HAI:==~==01
2.6 Pola Perilaku #5: Osilasi
2. Konsep Dasar Pemodelan dalam Model Sistem Lingkungan
{B-(I- ~:»)} =0 dan C =0, atau
Pada titik tertentu , R(t ) akan jauh lebih kecil dari nilai awalnya Ro sehingga turunan dari Populasi akan menjadi negatif , dan Populasi akan mulai menurun . Baik Populasi maupun Sumber Daya akan secara asimtotik mendekati nilai kondisi tetap nol seiring berjalannya waktu .
Banyak sistem di lingkungan menunjukkan perilaku osilasi. Misalnya, perhatikan perilaku siklus cuaca , pasang surut air laut , dan keluaran energi matahari . Hubungan klasik predator-mangsa adalah contoh lainnya . Bayangkan sebuah populasi predator yang hidup dari populasi mangsa yang terbarukan . _ _ Semakin banyak jumlah mangsa maka jumlah predator juga semakin banyak . Namun, seiring bertambahnya jumlah predator , semakin banyak pula mangsanya
kasus:
Dengan mempertimbangkan persamaan laju (2.20), (2.21), dan (2.24) bersama- sama, kita sekarang dapat memprediksi bagaimana sistem ini akan berperilaku.
Deskripsi ini sesuai dengan Gambar 2.14. Pada awalnya , turunan Populasi [Persamaan (2.20)] akan bernilai positif ; oleh karena itu, P(t) akan bertambah
besar. Seiring bertambahnya Populasi , Basis Sumber Daya R (t) akan berkurang dengan semakin cepat .
Tabel 2.6 merangkum karakteristik model overshoot dan collaps .
Jelas bahwa syarat-syarat ini dipenuhi pada masing -masing dua syarat berikut ini
Kita asumsikan tingkat konsumsi C lebih besar dari nol . Dengan kata lain , kita asumsikan bahwa Populasi memang mengkonsumsi sebagian Sumber Daya di setiap unit waktu . _ Oleh karena itu, kasus pertama tidak mungkin dilakukan. Kasus kedua berkaitan dengan situasi di mana Populasi telah hancur total dan tidak ada lagi . _ _ Hal ini terjadi hanya jika Sumber Daya dikonsumsi seluruhnya R(t») sehingga tingkat kematian per kapita Le ., 1- R mencapai 100%,
sehingga "membunuh seluruh Populasi . Hal ini terjadi secara asimtotik seiring berjalannya waktu . Sistem mencapai kondisi tunak hanya pada batas t ~ 00. Nilai kondisi tunak akhir untuk Populasi [P(t)] dan Sumber Daya [R(t)] adalah:
dt
waktu)
• 1'(t) = Reservoir populasi pada waktu t • R(t) = Reservoir sumber daya pada waktu
t • B = angka "kelahiran" per kapita dalam Populasi (per satuan waktu ) • C
= tingkat konsumsi per kapita dari suatu populasi Sumber daya ( per unit
Solusi keadaan stabil
Pertumbuhan penduduk dengan sumber daya tak terbarukan; epidemiologi Untuk ReSOtJrce : dR(t) = -C· P(t)
p =it =0 (hanya dicapai sebagai t -+ 00) Nilai persamaan
Perilaku grafis Pertumbuhan Populasi awal yang eksponensial , diikuti oleh puncaknya dan kemudian runtuh; Basis sumber daya terus berkurang; Keduanya mendekati kondisi stabil setelah sistem runtuh.
Untuk Populasi : d:~t) = {B - [1- ~:)]}. P(t)
sebuah "populasi" yang terus-menerus mengonsumsi sumber daya dan juga bergantung padanya untuk bertahan hidup.
Solusi persamaan laju
Dua waduk. Yang satu merupakan “sumber daya” yang tidak dapat diperbarui dan yang lainnya merupakan “sumber daya” yang tidak dapat diperbarui
Tidak tersedia Keterangan
• Ro= nilai awal Resource reservoir
Contoh aplikasi
2.6.2 Osilasi: Ciri Sistem, Diagram, dan Persamaan
Ciri utama sistem berosilasi adalah adanya putaran umpan balik berlawanan yang kuat yang memaksa sistem berosilasi di sekitar rangkaian kondisi kesetimbangan . Perhatikan contoh predator-mangsa yang dijelaskan sebelumnya. Gambar 2.18 mengilustrasikan perulangan ini.
untuk menunjukkan perilaku berosilasi. Fitur-fitur ini sekarang akan dijelaskan.
1. Sistem berisi setidaknya dua reservoir yang saling bergantung. Satu reservoir dapat dianggap sebagai Konsumen dalam sistem , dan reservoir lainnya dapat dianggap sebagai Sumber Daya. Dalam beberapa kasus, konteksnya akan teridentifikasi dengan jelas
Gambar 2.17 dan 2.18 menyoroti beberapa fitur yang akan menyebabkan suatu sistem dibunuh dan dikonsumsi, sehingga menyebabkan berkurangnya populasi mangsa.
