BAB II KAJIAN PUSTAKA
5. Materi Pola Bilangan
Pola dapat diartikan sebagai sebuah susunan yang mempunyai bentuk teratur dari bentuk yang satu ke bentuk berikutnya. Sedangkan bilangan adalah sesuatu yang digunakan untuk menunjukkan kuantitas (banyak, sedikit) dan ukuran (berat, ringan, panjang, pendek, luas) suatu objek.
Bilangan ditunjukkan dengan suatu tanda atau lambang yang disebut angka. Sehingga pola bilangan dapat diartikan sebagai susunan bilangan yang mempunyai bentuk teratur dari bentuk yang satu ke bentuk berikutnya.
Berikut macam-macam Pola Bilanga:
1) Pola Persegi Panjang
Pengertian pola bilangan persegi panjang adalah suatu barisan bilangan yang membentuk pola persegi panjang . Pola persegi panjang adalah 2, 6, 12, 20, 30, . . .
Gambar Pola Bilangan Persegi Panjang
Rumus Pola Bilangan Persegi Panjang
2, 6, 12, 20, 30, . . . n , maka rumus pola bilangan persegi panjang ke-n adalah: Un = n . (n + 1)
Contoh Soal
Dari suatu barisan bilangan 2, 6, 12, 20, 30, . . . Berapakah pola bilangan persegi ke-12?
Jawab:
Un = n . (n+ 1) U12 = 12 . (12 + 1) U12 = 12 . 13 U12 = 156 2) Pola Persegi
Pola bilangan persegi merupakan suatu barisan bilangan yang memiliki bentuk pola persegi. Polanya adalah adalah 1, 4, 9, 16, 25, . . .
Gambar Pola Bilangan Persegi
Rumus Pola Bilangan Persegi
1, 4, 9, 16, 25, 36, . . . , n maka rumus untuk mencari pola bilangan persegi ke-n ada
lah:
Un = n2
Contoh Pola Bilangan Persegi
Dari suatu barisan bilangan 1, 4, 9, 16, 25, 36, . . . Berapakah pola bilangan ke-12 dalam pola bilangan persegi tersebut?
Jawab : Un = n2 U12 = 122 U12 = 144 3) Pola Segitiga
Pengertian pola bilangan segitiga adalah suatu barisan bilangan yang membentuk sebuah pola bilangan segitiga. Pola bilangan segitiga adalah 1, 3, 6, 10, 15, . . .
Gambar Pola Bilangan Segitiga
Rumus Pola Bilangan Segitiga 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, . . . , ke-n .
Maka rumus pola bilangan segitiga ke-n adalah:
Un = 1
2 n ( n + 1 )
Contoh Soal Pola Bilangan Segitiga
Diketahui suatu barisan bilangan 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, . . . Hitunglah pola ke-12 dari barisan tersebut?
Jawab : Un = 1
2 n ( n + 1 ) U12 = 1
2 . 12 (12 + 1) U12 = 6 (13) U12 = 78 4) Pola Bilangan Ganjil
Pola bilangan ganjil adalah pola bilangan yang terbentuk dari bilangan- bilangan ganjil. Sedangkan pengertian bilangan ganjil adalah suatu bilangan asli yang tidak habis dibagi dua ataupun kelipatannya. Pola bilangan ganjil adalah 1, 3, 5, 7, . . .
Gambar Pola Bilangan Ganjil
Rumus Pola Bilangan ganjil
1, 3, 5, 7, . . . , n. Maka rumus pola bilangan ganjil ke-n adalah:
Un = 2.n – 1
Contoh Soal Pola Bilangan Ganjil
1, 3, 5, 7, . . . Berapakah pola bilangan ganjil ke-12 ? Jawab:
Un = 2.n − 1 U12 = 2.12 − 1 U12 = 24 − 1 = 23 5) Pola Bilangan Genap
Pola bilangan genap merupakan pola bilangan yang terbentuk dari bilangan-bilangan genap . Bilangan genap adalah bilangan asli yang habis dibagi dua atau kelipatannya .
Pola bilangan genap adalah 2, 4, 6, 8, . . .
