Tinjauan Sistem Lingkungan _
Bagian 1.4 Bagian 1.4
2.2 Pola Perilaku #1: Pertumbuhan atau Peluruhan Linier
000
barel/ hari GAMBAR 2.1. Model konsumsi minyak . 2. Konsep Dasar Pemodelan dalam Model Sistem Lingkungan
2.2.1 Pertumbuhan atau Peluruhan Linier: Contoh Ilustrasi JII
Cadangan Minyak Besok = Cadangan Minyak Hari Ini - 10.000 barel
R(t+M)=R(t)-(lO,OOO·M)
0~---_----:3l-
Waktu (hari)
2.2.2 Pertumbuhan atau Peluruhan Linier: Ciri Sistem , Diagram, dan Persamaan
1000
Agar suatu reservoir menunjukkan pertumbuhan atau peluruhan linier, jumlah seluruh aliran masuk ke dalam reservoir, dikurangi jumlah seluruh aliran keluar harus konstan. Hal ini dapat terjadi bila setiap proses aliran masuk dan keluar yang mempengaruhi reservoir bersifat konstan . .Selain itu, salah satu soal akhir bab menunjukkan bahwa pertumbuhan atau peluruhan linier juga dapat terjadi meskipun beberapa arus masuk dan arus keluar tidak konstan.
Perhatikan bahwa sistem seperti itu dapat memiliki sejumlah arus masuk dan arus keluar. Selain itu, setiap aliran tidak perlu konstan sepanjang waktu agar sistem menunjukkan pertumbuhan atau peluruhan linier. Namun , jumlah arus masuk dan jumlah arus keluar harus konstan. Dengan kata lain ,
Sistem pada Gambar 2.1 dan 2.2 (sebelum t = 1.000 hari) menggambarkan pola perilaku peluruhan linier . Sistem yang mengalami pertumbuhan linier juga akan mengikuti plot garis lurus, namun akan memiliki kemiringan ke atas, bukan ke bawah.
Pola perilaku linier adalah pola dimana reservoir yang menjadi perhatian berubah pada tingkat yang konstan sepanjang waktu. Agar suatu reservoir menunjukkan pertumbuhan atau peluruhan linier , maka jumlah aU aliran masuk ke dalam reservoir , dikurangi jumlah aU aliran keluarnya harus konstan. Jika konstanta bernilai positif, maka sistem akan menampilkan pertumbuhan linier. Jika konstanta bernilai negatif, maka sistem akan mengalami peluruhan linier. Jika konstanta sama dengan nol, maka reservoir akan tetap konstan sepanjang waktu . Sistem linier umum dengan banyak aliran masuk dan keluar ditunjukkan pada Gambar 2.3.
Hai
_ 10 juta
barel
Pola Perilaku #1: Pertumbuhan atau Peluruhan Linear 33
GAMBAR 2.2. Cadangan minyak versus waktu.
Arus keluar I
(2.2) Karena perubahan ini tidak bergantung padanya dan bersifat negatif, model Cadangan Minyak menunjukkan peluruhan linier selama 1.000 hari. Setelah t = 1.000 hari, R(t) tetap bernilai nol .
Properti ini ditunjukkan untuk model Oil Reseroes . Penataan ulang sederhana dari persamaan pada Persamaan (2.1) menghasilkan ekspresi berikut untuk total perubahan bersih Cadangan Minyak dalam selang waktu M hari .
Untuk menggeneralisasi model linier secara matematis, misalkan R(t) adalah nilai reservoir pada waktu t pada Gambar 2.3. Persamaan selisih R(t) untuk sistem generik ini diberikan sebagai berikut:
R(t+M)= R(t)
+{(Aliran masuk. + Aliran masukz+ Aliran masuk3 ) - (Aliran keluar. +Aliran keluarz)}·M (2.3) Pemeriksaan yang cermat terhadap diagram sistem pada Gambar 2.3 menunjukkan bahwa sistem linier sederhana tidak mengandung umpan balik apa pun . Ingatlah bahwa putaran umpan balik akan selalu menyebabkan perubahan awal dalam sistem pada akhirnya akan teredam (dalam kasus umpan balik yang menangkal ) atau diperkuat (dalam kasus umpan balik yang memperkuat). Karena sistem linier berubah pada laju yang konstan, tidak ada redaman atau penguatan yang dapat terjadi; oleh karena itu, umpan balik tidak ada.
