Pengenalan Konsep dan Penerapannya

(1)

PROBABILITAS

A n g g r a i n i M u l w i n d a S T M E n g

# Variabel Random

# Distribusi Probabilitas Diskret

(2)

Random Variable

Definisi 1:

• Variabel random adalah suatu fungsi yang memetakan ruang sampel (S) ke himpunan bilangan Real (R), dan ditulis X : S  R

Contoh 1:

• Pelemparan uang logam setimbang sebanyak tiga kali. Ruang sampelnya S = {GGG, GGA, GAG, AGG, GAA, AGA, AAG, AAA}.

Dari percobaan ini dapat didefinisikan beberapa variabel random yang mampu memetakan ruang sampelnya ke dalam bilangan real.

Salah satu variabel random yang dapat dibuat adalah

(3)

Random Variable

Definisi 2 :

• Ruang Sampel Diskrit adalah apabila ruang sampelnya

mengandung titik sampel yang berhingga atau terhitung banyaknya.

• Variabel random yang didefinisikan di atas ruang sampel diskrit disebut variabel random diskrit.

Contoh 2 :

• banyaknya barang yang cacat, dalam pengambilan sampel sebesar X barang.

• banyaknya yang meninggal karena terserang suatu infeksi pernafasan setiap tahun di Surabaya.

(4)

Random Variable

Definisi 3 :

• Ruang Sampel Kontinu adalah apabila ruang sampelnya

mengandung titik sampel yang tak berhingga banyaknya, dan memuat semua bilangan real dalam suatu interval.

• Variabel random yang didefinisikan di atas ruang sampel kontinu disebut variabel random kontinu.

Contoh 3 :

• lamanya reaksi kimia tertentu

• jarak yang ditempuh sebuah mobil yang diisi dengan 5 liter bensin.

(5)

Distribusi Probabilitas

Kunci aplikasi probabilitas adalah memperkirakan terjadinya peluang/probabilitas yang dihubungkan

dengan terjadinya peristiwa dalam beberapa keadaan.

Jika kita mengetahui keseluruhan probabilitas dari

kemungkinan yang akan terjadi, seluruh probabilitas

kejadian tersebut akan membentuk suatu distribusi

probabilitas.

(6)

Distribusi Probabilitas

Diskrit

• Distribusi dimana peubahnya secara teoritis tidak dapat menerima

sembarang nilai diantara dua nilai yang diberikan.

• Distribusi peluang dengan variabel random bersifat diskrit pada suatu waktu.

• Distribusi kontinyu merupakan model

matematik yang menghubungkan nilai

variabel dengan probabilitas

(7)

Distribusi Probabilitas

Beberapa distribusi yang termasuk dalam Distribusi Probabilitas Diskrit yang dibahas di sini adalah:

1. Distribusi Peluang Binomial 2. Distribusi Peluang Multinomial

3. Distribusi Peluang Binomial Negatif 4. Distribusi Peluang Geometrik

5. Distribusi Peluang Hipergeometrik

6. Distribusi Peluang Poisson

(8)

[Diskrit] Distribusi Binomial

Distribusi Bernoulli

Distribusi Bernoulli berdasarkan oleh suatu

percobaan Bernoulli (Bernoulli trial). Percobaan Bernoulli harus memenuhi syarat:

 Hasil percobaan yang mungkin hanya salah satu da i Be hasil atau Gagal

 Jika probabilitas berhasil p, maka probabilitas

gagal q = 1 – p

(9)

Distribusi Binomial berasal dari percobaan binomial, yaitu suatu percobaan Bernoulli yang diulang sebanyak n kali dan tidak saling terikat:

Syarat distribusi Binomial:

1. Percobaan terdiri atas n usaha yang berulang.

2. Pengambilan sampel dilakukan dengan pengembalian (sehingga percobaan tsb saling bebas)

3. Tiap usaha ha a e pu ai ke u gki a aitu sukses atau gagal ,

Peluang sukses (atau laki-laki, atau angka, dsb), dinyatakan dengan p, tidak berubah dari usaha yang satu ke yang

berikutnya, dan peluang gagal (atau opposite-nya) dinyatakan

(10)

Formula Peluang Binomial

Dengan n = banyaknya percobaan x = banyaknya kejadian p = peluang sukses

Notasi

!