Pola bilangan genap memiliki aturan sebagai berikut.
Gambar Pola Bilangan Genap
Rumus Pola Bilangan Genap 2, 4, 6, 8, . . . . , n
maka rumus pola bilangan genap ke-n adalah:
Un = 2n
Contoh Soal Pola Bilangan Genap
2, 4, 6, 8, . . . Berapakah pola bilangan genap ke-12 ? Jawab:
Un = 2n
U12 = 2 × 12 U12 = 24
6) Pola Bilangan Segitiga Pascal
Bilangan pascal diambil dari nama penemu bilangan tersebut yaitu Blaise Pascal. Bilangan pascal merupakan bilangan yang dibentuk dari aturan geometri yang berisi susunan angka yang bentuknya segitiga.
Di dalam segitiga pascal, bilangan yang terdapat pada satu baris yang sama dijumlahkan menghasilkan bilangan yang ada di baris bawahnya.
Jadi, pengertian pola bilangan pascal adalah suatu pola yang tersusun dari beberapa angka berdasarkan rumus.
Gambar Pola Bilangan Pascal:
Pola bilangan pascal adalah 1, 2, 4, 8, 16, 24, 32, 64, . . .
1 1 = 1 = 20
1 1 1 + 1 = 2 = 21
1 2 1 1 + 2 + 1 = 4 = 22
1 3 3 1 1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 23
1 4 6 4 1 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 = 24 --- Baris ke-n = 2n−1 Rumus Pola Bilangan Pascal :
Un = 2n−1
Contoh Soal Pola Bilangan Pascal:
Hitunglah suku ke-12 dari pola bilangan pascal!
jawab: Un = 2n−1 U12 = 212−1 U12 = 211 U12 = 2048
7) Pola Bilangan Fibonacci
Pengertian pola bilangan fibonacci adalah suatu bilangan yang setiap sukunya merupakan jumlah dari dua suku di depannya. Pola bilangan Fibonacci adalah 1, 1, 2, 3, 5, 8, . . .
Perlu diketahui, 2 diperoleh dari hasil 1 + 1, 3 diperoleh dari hasil 2 + 1, 5 diperoleh dari hasil 1 + 3 + 1 dan seterusnya.
Gambar Pola Bilangan Fibonacci
1
1
1 1
1
1 2 1
2
1 3 3 1
3
1 4 6 4 1
5
1 5 10 10 5 1
8
Rumus Mencari Suku Ke-n Pola Bilangan Fibonacci : Un = Un−1 + Un−2
8) Pola Bilangan Aritmatika
Pola bilangan aritmatika merupakan pola suatu bilangan yang mana selisih dari bilangan sebelum dan sesudahnya sama. Contoh dari pola bilangan ini adalah 2, 5, 8, 11, 14, 17, …. Suku pertamanya disebut sebagai awal ( a ) atau U1, sementara suku kedua disimbolkan U2 dan begitu sseterusya.
Selisihnya disebut sebagi beda yang disimbolkan dengan b.
Karena diketahui selisih dari bilangan sebelum dan sesudahnya sama, maka b = U2 – U1 = U3 – U2 = U4 – U3 = U5 – U4 = U6 – U5 = 3 Rumus Mencari Suku Ke-n
Un = a + (n − 1) b
Rumus Mencari Jumlah n Suku Pertama Sn = 𝑛
2 (a + Un) atau Sn = 𝑛
2 (2a + ( n-1 ) b ) Contoh Pola Bilangan Aritmatika
Bilanga Genap
2 4 6 8 10 12
+2 +2 +2 +2 +2 Bilangan Ganjil
1 3 5 7 9 11
+2 +2 +2 +2 +2 9) Pola Bilangan Geometri
Pengertian pola bilangan geometri adalah suatu bilangan hasil perkalian bilangan sebelumnya dengan suatu bilangan yang tetap.