R(t+M)- R(t) =-lO,OOO·M
Hai
34 2. Konsep Dasar Pemodelan dalam Model Sistem Lingkungan
pertumbuhan atau peluruhan linier terjadi jika dan hanya jika perubahan dalam reservoir selama interval dari waktu t ke t + 6t adalah konstan untuk semua t . Jika perubahannya positif maka reservoir akan mengalami pertumbuhan linier . Jika perubahannya negatif maka reservoir akan mengalami peluruhan linier .
GAMBAR 2.3. Diagram sistem umum untuk pertumbuhan atau peluruhan linier.
R(t)
dR(t) --=k dt
M
dt
R(t +M)- R(t) =
(2.4)
=
dr
k <0
peluruhan linier
Waktu (t)
dt
Jika k positif , sistem akan menunjukkan pertumbuhan linier. Jika k negatif , sistem akan mengalami peluruhan linier. Selain itu, nilai k juga sama dengan kemiringan grafik R (t) terhadap waktu , seperti digambarkan pada Gambar 2.4.
proses pada Gambar 2.3. Dari persamaan selisih (2.3) dapat kita tuliskan
Membagi kedua ruas dengan M menghasilkan persamaan berikut.
{(Aliran masuk. + Aliran masuk2 + Aliran masuk3) - (Aliran keluarI +OutflLOW2)}
Dengan mengambil limit kedua ruas M menuju nol, kita peroleh turunan dari R(t) sebagai berikut.
Karena semua arus masuk dan arus keluar dalam persamaan ini bernilai konstan, maka perubahan reservoir dari waktu t ke waktu t + M (diberikan dalam tanda kurung di sebelah kanan Persamaan ( 2.3)) juga akan konstan. Persamaan ini dapat digeneralisasikan untuk sejumlah proses masuk atau keluar.
sebuah konstanta; oleh karena itu, jika kita biarkan - singkatan dari turunan dari reservoir
{(Aliran Masuk! + Aliran Masuk2 +Aliran Masuk3) - (Aliran Keluar! +Aliran Keluar2)}·M
dimana R(t) adalah nilai reservoir pada waktu t, dan dimana k adalah sebuah konstanta.
Kita memahami dari kalkulus bahwa turunan R (t) terhadap waktu menunjukkan laju perubahan nilai R(t) seiring waktu. Oleh karena itu, turunan dari setiap reservoir yang menunjukkan pola perilaku linier haruslah turunan
Konstanta laju k juga memiliki hubungan langsung dengan arus masuk dan arus keluar terhadap waktu , model peluruhan linier dapat direpresentasikan sebagai:
R(t+M)- R(t)
GAMBAR 2.4. Pertumbuhan atau peluruhan linier: dR(tl = k.
Pola Perilaku #1: Pertumbuhan atau Peluruhan Linier 35
lim R(t+M)- R(t) =dR(t) = 61-->0 jt
dR(t)
dt dt
2.2.3 Pertumbuhan dan Peluruhan Linier: Ringkasan
dengan selisih seluruh aliran masuk dikurangi seluruh aliran keluar yang terkait dengan reservoir tersebut. Oleh karena itu, sistem linier tidak dapat mencapai kondisi tunak kecuali k =O. Hal ini terjadi hanya jika jumlah seluruh aliran masuk dikurangi jumlah seluruh aliran keluar adalah nol.
k = -10.000 barel/hari.
Hal ini terjadi hanya jika sistem selalu berada pada kondisi tunak. Satu - satunya pengecualian adalah ketika ada batasan eksternal pada reservoir yang
tidak membiarkannya melebihi atau turun di bawah nilai yang telah ditentukan .
Hal ini berarti bahwa reservoir Cadangan Minyak akan mengikuti· peluruhan linear. Grafik Cadangan Minyak terhadap waktu akan menampilkan garis lurus dengan kemiringan ke bawah sebesar -10.000 barel / hari .