) ,

( n

n C C x

n C

C       

ⁿ



(11)

(12)

Contoh:

• Berapa peluang mendapatkan 3 anak laki-laki dari 4 kelahiran ?

Peluang anak laki-laki (p) dan perempuan (q) = 0,5

(13)

Contoh 1

Suatu suku cadang dapat menahan uji goncangan tertentu dengan

probabilitas ¾. Hitunglah probabilitas bahwa tepat dua dari empat suku cadang yang diuji tidak akan rusak.

Diketahui

probabilitas sukses (p) = ¾ Banyak percobaan (n) = 4 Kejadian (x)=2

Jika pengujian bersifat bebas maka

(14)

[Diskrit] Distribusi Binomial

Contoh 2

Keluarga Markus berencana memiliki 3 anak. Bila x menyatakan banyaknya kelahiran anak laki-laki,

a. Hitunglah probabilitas kelahiran 2 anak laki-laki

b. Probabilitas memiliki tidak lebih dari 2 anak laki-laki c. Hitung rata-rata dan simpangan bakunya

(15)

[Diskrit] Distribusi Binomial

Diketahui

Probabilitas p (laki-laki) = q (perempuan) = 0,5 n = 3

a. Probabilitas lahir 2 anak laki-laki

� � = = , , ⁻

= _{! − !}^! , = ,

(16)

b. Probabilitas lahir tidak lebih dari 2 anak laki-laki

� � ≤ = , , ⁻ + , , ⁻ + , , ⁻

= , + , + ,

= ,

Cara lain menggunakan tabel distribusi binomial � � ≤ = � �: : , = ,

(17)

(18)

c. Rata-rata, ragam, dan simpangan baku : =3 . 0,5 = 1,5

� = �. . = . , . , = ,

(19)

Selanjutnya lihat hal 75 buku teks :

STATISTIKA & PROBABILITAS, Sudaryono MPd, Penerbit Andi, Yk 2012

(20)

[Diskrit] Distribusi Binomial

1. Hitung Peluang untuk mendapatkan 6 muka G ketika melakukan undian dengan sebuah mata uang homogen sebanyak 10 kali!

2. 10 % dari hasil produksi tergolong ke dalam kategori A. Sebuah sampel berjumlah 30 telah diambil secara acak. Berapa peluang sampel itu akan berisikan benda kategori A :

a. semuanya, b. sebuah, c. dua buah,

d. paling sedikit sebuah, e. paling banyak dua buah

f. tentukan rata-rata terdapatnya kategori A.

3. Debit puncak banjir sungai periode T=5 tahun adalah 400m3/det. Tentukan dalam waktu 10 tahun peluang debit banjir tersebut:

a. Tidak terjadi ?

(21)

[Diskrit] Distribusi Binomial

1. P (x = 6) = ( ½ )⁶ ( ½ )⁴ = (210) ( ½ )¹⁰ = 0,2050 2. Penyelesaian :

(22)

3.

(23)

[Diskrit] Distribusi Multinomial

Dalam teori probabilitas, distribusi multinomial merupakan generalisasi dari distribusi binomial. Percobaan binomial menjadi percobaan multinomial bila tiap usaha dapat memberikan lebih dari dua hasil.

