ASSIGNMENT Matematika WEEK 3 LIMITS OF FUNCTIONS

TUGAS kuliah – KALKULUS ASSIGNMENT WEEK 3 LIMITS OF FUNCTIONS

Dikerjakan oleh :

Nama : Maulana Figur Pradano NIM : 4101421180

UNIV : UNNES

Fakultas : MIPA

Prodi : Pendidikan Matematika Jurusan : Matematika

Mata Kuliah : Kalkulus

Kompetensi : Limits Of Functions Tags : Assignment Week 3

1. Prove that ^limx→2 3�−1 = 5 using � − �.

Buktikan bahwa ^limx→2 3�−1 = 5 gunakan � − �.

2. Prove that ^x→−3lim

2x²+5x−3

x−3 = −7 using �−�.

Buktikan bahwa ^x→−3lim

2x²+5x−3

x−3 = −7 gunakan � – � Jawab.

1. Buktikan bahwa ^limx→2 3�−1 = 5 gunakan � – � Analisis Pendahuluan

Misalkan � sembarang bilangan positif, maka kita cari bilangan positif � sehingga

Jika 0 < |x – 2| < � maka |(3x – 1) – 5| < � Selanjutnya

|(3x – 1) – 5| < �

|3x – 6| < �

|3(x – 2)| < �

|3||x – 2| < �

|x – 2| <

ε

3 sehingga dapat dipilih � = ε 3 Bukti formal

Diberikan � > 0 pilih � = ε

3 . Jika 0 < |x – 2| < � sehingga

|(3x – 1) – 5| = |3x – 6|

= |3(x – 2)|

= 3| x – 2|

< 3.

ε 3 = �

Dengan mnggunakan sifat transitif = dan <, diperoleh

|(3x – 1) – 5| < �

Gambarnya sebagai berikut.

Y = 3x – 1 5 = 3x – 1

2. Buktikan bahwa ^x→−3lim

2x²+5x−3

x−3 = −7 gunakan � – � Bukti bahwa ^x→−3lim

2x²+5x−3

x−3 = −7 gunakan � – � dengan menggunakan Faktorisasi

Analisis Pendahuluan

Misalkan diberikan ε > 0. akan dapat menemukan δ sedemikian sehingga Jika 0 < |x + 3| < � maka |(

2x²+5x−3

x−3 ) + 7| < �, untuk x ≠ 3

|(

2x²+5x−3

x−3 ) + 7| < �

|(

2 x

²

−5 x−3+10 x

x−3

) + 7| < �

�

�

y = 3x – 1

2 5

6 2

-1 1

�/3

�/3

|(

(2x+1)(x−3) x−3 +10x

x−3 ) + 7| < �

|(2x+1)+(

10x

x−3 ) + 7| < �

|(2x+8)+(

10x

x−3 )| < �

|(2x+8 + x + 1)|+|−(x+1)+(

10x

x−3 )| < � 3|x+3|+|(

−(x+1)(x−3)+10x

x−3 )| < � 3|x+3|+|(

−x²−4x−3+10x

x−3 )| < � 3|x+3|+|(

−x²+6x−3

x−3 )| < �

3|x+3|+|(

−1+6 x−3

x² 1 x−3

x² )| < �

3|x+3|+|(

−1+ 6

−3− 3 (−3)² 1

−3− 3

(−3)² )| < � dengan mensibtusikan x = −3

3|x+3|+|(

−1−2−1 3 1

−3−1

3 )| < �

3|x+3|+|(

−31 3

−2

3 )| < � 3|x+3|+5 < �

3|x+3|< � −5

|x+3|<

ε−5 3

� <

ε−5 3 Bukti formal

Diberikan � > 0 pilih � <

ε−5

3 Jika 0 < |x + 3| < � sehingga

|(

2x²+5x−3

x−3 ) + 7| = |(

(2x−1)(x+3)

x−3 ) + 7|

= |(

2 x

²

−5 x−3 +10 x

x −3

_{) + 7|}

= |(2x+8 + x + 1)|+|−(x+1)+(

10x x−3 )|

= 3|x+3|+|(

−(x+1)(x−3)+10x

x−3 )|

= 3|x+3|+|(

−x²+6x−3

x−3 )| < �

= 3|x+3|+|(

−1+6 x−3

x² 1 x−3

x² )|

= 3 � +5 Gambarnya sebagai berikut y = 2x + 1 +

10x x−3

(�-5)/3 (�-5)/3

�

�

y = 2x + 1+

-7,583 3

-3

-7