MAKALAH
PERNYATAAN BERKUARTOR DAN MAJEMUK BERSUSUN
Disusun oleh :
1. Andre Inal Harahap (21090004)
2. Nanda Sari (21090005)
3. Alya Wulandari (21090011)
4. Andre Kristian Siallagan (21090032)
5. Dahlia Pasaribu (21090034)
6. Yohanes Situmeang (21090041)
DOSEN PENGAMPU : Roslian Lubis, M.Pd
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU
PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PENDIDIKAN TAPANULI SELATAN
2022
KATA PENGANTAR
Puji syukur kami panjatkan kehadirat Allah SWT karena dengan rahmat, karunia, serta taufik dan hidayah-Nya kami dapat menyelesaikan makalah tentang
“Pernyataan Berkuartor dan Majemuk Bersusun” ini dengan baik meskipun banyak kekurangan didalamnya. Dan juga kami berterima kasih kepada Ibu Roslian Lubis, M.Pd selaku Dosen mata kuliah Kapita Selekta Matematika Sekolah di Institut Pendidikan Tapanuli Selatan yang telah memberikan tugas ini kepada kami.
Untuk itu kami selaku penyusun sangat berterimakasih kepada semua pihak yang telah membantu dalam penyusunan makalah ini. Terutama kepada dosen mata kuliah Administrasi Pendidikan yang telah memberikan bimbingannya sehingga makalah ini dapat kami selesaikan tepat pada waktunya.
Selaku penyusun kami sangat mengetahui bahwa makalah ini jauh dari kesempurnaan. Oleh karena itu, kami mohon kritik dan saran yang membangun agar kami dapat menyusunnya kembali lebih baik dari sebelumnya.
Semoga makalah ini dapat bermanfaat bagi semua pihak, terutama bagi kami selaku penyusun.
Padangsidimpuan, 18 Oktober 2022
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ... 1
KATA PENGANTAR ... 2
DAFTAR ISI ... 3
BAB I PENDAHULUAN ... 4
A. Latar Belakang Masalah ... 4
B. Rumusan Masalah ... 4
C. Tujuan Penulisan ... 4
BAB II PEMBAHASAN ... 5
A. Defenisi Pernyataan... 5
B. Pernyataan Berkuartor ... 5
C. Pernyataan Majemuk Bersusun... 7
BAB III PENUTUP ... 10
A. Kesimpulan ... 10
DAFTAR PUSTAKA ... 11
BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah
Bahasa adalah suatu bentuk pengungkapan yang sangat kompleks dan fleksibel. Bahasa dapat digunakan untuk menyampaikan emosi yang sangat mendalam kepada orang yang sangat dicintai atau hal yang sama sekali tak ada artinya kepada orang banyak. Banyak matematikawan dan filsuf bekerja keras untuk menyederhanakan bahasa menjadi prosedur simbolik, sehingga ungkapan dengan bahasa diubah menjadi manipulasi simbolik. Pengembangan cara simbolik dimaksudkan untuk dapat mengubah ungkapan-ungkapan yang kompleks ke bentuk yang jauh lebih sederhana namun ekuivalen. Di samping itu, pendekatan simbolik perlu memuat aturan-aturan dasar tentang penalaran yang sahih (valid reasoning). Pengungkapan verbal yang kompleks dalam bentuknya yang lebih sederhana harus mempunyai arti atau dapat ditunjukkan barangkali memuat sesuatu kekeliruan atau kontradiksi. Jelasnya, pendekatan simbolik ini harus membuktikan kegunaannya dalam banyak bidang. Perlu diperhatikan bahwa penalaran yang sahih dan pengungkapan yang jelas adalah hal yang sangat penting dalam matematika.
Dalam percakapan sehari-hari banyak ungkapan-ungkapan yang bersifat deklaratif, yaitu ungkapan yang diucapkan akan mempunyai arti; maksudnya, ungkapan akan benar atau salah tetapi tidak pernah sekaligus benar dan salah.
Ungkapan semacam ini dalam logika matematik dinamakan pernyataan.
B. Rumusan Masalah
Dari latar belakang masalah yang sudah dipaparkan, maka didapatkan beberapa rumusan masalah diantaranya :
1. Bagaimana prinsip administrasi pendidikan?
2. Apa saja tingkat administrasi?
C. Tujuan Penulisan
Dari rumusan masalah yang sudah dijabarkan maka didapatkan beberapa tujuan penulisan, diantaranya :
1. Untuk mengetahui bagaimana perinsip administrasi pendidikan.
2. Untuk mengetahui apa saja tingkat administrasi
BAB II PEMBAHASAN A. Defenisi Pernyataan
Pernyataan adalah suatu ungkapan atau kalimat deklaratif yang hanya mempunyai tepat satu nilai, yakni nilai benar atau salah. Ada banyak lambang atau simbol yang menyajikan pernyataan. Huruf-huruf p,q, r dan sebagainya yang akan digunakan, bukan merupakan pernyataan; sebab menurut definisinya suatu pernyataan harus mempunyai tepat satu nilai benar atau salah.