Syarat distribusi Multinomial:

1. Percobaan terdiri atas n usaha yang berulang.

2. percobaan tsb saling lepas dan saling meniadakan (mutually exclusive)

3. Tiap usaha mempunyai lebih dari 2 kemungkinan

(24)

Misal setiap percobaan bisa menghasilkan k hasil yg berbeda, E₁, E₂, …,E_k masing-,masing dengan probabilitas p₁, p₂, …,p_k. Maka distribusi multinomial f(x₁,x₂,…,x_k; p₁,p₂, ..,p_k, n) akan memberikan probabilitas bahwa E₁ akan muncul sebanyak x₁ kali, E₂ akan muncul sebanyak x₂ kali, dst dalam pengambilan independen sebanyak n kali, jadi

x₁+ x₂+ ….+ x_k=n p₁+p₂+ …+ p_k =1

(25)

[Diskrit] Distribusi Multinomial

Rata – Rata ( μ ) dan Varian Distribusi Multinomial ( � )

� = �

_{� �}

�

^�

= �

_{� � �}

Contoh 1.

Berdasarkan teori genetika, perbandingan seekor hamster betina akan melahirkan anak dengan warna bulu merah, hitam, dan putih adalah 8:4:4.

Hitung peluang akan lahir anak dengan warna merah 5 ekor, hitam 2 ekor, dan putih 1 ekor, dari seluruh kelahiran sejumlah 8 ekor.

5 2 5 3

8

5 2 8 4

5,2,1

8 4 4 8 4 4 8! 8 4 1 168

5, 2,1; , , 168 0,656

16 16 16 16 16 16 5!2!1! 16 4 256

f                     

(26)

[Diskrit] Distribusi Multinomial

Contoh 2.

Dalam undian dengan sebuah dadu sebanyak 12 kali maka peluang di dapat mata dadu 1, 2, 3, 4, 5, 6 masing-masing tepat 2 kali adalah ?

� , , , , , ;₆,₆,₆,₆,₆,₆;

= , , , , ,

= ! ! ! ! ! !^! = ^{× ×9× ×} = = ,

(27)

Contoh 3.

Sebuah airport memiliki 3 buah landas pacu (runway), dan probabilitas sebuah runway dipilih oleh pesawat yg akan mendarat adalah:

runway 1 : 2/9 runway 2 : 1/6 runway 3 : 11/18

Hitung probabilitas 6 pesawat yang datang didistribusikan secara acak ke dalam runways tersebut dengan komposisi:

runway 1 : 2 pesawat runway 2 : 1 pesawat runway 3 : 3 pesawat

(28)

[Diskrit] Distribusi Multinomial

Pemilihan runway acak dan independen, dengan p

¹

=2/9, p

²

=1/6,

dan p

³

=11/18. Probabilitas untuk x

¹

=2, x

²

= 1 dan x

³

=3 adalah

(29)

[Diskrit] Distribusi Binomial Negatif

Suatu percobaan independen dapat mendapatkan hasil sukses dengan probabilitas p dan outcome gagal dengan probabilitas q = 1 – p, Sebanyak k kali adalah sukses berarti (x-k) gagal.

Banyak kombinasi yg berbeda dari (x-1) elemen yg terdiri dari (k-1) sukses dan (x-k) gagal adalah kombinasi (x-1) diambil (k-1) elemen:

P o a ilitas u tuk e dapatka sukses pada pe o aa ke-x, yg didahului oleh (k-1) sukses – berarti urutan ke-x tsb adalah sukses ke k, da (x-k)

gagal , de ga u uta sukses dan gagal te te tu adalah:

(30)

[Diskrit] Distribusi Binomial Negatif

Contoh 1.

Sebuah obat diketahui efektif 60% dari total pemakaiannya. Kita ingin tahu probabilitasnya bahwa pasien ke lima yg sembuh memakai obat ini adalah pasien ke tujuh yg diberikan obat ini. Jadi jika S:sembuh dan G:gagal, salah satu kemungkinan urutan peristiwanya adalah SGSSSGS. Untuk urutan spt ini akan muncul dengan probabilitas :

(0.6)(0.4) (0.6)(0.6) (0.6)(0.4) (0.6) = (0.6)⁵(0.4)².

