Banyak solusi dari a+b+c=5 dengan a,b,c cacah adalah…
Soal di atas cukup sering ditemukan dalam berbagai variasi soal, misalnya "tentukan peluang jumlah dari pelemparan lima buah dadu adalah 12". Sebenarnya hanya ada satu teorema yang perlu dimengerti, selama pengetahuan dasar tentang kombinatorika (termasuk apa itu kombinasi, ditambah bernalar sedikit) sudah dipahami:
Teorema 1 (Stars and bars theorem)
Banyak solusi dari 𝑎𝑎1+𝑎𝑎2+⋯+𝑎𝑎𝑘𝑘 =𝑛𝑛 dimana 𝑎𝑎1,𝑎𝑎2, … ,𝑎𝑎𝑘𝑘 adalah bilangan cacah adalah �𝑛𝑛+𝑘𝑘 −1 𝑘𝑘 −1 �, dimana 𝑘𝑘 ≥1.
Bukti dari Teorema 1
Bayangkan ada 𝑘𝑘 buah kotak dinomori 1, 2, … ,𝑘𝑘, dan 𝑛𝑛 buah bintang. Bintang-bintang ini akan dimasukkan ke dalam kotak-kotak yang tersedia. Kita misalkan banyak bintang di kotak ke-𝑖𝑖 adalah nilai dari 𝑎𝑎𝑖𝑖.
Gambar 1: Contoh bayangan untuk 𝑎𝑎1+𝑎𝑎2+𝑎𝑎3= 7, dimana 𝑘𝑘= 3,𝑛𝑛= 7
Gambar 2: Contoh penempatan bintang dan solusi yang dimaksud, dalam hal ini (𝑎𝑎1,𝑎𝑎2,𝑎𝑎3) = (2, 5, 0)
Dapat kita lihat bahwa untuk setiap solusi (𝑎𝑎1,𝑎𝑎2, … ,𝑎𝑎𝑘𝑘), ada tepat satu cara menempatkan bintang yang memberikan solusi tersebut, dan setiap cara menempatkan bintang memberikan tepat satu solusi (𝑎𝑎1,𝑎𝑎2, … ,𝑎𝑎𝑘𝑘). Maka banyak solusi (𝑎𝑎1,𝑎𝑎2, … ,𝑎𝑎𝑘𝑘) adalah sama dengan banyak cara menempatkan bintang. Ini disebut metode
"bijective proof" atau bukti bijektif, dimana dua soal yang menghitung benda yang berbeda (banyak solusi (𝑎𝑎1,𝑎𝑎2, … ,𝑎𝑎𝑘𝑘) dan banyak peletakkan bintang) dapat dibuat bijeksi, atau pemetaan satu-satu, sehingga keduanya
Kembali ke soal. Kini kita sudah mendapatkan gambaran, sesuatu yang lebih dapat dibayangkan dengan kotak dan bintang daripada bilangan dan jumlah. Namun gambaran ini belum memberikan bantuan apapun. Kita memerlukan suatu bijeksi yang lain.
Sekarang, bariskan seluruh bintang dalam satu baris, dan buat sebuah sekat di antara dua kotak dengan nomor berurutan.
Gambar 3: Seperti Gambar 1, namun membariskan bintang dan menyekat kotak
Gambar 4: Seperti Gambar 2, namun membariskan bintang dan menyekat kotak
Dan sekarang, hapus semua selain bintang dan sekat.
Gambar 5: Seperti Gambar 4, namun dengan bintang dan sekat saja
Perhatikan bahwa proses di atas (membariskan bintang, menyekat kotak, menghapus semua selain bintang dan sekat) dapat dibalik: dari urutan bintang dan sekat pada Gambar 5, kita dapat menggambar kotak-kotaknya, lalu memisahkan kotaknya dari yang lain untuk mendapatkan Gambar 2, jadi jelas kita punya sebuah bijeksi.