Nilai benar atau salah tidak dapat diberikan kepada huruf yang belum diketahui maknanya. Huruf-huruf yang belum diketahui artinya p,q, r dan sebagainya yang digunakan untuk menyajikan secara simbolik sesuatu pernyataan dikatakan bentuk pernyataan. Huruf-huruf tersebut bukanlah pernyataan melainkan sekedar menduduki tempat yang disediakan untuk pernyataan, atau sekedar pembawa tempat untuk pernyataan. Huruf-huruf p,q, r dan sebagainya dapat juga dikatakan sebagai variable.
B. Pernyataan Berkuartor
Kuartor adalah pengukur kuantitas atau jumlah. Pernyataan berkuantor artinya pernyataan yang mengandung ukuran kuantitas atau jumlah. Biasaanya pernyataan berkuantor mengandung kata semua, setiap, beberapa, ada, dan sebagainya. Kata semua, setiap beberapa, ada, atau tiap-tiap merupakan kuantor karena kata-kata tersebut menyatakan ukuran jumlah. Pernyataan berkuantor dibagi menjadi tiga bagian, yaitu :
1. Kuartor Universal.
Kuantor universal contohnya adalah semua, untuk setiap, atau untuk tiap tiap. Berikut ini beberapa contoh pernyataan yang menggunakan kuantor universal.
a. Semua kucing mengeong.
b. Tiap-tiap manusia yang dilahirkan memilikim seorang ibu.
c. Setiap bilangan asli lebih besar daripada nol.
Misalkan p(x) adalah kalimat terbuka yang didefinisikan pada himpunan semesta S, maka pernytaaan:
dibaca “untuk setiap x elemen S, bersifat p(x)” atau “untuk setiap x, bersifat p(x)”
Disebut pernyataan kuantor universal dan kata untuk setiap dalam pernyataan di atas disebut kuantor universal.
Kata-kata yang sering muncul/dipakai dalam pernyataan kuantor universal adalah semua dan untuk setiap. Simbol matematis untuk kedua kata tersebut adalah "∀".
Nilai kebenaran dari pernyataan berkuantor ∀x, p(x) bergantung pada himpunan semesta yang ditinjau dan kalimat terbuka p(x).
Contoh:
1) Apabila p(x) : x + 4 > 3 dengan himpunan semesta Z (himpunan bilangan asli), maka pernyataan: ∀ x ∈ Z; x + 4 > 3 adalah suatu pernyataan yang bernilai benar, karena HP = {1, 2, 3, 4, ...} = Z
2) Apabila q(x) : x + 1 > 8 dengan himpunan semesta Z (himpunan bilangan asli), maka pernyataan : ∀ x ∈ Z; x + 1 > 8 adalah suatu pernyataan yang bernilai salah, karena untuk x = 1, 1 + 1 < 8. HP = {8, 9, 10, ...} ≠ Z
Dari contoh di atas, dapat disimpulkan bahwa:
Apabila {x | x ∈ Z, p(x)} = Z maka ∀ x ∈ Z, p(x) adalah benar.
Apabila {x | x ∈ Z, p(x)} ≠ Z maka ∀ x ∈ Z, p(x) adalah salah.
2. Kuantor Eksistensial.
Eksistensial merupakan kata sifat dari eksis, yaitu keberadaan. Kuantor eksistensial artinya pengukur jumlah yang menunjukkan keberadaan. Dalam matematika “ada” artinya tidak kosong atau setidaknya satu. Contoh kuantor eksistensial adalaha ada, beberapa, terdapat, atau sekurang-kurangnya satu.
Berikut beberapa contoh pernyataan menggunakan kuantor eksistensial.
a. Ada rumah yang tak memiliki jendela.
b. Beberapa burung tidak bisa terbang.
c. Terdapat bilangan asli x yang jika dikalikan 5 hasilnya 10.
Misalkan p(x) adalah suatu kalimat terbuka yang didefinisikan pada himpunan semesta S, maka pernyataan :
dibaca “terdapat x elemen S sedemikian sehingga p(x) benar” atau “terdapat x yang bersifat p(x)”
Disebut pernyataan eksistensial (khusus) dan kata ada dalam pernyataan di atas disebut kuantor eksistensial.
Kata-kata yang sering muncul/dipakai dalam pernyataan eksistensial adalah ada, beberapa, dan paling sedikit satu. Simbol matematis untuk ketiga kata tersebut sama yaitu "∃".
Contoh:
3) Apabila ∃ n ∈ Z, n + 4 < 7, dengan Z = himpunan bilangan asli adalah pernyataan benar, karena : {n | n + 4 < 7} = {1, 2}
4) Apabila ∃ n ∈ Z, n + 6 < 4, dengan Z = himpunan bilangan asli adalah pernyataan salah, karena : {n | n + 6 < 4} = { 1,2 }
Dari contoh di atas, dapat disimpulkan bahwa:
Apabila {x | p(x)} ≠ { } maka ∃x, p(x) adalah benar.
Apabila {x | p(x)} = { } maka ∃x, p(x) adalah salah.