Kita bisa mencari seluruh permutasi urutan S dan G, dengan kendala bahwa elemen ketujuh (terakhir) harus S yg kelima. Jadi banyaknya konfigurasi adalah sama dengan banyak cara mempartisi 6 elemen, menjadi 2 grup, yg terdiri dari 4S dan 2G, yang tak lain adalah kombinasi 6 elemen diambil 4!

(31)

[Diskrit] Distribusi Binomial Negatif

Keterangan:

Kita bisa memandang bahwa dalam kasus ini kita punya 6 elemen, yaitu : S₁ S₂ S₃ S₄ G₁ G₂. Pertama kita pikirkan banyaknya seluruh permutasi yg mungkin dari 6 elemen ini adalah 6! Tetapi karena sebenarnya

S₁=S₂=S₃=S₄=S, maka banyak konfigurasi yg berbeda harus dibagi 4!

Misal : S₁G₁S₂S₃G₂S₄ = S₂G₁S₁S₃G₂S₄= S₂G₁S₂S₄G₂S₃ = ….

yaitu seluruh permutasi yg mungkin dari label 1,2,3,4 pada S

Demikian juga untuk G₁ dan G₂, sehingga total konfigurasinya harus dibagi 2!, jadi total konfigurasi yg berbeda yg melibatkan 4S dan 2G adalah:

= !

! !

(32)

[Diskrit] Distribusi Binomial Negatif

Contoh 2.

Carilah peluang bahwa seseorang yang melemparkan tiga uang logam

sekaligus akan mendapat semuanya muka atau semuanya belakang untuk kedua kalinya pada lemparan kelima.

untuk x = 5, k = 2, dan p = ¼ diperoleh

(33)

[Diskrit] Distribusi Geometrik

Jika probabilitas sebuah sukses = p dan probabilitas gagal q = 1 - p, dan x adalah variabel random yg menyatakan jumlah percobaan yg diperlukan agar didapatkan sukses yg pertama kali, maka probabilitas g(x,p) = pq

^x-1

Ini disebut distribusi geometrik, yg tak lain adalah kasus khusus

dari distribusi binomial negatif, di mana banyak sukses k=1 dan

terjadi di akhir percobaan yg sebanyak x :

(34)

Jika dan σ² menyatakan mean (rata-rata) dan variansi dari variabel random x yg memiliki distribusi geometrik, maka:

(35)

Contoh 1.

Dalam sebuah proses produksi diketahui, secara rata-rata 1 dari 100 hasil produksinya cacat. Berapakah probabilitasnya jikalau pada pengambilan kelima dari hasil produksinya dijumpai hasil produksi yg cacat pertama kali (jadi 4 yg pertama bagus)?

Jumlah percobaan x=5, p o a ilitas sukses aitu p oduk a at p= . , berarti probabilitas gagal = -p = 1-0.01 =0.99.

Jadi probabilitas mendapatkan hasil produk kelima adalah cacat yg pertama adalah :

g(x=5;p=0.01)= (0.01)(0.99)5-1 = 0.0096 = 0.96%

(36)

[Diskrit] Distribusi Hipergeometrik

Perbedaan diantara distribusi binomial dan distribusi

hipergeometrik adalah terletak pada cara penarikan sampel.

• Dalam distribusi binomial diperlukan sifat pengulangan yang saling bebas, dan pengulangan tersebut harus dikerjakan

dengan pengembalian (with replacement).

• Sedangkan untuk distribusi hipergeometrik tidak diperlukan

sifat pengulangan yang saling bebas dan dikerjakan tanpa

pengembalian (without replacement).

