Nama: Moch Arifin Fahri NIM: 2022061015 Prodi: Informatika
1.Bentuklah polinom Newton derajat satu, dua, tigadan empat yang menghampiri f(x)=sin(x) dalamrange[0.0, 4.0] dan jarak antar titik adalah 1.0. Lalu taksirlah f(x) dengan x=2.7 dengan PolinomNewton derajat 3.
2. Tentukan 5 titik yang diketahui, nilai x =0 sd x=5 dengan jarak 1.0 dan tentukan sembarang nilai y sebagai nilai y0 sd y5 , lalu Taksirlah nilai f(3,5) denganPolinom Newton derajat 4!
JAWABAN
1.Mari kita bentuk polinom Newton derajat satu, dua, tiga, dan empat yang menghampiri \ ( f(x) = \sin(x) \) dalam rentang [0.0, 4.0] dengan jarak antar titik adalah 1.0. Kemudian, kita akan memperkirakan \( f(x) \) dengan \( x = 2.7 \) menggunakan polinom Newton derajat tiga.
Polinom Newton:
Polinom Newton adalah bentuk interpolasi polinomial yang menggunakan basis Newton untuk menghitung fungsi interpolasi. Polinom ini dihitung dengan menggunakan turunan pertama, kedua, ketiga, dan seterusnya dari fungsi di titik yang diberikan.
Langkah-langkah:
1. Definisikan titik-titik data:
- Titik-titik data yang kita gunakan untuk interpolasi adalah: \( x_{\text{points}} = [0.0, 1.0, 2.0, 3.0, 4.0] \).
- Fungsi yang ingin kita taksir adalah \( f(x) = \sin(x) \).
- Hitung nilai \( y_{\text{points}} \) dengan menghitung \( \sin(x) \) untuk setiap titik dalam
\( x_{\text{points}} \).
2. Hitung polinom Newton:
- Mulailah dengan menghitung tabel perbedaan yang akan digunakan untuk menghitung koefisien Newton.
- Dari tabel perbedaan ini, hitung koefisien polinom Newton.
- Bentuk polinom Newton berdasarkan koefisien yang dihitung.
3. Perkirakan \( f(x) \) pada \( x = 2.7 \):
- Gunakan polinom Newton derajat tiga untuk memperkirakan \( f(x) \) pada \( x = 2.7 \).
Mari kita mulai dengan program Python yang mengimplementasikan langkah-langkah di atas.
Perkiraan nilai \( f(x) \) dengan \( x = 2.7 \) menggunakan polinom Newton derajat tiga adalah sekitar 0.463.
Polinom Newton derajat tiga yang menghampiri \( f(x) = \sin(x) \) dalam rentang [0.0, 4.0]
telah digunakan untuk memperkirakan nilai \( f(x) \) pada \( x = 2.7 \).
2.Untuk melakukan interpolasi Newton derajat 4, kita perlu memilih lima titik data yang diketahui dalam rentang \( x = 0 \) sampai \( x = 5 \) dengan jarak 1.0. Kita juga perlu menetapkan nilai \( y \) untuk setiap titik data \( x \). Setelah itu, kita akan menghitung perkiraan nilai fungsi pada \( x = 3.5 \) menggunakan polinom Newton derajat 4.
Langkah-langkah:
1. Definisikan titik data yang diketahui:
- Tentukan lima titik data \( x_{\text{points}} \) dalam rentang [0, 5] dengan jarak 1.0: \ ( x_{\text{points}} = [0, 1, 2, 3, 4, 5] \).
- Tetapkan nilai \( y_{\text{points}} \) secara sembarang untuk setiap titik data \ ( x_{\text{points}} \).
2. Hitung koefisien Newton:
- Gunakan tabel perbedaan Newton untuk menghitung koefisien Newton dari titik data yang diketahui.
3. Perkirakan nilai fungsi pada \( x = 3.5 \):
- Gunakan polinom Newton derajat 4 untuk memperkirakan nilai fungsi pada \( x = 3.5 \).
Mari kita mulai dengan program Python yang mengimplementasikan langkah-langkah di atas untuk menghitung perkiraan nilai fungsi pada \( x = 3.5 \) menggunakan polinom Newton derajat 4.
import numpy as np
# Fungsi untuk menghitung tabel perbedaan Newton def newton_difference_table(x_points, y_points):
n = len(x_points) table = np.zeros((n, n)) table[:, 0] = y_points for j in range(1, n):
for i in range(n - j):
table[i, j] = (table[i + 1, j - 1] - table[i, j - 1]) / (x_points[i + j] - x_points[i]) return table
# Fungsi untuk menghitung koefisien Newton def newton_coefficients(x_points, y_points):
table = newton_difference_table(x_points, y_points) coefficients = table[0, :]
return coefficients
# Fungsi untuk menghitung polinom Newton derajat tertentu pada nilai x def newton_polynomial(coefficients, x_points, x, degree):
result = coefficients[0]
for i in range(1, degree + 1):
term = coefficients[i]
for j in range(i):
term *= (x - x_points[j]) result += term
return result
# Titik data yang diketahui
x_points = np.array([0, 1, 2, 3, 4, 5])
y_points = np.array([3.2, 5.1, 6.8, 8.5, 11.0, 13.7]) # Nilai y sembarang
# Hitung koefisien Newton
coefficients = newton_coefficients(x_points, y_points)
# Hitung polinom Newton derajat 4 degree = 4
# Estimasi nilai f(3.5) dengan polinom Newton derajat 4 x = 3.5
estimated_value = newton_polynomial(coefficients, x_points, x, degree)
# Tampilkan hasil estimasi estimated_value
