Analisis Numerik Materi - 01

Analisis Numerik

CLASS RULES

BOBOT NILAI AKHIR:

PRESENSI = 5%

TUGAS = 30%

UJIAN = 65%

Syarat Mendapatkan Minimum C:

1. Presensi 75% per 7 pertemuan artinya minimal 5 kali sebelum UTS dan 5 kali sebelum UAS.

2. Mengerjakan dan mengumpulkan TUGAS/KUIS/LATIHAN 3. Mengerjakan ujian UTS dan UAS

TUGAS/KUIS/LATIHAN:

1. Mengumpulkan tugas/Latihan/quis poin 1

2. Setiap maju mengerjakan akan mendapat poin 2

3. Mampu Menjelaskan mendapatkan poin 2

2

Pendahuluan

Analisis Numerik Merupakan suatu teknik atau cara untuk menganalisa dan menyelesaikan masalah-masalah di dalam bidang rekayasa teknik dan sains dengan menggunakan operasi perhitungan matematik (arithmetic).

Masalah-masalah tersebut biasanya diidealkan dan diformulasikan secara matematis. Operasi perhitungan matematik di dalam metode numerik ini biasanya dilakukan secara berulang ulang. Bila dilakukan secara manual

operasi perhitungan metode numerik diperlukan bantuan komputer. Dengan bantuan komputer operasi perhitungan yang dilakukan berulang-ulang

dapat diselesaikan dengan sangat cepat.

4

Pendahuluan

▪ Analisis Numerik sudah sejak lama dikembangkan orang. Akan tetapi pada awal perkembangannya aplikasi metode tersebut dalam menyelesaikan permasalahan masih sangatlah jarang.

▪ Hal ini disebabkan karena alat bantu operasi perhitungan matematik, yaitu

komputer masih sangatlah kurang. Setelah perkembangan teknologi komputer semakin pesat dan pemakaian komputer sudah semakin meluas, metode numerik ini menjadi metode yang handal untuk menganalisa dan menyelesaikan masalah- masalah yang terjadi dalam segala bidang ilmu pengetahuan.

▪ Masalah-masalah yang dapat diselesaikan dengan metode numerik tersebut tidak hanya masalah sederhana yang masih dapat diselesaikan secara analitis, akan tetapi juga masalah-masalah kompleks yang tidak dapat lagi diselesaikan secara analitis.

Pendahuluan

Di dalam Analisis Numerik, permasalahan- permasalahan yang

diinformulasikan secara matematis merupakan suatu pendekatan. Akurasi perhitungan dari permasalahan yang didekati secara matematis sangat tergantung pada asumsi-asumsi yang diberikan.

Misalnya, untuk aliran air sungai satu dimensi, profil kecepatan setiap titik hitung diasumsikan sama. Semakin akurat data yang dipergunakan untuk perhitungan operasi matematik dan semakin sedikit asumsi yang diberikan maka pendekatan akan memberikan hasil yang lebih baik.

Ukuran akurasi dari pendekatan ini lebih dikenal dengan namaerroratau kesalahan.

Kesalahan ( error )

Let’s start with the first set of slides

Hasil operasi perhitungan matematik dari persamaan matematik (yang merupakan pemodelan dari permasalahan) merupakan suatu perkiraan yang mendekati nilai Eksak (nilai yang benar) , apabila persamaan

tersebut dapat diselesaikan

secara analitis.

“ Tiga macam kesalahan dalam operasi perhitungan matematik adalah sebagai berikut:

1. Kesalahan bawaan

2. Kesalahan pembulatan

3. Kesalahan pemotongan

8

1. Kesalahan Bawaan

Adalah kesalahan dari nilai data. Kesalahan tersebut bisa terjadi karena kekeliruan dalam menyalin data, salah membaca skala atau kesalahan input data yang dipergunakan untuk penghitungan.

