2 Interval Konfidensi[1]

2 Interval Konfidensi

Misalkan X₁, X₂, … , X_n mempunyai densitas bersamaf[x∨θ], untuk θ ϵ Ω dengan Ω suatu interval, L(X)dan U(X) suatu statistik, berdasarkan data sampel

X₁, X₂, … , X_n dapat ditentukan harga , L(X)dan U(X).

Definisi 2.1

Suatu interval (^L(X)dan U(X)) disebut interval konfidensi (1−a)×100 % untuk θ jika : P(L(X)<θ<U(X))=1−a dengan 0<a<1. Harga terobservasi L(X)dan U(X) disebut batas atas dan batas bawah limit konfindensi.

Dalam definisi 2.1 menganggap bahwa L(X)dan U(X) berhingga. Pada kasus salah satu dari L(X)dan U(X) tidak berhingga, maka diperoleh interval satu sisi.

Definisi 2.2

1. Jika P(L(X)<θ=1−a, maka L(X) disebut limit konfindensi satu sisi bawah (1−a)×100 % untuk θ.

2. Jika P(θ<U(X))=1−a, maka U(X)disebut limit konfindensi satu sisi bawah (1−a)×100 % untuk θ.

Masalah utama dalam estimasi interval adalah bagaimana menentukan statistik L(X)dan U(X). Pada makalah ini akan dibahas metode mendapatkan estimator interval yaitu dengan metode inversi uji hipotesis dan dengan metode besaran pivot.

3 Metode Inversal Uji Hipotesis

Terdapat hubungan yang kuat antara uji hipotesis dan interval konfindensial. Secara umum dapat dikatakan bahwa setiap interval konfindensi berkorespondensi dengan uji hipotesis dan sebaliknya. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut:

Contoh 3.1

Misalkan sampel random dari populasi normal dengan rata-rata 0 dan variansi 9.

Pandang uji hipotesis H0 : θ = θ₀ vs H1 : θ ≠ θ₀ . Untuk taraf α tertentu dan berdasar contoh 4.1, uji tersebut mempunyai daerah penolakan :

{

^{X ;∨X−θ0∨≥ Za/2.}

√

³ⁿ

}

Sehingga H0 diterima untuk titik sampel dengan :

|

^x−θ0

|

^<Za/2.

√

³ⁿ atau ekuivalen

−Z_a/2. 3

√

^{n<x−θ0<Za/2.}

3

√

ⁿ

−x−Z_a/2. 3

√

^{n<−θ0<−x+Za/2.}

3

√

ⁿ

x+Z_a/2. 3

√

^{n>θ0>x−Za/2.}

3

√

^{n karena θ=θ0}

x−Z_a/2. 3

√

^n<θ<x+Za/2.

3

√

ⁿ

Karena uji ini mempunyai ukuran α, berarti P(tolak H0 | θ=θ0)=α, yang berarti P(terima H0 | θ=θ₀)=1−α.

P

(

^X−Za/2.

√

^{3n<θ<x+Za/2.}

3

√

ⁿ

)

^=1−α

Bentuk persamaan terakhir ini sesuai dengan definisi 4.2.1, sehingga:

L(X)=X−Z_a/2. 3

√

^{ndan U(X)=X+Za/2.}

3

√

ⁿ

Interval

(

^x−Za/2.

√

^{3n, x+Za/2.}

√

³ⁿ

)

yang didapatkan dengan menginversikan daerah penerimaan dari uji taraf α adalah interval kondindensi (1−α).100 % untuk θ.

Dari contoh tersebut mengilustrasikan hubungan antara interval konfindensi dan uji hipotesis. Daerah penerimaan uji hipotesis, yaitu himpunan dalam ruang sampel dimana H0 : θ = θ₀dari populasi normal dengan rata-rata θ dan variansi σ² (dimana σ² diketahui) diterima, diberikan

dengan : A

(

^θ0

)

⁼

{

^{x∨θ0−Za/2.}

√

^{σn2<x<θ0+Za/2.}

√

^σn2

}

Interval konfindensi, himpunan dalam ruang parameter dengan harga-harga θ yang masuk akal diberikan oleh :

C(x)=

{

^{θ∨x−Za/2.}

√

^{σn2 <θ<x+Za/2.}

√

^σn2

}

Kedua himpunan tersebut dihubungkan satu dengan lainnya dengan tautologi:

x∈A

(

^θ0

)

^⟺θ0∈C(x).

Teorema 3.1

Untuk setiap ^θ0∈Ω, misalkan A

(

^θ0

)

adalah daerah penerimaan taraf α dari daerah uji : H0 : θ = θ₀, untuk setiap x didefinisikan himpunan C(x) dalam ruang parameter dengan C(x)=

{

^θ0∨x∈A

(

^θ0

) }

, maka himpunan random C(x) adalah interval konfindensi (1−α).100 % untuk θ. Sebaliknya, misalkan C(x) adalah interval konfindensi (1−α).100 % untuk θ, untuk setiap setiap θ₀∈Ω didefiniskan A

(

^θ0

)

⁼

{

^{x∨θ0∈C(x)}

}

^,

maka A

(

^θ0

)

adalah daerah penerimaan taraf α dari uji : H0 : θ = ^θ0.

Kenyataan bahwa uji hipotesis dapat diinversikan untuk mendapatkan interval konfindensi dan sebaliknya secara teoritis menarik, tetapi bagian yang benar-benar berguna dari teorema 4.3.1 adalah bagian pertama, relatif mudah untuk mengkonstruksikan daerah penerimaan uji hipotesis taraf α. Semua teknik yang telah dipunyai untuk mendapatkan daerah penerimaan uji hipotesis, dengan sendirinya dapat digunakan untuk membanguan interval konfindensi.

Contoh 3.2

Misalkan X1, X2, …, Xn adalah sampel random independen dari populasi berdistribusi normal dengan rata-rata μdan variansi σ² dengan μ dan σ² keduanya tidak diketahui.

Akan dibangun (1−α).100 % limit konfindensi atas untuk μ. Dengan perkataan lain kita menginginkan interval konfindensi dengan bentuk : C(x)=(−∞ .U(x))^{. untuk} mendapatkan interval tersebut dengan menggunakan teorema 4.3.1, dengan menginversikan uji satu sisi dengan bentuk : H0 : μ=μ0 vs H1 : μ<μ0. Dengan GLRT ukuran α dari uji tersebut, tolah H0 bila :

X−μ₀

S/

√

^{n ←tα ; n−1 dengan S=}

√

ⁿ⁻¹¹

∑

ⁱ⁼¹ⁿ

(

^Xi−X

)

^²

Jadi daerah penerimaan untuk uji ini adalah : A

(

^μ0

)

⁼

{

^{x∨x ≥ μ0−tα ; n−1.}

√

^Sn

}

x∈A

(

^μ0

)

^⟺x+tα ; n−1. S

√

^{n≥ μ0}

Dengan teorema 3.1 dapat didefinisikan : C(x)=

{

^μ0∨x∈A

(

^μ0

) }

=

{

^{μ0∨x+tα ; n−1.}

√

^{Sn≥ μ0}

}

himpunan random : C(x)=

(

^{−∞ , x+tα ; n−1.}

√

^Sn

)

adalah interval konfindensi (1−α).100 % untuk μ.