(37)

[Diskrit] Distribusi Hipergeometrik

• Andaikan sebuah populasi berisikan N elemen terhingga, k elemen sukses dan N – k merupakan elemen gagal. Sampel berukuran n diambil secara acak dari populasi tersebut. X merepresentasikan jumlah sukses dalam sampel. Peubah acak X disebut berdistribusi Hipergeometrik dengan notasi h(x:N:n:k) jika dan hanya jika :

ℎ �: �: �: � =

�� − �

� − �

��

• Suku pembagi (denominator) menyatakan banyak kombinasi yg terjadi jika dari N obyek diambil n tiap kali.

• Faktor pertama suku terbagi (numerator) menyatakan banyaknya kombinasi dari obyek berjenis sukses yg berjumlah k jika tiap kali diambil sebanyak x buah.

• Faktor kedua suku terbagi (numerator) menyatakan banyaknya kombinasi dari obyek berjenis gagal sebanyak N-k jika tiap kali diambil sebanyak (n-x) buah.

x = , , , , …, n

(38)

[Diskrit] Distribusi Hipergeometrik

• Penggunaan distribusi hipergeometrik terdapat pada pengujian yang dilakukan terhadap barang yang diuji mengakibatkan barang yang teruji tersebut menjadi rusak, jadi tidak dapat dikembalikan.

Contohnya pada pengujian elektronik, dan pengendalian mutu.

• Nilai rata-rata dan varian dari distribusi hipergeometrik adalah :

(39)

Contoh 1.

Suatu jenis suku cadang mobil dijual dalam bentuk paket yg isinya 10 buah.

Produsen merasa bahwa bahwa paket tsb dinyatakan dapat dite i a jikalau tak lebih dari 1 buah suku cadang/ paket yg cacat. Untuk memeriksa kualitasnya dilakukan sampling secara random diambil beberapa paket, dan ditiap paket dilakukan pemeriksaan terhadap 3 buah suku cadang dari paket yg disampel. Kemudian paket dinyatakan baik jika dari 3 yg diperiksa tsb tidak satupun yg cacat. Berapakah probabilitasnya seandainya sampel yg diambil sebenarnya mengandung 2 buah suku cadang cacat (jadi unacceptable), tapi ketika diambil sampel 3 ternyata tak satupun juga cacat, sehingga salah mengambil kesimpulan!

(40)

[Diskrit] Distribusi Hipergeometrik

Jawab

• Misalkan bahwa ada lot yg benar-benar tak bisa diterima, karena 2 dari 10 isinya cacat. Kita hitung berapa probabilitasnya bahwa teknik sampling yg kita lakukan dapat menemukan hal ini

• Misal X adalah banyak suku cadang yg cacat, maka probabilitas bahwa dari 3 suku cadang yg diambil tak satupun cacat adalah sbb:

• Jumlah yg cacat di paket k=2, yg terambil tidak ada, X=0. Isi satu paket N=10, jadi yg baik N-k=10-2=8. Dari paket diambil n=3 sampel.

• Banyaknya kombinasi bahwa dari k=2 cacat di paket tidak terambil sama sekali (x=0) adalah C = 2!/(0!2!)=1. Dan kombinasi dari 8 yg cacat diambil

(41)

[Diskrit] Distribusi Hipergeometrik

• Jadi probabilitas bahwa yg terambil mengandung 3 buah item dan tak satupun cacat adalah :

• Jadi ada probabilitas 47% bahwa walaupun sebenarnya paketnya mengandung 2 cacat, tapi dari 3 sampel suku cadang yg diperiksa tak satupun juga yg cacat, sehingga salah mengambil kesimpulan bahwa paket tsb bagus! (Acceptable).

(42)

Contoh 2.

Paket yg terdiri dari 40 item, dinyatakan ditolak jikalau paket tsb mengandung item cacat 3 atau lebih. Prosedur sampling yg diterapkan adalah dengan mengambil sampel 5 item, dan memeriksanya jikalau ditemui yg cacat, maka keseluruhan paket ditolak.

a) berapakah probabilitasnya bahwa jika ternyata paket mengandung 3 item cacat, bisa ketemu 1 cacat di sampel 5 item yg dipilih?

b) jika X menyatakan banyak item yg cacat, hitunglah mean dan variansi, c) pergunakan teorema Chebysev untuk menaksir interval ± 2σ.