Kesalahan ini terjadi karena kurang telitinya pencatatan data dari

lapangan maupun pencatatan dari data primer dan sekunder

2. Kesalahan Pembulatan

Terjadi karena pemotongan desimal dari bilangan yang diperhitungan, baik untuk input data maupun pada

waktu operasi perhitungan matematik. Contoh dari kesalahan pembulatan ini adalah sebagai berikut:

2,71828183 dibulatkan menjadi 2,71 3,14159265 dibulatkan menjadi 3,14

10

3. Kesalahan Pemotongan

Kesalahan pemotongan terjadi karena tidak dilakukannya hitungan sesuai dengan prosedur matematik yang benar. Sebagai contoh suatu proses tak terhingga diganti dengan proses berhingga. Di dalam matematika, suatu fungsi dapat dipresentasikan dalam bentuk deret tak terhingga, misalkan:

𝑒

^𝑥

= 1 + 𝑥 + 𝑋

²

2! + 𝑋

³

3! + 𝑋

⁴

4! … … … …

Kesalahan pemotongan ini akan dijelaskan lebih mendalam dalam

Kesalahan Dalam Analisis Numerik

Let’s start with the second set of slides

Kesalahan Absolut

dan Kesalahan

Relatif

dengan:

𝐸

_𝑒

= Kesalahan absolut 𝑝 = Nilai eksak

𝑝 ∗ = Pendekatan nilai Eksak

Kesalahan Absolut dapat dipresentasikan sebagai berikut:

14

𝐸 _𝑒 = 𝑝 − 𝑝 ∗

Kesalahan absolut tidak menunjukkan besarnya tingkat kesalahan.

Sebagai contoh, kesalahan satu sentimeter pada pengukuran

panjang pensil akan sangat terasa dibanding dengan kesalahan

yang sama pada pengukuran panjang jembatan.

dengan:

𝜀

_𝑒

= Kesalahan relatif terhadap nilai eksak

Kesalahan relatif dapat dipresentasikan sebagai berikut:

𝜀 _𝑒 = 𝐸 _𝑒 𝑝

Kesalahan relatif sering diberikan dalam bentuk persen berikut ini.

𝜀 _𝑒 = 𝐸 _𝑒

𝑝 × 100%

16

Dengan:

𝐸_𝑎 =Kesalahan terhadap nilai perkiraan terbaik 𝑝 ∗ = Nilai perkiraan terbaik

Kesalahan Absolut dapat dipresentasikan sebagai berikut:

Dalam persamaan slide sebelumnya dan kesalahan dibandingkan terhadap nilai eksak. Nilai eksak tersebut hanya dapat diketahui apabila suatu fungsi bisa diselesaikan secara analitis. Dalam

metode numerik, biasanya nilai tersebut tidak diketahui. Untuk itu kesalahan dinyatakan berdasarkan nilai perkiraan terbaik dari nilai eksak, sehingga kesalahan mempunyai bentuk berikut:

𝜀 _𝑒 = 𝐸 _𝑎

𝑝 ∗ × 100%

Indeks 𝑎 menunjukkan bahwa kesalahan dibandingkan terhadap nilai perkiraan (approximate value)

Didalam analisis numerik, sering dilakukan pendekatan secara iteratif.

Pada pendekatan tersebut perkiraan sekarang dibuat berdasarkan

perkiraan sebelumnya. Dalam hal ini, kesalahan adalah perbedaan antara perkiraan sebelumnya dan perkiraan sekarang, dan kesalahan relatif

diberikan oleh bentuk berikut:

𝜀

_𝑎

= 𝑝 ∗

^𝑛+1

− 𝑝 ∗

^𝑛

𝑝 ∗

^𝑛+1

× 100%

Dengan:

𝑝 ∗^𝑛 = nilai perkiraan pada iterasi ke n

CONTOH 1

Pengukuran panjang jembatan dan pensil memberikan hasil 9999 cm dan 9 cm. Apabila panjang yang

benar (eksak) berturut-turut adalah 10.000 cm dan 10 cm, hitung

kesalahan absolut dan relatif

18

a. Kesalahan absolut

-

^Jembatan:

𝐸_𝑒 = 𝑝 − 𝑝 ∗

𝐸_𝑒 = 10.000 –9999 = 1 cm

-

^{Pensil :}

𝐸_𝑒 = 𝑝 − 𝑝 ∗ 𝐸_𝑒= 10 – 9 = 1 cm Penyelesaian Contoh 1:

b. Kesalahan relatif

-

^Jembatan:

