TUGAS kuliah – KALKULUS
ASSIGNMENT WEEK 5 LIMITS OF FUNCTIONS
Dikerjakan oleh : Nama : Maulana Figur Pradano NIM : 4101421180
UNIV : UNNES
Fakultas : MIPA
Prodi : Pendidikan Matematika Jurusan : Matematika
Mata Kuliah : Kalkulus
Kompetensi : Properties Of Functions Limits Tags : Assignment Week 5
ASSIGNMENT 5 ONE SIDED LIMITS AND LIMITS OF TRIGONOMETRIC FUNCTIONS
1. Prove that
limit
x→0+ √� = 0.
Jawab/answer.
0 < | x – 0+| < δ →| √x – 0| < ε So
|√x – 0| < ε
|(√x – 0)
√
x√
x | < ε| x
√
x - 0+| < ε|x - 0+| < ε
√ x
sehingga dapat dipilih � = ε
√ x
1
Bukti formal
Diberikan ε > 0 dipilih � = ε
√ x . Jika 0 < | x – 0+| < δ sehingga
| √x – 0| = |
√
x√
x (√x – 0)|= | 1
√
x (x – 0+)|= 1
√
x | (x – 0+)|= 1
√
x . ε√ x
= ε terbukti
2. Prove that limit
x→a cos � = cos �.
Answer
Pandang ∆AOD
Sin x = AD OA Sin x =
AD
r , r jari-jari ...1 Pandang ∆BOC
Tan x = BC OB Tan x =
BC
r , r jari-jari ...2 Pandang juring AOB
Lj AOB =
¿ x 2π . πr²
Lj AOB = x 2 . r² Perhatikanlah bahwa
L∆ AOB < Lj AOB < L∆BOC 1
2 OB. AD <
x
2 . r² <
1
2 OB. BC, dimana OB = r 1
2 r. AD <
x
2 . r² <
1
2 r. BC AD < x r < BC, bagi dengan r² sehingga
2
C A
D B x
AD < x r < BC AD
r < x <
BC r Jadi
Sin x < x < tan x ...3
Sehingga untuk membuktikan limit
x→a cos � = cos � dapat dicari dengan:
Sin x < x < tan x
Sin x < x <
sinx cosx (Sin x < x <
sinx cosx ).
1 sinx (1 <
x sinx <
1 cosx ).
cosx x cosx
x <
x sinx .
cosx x <
1 x . cosxsinx
x < cos x <
sinx
x . Jika x = a maka cosasina
a < cos x <
sina
a ., ingat limit
x→0
sina
a = 1
Cos a < cos x < 1 akibatnya limit
x→a cos � = cos �
3
