BAB I PENDAHULUAN
B. Materi Ajar
a) Pengertian Lingkaran
Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap suatu titik tertentu. Jarak yang sama tersebut disebut jari-jari lingkaran dan titik tertentu disebut pusat lingkaran.
Gambar 2.1 Gambar 2.2
Gambar diatas menunjukkan titik A, B, C, dan D yang terletak pada kurva tertutup sederhana sedemikian sehingga OA = OB = OC = OD = jari-jari lingkaran (r). Titik O disebut pusat lingkaran.
Selanjutnya gambar 2.2 diatas menunjukkan panjang garis lengkung yang tercetak tebal yang berbentuk lingkaran tersebut disebut
A B
C D
O
keliling lingkaran, sedangkan daerah arsiran didalamnya disebut bidang lingkaran atau luas lingkaran.
b) Bagian-bagian Lingkaran
Ada beberapa bagian lingkaran yang termasuk dalam unsur-unsur sebuah lingkaran di antaranya titik pusat, jari-jari, diameter, busur, tali busur, tembereng, juring, dan apotema. Untuk lebih jelasnya, perhatikan uraian berikut.
1. Titik Pusat
Titik pusat lingkaran adalah titik yang terletak di tengah-tengah lingkaran. Titik “O” merupakan titik pusat lingkaran, dengan demikian, lingkaran tersebut dinamakan lingkaran O.
2. Jari-Jari (r)
Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya, jari-jari lingkaran adalah garis dari titik pusat lingkaran ke lengkungan lingkaran. Jari-jari lingkaran ditunjukkan oleh garis OA, OB, dan OC.
Gambar 2.3
3. Diameter (d)
Diameter adalah garis lurus yang menghubungkan dua titik pada lengkungan lingkaran dan melalui titik pusat. Garis AB pada lingkaran O merupakan diameter lingkaran tersebut. Perhatikan bahwa AB= AO + OB. Dengan kata lain, nilai diameter merupakan dua kali nilai jari- jarinya, ditulis bahwa d = 2r.
4. Busur
Dalam lingkaran, busur lingkaran merupakan garis lengkung yang terletak pada lengkungan lingkaran dan menghubungkan dua titik sebarang di lengkungan tersebut. Garis lengkung AC, garis lengkung CB, dan garis lengkung AB merupakan busur lingkaran O.
5. Tali Busur
Tali busur lingkaran adalah garis lurus dalam lingkaran yang menghubungkan dua titik pada lengkungan lingkaran. Berbeda dengan diameter, tali busur tidak melalui titik pusat lingkaran O. Tali busur lingkaran tersebut ditunjukkan oleh garis lurus AC yang tidak melalui titik pusat.
6. Tembereng
Tembereng adalah luas daerah dalam lingkaran yang dibatasi oleh busur dan tali busur. Tembereng ditunjukkan oleh daerah yang diarsir dan dibatasi oleh busur AC dan tali busur AC.
7. Juring
Juring lingkaran adalah luas daerah dalam lingkaran yang dibatasi oleh dua buah jari-jari lingkaran dan sebuah busur yang diapit oleh kedua jari-jari lingkaran tersebut. Juring lingkaran ditunjukkan oleh daerah yang diarsir yang dibatasi oleh jari-jari OC dan OB serta busur BC, dinamakan juring BOC.
8. Apotema
Pada sebuah lingkaran, apotema merupakan garis yang menghubungkan titik pusat lingkaran dengan tali busur lingkaran tersebut. Garis yang dibentuk bersifat tegak lurus dengan tali busur.
Garis OE merupakan garis apotema pada lingkaran O.
c) Keliling dan Luas Lingkaran
Menemukan pendekatan nilai π (pi)
Lakukan kegiatan berikut ini, untuk menemukan pendekatan nilai π (pi).
1) Buatlah lingkaran dengan jari-jari 1cm, 1,5cm, 2cm, dan 3cm.
2) Ukurlah diameter masing-masing lingkaran dengan menggunakan penggaris.
3) Ukurlah keliling masing-masing lingkaran menggunakan bantuan benang dengan cara menempelkan benang pada bagian tepi lingkaran, dan kemudian panjang benang diukkur menggunakan penggaris.
Jika kegiatan tersebut kalian lakukan dengan cermat dan teliti maka nilai akan memberikan nilai yang mendekati 3,14. Untuk selanjutnya, nilai disebut sebagai konstanta π (dibaca : pi).
Menghitung keliling lingkaran
Pada pembahasan di bagian depan dipeoleh bahwa pada setiap lingkaran nilai perbandingan menunjukkan bilangan yang sama atau tetap disebut π. Karena = π, sehingga didapat K = π.d.