Namun perhatikan bahwa bintang dan sekatnya membentuk sebuah baris: ada 𝑛𝑛 bintang dan 𝑘𝑘 −1 sekat yang disusun dalam sebuah baris. Ini adalah soal standar kombinasi: jika ada 𝑎𝑎 bola merah dan 𝑏𝑏 bola biru yang disusun dalam sebuah baris, banyak cara penyusunan berbeda adalah �𝑎𝑎+𝑏𝑏
𝑎𝑎 �. Untuk soal di atas, jika ada 𝑛𝑛 bintang dan 𝑘𝑘 −1 sekat yang disusun dalam sebuah baris, banyak cara penyusunan berbeda adalah �𝑛𝑛+𝑘𝑘 −1
𝑘𝑘 −1 �.
Dan karena ini menghitung benda yang sama dengan soal awal yang kita punya (solusi cacah dari 𝑎𝑎1+𝑎𝑎2+⋯+𝑎𝑎𝑘𝑘=𝑛𝑛), jawaban untuk soal kita haruslah sama, �𝑛𝑛+𝑘𝑘 −1
𝑘𝑘 −1 �. ■
Bukti di atas sebenarnya memiliki nama, yaitu stars and bars (bintang dan batang). Jadi jelas mengapa penulis menggunakan bintang daripada bola atau sejenisnya.
Contoh 1
Banyak solusi dari 𝑎𝑎+𝑏𝑏+𝑐𝑐= 5 dimana 𝑎𝑎,𝑏𝑏,𝑐𝑐 adalah bilangan cacah adalah…
Solusi
Perhatikan bahwa ini adalah aplikasi standar dari stars-and-bars theorem. Ada tiga bilangan cacah, maka 𝑘𝑘= 3. Jumlahnya adalah 5, maka 𝑛𝑛= 5. Memasukkan ke dalam rumus di stars-and-bars theorem, kita dapat
�𝑛𝑛+𝑘𝑘 −1
𝑘𝑘 −1 �=�5 + 3−1 3−1 �=�7
2�= 21 cara. ■
Soal-soal tipe ini juga sering ditemukan dalam berbagai variasi, termasuk "jumlahnya bukan tepat, tapi tidak lebih dari", atau "variabelnya punya batas bawah dan/atau batas atas".
Untuk soal dengan "jumlah tidak lebih dari", ada satu cara yang membuat soalnya menjadi lebih mudah:
Contoh 2
Banyak solusi dari 𝑎𝑎+𝑏𝑏+𝑐𝑐 ≤5 dimana 𝑎𝑎,𝑏𝑏,𝑐𝑐 adalah bilangan cacah adalah…
Solusi
Ada dua cara. Cara yang lebih sulit adalah menghitung solusi untuk jumlah 0, jumlah 1, dan seterusnya sampai 5, dan menjumlahkan hasilnya: dapat dicek bahwa hasilnya adalah �2
2�+�3 2�+�4
2�+�5 2�+�6
2�+�7
2�= 56. Atau cara yang lebih mudah: tambah variabel.