𝜀_𝑒 = ^𝐸𝑒

𝑝 × 100%

= ¹

10.000× 100% = 0,01%

-

^{Pensil :}

𝜀_𝑒 = ^𝐸𝑒

𝑝 × 100%

= ¹

10× 100% = 10%

Contoh di atas menunjukkan bahwa meskipun kedua kesalahan adalah sama yaitu 1 cm, tetapi kesalahan relatif pensil adalah jauh lebih besar. Kesimpulan yang dapat diambil bahwa pengukuran jembatan memberikan hasil yang baik (memuaskan), sementara hasil

CONTOH 2

Hitung kesalahan yang terjadi dari nilai 𝑒

^𝑥

dengan x = 0,5 apabila hanya diperhitungan beberapa suku

pertama saja, nilai eksak dari 𝑒

^0,5

= 1,648721271

20

Untuk menunjukkan pengaruh hanya diperhitungkannya beberapa suku pertama dari deret terhadap besarnya kesalahan pemotongan, maka hitungan dilakukan untuk beberapa keadaan. Keadaan pertama apabila hanya diperhitungkan satu suku pertama, keadaan kedua hanya dua suku pertama, dan seterusnya sampai memperhitungkan 6 suku pertama. Nilai 𝑒^𝑥 dapat dihitung bersadarkan deret berikut ini.

Penyelesaian contoh 2:

𝑒

^𝑥

= 1 + 𝑥 + 𝑋

²

2! + 𝑋

³

3! + 𝑋

⁴

4! … …

Keterangan : 2! = 1 x 2

3! = 1 x 2 x 3 4! = 1 x 2 x 3 x 4

22

a. Diperhitungankan satu suku pertama:

𝒆^𝒙 = 𝟏

Kesalahan relatif terhadap nilai eksak dihitung sebagai berikut, gunakan persamaan sebelumnya:

𝜀_𝑒 = 𝐸_𝑒

𝑝 × 100% = 1,648721271 − 1

1,648721271 × 100% = 39,35%

b. Diperhitungkan dua suku pertama:

𝒆^𝒙 = 𝟏 + 𝒙 Untuk x = 0,5 maka:

𝑒^0,5 = 1 + 0,5 = 1,5

Kesalahan relatif terhadap nilai eksak adalah:

𝜀_𝑒 = 𝐸_𝑒

𝑝 × 100% = 1,648721271 − 1,5

1,648721271 × 100% = 9,02%

Penyelesaian Contoh 2: 𝑒^𝑥 = 1 + 𝑥 + 𝑋²

2! + 𝑋³

3! + 𝑋⁴

4! … …

Kesalahan berdasarkan perkiraan terbaik dihitung dengan:

𝜀_𝑎 = ^𝐸𝑎

𝑝∗ × 100% = ^{1,5 −1}

1,5 × 100% = 33,33%

c. Diperhitungkan tiga suku pertama:

𝒆^𝒙 = 𝟏 + 𝒙 +^𝒙𝟐

𝟐! = 𝟏 + 𝟎, 𝟓 +^{𝟎,𝟓𝟐}

𝟏×𝟐 = 𝟏, 𝟔𝟐𝟓 𝜀_𝑒 = 𝐸_𝑒

𝑝 × 100% = 1,648721271 − 1,625

1,648721271 × 100% = 1,44%

𝜀_𝑎 = 𝐸_𝑎

𝑝 ∗ × 100% = 1,625 − 1,5

1,625 × 100% = 7,69%

Hitungan dilanjutkan dengan memperhitungkan sampai 6 suku pertama dan hasilnya diberitahukan dalam Tabel 1 terlihat bahwa semakin banyak suku yang diperhitungkan, semakin teliti hasil berkiraan

Penyelesaian Contoh 2:

24

Tabel 1 hasil hitungan kesalahan

Penyelesaian Contoh 2:

Suku Hasil 𝜺_𝒆 (%) 𝜺_𝒂(%)

1 1 39,3 -

2 1,5 9,02 33,3

3 1,625 1,44 7,69

4 1,645833333 0,175 1,27

5 1,648437500 0,0172 0,158

6 1,648697917 0,00142 0,0158

Thanks!

Any questions?