ¹

2 ∫₀² ℎ( ) , = 0

= ¹ ∫₀² ℎ( )cos( ) , = 1,2,3, … B = ¹ ∫² ℎ( )sin( )

0 , = 1,2,3, …

5. Daftar Pustaka

Hartanto, S. A. (2008). Penyelesaian Numerik Persamaan Laplacedan PersamaanPoisson dalam PelatPersegiPanjangdanPelatCakramDengan MetodeBeda-Hingga.UniversitasSanata Dharma.

Yokyakarta.

L.Ross, S. (1984). Differential Equations. 3

rd

Ed.John Wiley&Sons,Inc. New York.

Miller,WilliamB.,danHumiM.( 1992). BoundaryValueProblemsandPartial DifferentialEquations.PWS- KENTPublishingCompany. Boston.

Mufidah, F., dan Jauhuri, M. (2015). Solusi Numerik Persamaan Poisson Menggunakan Jaringan Fungsi Radial Basis Pada Koordinat Polar. Jurnal Matematika dan Aplikasi. 3(4): 46-47.















 



) 0 ( ln

) 0 ( )) sin(

) cos(

( )) sin(

) cos(

) ( , (

0

0 









 













 A C r

r D

C r B

r A u

28

Purcell,DaleV.,danEdwinJ.( 2010).Calculus KalkulusJilid1(AlihBahasa Indonesiaoleh I Nyoman Susila).

BinarupaAksara. Tangerang.

Strauss, dan WalterA. (1992).PartialDifferentialEquations (AnIntroduction).JohnWiley&Sons,Inc.

NewYork.

29