Daripada menghitung dimana 𝑎𝑎+𝑏𝑏+𝑐𝑐 ≤5, kita dapat menghitung solusi dari 𝑎𝑎+𝑏𝑏+𝑐𝑐+𝑑𝑑= 5, dimana 𝑑𝑑 adalah bilangan cacah; dengan demikian, 𝑎𝑎+𝑏𝑏+𝑐𝑐= 5− 𝑑𝑑 dijamin tidak lebih dari 5 karena 𝑑𝑑 tidak kurang dari 0. Sekarang kita perlu menggunakan stars-and-bars theorem hanya sekali dari pada 6 kali: �5 + 4−1
4−1 �= 56. ■
Untuk soal dengan "variabel punya batas bawah", substitusi dengan tepat akan membuat soal tampak mudah:
Contoh 3
Banyak solusi dari 𝑎𝑎+𝑏𝑏+𝑐𝑐= 5 dimana 𝑎𝑎,𝑏𝑏,𝑐𝑐 adalah bilangan asli adalah…
Solusi
Karena 𝑎𝑎,𝑏𝑏,𝑐𝑐 bilangan asli, kita tidak dapat langsung menggunakan stars-and-bars theorem. Kita harus menggunakan substitusi:
Misalkan 𝑥𝑥=𝑎𝑎 −1. Karena 𝑎𝑎 ≥1, kita dapat 𝑥𝑥=𝑎𝑎 −1≥1−1 = 0. Kita juga lakukan hal yang sama, menggunakan 𝑦𝑦=𝑏𝑏 −1 dan 𝑧𝑧=𝑐𝑐 −1. Kita dapat 𝑥𝑥,𝑦𝑦,𝑧𝑧 ≥0, dan
𝑥𝑥+𝑦𝑦+𝑧𝑧= (𝑎𝑎 −1) + (𝑏𝑏 −1) + (𝑐𝑐 −1)
= (𝑎𝑎+𝑏𝑏+𝑐𝑐)−(1 + 1 + 1)
= 5−3
= 2
Maka kita mendapat soal baru: 𝑥𝑥+𝑦𝑦+𝑧𝑧= 2, dimana 𝑥𝑥,𝑦𝑦,𝑧𝑧 bilangan cacah. Namun soal ini dapat diselesaikan dengan stars-and-bars theorem, karena variabelnya bilangan cacah. Banyak solusinya adalah �2 + 3−1
3−1 �= 6. ■
Contoh 4
Budi akan membeli beberapa buah kue untuk teman-temannya. Dia punya 20 orang teman, dan setiap teman akan mendapat satu kue. Ada tiga jenis rasa kue: coklat, stroberi, dan vanilla. Budi ingat bahwa ada 2 teman yang suka coklat, 3 teman yang suka stroberi, dan 4 teman yang suka vanilla; sisanya bebas rasa apapun. Ada berapa cara Budi membeli kue? (Tidak termasuk cara membagi kue ke temannya.) Solusi
Soal cerita di atas sebenarnya intinya sama dengan contoh-contoh sebelumnya.
Misalkan banyak kue rasa coklat, stroberi, dan vanilla yang dibeli diberi nama 𝑐𝑐,𝑠𝑠,𝑣𝑣 masing-masing. Kondisi yang diberikan adalah 𝑐𝑐+𝑠𝑠+𝑣𝑣= 20, dan 𝑐𝑐 ≥2,𝑠𝑠 ≥3,𝑣𝑣 ≥4. Jelas 𝑐𝑐,𝑠𝑠,𝑣𝑣 haruslah bilangan bulat.
Intinya sama dengan di atas: misalkan 𝑥𝑥=𝑐𝑐 −2,𝑦𝑦=𝑠𝑠 −3,𝑧𝑧=𝑣𝑣 −4. Maka 𝑥𝑥,𝑦𝑦,𝑧𝑧 ≥0, dan 𝑥𝑥+𝑦𝑦+𝑧𝑧= (𝑐𝑐 −2) + (𝑠𝑠 −3) + (𝑣𝑣 −4)
= (𝑐𝑐+𝑠𝑠+𝑣𝑣)−(2 + 3 + 4)
= 20−9
= 11 Banyak solusinya adalah �11 + 3−1
3−1 �= 78. ■
Kadang-kadang, yang ada adalah batas atas; tidak ada batas bawah.
