ANALISIS DIMENSI - Spada UNS

ANALISIS DIMENSI

Dalam kasus demikian langkah pertama yang harus

dilakukan adalah MENGENAL VARIABEL-VARIABEL ATAU PARAMETER-PARAMETER YANG BERPENGARUH

ANALISIS DIMENSI DIPERGUNAKAN BILA VARIABEL-VARIABEL YANG

MEMPENGARUHI SUATU GEJALA FISIK DIKETAHUI TETAPI HUBUNGAN

ANTARA SATU DENGAN YANG LAINNYA BELUM DIKETAHUI

Variabel terebut dapat dikelompokkan atas

a. Variabel geometri :

Contoh : ukuran panjang, ukuran luas, ukuran volume

b. Variabel fisik yang timbul akibat gerak benda dalam fluida : Contoh : gaya, tegangan geser

c. Variabel yang menyangkut gerak benda : Contoh : kecepatan, percepatan

e. Variabel yang menyangkut keadaan benda : Contoh : suhu, tekanan

d. Variabel yang menyatakan sifat benda dan fluida:

Contoh : massa jenis, viskositas, tegangan permukaan

CONTOH

ANALISIS DIMENSI

SUATU PROSES DALAM MEMFORMULASI PERSOALAN DALAM SUATU PARAMETER TIDAK BERDIMENSI

•Reduction in variables

�= 1(� ,��2,…,��)=0, = dimensional variables ��

�=(∏1,∏2,…,∏�)=0, = non-dimensional parameters ∏�

•Helps in understanding physics

•Useful in data analysis and modeling

•Fundamental to concepts of similarity and model testing

Teori Buckingham

Dasar Matematis:

Bila dalam suatu persoalan fisik, sebuah parameter TIDAK BEBAS

(Dependent Parameter) merupakan fungsi dari (n-1) parameter BEBAS (Independent parameter), maka akan didapat hubungan antara variabel- variabel tersebut dalam bentuk fungsional, sbb.:

q1 = f(q2, q3, ………..q(n-1)) dimana:

q1 = parameter tidak bebas

q2, q3,…q(n-1) = parameter bebas atau dapat juga ditulis:

g(q1, q2, ………..qn) = 0

•dimana : g = sembarang fungsi yang bukan f

Contoh: gaya drag pada bola

F

_D

= f(D, V, r, m) atau:

g(F

_D

, D, V, r, m) = 0

Pernyataan Teori Pi BUCKINGHAM

Bila ada fungsi yang terdiri dari n parameter g(q1, q2,………..qn) = 0, maka parameter-parameter tersebut dapat dikelompokkan menjadi (n-m) kelompok independent dimensionless atau yang dinotasikan sebagai parameter ∏ dan dapat diexpresikan sebagai:

G(∏1,∏2,………..∏n-m) = 0

atau : ∏1 = G1(∏2,………..∏n-m)

dimana:

•m = adalah repeating parameter yang umumnya diambil sama dengan r (tetapi tidak selalu)

•r = adalah jumlah minimum dimensi bebas yang dibutuhkan untuk menspesifikasikan dimensi-dimensi dari seluruh parameter yang ada

Contoh : Drag Force

• Contoh: g ( F_D , D , v , ρ , µ ) = 0

[MLt^-2] [L] [Lt^-1] [ML^-3] [ML^-1t-¹]

• Dalam hal ini jumlah dimensi bebas minimum yang dibutuhkan adalah M, L, t

Jadi r = 3 maka m = r = 3

• Note: sejumlah (n-m) = 5-3=2 parameter ∏ yang diperoleh dari prosedur diatas adalah independent.

Prosedur Menentukan Kelompok ∏

Ada 6 langkah

1. Tulislah seluruh parameter yang kita duga berpengaruh 2. Pilihlah satu set Dimensi Dasar

• misalkan : M, L, t, T

• atau F, L, t, T

3. Tulislah seluruh parameter yang terlibat dalam bentuk Dimensi Dasar yang telah dipilih (catatlah r adalah jumlah dari dimensi primer minimum yang dibutuhkan),

misalkan: F, D, v, µ, ρ

sehingga : r = 3 (M, L, t)

4. Pilihlah Parameter yang diulang m (repeating parameter) yang jumlahnya sama dengan jumlah minimum dimensi primer yang digunakan (r)

misalkan: m = r = 3 →ρ ,v, D

Note :

• Jangan memilih repeating parameter yang mempunyai dimensi dasar yang sama dengan repeating parameter lainnya, walaupun hanya dibedakan dengan suatu exponent (pangkat) saja

• misalkan: panjang (L) = [L] dengan luas (A) = [L2] tidak boleh dipilih bersama-sama sebagai repeating parameter.

• Jangan memilih parameter tidak bebas sebagai repeating parameter

5. Dari parameter-parameter dipilih (n) dan repeating

parameter (m), untuk m = r dapatkan grup-grup tanpa dimensi, dalam hal ini akan ada (n-m) grup tanpa

dimensi.

6. Untuk meyakinkan hasilnya, periksalah grup-grup tanpa dimensi dengan Dimensi Dasar yang lain.

Contoh : Drag Force

•

Dimana hasil π ini adalah : ρ ,v, D,µ)

•  

misal π

₁

dpt disusun sbb:

� 1= �

^�

�

^�

�

^�

�

 

Di mana d, b dan e adl pangkat yg akan dicari. Bila ditulis dlm bentuk dimensi diperoleh:

� 1=

[

^{� �−3}

]

^�

[

^��−1

]

^�

[

�

]

^�

[

^{� �−1�−1}

]

 

Seluruh parameter terlbat : F, D, v, µ, ρ

Karena 

₁

adalah nondimensional maka pers diatas

bagiankanan harus juga nondimensional. Hal ini berarti pangkat dari dimensi m, L dan t semua harus sama

dengan nol, shg diperoleh :

untuk pangkat m : b + 1 = 0

untuk pangkat L : 3b + d + e -1 = 0 untuk pangkat t :  d – 1 = 0

Penyelesaian dari pers diatas diperoleh hasil d = 1, b = 1 dan e = 1,

bila dimasukkan dalam persamaan 

₁

diperoleh :

� 1= �

^�+1

�

^{−3�+�+�−1}

�

^−�−1

 

��=�^−��^−� �^−��= �   � ��

•Dengan cara yang sama diperoleh untuk ∏₂

Sehingga diperoleh hubungan

•