Rumus Suku Ke-n:
Un = a.rn−1
Contoh Pola Bilangan Geometri Contoh 1
40 20 10 5 5/2 5/4 × 1
2 × 1
2 × 1
2 × 1
2 × 1
2
Contoh 2
2 −6 18 −54 162 −486 ×(−3) ×(−3) ×(−3) ×(−3) ×(−3)
b. Pengertian Barisan
Barisan adalah daftar urutan bilangan dari kiri ke kanan yang mempunyai karakteristik atau pola tertentu. Setiap bilangan dalam barisan merupakan suku dalam barisan.
c. Pengertian Deret
Deret merupakan jumlah dari suku suatu barisan. Apabila banyak suku yang dijumlahkan tak berhingga, maka disebut deret tak hingga.
apabila banyak sukunya berhingga, maka disebut deret berhingga.
d. Barisan dan Deret Aritmetika
Aritmatika atau Aritmetika berasal dari bahasa yunani arithmos yang berarti angka yang dulu biasa disebut dengan Ilmu Hitung yaitu cabang tertua atau pendahulu dari matematika yang mempelajari operasi dasar bilangan. Terdapat barisan dan deret aritmatika. Kali ini kita akan membahas tentang baris dan deret Aritmatika beserta contoh soal-soal lengkap.
Barisan aritmatika merupakan suatu barisan bilangan yang mempunyai pola tertentu, yaitu selisih dari setiap suku selalu sama dan tetap. Setiap suku kecuali suku pertama pada barisan aritmatika diperoleh dari suku sebelumnya dengan cara menambah/menguranginya dengan suatu bilangan tetap. Selisih disimbolkan dengan b.
Bentuk Umum Barisan Aritmatika
a, (a+b), (a +2b), (a+3b), . . . ,(a + (n−1)b)
Selisih (beda) dinyatakan dengan b:
b = U2 − U1 = U3 − U2
b = Un − Un−1
Suku ke-n barisan aritmatika (Un):
Un = a + (n−1) b atau Un =Sn − Sn-1
Keterangan:
Un = suku ke-n dengan n = 1, 2, 3, … a = suku pertama (U1 = a)
b = selisih/beda n = banayak suku Contoh Soal
1. Suku pertama barisan aritmatika adalah 4 dan bedanya adalah 3, suku ke-10 barisan aritmatika tersebut adalah….
Penyelesaian:
Diketahui:
a = 4 b = 3 Jawab:
Un = a + (n−1) b U10 = 4 +(10−1)3 U10 = 4 + (9) 3 U10 = 31
2. Diketahui suku aritmatika : 5, 8, 11, … Tentukan nilai suku ke-12 !
Penyelesaian:
Diketahui:
a = 5
b = 8 − 5 = 3
Ditanya: suku ke 12?
Jawab:
Un = a + (n-1)b
U12 = 5 + (12-1)3 U12 = 5 + (11) 3 U12 = 38
3. Diketahui suatu barisan aritmatika suku pertamanya adalah 4 dan suku ke-20 adalah 61. Tentukan beda barisan aritmatika tersebut!
Penyelesaian:
Diketahui:
a = 4 U20 = 61 Jawab:
Un = a + (n − 1) b U20 = 4 + (20 − 1) b 61 = 4 + (19)b 61 − 4 = 19b
57 = 19b b = 57
19 b = 3
Contoh Soal
1. Diketahui barisan aritmatika 8, 11, 14,.., 128, 131, 134. Suku tengahnya adalah….
Penyelesaian:
Diketahui:
a = 8 Un = 134
Ditanya: Suku tengah?
Ut = 𝟏
𝟐 (a+Un) Ut = 𝟏
𝟐 (8 + 134) Ut = 𝟏
𝟐 (142) = 71
Deret aritmatika adalah jumlah suku-suku suatu barisan aritmatika.
