Tinjauan Sistem Lingkungan _
Bagian 1.4 Bagian 1.4
2.4 Pola Perilaku #3: Pertumbuhan Logistik
R(t) hingga ek • R(t).
2.4.1 Pertumbuhan Logistik: Contoh Ilustratif Contoh grafik pola
perilaku logistik diberikan pada Gambar 2.11. Jelas dari grafik mengapa pola perilaku ini kadang-kadang disebut sebagai
Tabel 2.4 merangkum konsep-konsep penting untuk sistem pertumbuhan dan peluruhan eksponensial.
turunan dari R(t) juga menjadi sangat mendekati nol dan grafik R (t) versus t mendekati asimtot horizontal. Kita akan menggunakan notasi R untuk mewakili nilai kondisi tunak yang dicapai oleh reservoir R(t) ( atau mendekati tanpa gejala). Oleh karena itu, berdasarkan pembahasan sebelumnya, pengamatan tersebut dapat kami rangkum sebagai berikut:
S(t)
GAMBAR 2.11. Kurva 5 logistik .
44 2. Konsep Dasar Pemodelan dalam Model Sistem Lingkungan
" Kurva S." Pemeriksaan Gambar 2.11 menunjukkan bahwa sistem logistik memiliki beberapa kesamaan dengan sistem eksponensial. Perhatikan khususnya bagian gambar yang disorot. Bagian kurva ini tampak seperti sistem pertumbuhan eksponensial. Berbeda dengan sistem pertumbuhan eksponensial, pertumbuhan dalam sistem logistik pada akhirnya mencapai tingkat yang sama dan sistem tersebut mendekati nilai kondisi tetap.
Mekanisme mendasar yang memaksa penurunan ini adalah yang membedakan sistem logistik dari sistem eksponensial.
Bayangkan bagaimana populasi manusia bertumbuh. Pada awalnya, ketika sumber daya yang dibutuhkan untuk bertahan hidup berlimpah, dan tidak ada kendala lain dalam pilihan reproduksi masyarakat , maka populasi akan tumbuh secara eksponensial.
Namun, seiring berjalannya waktu dan jumlah penduduk menjadi sangat besar, sumber daya yang tersedia untuk mendukung populasi tersebut mulai “ diperluas” hingga ke titik di mana pertumbuhan yang tidak terkendali akan menyebabkan kelaparan, kepadatan penduduk, dan penyakit. Angka kematian kemungkinan besar akan mulai meningkat.
hingga akhirnya mencapai tingkat yang sama dengan angka kelahiran. Jika hal ini terjadi, pertumbuhan penduduk akan melambat dan akhirnya mendatar .
Salah satu cara untuk menggambarkan keadaan di mana perilaku logistik terjadi adalah sebagai berikut. Pertumbuhan logistik terjadi setiap kali sistem eksponensial dibatasi sehingga reservoir mencapai tingkat maksimum yang dapat dipertahankan oleh sistem. Dalam kasus seperti ini, reservoir bertambah dengan laju yang awalnya mirip dengan sistem eksponensial . Namun, ketika reservoir mendekati tingkat maksimum yang berkelanjutan, laju pertumbuhan menurun dan sistem mendekati kondisi tunak.
Diagram umum untuk sistem logistik diberikan pada Gambar 2.12. Gambar ini sesuai dengan deskripsi yang diberikan pada Bagian 2.4.1. Pemberitahuan dari Gambar
Waktu
2.4.2 Pertumbuhan Logistik: Fitur Sistem , Diagram,
dan Persamaan
(2.13) Arus Keluar = R(t) BnTingkat Pertumbuhan Terkendali·
R(t) (2.14)
Daya dukung
Laju Arus Keluar = Laju Pertumbuhan Tak Terkendala·
(2.12)
Arus Keluar =R(t)· Laju Arus Keluar
Daya dukung R(t)
Waduk
Tidak dibatasi
Membawa Kapasitas
Tingkat pertumbuhan
R(saya)
Keluar~ R(I)'
(0====:====DI R(t)
sebagai:
r::--~:oKegelisahan Pertumbuhan yang Tidak Dikonsultasikan'
Membawa Kapasitas
tidak beroperasi dengan cara yang sama seperti pada model eksponensial. Perhatikan bahwa
contoh yang melibatkan populasi manusia, mewakili Daya Dukung
Pertimbangkan bagaimana laju ini akan berperilaku dalam contoh kita yang melibatkan populasi manusia. Ketika populasinya kecil dibandingkan dengan Daya Dukung dengan ukuran reservoir saat ini . Namun, proses Arus Keluar bisa melakukannya
Hal ini tergantung pada sifat sistem yang dimodelkan . Di kami
Perbandingan Persamaan (2.13), dengan Persamaan (2.12) mengungkapkan bahwa sistem logistik menghitung Arus Keluar dengan mengalikan R(t) dengan “tingkat” yang berubah
Persamaan (2.12) terlihat mirip dengan persamaan arus keluar dalam sistem eksponensial.