(43)

[Diskrit] Distribusi Hipergeometrik

Jawab

a) Banyak item cacat terambil x=1, banyak total item N=40, sampel yg diambil n=5, total item cacat di populasi k=3. Probabilitas 1 item cacat terambil dari 5 yg diambil:

b) Nilai mean x yaitu rata-rata jumlah sampel cacat yg terambil dan variansinya adalah:

(44)

c) Standard deviasinya σ = . 8, sehingga interval ± σ adalah:

0.375 ± 2(0.558) = -0.741 s/d 1.491.

Teorema Chebysev menyatakan terdapat probabilitas 75% dari sampel 5 yg diambil tersebut akan mengandung jumlah item yg cacat sebanyak - 0.741 dan 1.491. Jadi berarti 3 dari 4 kesempatan, dari 5 buah sampel item yg diambil mengandung komponen yg cacat kurang dari 2.

(45)

[Diskrit] Distribusi Poisson

Percobaan yg menghasilkan variabel random X yg menyatakan banyaknya outcome selama interval waktu tertentu atau dalam a ea atau luas

tertentu dinamakan percobaan Poisson.

Contoh:

X : banyak panggilan telepon per jam

X : banyak hari-hari sekolah tutup karena bencana alam dalam setahun X : banyaknya penundaan pertandingan bola karena hujan dalam semusim

pertandingan

X : banyak tikus per hektare

X : banyaknya kesalahan ketik per halaman

(46)

[Diskrit] Distribusi Poisson

Karakteristiknya :

1) Tidak punya memori atau ingatan, yaitu banyaknya outcome dalam satu interval waktu (atau daerah) tidak bergantung pada banyaknya outcome pada waktu atau daerah yg lain.

2) Probabilitas terjadinya 1 outcome dalam interval waktu (atau daerah) yg sangat pendek (kecil) sebanding dengan lama waktu interval waktu tsb (atau luas daerahnya). Dan tidak bergantung pada kejadian atau

outcome di luar interval ini.

3) Probabilitas terjadinya lebih dari 1 outcome dalam interval waktu yg sangat pendek di (2) tsb sangat kecil atau bisa diabaikan.

(47)

[Diskrit] Distribusi Poisson

X : variabel random Poission yg menyatakan banyaknya outcome selama percobaan.

: rata-rata banyak outcome = t dimana t adalah lama intervalnya dan adalah laju terjadinya outcome.

Distribusi probabilitas dari variabel random Poisson X yg menyatakan banyaknya outcome dalam interval waktu tertentu t (atau daerah tertentu) dengan menyatakan laju terjadinya outcome persatuan waktu atau per satuan daerah diberikan oleh :

(48)

[Diskrit] Distribusi Poisson

Selanjutnya ditabelkan distribusi kumulatif Poisson:

(49)

[Diskrit] Distribusi Poisson

Contoh 1.

Dalam percobaan radioaktif, rata-rata jumlah cacahan radioaktif yg terekam di counter adalah 4 cacahan per mili detik. Berapakah

probabilitasnya dalam 1 milidetik tertentu tercacah sebanyak 6 cacahan?

Jawab:

Rata-rata jumlah outcome per milidetik : = t = 4 Probabilitas tercacah X=6 dalam 1 milidetik:

(50)

[Diskrit] Distribusi Poisson

Atau dengan tabel Poisson:

p = ; = =P = ; = - P = ; = = 0.8893-0.7851

=0.1042

(51)

[Diskrit] Distribusi Poisson

Tugas

Kerjakan soal hal 97-100 No 7-20 Dikumpulkan minggu depan