Contoh 5
Banyak solusi dari 𝑎𝑎+𝑏𝑏+𝑐𝑐= 5 dimana 𝑎𝑎,𝑏𝑏,𝑐𝑐 adalah bilangan bulat tidak lebih dari 5 adalah…
Solusi
Sekarang kita punya masalah, kita mungkin mendapat solusi misalnya (𝑎𝑎,𝑏𝑏,𝑐𝑐) = (5, 5,−5). Yang kita tahu hanyalah jika 𝑎𝑎,𝑏𝑏,𝑐𝑐 bilangan cacah, bukan bilangan bulat. Namun caranya juga mudah: seperti pada saat batas bawah berbeda, sekarang kita substitusi lagi. Ambil 𝑥𝑥= 5− 𝑎𝑎. Karena 𝑎𝑎 ≤5, kita dapat 𝑥𝑥 ≥0. Dengan cara yang sama, ambil juga 𝑦𝑦= 5− 𝑏𝑏,𝑧𝑧= 5− 𝑐𝑐. Maka 𝑥𝑥,𝑦𝑦,𝑧𝑧 adalah bilangan cacah, dan
𝑥𝑥+𝑦𝑦+𝑧𝑧= (5− 𝑎𝑎) + (5− 𝑏𝑏) + (5− 𝑐𝑐)
= (5 + 5 + 5)−(𝑎𝑎+𝑏𝑏+𝑐𝑐)
= 15−5
= 10 Banyak solusinya adalah �10 + 3−1
3−1 �= 66. ■
Namun ada juga soal dimana ada batas atas dan batas bawah. Untuk soal-soal tertentu, kita dapat menggunakan trik "gampangan":
Contoh 6
Tentukan banyak solusi dari 𝑎𝑎+𝑏𝑏+𝑐𝑐= 5 dimana 𝑎𝑎,𝑏𝑏,𝑐𝑐 bilangan bulat memenuhi:
a. 1≤ 𝑎𝑎,𝑏𝑏,𝑐𝑐 ≤3 b. 0≤ 𝑎𝑎,𝑏𝑏,𝑐𝑐 ≤2 Solusi
Kita lihat bahwa 𝑐𝑐= 5−(𝑎𝑎+𝑏𝑏) = 5− 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏.
Perhatikan bagian A. Kita punya 𝑐𝑐= 5− 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 ≤5−1−1 = 3, karena 𝑎𝑎,𝑏𝑏 ≥1. Berarti jika 𝑎𝑎,𝑏𝑏 ≥1 dan 𝑎𝑎+𝑏𝑏+𝑐𝑐= 5, otomatis 𝑐𝑐 ≤3, jadi kita tidak perlu perhatikan batas atas untuk 𝑐𝑐. Dengan cara yang sama, kita tidak perlu perhatikan 𝑎𝑎,𝑏𝑏 ≤3. Maka soalnya menjadi lebih sederhana, dimana 𝑎𝑎+𝑏𝑏+𝑐𝑐= 5 dan 1≤ 𝑎𝑎,𝑏𝑏,𝑐𝑐. Ini adalah Contoh 3; banyak caranya �2 + 3−1
3−1 �= 6. ■
Untuk bagian B, caranya mirip, namun dari arah yang berbeda: 𝑐𝑐= 5− 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 ≥5−2−2 = 1≥0, berarti jika 𝑎𝑎,𝑏𝑏 ≤2 dan 𝑎𝑎+𝑏𝑏+𝑐𝑐= 5, otomatis 𝑐𝑐 ≥0 terpenuhi, jadi kita tidak perlu perhatikan batas bawah untuk 𝑐𝑐. Dengan cara yang sama kita tidak perlu perhatikan 𝑎𝑎,𝑏𝑏 ≥0, sehingga soalnya menjadi lebih sederhana, dimana 𝑎𝑎+𝑏𝑏+𝑐𝑐= 5 dan 𝑎𝑎,𝑏𝑏,𝑐𝑐 ≤2. Dengan cara pada Contoh 5, kita substitusi 𝑥𝑥= 2− 𝑎𝑎,𝑦𝑦 = 2− 𝑏𝑏,𝑧𝑧= 2− 𝑐𝑐 sehingga 𝑥𝑥,𝑦𝑦,𝑧𝑧 bilangan cacah dan 𝑥𝑥+𝑦𝑦+𝑧𝑧= 1. Banyak caranya adalah �1 + 3−1
3−1 �= 3. ■
Namun cara pada Contoh 6 tidak selalu berhasil. Cara paling akhir adalah cara yang cukup kompleks, namun akan selalu menyelesaikan soalnya (selain menghitung satu-satu seluruh caranya):
Contoh 7
Tentukan banyak solusi dari 𝑎𝑎+𝑏𝑏+𝑐𝑐= 5 dimana 𝑎𝑎,𝑏𝑏,𝑐𝑐 bilangan cacah memenuhi 𝑎𝑎 ≤3. Solusi
Perhatikan gambar berikut.