((Aliran Masuk) + Aliran Masukz + Aliran Masuk3)-(Aliran Keluar , +Aliran KeluarLOW1)}
Untuk menganalisis perilaku keadaan tunak suatu sistem linier, kami akan memberikan analisis yang lebih rinci mengenai turunan reservoir dalam sistem tersebut. Ingat dari Bagian 1.4.5 bahwa setiap kali reservoir R(t) menunjukkan perilaku kondisi tunak, turunannya terhadap waktu akan menjadi nol; yaitu, dR(t)
(2.5)
Dalam contoh Cadangan Minyak , kita tahu sebelumnya bahwa Cadangan Minyak tidak boleh turun di bawah nol . Karena seluruh Cadangan Minyak asli habis setelah hari ke 1.000, Cadangan Minyak harus tetap pada nilai konstan nol setelah waktu tersebut. Dalam hal ini, Cadangan Minyak tidak berada pada kondisi stabil selama 1.000 hari pertama dan kemudian berada pada kondisi stabil setelah 1.000 hari.
--= HAI. Untuk sistem pertumbuhan/peluruhan linier, telah kami tunjukkan pada
Perbandingan Persamaan (2.4) dengan Persamaan (2.5) menunjukkan bahwa konstanta laju k sama dengan {(Aliran masuk) + Aliran masukz + Aliran masuk3) - (Aliran keluarI + Aliran keluar!)}.
Tabel 2.3 menunjukkan ringkasan pola perilaku pertumbuhan dan peluruhan linier . Anda mungkin memperhatikan bahwa tabel ini menyertakan sesuatu yang disebut solusi
Secara umum, ketika ada beberapa proses aliran masuk dan aliran keluar untuk suatu sistem yang menunjukkan pertumbuhan atau peluruhan linier, hubungan berikut ini berlaku antara konstanta laju k pada Persamaan (2.4) dan proses aliran masuk dan aliran keluar:
Persamaan (2.4) dan ( 2.6) yang --merupakan nilai konstanta k, dimana k sama
(2.6) k =(jumlah semua arus masuk) - (jumlah semua arus keluar)
Perhatikan contoh Cadangan Minyak pada Gambar 2.1. Karena hanya ada satu aliran keluar dan tidak ada aliran masuk ke dalam reservoir , persamaan (2.6) ruas kanan disederhanakan menjadi
dt
36 2. Konsep Dasar Pemodelan dalam Model Sistem Lingkungan
dt
Lebih menyenangkan membayangkan bahwa (karena praktik manajemen permainan yang buruk ), tikus-tikus tersebut melarikan diri dari kandangnya. Keluarga Anda mungkin hanya akan melihat sedikit (jika ada) tikus putih pada awalnya. Namun, setelah jangka waktu tertentu , kedua tikus ini
mungkin akan kawin dan melahirkan beberapa tikus. keturunan. Dalam kurun waktu singkat , generasi kedua ini Misalkan seorang anak kecil di rumah Anda membawa pulang sepasang tikus putih
(satu jantan, satu betina) yang diberikan oleh guru sainsnya .
Mengganti k untuk pita Ro dengan a pada Persamaan (2.1) memberikan ekspresi pada Tabel 2.3.
Pola perilaku pertumbuhan/peluruhan linier sangat sederhana, namun penerapannya terbatas. Kebanyakan sistem yang terjadi secara alami tidak berubah pada laju yang konstan. Dua contoh digunakan untuk mengilustrasikan hal ini.
ke persamaan laju . Ini mewakili ekspresi matematika untuk R(t) yang memenuhi persyaratan yang tersirat dalam persamaan laju.
dimana b adalah laju perubahan dan a adalah nilai R ( t ) pada waktu t = O.
Persamaan laju untuk sistem pertumbuhan/peluruhan linier menyatakan bahwa laju perubahan reservoir R (t) adalah konstan . Artinya grafik R(t) terhadap waktu harus mengikuti garis lurus. Oleh karena itu, kita tahu bahwa R(t) harus berbentuk
(2.1) R(t) =a+bt
37