Ingatlah bahwa arus keluar ke sistem eksponensial dihitung jangka panjang.
2.12 bahwa proses Aliran Masuk beroperasi dengan cara yang persis sama seperti dalam sistem eksponensial: Besarnya Aliran Masuk pada suatu titik waktu adalah proporsional
Konverter Daya Dukung pada model ini berarti ukuran maksimum
reservoir (Le., populasi manusia dalam contoh kita ) yang dapat dipertahankan oleh sistem . Berapa nilai Daya Dukung yang tepat ?
besar kecilnya Arus Keluar ditentukan oleh persamaan
jumlah maksimum individu yang dapat didukung sistem selama ini
seiring waktu. "Tingkat" itu diberikan oleh ekspresi
Pola Perilaku #3: Pertumbuhan Logistik 45
GAMBAR 2.12. Diagram sistem generik untuk sistem logistik.
--=k(t)· R(t), dt
k(t) = Tingkat Pertumbuhan Tak Terkendala ·{I _
Kapasitas Penghancuran
mendekati nol, dan laju pertumbuhan R(t) akan turun menuju nol
dan mendekati Tingkat Pertumbuhan Tak Terkendala . Kapan pun hal ini terjadi,
Persamaan sistem (2.10) mengungkapkan beberapa kesamaan penting antara pertumbuhan penduduk akan melambat.
di mana perubahan R(t) sebanding dengan ukuran R (t) saat ini . tidak seperti
Sebaliknya , jika Ro jauh lebih besar dari Kapasitas Canying , maka berarti arus masuk (Le., " kelahiran ") akan melebihi arus keluar, dan
.
(Le.,Ro) jauh lebih kecil dibandingkan Kapasitas Canying , maka Persamaan (2.16)
k(t) akan dimulai dengan nilai negatif yang besar. Oleh karena itu, R(t) akan mulai sistem eksponensial, bagaimanapun , proporsionalitas konstan dalam logistik
Persamaan selisih reservoir pada Gambar 2.12 diberikan oleh
sistem pada awalnya akan berperilaku seperti sistem pertumbuhan eksponensial. Seiring berjalannya waktu
Pemahaman yang masuk akal mengenai sistem logistik menunjukkan bahwa hal tersebut akan terjadi mendekati Kapasitas Canying , k(t) akan kembali mendekati nol, dan R(t) akan kembali Perbandingan Persamaan (2.16 ) dengan persamaan laju eksponensial
dan R(t) tumbuh ke nilai yang mendekati Kapasitas Canying , k(t) akan
mencapai kondisi tunak setiap kali reservoir R (t) mendekati Canying
akan semakin mendekati 1,0 dan Laju Arus Keluar pada Persamaan (2.14) akan meningkat
R(t +!:U) = R(t)+{Arus masuk- Arus keluar} .!:U
awalnya akan mendekati nol .