Gambar 6: Diagram Venn untuk Contoh 7
Kita gambar sebuah diagram Venn seperti di atas, dan kita taruh setiap solusi di tempat yang sesuai. Di luar lingkaran, kita taruh semua solusi dengan 𝑎𝑎 ≤3, dan di dalam lingkaran, kita taruh semua solusi dengan 𝑎𝑎> 3 (solusi sisanya). Maka yang kita cari adalah banyak solusi di luar lingkaran. Namun berapa banyaknya?
Kita tahu cara menghitung banyak solusi keseluruhan, yaitu banyak solusi tanpa memperhatikan 𝑎𝑎 ≤3; ini adalah Contoh 1, ada �5 + 3−1
3−1 �= 21 cara. Selain itu, kita juga tahu cara menghitung banyak solusi dimana 𝑎𝑎 > 3;
karena 𝑎𝑎> 3 adalah bilangan bulat, maka 𝑎𝑎 ≥4, jadi substitusi 𝑥𝑥=𝑎𝑎 −4,𝑦𝑦=𝑏𝑏,𝑧𝑧=𝑐𝑐 untuk mendapatkan 𝑥𝑥+ 𝑦𝑦+𝑧𝑧= 1. Ini ada �1 + 3−1
3−1 �= 3 cara.
Namun, jika kita tahu keduanya, kita tahu banyak solusi di luar lingkaran. Ada 21 solusi keseluruhan, dan 3 di antaranya ada di dalam lingkaran. Jadi jelas sisanya ada 21−3 = 18 solusi di luar lingkaran; ini adalah jawabannya. ■
Contoh 8
Tentukan banyak solusi dari 𝑎𝑎+𝑏𝑏+𝑐𝑐= 5 dimana 𝑎𝑎,𝑏𝑏,𝑐𝑐 bilangan cacah memenuhi 𝑎𝑎 ≤1,𝑏𝑏 ≤1.
Solusi
Sekali lagi, kita gunakan diagram Venn.
Gambar 7: Diagram Venn untuk Contoh 8
Sekarang perhitungannya lebih sulit. Kita harus menggunakan prinsip inklusi-eksklusi:
Gambar 8: Prinsip inklusi-eksklusi
Apa artinya ini? Banyak seluruh solusi, dikurangi banyak solusi di tiap lingkaran, ditambah banyak solusi di tiap irisan dua lingkaran, dan seterusnya.
Gambar 9: Gambar 8 dengan anotasi
• Tidak ada kondisi khusus: �5 + 3−1
3−1 �= 21
• 𝑎𝑎 ≥2: �3 + 3−1
3−1 �= 10
• 𝑏𝑏 ≥2: �3 + 3−1 3−1 �= 10
• 𝑎𝑎 ≥2 dan 𝑏𝑏 ≥2: �1 + 3−1 3−1 �= 3
Jadi total caranya adalah 21−10−10 + 3 = 4. ■
Tentu saja, ini dapat diperpanjang lagi untuk tiga, empat, lima himpunan sekaligus, atau bahkan lebih. Caranya tetap sama, namun perhitungannya menjadi lebih panjang lagi.