Bentuk Umum Deret Aritmatika:
a + (a + b) + (a + 2b) + (a + 3b) + … + (a + (n − 1) b ) Rumus:
Sn = 𝒏
𝟐 (a+Un) atau
Sn = 𝒏
𝟐 (2a+(n − 1) b) Keterangan:
Sn = jumlah n suku pertama Contoh Soal
1. Diketahui 10 + 12 + 14 +……+ U10
a. Tentukan suku ke-10
b. Jumlah sepuluh suku pertama (U10) Jawab:
a. Suku ke-10
Un = a + (n − 1)b U10 = 10 + (10 − 1) 2 U10 = 10 + (9) 2 U10 = 10 + 18 U10 = 28 b. Jumlah sepuluh suku pertama
Sn = 𝒏
𝟐 (a + Un) S10 = 𝟏𝟎
𝟐 (10 + 28) S10 = 5 × 38 = 190 e. Barisan dan Deret Geometri
Barisan geometri adalah barisan bilangan yang memiliki pola tertentu, yaitu setiap sukunya (kecuali suku pertama) didapatkan dengan melakukan oprasi perkalian suku sebelumnya dengan suku bilangan tetapi selain nol. Dengan kata lain, hasil bagi setiap suku dengan suku sebelumnya selalu sama.
Hasil bagi atau bilangan pengali disebut sebagai pembanding atau rasio biasanya dilambangkan dengan huruf r. Misal ditemukan sebuah deret geometri U1, U2, U3,…, Un
Maka, 𝑈2
𝑈1, 𝑈3
𝑈2,…, 𝑈𝑛
𝑈𝑛−1 = r (rasio) Rumus Suku Ke-n Baris Geometri:
Un = arn-1
Keterangan
a = suku awal r = rasio Contoh Soal
1. Sebuah Bakteri mampu melakukan pembelahan diri menjadi 4 setiap 12 menit. berapakah jumlah bakteri yang ada setelah 1 jam jika sebelumnya terdapat 3 buah bakteri?
Cara penyelesaian:
Diketahui:
a = 3 r = 4
n = 1 jam/12 menit = 60/12 = 5 Ditanya: U5…?
Jawab:
Un = arn-1 U5 = 3 x 45-1 U5 = 3 x 44 U5 = 3 x 256 U5 = 768 bakteri
deret geometri diartikan sebagai jumlah dari n suku pertama pada sebuah barisan geometri. apabila suku ke-n dari suatu barisan geometri digambarkan dengan rumus: an = a1rn-1,
maka deret geometrinya dapat dijabarkan menjadi:
Sn = a1 + a1r + a1r2 + a1r3 + … + a1rn-1
Jika kita mengalikan deret geometri di atas dengan -r, kemudian kita jumlahkan hasilnya dengan deret aslinya, maka kita akan memperoleh:
−rSn = −a1r − a1r2 − a1r3 − … − a1rn – 1 – a1rn
Sn = a1 + a1r + a1r2 + a1r3 + … + a1rn−2 + a1rn−1
Sn – rSn = a1 – a1rn
Setelah diperoleh Sn – rSn = a1 – a1rn maka kita bisa mengetahui nilai dari suku n pertama dengan cara sebagai berikut:
Sn – rSn = a1 – a1rn Sn(1 – r) = a1 – a1rn Sn = 𝒂𝟏 − 𝒂𝟏𝒓
𝒏
𝟏 − 𝒓
Sn = 𝒂𝟏 (𝟏 − 𝒓
𝒏) 𝟏 − 𝒓
Dari hasil perhitungan yang disajikan diatas, maka dapat ditarik sebuah kesimpulan bahwa rumus dari jumlan n suku pertama pada barisan geometri ialah:
Sn = 𝒂 (𝒓𝒏 −𝟏)
𝒓−𝟏 𝒂𝒕𝒂𝒖 Sn = 𝒂 (𝟏−𝒓𝒏 )
𝟏−𝒓 dengan r ≠ 𝟏
Contoh Soal
1. Tentukanlah jumlah 8 suku pertama dari barisan geometri 2, 8, 32, ..
Cara penyelesaian:
Diketahui:
A = 2 r = 4 n = 8
Ditanya: S8..?
Sn = 𝒂 (𝟏−𝒓𝒏 )
𝟏−𝒓
S8 = 𝒂 (𝟏−𝟒𝟖 )
𝟏−𝟒
S8 = 𝒂 (𝟏−𝟔𝟓.𝟓𝟑𝟔)
−𝟑
S8 = 𝒂 (−𝟔𝟓.𝟓𝟑𝟓)
−𝟑
S8 = 2 × 21.845 S8 = 43.690