Persamaan laju reservoir diberikan oleh
jumlah "kematian" akan sangat dekat dengan jumlah " kelahiran ", dan
sistem eksponensial dan logistik. Mirip dengan sistem eksponensial, laju
(tidak tumbuh).
sistem [yaitu, k(t)] berubah seiring waktu. Faktanya, jika nilai awal R (t)
menurun dengan cepat menuju Kapasitas Canying . Saat R(t) menyusut menjadi nilai
Oleh karena itu, Laju Arus Keluar yang diberikan pada Persamaan (2.14) akan sangat kecil. Ini
. sistem akan tumbuh secara eksponensial; namun, seiring kemajuan sistem dan
Perhatikan juga bahwa sistem logistik pada Gambar 2.12 mencakup putaran umpan balik yang memperkuat dan melawan. Hal ini akan dibiarkan sebagai latihan untuk mengidentifikasi umpan balik dalam sistem ini.
menunjukkan bahwa k(t) akan mendekati Tingkat Pertumbuhan Tak Terkendala dan Di mana
menyusut jauh lebih lambat hingga akhirnya mencapai Kapasitas Canying . R(t) } (2.16)
=R(t)+{ Tingkat Pertumbuhan Tak Terkendala · R(t) - Laju Arus Keluar · R(t)}·!:U (2.15) R(t)
sistem , rasio . Kapasitas
Penghancuran
dR(t)
R(t) populasi mendekati Kapasitas Canying , rasio Kapasitas Canymg
2. Konsep Dasar Pemodelan dalam Model Sistem Lingkungan 46
Tingkat Pertumbuhan Tidak Terkendala = 0, atau R(t) = 0, atau
Kapasitas Penghancuran
Daya dukung
Kapasitas Penghancuran
1-
1+ Ae-unCONs,hujan Tikus Pertumbuhan '
2.4.3 Pertumbuhan Logistik: Ringkasan
= 0
. KAPASITAS Canymg
Tingkat Pertumbuhan Tanpa Kendala ·(1 -
.
R(t)
R(t) =
R(t)
Kapasitas Penghancuran - Ro Ro
Berdasarkan pembahasan di paragraf sebelumnya , R( t ) akan bertambah atau Kapasitas sistem . _ Hal ini mudah dikonfirmasi dengan memeriksa tarifnya
Hal ini masuk akal ketika kita mempertimbangkan bahwa Kapasitas Canying mewakili ukuran reservoir maksimum yang dapat dipertahankan oleh sistem .
akan tumbuh jika ada Kapasitas Canying yang tidak terbatas ). Kita juga bisa berasumsi Kondisi ini tercapai jika dan hanya jika salah satu dari berikut ini benar.
h
adalah A = ---=-=----"---"---"-
Kita dapat berasumsi bahwa Laju Pertumbuhan Tak Terkendala > 0 (Le., reservoir
kita dapat melihat bahwa solusi kondisi mapan untuk sistem logistik adalah R = Kapasitas Canying .
Tabel 2.5 merangkum pola perilaku pertumbuhan logistik .
SAYA -
dan sesuai dengan perilaku yang Anda harapkan dari Persamaan (2.17).
kasus ketika Ro lebih kecil dari Daya Dukung . Pastikan Anda meyakinkan diri sendiri bahwa Gambar 2.13 konsisten dengan uraian sebelumnya
atau, setara, jika
= 0 atau, setara, R(t) = Kapasitas Penghancuran . Dengan demikian, . R(t)
Analisis Persamaan ( 2.17) menegaskan bahwa R(t) akan berperilaku sedemikian rupa didorong ke nilai Kapasitas Canyingnya . Gambar 2.13 mengilustrasikan perilaku ini turunan dari R(t) akan menjadi nol. Artinya, R(t) mencapai keadaan tunak jika dR(t) = 0,
Solusi persamaan laju (2.16) adalah
menyusut menuju Kapasitas Canying ini , tergantung pada ukuran reservoir di awal . _ _
(2.17) cara agar dR (t) menjadi nol dan tetap nol untuk semua nilai t selanjutnya , adalah jika bahwa R(t) > 0 ( reservoir tidak kosong). Oleh karena itu, satu -satunya yang mungkin
Persamaan (2.16). Ingatlah bahwa jika sistem mencapai keadaan tunak , maka
dt
dt
). R(t) = 0
Pola Perilaku #3: Pertumbuhan logistik 47Saya Laju Pertumbuhan Tak Terkendala lebih besar ~ Sistem lebih cepat mendekati
keadaan tunak Kapasitas
Daya Dukung adalah nilai maksimum yang dapat dipertahankan oleh sistem _ _
Tidak dibatasi