Karena panjang diameter adalah 2 x jari-jari atau d =2r,maka K = 2πr.
Jadi, didapat rumus keliling (K) lingkaran dengan diameter (d) atau jari-jari (r) adalah :
Contoh :
Hitunglah keliling lingkaran jika diketahui : a. diameter 14 cm? b. jari-jari 17 cm?
Jawaban:
a. Diketahui : diameter = 14 cm, maka d = 14 Ditanyakan: K = …?
Penyelesaian: K = πd
= x 14
= 44
K = πd atau K = 2πr
Jadi, keliling lingkaran = 44 cm
b. Diketahui: jari-jari = 17 cm, maka r = 17 cm Ditanyakan: K = …?
Penyelesaian: K = 2πr
= 2 x 3,14 x 17
= 34 x 3,14
= 106,76
Jadi, keliling lingkaran adalah 106,76 cm2.
Menghitung luas lingkaran
Luas lingkaran merupakan luas daerah yang dibatasi oleh keliling lingkaran. Untuk menemukan rumusluas lingkaran, lakukan kegiatan dengan langkah-langkah berikut.
Buatlah lingkaran dengan jari-jari 10 cm.
Bagilah lingkaran tersebut menjadi dua bagian sama besar dan arsir satu bagian
Bagilah lingkaran tersebut menjadi 12 bagian sama besar dengan cara membuat 12 juring sama besar dengan sudut pusat 30º (Gambar 2.4 (i)).
Bagilah salah satu juring yang tidak diarsir menjadi dua sama besar.
Gambar 2.4 (i)
(ii)
Gunting lingkaran beserta 12 juring tersebut.
Atur potongan-potongan juring dan susun setiap juring sehingga membentuk gambar mirip persegi panjang, seperti pada Gambar 2.4 (ii) di atas.
Perhatikan bahwa bangun yang mendekati persegi panjang tersebut panjangnya sama dengan setengah keliling lingkaran 3,14 x 10 cm dan lebarnya sama dengan jari-jari lingkaran (10cm). Jadi, luas lingkaran dengan panjang jari-jari 10 cm = luas persegi panjang dengan π = 3,14 cm dan l = 10 cm.
Luas persegipanjang = p x l
= 3,14 x 10
= 314 cm Jadi luas persegipanjang = 314 cm
Dengan demikian, dapat kita katakan bahwa luas lingkaran dengan jari-jari r sama dengan luas persegi panjang dengan panjang πr dan lebar r, sehingga diperoleh:
Contoh :
Hitunglah luas lingkaran jika:
a. Jari-jari 7 cm b. Diameternya 20 cm Jawaban :
a. Diketahui: jari-jari = 7 cm, maka r = 7 cm Ditanyakan: L =…?
Penyelesaian: L = πr2
= x 7 x 7
= 154
L = π
xr
xr
L = πr
2Jadi, luas lingkaran = 154 cm2
b. Diketahui: diameter = 20, maka d = 20 Ditanyakan: L = …?
Penyelesaian: L = πd2
= x 3,14 x 20 x 20
= x 3,14 x 400
= 314
Jadi, luas lingkaran = 314 cm2
d ) Menghitung perubahan luas dan keliling lingkaran jika jari-jari berubah
Pada pembahasan sebelumnya telah dipelajari mengenai keliling dan luas lingkaran, yaitu luas (L) = πr2= πd2dan keliling (K) = 2πr
= πd. Apabila nilai r atau d kita ubah, maka besarnya keliling
lingkaran maupun luarnya juga mengalami perubahan itu ? Perhatikan uraian berikut.
Misalkan lingkaran berjari-jari r1, dengan r2> r1, jika luas lingkaran semula adalah L1dan luas lingkaran setelah mengalami perubahan jari-jari adalah L2, maka selisih kedua luas lingkaran itu adalah :
L2–L1= πr22
– πr12
= π (r22–r12)
= π (r2–r1)( r2+ r1)
Jika keliling lingkaran semula adalah K1dan keliling setelah mengalami perubahan jari-jari adalah K2maka selisih keliling kedua lingkaran adalah :
K2–K1= 2πr2-2πr1
= 2π(r2- r1)
Kalian juga dapat menghitung perbandinhan luas lingkaran jika jari-jari berubah.
Perbandingan luas L2–L1= πr22: πr12
= r22
: r12
Perbandingan keliling K2: K1= 2πr2: 2πr1
= r2: r1
Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa lingkaran yang berjari-jari r1, setelah mengalami perubahan jari-jari menjadi r2 dengan r2> r1, maka selisih serta perbandingan luas dan kelilingnya sebagai berikut.