C. Pernyataan Majemuk Bersusun
Pernyataan majemuk bersusun merupakan pernyataan yang disusun lebih dari dari 2 pernyataan yang berbeda, misalnya p,q,r dan ingkarannya atau p,q,r,s dan ingkarangnya. Dari bentuk-bentuk pernyataan dapat dibuat bentuk pernyataan barudengan menggunakan kata-kata penghubung yang disajikan dengan lambang sebagai berikut,
Penghubun
g Simbol
Bentuk Pernyataa
n
Nama Arti
dan ∧ p ∧ q Konjungsi
Hanya bernilai benar jika variable keduanya benar, selain itu bernilai salah.
atau ∨ p ∨ q Disjungsi
Hanya bernilai salah jika variable keduanya salah, selain itu bernilai benar.
jika…maka → p → q Kondisional
Bernilai salah ketika variable awal bernilai benar bertemu dengan variable kedua bernilai salah, selain itu bernilai benar.
jika dan
hanya jika ↔ p ↔ q Bikondisiona
l
Bernilai benar jika kedua variable memiliki nilai yg sama (dalam hal ini sama-sama benar atau sama-sama salah).
tidak ∼ ∼ p Ingkaran Kebalikan dari nilai
variable yg dimiliki.
Kondisional dinamakan juga implikasi, sedangkan bikondisional disebut juga biimplikasi atau ekuivalensi, dan ingkaran dinamakan juga negasi. Dasar penghitungan pernyataan majemuk bersusun menggunakan Logical Connectives.
Misal diberikan 2 variable (2^2) yang berarti memiliki 4 jenis peluang benar salah; dengan ketentuan variable pertama bernilai BBSS sedangkan variable kedua bernilai BSBS.
a. Tautologi
Tautologi merupakan pernyataan majemuk yang selalu bernilai benar untuk setiap nilai kenenaran dari pernyataan tunggalnya tanpa memandang nilai pembentuknya.
Contoh tautologi : buktikan nilai kebenaran dari (p ∧ q) → (p → q)!
p q p ∧ q p → q
(p ∧ q)
→ (p → q)
B B B B B
B S S S B
S B S B B
S S S B B
b. Kontradiksi
Kontradiksi merupakan pernyataan majemuk yang memiliki kebenaran selalu salah untuk semua kombinasi nilai kebenaran dari proposisi tunggal yang membentuknya. Kontradiksi merupakan kebalikan dari tautologi.
Apapun nilai kebenaran dari pernyataan tunggalnya, baik benar (B) atau salah (S), nilai kebenaran proposisi majemuknya akan selalu salah.
Contoh kontradiksi : buktikan nilai kebenaran dari (p ∧ q) ↔ (p → q)!
p q q p ∧ q p → q (p ∧ q) ↔ (p
→ q)
B B S B S S
B S B S B S
S B S S B S
S S B S B S
c. Kontingensi
Kontingensi merupakan proposisi majemuk yang tidak selalu bernilai dan juga tidak selalu bernilai salah. Nilai kebenaran merupakan kumpulan dari benar dan salah diluar tautologi dan kontradiksi. Nilai kebenaran ini
tergantung dari nilai kebenaran proposisi tunggal pembentuknya dan operator logika
penghubungnya.
Contoh kontingensi : buktikan nilai kebenaran dari (p ∧ q) ↔ p!
p q p ∧ q (p ∧ q)
↔ p
B B B B
B S S S
S B S B
S S S B
BAB III PENUTUP A. Kesimpulan
Pernyataan berkuartor dan majemuk bersusun adalah materi yang dibahas dalam logika matematika. Pernyataan adalah suatu ungkapan atau kalimat yang hanya mempunyai tepat satu nilai, yakni nilai benar atau salah. Sedangkan Pernyataan berkuantor berarti pernyataan yang mengandung ukuran kuantitas atau jumlah dan terbagi dua yakni, kuartor universal dan kuartor eksistensial.
Berdasarkan nilai kebenarannya, majemuk bersusun terbagi atas 3 bagian yakni, tautologi, kontradiksi, dan kontingensi. Tautologi merupakan pernyataan yang semua nilai kebenarannya benar. Kontradiksi merupakan pernyataan yang semua nilai kebenarannya salah; dan Kontingensi merupakan pernyataan yang bukan tautologi dan kontradiksi.
DAFTAR PUSTAKA
Soemantri. 1999. Aljabar Bentuk Pernyataan. MATA4220, Universitas Terbuka.
Diambil pada tanggal 18 Oktober 2022 dari
http://repository.ut.ac.id/4657/1/MATA4220-M1.pdf
Mangelep, N. 2009. Modul Logika Matematika. Fak. Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Manado
Kevindo, A; Rabata, A. 2013. Logika Matematika. FKIP Matematika, Universitas Katolik Widya Mandala, Madiun.
Kholisiyah, R N. 2021. Materi Ajar Matematika: Logika Matematika. Universitas
Muhammadiyah Surakarta, dipublis oleh
https://online.anyflip.com/uavxt/byml/mobile/ diakses pada 18 Oktober 2022.