Ketika populasi mangsa menurun, populasi predator juga menurun (karena predator tidak dapat menemukan makanan sebanyak itu) . Berkurangnya jumlah predator ini
menyebabkan peningkatan jumlah mangsa (karena tidak banyak predator yang dapat membunuh mereka). Siklus ini terus berjalan , menciptakan pola sinusoidal seperti pada Gambar 2.17.
Pola Perilaku #5: Osilasi 55 TABEL 2.6. Mendefinisikan karakteristik sistem overshoot dan collaps.
....
--\,--- ~~;l'-i----
dan membunuh Mangsa , sehingga mendorong mereka kembali ke keseimbangan. Jika _
. ..
.
· ·
.
· ·
·
GAMBAR 2.17. Perilaku osilasi predator-mangsa yang khas.
GAMBAR 2.18. Menangkal putaran umpan balik dalam contoh predator-mangsa.
56 2. Konsep Dasar Pemodelan dalam Model Sistem Lingkungan
3. Semakin jauh suatu reservoir dari nilai keseimbangannya, maka semakin banyak pula reservoir tersebut
Reservoir Predator secara signifikan berada di atas tingkat keseimbangannya, kemudian Prey mempengaruhi reservoir lain untuk " menariknya kembali" menuju keseimbangan. Untuk peran apa yang dimainkan setiap reservoir. Dalam banyak kasus lain , penunjukan Konsumen dan Sumber Daya mungkin sewenang - wenang.
2. Reservoir Konsumen dan Sumber Daya memiliki nilai keseimbangan
misalnya, setiap kali reservoir Prey contoh kita jauh di atas keseimbangannya nilai librium, Predator akan berkembang pesat dan antusias memburu
reservoir akan menyusut dengan cepat, sehingga memaksa Predator kembali ke keseimbangan.
disekitarnya mereka berosilasi.
Gambar 2.19 memberikan contoh sederhana dari sistem osilasi. Pelajari ini
diagram untuk mengonfirmasi bahwa itu mencakup fitur yang dijelaskan di sebelumnya
, /,
••••~
.:
...
# Mangsa bertambah karena lebih sedikit
-
# Mangsa berkurang karena bertambahnya Predator menyebabkan
semakin banyak Mangsa yang terbunuh untuk para Predator
Tingkat keseimbangan
\ pasokan Prey yang melimpah menyebabkan ....
lebih banyak kelahiran Predator
: untuk Mangsa
pasokan (Mangsa) karena makanan yang tidak mencukupi
Predator hadir / 0 kill / hem
Tingkat keseimbangan
# Predator berkurang
Saya
Waktu
·
...
# Mangsa
# Predator
# Predator bertambah-:mudah karena ••••
. .
. .
~
Konsumsi Sumber Daya
~ Q.qt) G~---+l
paragraf. Secara khusus, perhatikan bagaimana reservoir Konsumen secara langsung mempengaruhi laju pengurasan reservoir Sumber Daya ( melalui aliran keluar Konsumsi Sumber Daya ). Perhatikan juga bahwa reservoir Sumber Daya mempengaruhi laju pertumbuhan reservoir Konsumen ( melalui aliran masuk Pertumbuhan Konsumen ).
Persamaan selisih dua reservoir dalam sistem ini diberikan oleh
(2.25)
Kita dapat menyusun ulang suku-suku dalam Persamaan (2.25) dan (2.26) dengan cara biasa dan kemudian mengambil limitnya sebagai M ~ 0 untuk mendapatkan persamaan laju berikut .
(2.28) (2.26)
Pemeriksaan yang cermat terhadap Persamaan (2.27) dan (2.28) akan menunjukkan bahwa kedua reservoir akan berperilaku dalam pola siklik. Misalnya jika Resource reservoir besar, maka Persamaan ( 2.27) menunjukkan bahwa turunan dari Consumer reservoir akan bernilai positif besar. Oleh karena itu, reservoir Konsumen akan bertambah besar dengan cepat . Namun, jika reservoir Konsumen tumbuh terlalu besar, maka Persamaan (2.28) menunjukkan bahwa turunan dari reservoir Sumber Daya akan berubah menjadi negatif, sehingga menunjukkan bahwa ukuran Sumber Daya akan menyusut . Ketika R(t) mengecil, turunan Persamaan (2.27) juga akan mengecil dan (akhirnya) menjadi negatif , sehingga menunjukkan bahwa reservoir Konsumen tidak lagi bertambah , melainkan menyusut. Ini akan menghasilkan
(2.27)
Pertumbuhan Tingkat pertumbuhan konsumen
Sumber
Tingkat konsumsi sumber daya
C(t+M)= C(t) +{G·R(t)- D}·M
dR(t)
dC(t) =GR(t)-D dt R(t +M) =R(t) + {W - Q ·C(t)}·M
GAMBAR 2.19. Diagram sistem untuk sistem osilasi sederhana.
---pada =W - Q·C(t)
Pola Perilaku #5: Osilasi 57